07 - Introdução a probabilidade

Prévia do material em texto

Probabilidade e 
estatística
Introdução à probabilidade
Prof. Ms. Jefferson Godoi
jefferson.pereira@usf.edu.br
1. INTRODUÇÃO
• A maioria dos fenômenos de que trata a
estatística são de natureza aleatória;
• Os estudo da probabilidade é fundamental
para o prosseguimento nos estudos da
estatística inferencial;
2. EXPERIMENTO ALEATÓRIO
• É muito comum analisarmos experimentos que
dependem do acaso; o que pode ocorrer em
maior ou menor grau;
• Ex: “é possível que o meu time ganhe a partida de
hoje”
• Desta premissa, pode resultar:
a. Que, apesar do favoritismo, ele perca;
b. Que, como pensamos, ele ganhe;
c. Que, empate.
2. EXPERIMENTO ALEATÓRIO
• Como o resultado final depende do acaso,
chamamos este fenômeno de fenômeno
aleatório ou experimento aleatório;
• Principal característica: mesmo que repetido
várias vezes sob condições semelhantes o
resultado é imprevisível.
3. ESPAÇO AMOSTRAL
• Para cada experimento, podemos obter vários
resultados possíveis:
• “Ao lançarmos umamoeda”
– Pode ocorrer cara ou coroa (2 possibilidades);
• “Ao lançarmos um dado”
– Pode ocorrer 1; 2; 3; 4; 5 ou 6 (6 possibilidades);
3. ESPAÇO AMOSTRAL
• Assim, o conjunto desses resultados possíveis
chamamos de espaço amostral ou conjunto
universo, representado por 𝑺.
– Lançamento de uma moeda: 𝑆 = 𝐶𝑎, 𝐶𝑜
– Lançamento de um dado: 𝑆 = 1, 2, 3, 4, 5, 6
• Cada um dos elementos de um espaço
amostral recebe o nome de ponto amostral:
2 ∈ 𝑆 ⇒ 2 é um ponto amostral de 𝑆.
4. EVENTO
• Chamamos de evento qualquer subconjunto
do espaço amostral 𝑆 de um experimento
aleatório.
• Assim, qualquer que seja 𝐸, se 𝐸 ⊂ 𝑆 (𝐸 está
contido em 𝑆), então 𝐸 é um evento de 𝑆.
• EXEMPLO: no lançamento de um dado temos
𝑆 = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ;
– 𝐴 = {2, 4, 6} ⊂ 𝑆, logo 𝐴 é um evento de 𝑆.
5. PROBABILIDADE
• Dado um experimento aleatório, sendo 𝑆 o seu
espaço amostral, vamos admitir que todos os
elementos de 𝑆 tem a mesma chance de
acontecer.
• Chamamos de probabilidade de um evento A
𝑨 ⊂ 𝑺 o número real 𝑃 𝐴 , tal que:
𝑃 𝐴 =
𝑛(𝐴)
𝑛 𝑆
5. PROBABILIDADE
• ONDE:
– 𝒏(𝑨) é o número de elementos de 𝑨;
– 𝒏(𝑺) é o número de elementos de 𝑺;
𝑃 𝐴 =
𝑛(𝐴)
𝑛 𝑆
5. PROBABILIDADE
• Considerando o lançamento de uma moeda e o
evento 𝐴 “obter cara”:
• 𝑆 = 𝐶𝑎, 𝐶𝑜 ⇒ 𝑛 𝑆 = 2
• 𝐴 = 𝐶𝑎 ⇒ 𝑛 𝐴 = 1
• Assim:
• 𝑃 𝐴 =
1
2
• Podemos concluir que o evento 𝐴 tem 50% de
chance de ocorrer.
5. PROBABILIDADE
• Podemos concluir
a. A probabilidade de um evento certo é igual a
1: 𝑃 𝑆 = 1;
b. A probabilidade de um evento impossível é
igual a zero: 𝑃 ∅ = 0;
c. A probabilidade de um evento E qualquer
𝑬 ⊂ 𝑺 é um número real, tal que: 0 ≤
𝑃 𝐸 ≤ 1;
6. EVENTOS COMPLEMENTARES
• Para qualquer evento, temos 𝑃 a probabilidade
de evento ocorrer; e 𝑞 a probabilidade do
evento não ocorrer:
𝑝 + 𝑞 = 1 ⇒ 𝑞 = 1 − 𝑝
• Se a probabilidade de um evento se realizar é
𝑝 =
1
5
, a probabilidade de que ele não se
realize será:
𝑞 = 1 −
1
5
⇒ 𝑞 =
4
5
7. EVENTOS INDEPENDENTES
• Dois eventos são independentes quanto a
realização ou a não-realização de um não afeta a
probabilidade de realização do outro ou vice-
versa:
• EXEMPLO: o lançamento de dois dados,
simultaneamente.
• A probabilidade de que dois eventos se realizem
simultaneamente é dada pelo produto das
probabilidade de cada um:
7. EVENTOS INDEPENDENTES
• Assim:
𝑝 = 𝑝1. 𝑝2
Onde:
𝑝1 é a probabilidade do evento 1 ocorrer;
𝑝2 é a probabilidade do evento 2 ocorrer;
• EXEMPLO: lançamento de dois dados:
7. EVENTOS INDEPENDENTES
𝑝 = 𝑝1. 𝑝2
𝑝2 =
1
6𝑝1 =
1
6
𝑝 =
1
6
.
1
6
=
1
36
𝑝 ≅ 2,8%
8. EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS
• Quando a realização de um evento exclui a
realização do outro dizemos que estes são
mutuamente exclusivos:
• EXEMPLO: e um lançamento de uma moeda, o
ocorre “cara” ou ocorre “coroa”;
• A probabilidade de um ou outro ocorrer é dada
pela soma das probabilidades:
𝑝 = 𝑝1 + 𝑝2
8. EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS
• EXEMPLO: lançando um dado, a probabilidade de
se tirar 3 ou 5 é:
𝑝 =
1
6
+
1
6
=
2
6
𝑝 =
1
3
EXERCÍCIOS
1. Qual a probabilidade de sair o “ás” de ouros
quando retiramos uma carta de um baralho
de 52 cartas;
2. Qual a probabilidade de sair um rei quando
tiramos um carta de um baralho de 52 cartas;
3. Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas.
Sendo retirada uma peça, calcule a
probabilidade desta não ser defeituosa;
4. No lançamento de dois dados, calcule a
probabilidade de se obter soma igual a 5.
EXERCÍCIOS
5. De dois baralhos de 52 cartas, retiram-se,
simultaneamente, uma carta do primeiro e
uma carta do segundo. Qual a probabilidade
de a carta do primeiro baralho ser um rei e a
do segundo ser o 5 de paus?
6. Qual a probabilidade de sair uma carta de
copas ou de ouros retirando uma carta de um
baralho de 52 cartas?