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IIIIssssmmmmaaaaeeeellll TTTTeeeeiiiixxxxeeeeiiiirrrraaaa ddddaaaa SSSSiiiillllvvvvaaaa
MMMMAAAATTTTEEEEMMMMÁÁÁÁTTTTIIIICCCCAAAA FFFFIIIINNNNAAAANNNNCCCCEEEEIIIIRRRRAAAA
**** PPPPRRRRIIIINNNNCCCCÍÍÍÍPPPPIIIIOOOOSSSS BBBBÁÁÁÁSSSSIIIICCCCOOOOSSS *S *
 Ismael Teixeira da Silva Ismael Teixeira da Silva
 MATEMÁTICA FINANCEIRA - Princípios Básicos MATEMÁTICA FINANCEIRA - Princípios Básicos 22
ÍNDICEÍNDICE
I.I. Razões e proporçõesRazões e proporções
1.1. Razões Razões ..................................................................................................................................................................................................................................................... ................. 33
2.2. Proporções Proporções .............................................................................................................................................................................................................................................. ............ 33
2.1. Propriedade 2.1. Propriedade fundamentfundamental .....al ..................................................................................................................................................................... ...................... 33
2.2. Tercei2.2. Terceira e quarta proporra e quarta proporcionaicionais ........s ........................................................................................................................................................... ......... 33
2.3. Cálcul2.3. Cálculo de um termo de um termo desconhecido desconhecido....................o............................................................................................................................... ............... 33
2.4. Propriedades 2.4. Propriedades das propodas proporções ...........rções ............................................................................................................................................................... .......... 33
2.5. Proporções múl2.5. Proporções múltipltiplas ..................as ........................................................................................................................................................................... ............... 44
II.II. Números proporciNúmeros proporcionais e regra de onais e regra de trêstrês
1.1. Grandezas Grandezas proporcionaiproporcionais ...........s .................................................................................................................................................................................................... . 55
2.2. DivisDivisão proporcioão proporcional .....nal .......................................................................................................................................................................................................... ........... 66
3.3. Regra de Regra de três ............três ...................................................................................................................................................................................................................... .................. 66
3.1. Sim3.1. Simples ples .............................................................................................................................................................................................................................................. ........ 66
3.2. Com3.2. Composta ......posta .................................................................................................................................................................................................................... ...................... 66
III.III. Porcentagem Porcentagem ............................................................................................................................................................................................................................................ ........ 88
IV.IV. Juros siJuros simples ...mples ............................................................................................................................................................................................................................................ ... 99
VV.. Desconto simples ............................Desconto simples ....................................................................................................................................................................................... ................. 1010
5.1. Desconto com5.1. Desconto comercial .... ercial .... ..................................................................................................................................................................................................... ............. 1111
5.2. Taxa de j5.2. Taxa de juro efetiva . .............uro efetiva . ........................................................................................................................................................................................................ ... 1212
5.3. 5.3. EquivalEquivalência ência de capide capitais tais ............................................................................................................................................................................................... ............. 1212
5.4. Des5.4. Desconto racional conto racional ............................................................................................................................................................................................................. ..................... 1313
VVI.I. Juro composto ....................................Juro composto ............................................................................................................................................................................................ .............. 1414
6.1. Taxas 6.1. Taxas equivalequivalentes ...................entes ............................................................................................................................................................................................................ . 1515
6.2. Taxas 6.2. Taxas nominainominais ...............s ................................................................................................................................................................................................................. .......... 1515
6.3. 6.3. Taxa Taxa efetiva efetiva ............................................................................................................................................................................................................................................ ...... 1616
6.4. T6.4. Taxa real e taxa axa real e taxa aparente ...........aparente ........................................................................................................................................................................... ...................... 1616
VII.VII. Desconto composto ..................................Desconto composto .................................................................................................................................................................................... ........ 1717
7.1. Equiv7.1. Equivalência de capialência de capitais ditais diferidos .................feridos ............................................................................................................................................................. .. 1717
VIII.VIII. CapitalizCapitalização ação e amortização commpose amortização commposta ........................................ta ..................................................................................................... ............... 1818
1. Rendas 1. Rendas ............................................................................................................................................................................................................................................................................ 1818
2. Capital2. Capitalização composização composta - crediário ....ta - crediário ............................................................................................................................................................... ................. 1919
2.1. Renda i2.1. Renda imedimediata .........................ata ................................................................................................................................................................................... ................ 1919
2.2. Renda 2.2. Renda antecipada antecipada ...................................................................................................................................................................................................... .............. 2020
3. Amo3. Amortização composrtização composta - crediário ......ta - crediário ................................................................................................................................................................ ................ 2121
3.1. Renda i3.1. Renda imedimediata .........................ata ................................................................................................................................................................................... ................ 2121
3.2. Renda 3.2. Renda antecipada antecipada ...................................................................................................................................................................................................... .............. 2222
3.3. 3.3. Renda Renda diferiddiferida a .......................................................................................................................................................................................................... .................. 2222
 Ismael Teixeira da Silva Ismael Teixeira da Silva
 MATEMÁTICA FINANCEIRA - Princípios Básicos MATEMÁTICA FINANCEIRA - Princípios Básicos 33
I – RAZÕES E PI – RAZÕES E PROPORÇÕEROPORÇÕESS
1.1. RazãoRazão
Quando duas razões têm antecedente eQuando duas razões têm antecedente e
conseqüentes trocados, são denominadasconseqüentes trocados, são denominadas
 razões inversas razões inversas..
Ex.:Ex.:
44
33
ee
33
44
..
2.2. ProporçõesProporções
Em uma proporção,Em uma proporção,
dd
cc
bb
aa
== , lemos:, lemos: aa
está para b assim como c está para destá para b assim como c está para d, onde, onde
aa ee dd são chamados extremos esão chamados extremos e bb ee cc sãosão
chamados meios.chamados meios.
Propriedade fundamentalPropriedade fundamental
Exemplo:Exemplo:
1212
66
44
22
== ⇒⇒ 22 ·· 12 = 412 = 4 ·· 66
Terceira e Terceira e quarta proporcquarta proporcionaisionais
Exemplo:Exemplo:
Na proporçãoNa proporção
99
33
33
11
== , 9 é a terceira, 9 é a terceira
proporcional de 1 e 3.proporcional de 1 e 3.
Exemplo: Na proporçãoExemplo: Na proporção
66
22
33
11
== , 6 é a quarta, 6 é a quarta
proporcional de 1, 3 e proporcional de 1, 3 e 2, nessa ordem.2, nessa ordem.
Cálculo de um termo desconhecidoCálculo de um termo desconhecido
Usando a propriedade fundamental dasUsando a propriedade fundamental das
proporções, podemos calcular um termoproporções, podemos calcular um termo
desconhecido de uma desconhecido de uma proporção. Vejamproporção. Vejamos:os:
Exemplos:Exemplos:
1)1) Calcular o valor deCalcular o valor de aa sabendo que 2, 3,sabendo que 2, 3, aa ee
6 formam, nessa ordem uma proporção.6 formam, nessa ordem uma proporção.
66
aa
33
22
== ⇒⇒ 33 ·· a = 2a = 2 ·· 66 ⇒⇒
2)2) Calcular o valor deCalcular o valor de xx em:em:
33
22
22xx
33xx
==
−−
++
⇒⇒ 3 (x + 3) = 2 (x – 2)3 (x + 3) = 2 (x – 2)
3x + 9 = 2x – 43x + 9 = 2x – 4
Propriedades das proporçõesPropriedades das proporções
1ª) A soma ou a diferença dos dois primeiros1ª) A soma ou a diferença dos dois primeiros
termos está para o primeiro termo, assimtermos está para o primeiro termo, assim
como a soma (ou a diferença) dos doiscomo a soma (ou a diferença) dos dois
últimoúltimos termos está para s termos está para o terceiro tero terceiro termo.mo.
2ª) A soma ou a diferença dos dois primeiros2ª) A soma ou a diferença dos dois primeiros
termos está para o segundo termo, assimtermos está para o segundo termo, assim
como a soma (ou a diferença) dos doiscomo a soma (ou a diferença) dos dois
últimoúltimos termos está para s termos está para o quarto teo quarto termo.rmo.
 Razão Razão de dois númerosde dois números aa ee bb, com b, com b ≠≠ 0, é0, é
o quociente de a por b. Indica-seo quociente de a por b. Indica-se
bb
aa
ouou
a : b, e lê-sea : b, e lê-se a para ba para b..
O númeroO número aa é chamadoé chamado antecedenteantecedente e e oo
númeronúmero bb é chamadoé chamado conseqüenteconseqüente..
A igualdade entre duas razões é chamadaA igualdade entre duas razões é chamada
 proporção. proporção.
Em toda proporção, o produto dos meios éEm toda proporção, o produto dos meios é
igual ao produto dos extremos.igual ao produto dos extremos.
24 2424 24
Chama-se terceira proporcional deChama-se terceira proporcional de aa ee bb aa
um númeroum número cc tal quetal que
cc
bb
bb
aa
== ..
Chama-se quarta Chama-se quarta proporcional deproporcional de aa,, bb ee cc aa
um númeroum número dd tal quetal que
dd
cc
bb
aa
== ..
a = 4a = 4
x = – 13x = – 13
cc
ddcc
aa
bbaa
dd
cc
bb
aa ++
==
++
⇒⇒==
dd
ddcc
bb
bbaa
dd
cc
bb
aa ++
==
++
⇒⇒==
 Ismael Teixeira da Silva Ismael Teixeira da Silva
 MATEMÁTICA FINANCEIRA - Princípios Básicos MATEMÁTICA FINANCEIRA - Princípios Básicos 44
3ª) Numa proporção, a soma (ou a diferença)3ª) Numa proporção, a soma (ou a diferença)
dos antecedentes está para a soma (ou ados antecedentes está para a soma (ou a
diferença) dos conseqüentes, assim comodiferença) dos conseqüentes, assim como
cada antecedente está para seucada antecedente está para seu
conseqüente.conseqüente.
Exemplo:Exemplo:
1)1) DeterminarDeterminar xx ee yy na proporçãona proporção
55
22
yy
xx
== ,,
sabendo que x + y = 28.sabendo que x + y = 28.
22
5522
xx
yyxx ++
==
++
→→ 1ª propriedade1ª propriedade
5656xx77
22
77
xx
2828
==⇒⇒== →→ propriedade propriedade funfundamentaldamental
x + y = 28x + y = 28 ⇒⇒
2)2) A gasolina brasileira é misturada comA gasolina brasileira é misturada com
álcool hidratado na razão de 2:5. Quantosálcool hidratado na razão de 2:5. Quantos
litros de cada combustível existem emlitros de cada combustível existem em
250 litros de gasolina comercial?250 litros de gasolina comercial?
22
77
aa
250250
22
5522
aa
ggaa
55
22
gg
aa
==⇒⇒
++
==
++
⇒⇒==
7a = 5007a = 500 ⇒⇒
g = 250 – 71,43g = 250 – 71,43 ⇒⇒
Proporções múltiplasProporções múltiplas
SupondoSupondo
f f 
ee
dd
cc
bb
aa
==== , podemos aplicar as, podemos aplicar as
propriedades já vistas nas igualdades tomadaspropriedades já vistas nas igualdades tomadas
duas a duas:duas a duas:
A partir da proporção dada, podemosA partir da proporção dada, podemos
ainda fazer outras transformações, alterandoainda fazer outras transformações, alterando
os sinais do numerador ou do denominador,os sinais do numerador ou do denominador,
desde que a mudança no sinal de umdesde que a mudança no sinal de um
antecedente acompanhe a mudança doantecedente acompanhe a mudança do
conseqüente cconseqüente correspondentorrespondente.e.
Exemplo:Exemplo:
Encontrar a, b e c sabendo queEncontrar a, b e c sabendo que
3232
cc
2020
bb
66
aa
====
e que a + b + c = 29.e que a + b + c = 29.
66
aa
5858
2929
3232202066
ccbbaa
====
++++
++++
⇒⇒ 58 a = 17458 a = 174
6060bb66
2020
bb
66
33
2020
bb
66
aa
==⇒⇒==⇒⇒== ⇒⇒
a + b + c = 29a + b + c = 29 ⇒⇒ c = 29 – 3 – 10c = 29 – 3 – 10
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃOEXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1)1) Usando a propriedade fundamental dasUsando a propriedade fundamental das
proporções, decida se os números dadosproporções, decida se os números dados
em cada ordem formam ou não umaem cada ordem formam ou não uma
proporção:proporção:
b)b) 2, 3, 4 e 62, 3, 4 e 6
c)c) 10,2, 18 e 310, 2, 18 e 3
d)d) 0,4; 0,6; 1,2 e 1,80,4; 0,6; 1,2 e 1,8
e)e)
22
11
ee22
1616
11
44
11
,,,,
2)2) Encontre o valor de x:Encontre o valor de x:
a)a)
4545
1818
55
xx
==
b)b)
33
55
11xx
4040
==
++
c)c) xx33
44
xx22
−−==
−−
x = 8x = 8
y = 20y = 20
a = 71,43a = 71,43 llllllll
= 178,57= 178,57 llllllll
f f 
ee
dd
cc
bb
aa
f f ddbb
eeccaa
======
++++
++++
f f 
ee
dd
cc
bb
aa
f f ddbb
eeccaa
======
++−−
++−−
a = 3a = 3
b = 10b = 10
c = 16c = 16
dd
cc
bb
aa
ddbb
ccaa
dd
cc
bb
aa
====
±±
±±
⇒⇒==
 Ismael Teixeira da Silva Ismael Teixeira da Silva
 MATEMÁTICA FINANCEIRA - Princípios Básicos MATEMÁTICA FINANCEIRA - Princípios Básicos 55
d)d)
55
33
11xx
33xx
==
++
++
e)e)
33
55
22
xx
xx
33
22
−−
==−−
3)3) Calcule, em cada item a quartaCalcule, em cada item a quarta
proporcional entre:proporcional entre:
a)a) 8, 2 e 288, 2 e 28
b)b) 6, 18 e 156, 18 e 15
c)c) 3, 4 e 63, 4 e 6
d)d)
22
11
ee
66
55
33
11
,,
e) e) 88ee3366,,
4)4) Calcule, em cada item a terceiraCalcule, em cada item a terceira
proporcional entre:proporcional entre:
a)a) 4 e 64 e 6
b)b) 3 e 83 e 8
c)c) 2 e 52 e 5
d)d)
33
11
ee
22
11
e)e) 77ee55
5)5) Numa escola, a razão entre o número deNuma escola, a razão entre o número de
professores e o número de alunos éprofessores e o número de alunos é
1818
11
..
a)a) JustiJustifique o fique o sigsignificado dessa nificado dessa proporção.proporção.
b)b) Se a escola tem 25 professores, quantosSe a escola tem 25 professores, quantos
são os alunos?são os alunos?
6)6) Uma planta de uma casa é desenhada naUma planta de uma casa é desenhada na
escala 1:50. Qual a área de uma sala que,escala 1:50. Qual a área de uma sala que,
na planta, tem 4,5 x 5,2 cm?na planta, tem 4,5 x 5,2 cm?
7)7) Calcule os valores desconhecidos:Calcule os valores desconhecidos:
a)a)





==
==++
33
22
yy
xx
7575yyxx
b)b)





==−−
==
44xxyy
55
33
yy
xx
c)c)




==++−−
====
8080ccbbaa
33
cc
77
bb
2020
aa
8)8) Um comerciante deseja lucrar R$ 2,00 emUm comerciante deseja lucrar R$ 2,00 em
cada R$ 1,00que paga ao adquirir suascada R$ 1,00que paga ao adquirir suas
mercadorias. Qual deve ser o preço demercadorias. Qual deve ser o preço de
venda de um produto que lhe custou R$venda de um produto que lhe custou R$
42,00?42,00?
9)9) Determine três números cuja soma é 105,Determine três números cuja soma é 105,
sabendo que o primeiro está para 2 assimsabendo que o primeiro está para 2 assim
como o segundo está para cinco e o dobrocomo o segundo está para cinco e o dobro
do terceiro está para 16.do terceiro está para 16.
II – NÚMEROS PROPORCIONAISII – NÚMEROS PROPORCIONAIS
-- REGRA DE TRÊSREGRA DE TRÊS
1.1. Grandezas proporcionaisGrandezas proporcionais
Quando duas grandezas variam sempreQuando duas grandezas variam sempre
segundo uma mesma razão, são denominadassegundo uma mesma razão, são denominadas
  grandezas diretamente proporcionais,  grandezas diretamente proporcionais, e e sese
variam sempre na razão inversa uma da outra,variam sempre na razão inversa uma da outra,
são denominadassão denominadas   grandezas inversamente  grandezas inversamente
 proporcionais proporcionais..
•• Diretamente proporcionais: velocidade eDiretamente proporcionais: velocidade e
distância, litros de gasolina e preço; horasdistância, litros de gasolina e preço; horas
de trabalho e de trabalho e produção.produção.
kk
dd
cc
bb
aa
====== ...... ; onde k é o fator de; onde k é o fator de
proporcionalidade.proporcionalidade.
•• Inversamente proporcionais: velocidade eInversamente proporcionais: velocidade e
tempo de viagem, número de ganhadorestempo de viagem, número de ganhadores
da loteria e valor do prêmio; número deda loteria e valor do prêmio; número de
trabalhadores e tempo de execução dotrabalhadores e tempo de execução do
trabalho.trabalho.
aa ·· b b = = cc ·· d = ... = k; onde k é o fator ded = ... = k; onde k é o fator de
proporcionalidade.proporcionalidade.
Exemplos:Exemplos:
1)1) Um viajante percorre a distância de 80 kmUm viajante percorre a distância de 80 km
em 1h30min. Mantendo a mesmaem 1h30min. Mantendo a mesma
velocidade média, quanto percorreria emvelocidade média, quanto percorreria em
2h15min?2h15min?
 Ismael Teixeira da Silva Ismael Teixeira da Silva
 MATEMÁTICA FINANCEIRA - Princípios Básicos MATEMÁTICA FINANCEIRA - Princípios Básicos 66
180180xx5511
5511
8080
252522
xx
====⇒⇒== ,,
,,,,
⇒⇒
2)2) Três ganhadores da loteria receberam,Três ganhadores da loteria receberam,
cada um, R$ 25.000,00. Quanto receberiacada um, R$ 25.000,00. Quanto receberia
cada um se houvesse 5 ganhadores?cada um se houvesse 5 ganhadores?
33 ·· 25.000 = 525.000 = 5 ·· xx ⇒⇒
2.2. Divisão proporcionalDivisão proporcional
Dividir um número em partesDividir um número em partes
proporcionais aos números de uma dadaproporcionais aos números de uma dada
sucessão significa encontrar parcelas dessesucessão significa encontrar parcelas desse
número que formem uma sucessãonúmero que formem uma sucessão
proporcional àquela e que, somadas,proporcional àquela e que, somadas,
reproduzem esse número.reproduzem esse número.
Exemplos:Exemplos:
1)1) Repartir o número 18 em partesRepartir o número 18 em partes
diretamente proporcionaidiretamente proporcionais a 5 s a 5 e 4.e 4.
22
99
1818
4455
yyxx
44
yy
55
xx
====
++
++
⇒⇒==
22
55
xx
== ⇒⇒
y = 18 – 10y = 18 – 10 ⇒⇒
2)2) Repartir o número 350 em partesRepartir o número 350 em partes
inversamente proporcionais a 2 e 5.inversamente proporcionais a 2 e 5.
xx ·· 2 = y2 = y ·· 55 ⇒⇒
22
yy55
xx ==
x + y = 350x + y = 350
350350
22
yy22yy55
350350yy
22
yy55
==
++
⇒⇒==++
7y = 7007y = 700 ⇒⇒
x = 350 – 100x = 350 – 100 ⇒⇒
3.3. Regra de trêsRegra de três
3.1. Simples3.1. Simples
É uma regra prática que nos permiteÉ uma regra prática que nos permite
comparar duas grandezas proporcionais,comparar duas grandezas proporcionais, AA ee
BB, relacionando dois valores da grandeza, relacionando dois valores da grandeza AA ee
dois da grandezadois da grandeza BB. Essas grandezas formam. Essas grandezas formam
uma proporção em que se conhecem três dosuma proporção em que se conhecem três dos
termos e o quarto é termos e o quarto é o procurado.o procurado.
Podemos ter dois tipos de regra de três:Podemos ter dois tipos de regra de três:
direta e direta e inversa. Observe os exemplos:inversa. Observe os exemplos:
a)a) DiretaDireta
Cinco metros de certo tecido custamCinco metros de certo tecido custam
R$ 65,00. Quanto custarão oito metros doR$ 65,00. Quanto custarão oito metros do
mesmo tecido?mesmo tecido?
Quantidade Quantidade de de tecido tecido preçopreço
5 65,05 65,0
8 8 XX
XX
6565
88
55
== ⇒⇒ 5 X = 5205 X = 520
b)b) InversaInversa
Duas torneiras enchem uma caixa d’água em 6Duas torneiras enchem uma caixa d’água em 6
horas. Quantas torneiras do mesmo tipo sãohoras. Quantas torneiras do mesmo tipo são
necessárias para encher a mesma caixa d’águanecessárias para encher a mesma caixa d’água
em 4 horas?em 4 horas?
torneiras Tempotorneiras Tempo
2 2 66
X X 44
66
44
XX
22
== ⇒⇒ 4 X = 124 X = 12
3.2. Composta3.2. Composta
Uma grandeza que varia emUma grandeza que varia em
dependência com duas ou mais grandezas édependência com duas ou mais grandezas é
chamadachamada grandeza compostagrandeza composta..
Na regra de três composta, utilizamosNa regra de três composta, utilizamos
o o segseguinte uinte procedimento:procedimento:
•• Montamos uma tabela colocando em cadaMontamos uma tabela colocando em cada
coluna, ordenadamente, os valores de cadacoluna, ordenadamente, os valores de cada
grandeza.grandeza.
x = 120 kmx = 120 km
x = R$ 15.000,00x = R$ 15.000,00
x = 10x = 10
y = 8y = 8
y = 100y = 100
x = 250x = 250
X = R$ 104,00X = R$ 104,00
X = 3 torneirasX = 3 torneiras
 Ismael Teixeira da Silva Ismael Teixeira da Silva
 MATEMÁTICA FINANCEIRA - Princípios Básicos MATEMÁTICA FINANCEIRA - Princípios Básicos 77
•• Verificamos se a grandeza que contém aVerificamos se a grandezaque contém a
incógnita comporta-se comincógnita comporta-se com
proporcionalidade direta ou inversa emproporcionalidade direta ou inversa em
relação a cada uma das outras grandezas.relação a cada uma das outras grandezas.
•• Caso haja dependência Caso haja dependência inversa, invertemosinversa, invertemos
os elementos da respectiva coluna.os elementos da respectiva coluna.
•• Montamos a equação, relacionando aMontamos a equação, relacionando a
grandeza que contém a incógnita com asgrandeza que contém a incógnita com as
demais grandezas utilizando a propriedadedemais grandezas utilizando a propriedade
Exemplo:Exemplo:
Vinte operários levam 10 dias para levantarVinte operários levam 10 dias para levantar
um muro de 2 m de altura e 25 m deum muro de 2 m de altura e 25 m de
comprimento. Quantos dias levarão 15comprimento. Quantos dias levarão 15
operários para construir um muro de mesmaoperários para construir um muro de mesma
largura mas com comprimento 40 m e 3m delargura mas com comprimento 40 m e 3m de
altura?altura?
operáriosoperários diasdias comprimento alturacomprimento altura
2020 1010 25 25 22
1515 XX 40 40 33
24002400
750750
XX
1010
3340402020
2225251515
XX
1010
==⇒⇒
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
==
750 X = 24000750 X = 24000 ⇒⇒
EXEXERCÍCIOS DE FIERCÍCIOS DE FIXAÇÃOXAÇÃO
1.1. Repartir o número 520 em partesRepartir o número 520 em partes
diretamente proporcionaidiretamente proporcionais a 4 s a 4 e 1/3.e 1/3.
2.2. Repartir o número 459 em partesRepartir o número 459 em partes
inversamente proporcionais a 3, 4, 10 e 6.inversamente proporcionais a 3, 4, 10 e 6.
3.3. Três pessTrês pessoas, A, B e oas, A, B e C, compraram juntasC, compraram juntas
um bilhete de rifa que premia o sorteadoum bilhete de rifa que premia o sorteado
com 10 000 dólares. Na compra docom 10 000 dólares. Na compra do
bilhete, a pessoa A colaborou com 10bilhete, a pessoa A colaborou com 10
dólares, a pessoa B com 15 dólares e adólares, a pessoa B com 15 dólares e a
pessoa C com 25 dólares. Caso o bilhetepessoa C com 25 dólares. Caso o bilhete
que compraram seja o sorteado, quantoque compraram seja o sorteado, quanto
receberá cada pessoa, se o combinado foireceberá cada pessoa, se o combinado foi
que cada uma receberia uma quantiaque cada uma receberia uma quantia
proporcional ao dinheiro gasto?proporcional ao dinheiro gasto?
4.4. João e Carlos associaram-se aplicandoJoão e Carlos associaram-se aplicando
capitais idênticos. No final de certocapitais idênticos. No final de certo
período, a sociedade apresentou prejuízoperíodo, a sociedade apresentou prejuízo
de R$ 5 000,00. Qual o prejuízo de cadade R$ 5 000,00. Qual o prejuízo de cada
um, se João aplicou seu capital por 3um, se João aplicou seu capital por 3
meses e Carlos por 7 e combinaram que ameses e Carlos por 7 e combinaram que a
divisão seria diretamente proporcional aodivisão seria diretamente proporcional ao
tempo de cada um?tempo de cada um?
5.5. Certa sociedade constituída por 3 sóciosCerta sociedade constituída por 3 sócios
(A, B e C) obteve, em determinado(A, B e C) obteve, em determinado
período de tempo, um lucro de R$ 27período de tempo, um lucro de R$ 27
000,00. Qual a parte desse lucro que000,00. Qual a parte desse lucro que
coube a cada sócio, se A entrou com 1/3coube a cada sócio, se A entrou com 1/3
do capital, B com 2/5 e C com o restante?do capital, B com 2/5 e C com o restante?
6.6. Dois sóciDois sócios devem reos devem repartir entre si o partir entre si o lucrolucro
de R$ 64 350,00. Sabendo que o primeirode R$ 64 350,00. Sabendo que o primeiro
socio empregou um capital de R$ 26socio empregou um capital de R$ 26
900,00 e que o lucro do segundo foi de R$900,00 e que o lucro do segundo foi de R$
24 000,00, calcule o lucro do primeiro e o24 000,00, calcule o lucro do primeiro e o
capital do segundo.capital do segundo.
7.7. Um lojista A fundou sua loja com umUm lojista A fundou sua loja com um
capitai de R$ 5 000,00. Cinco meses maiscapitai de R$ 5 000,00. Cinco meses mais
tarde, admitiu um sócio B, que entroutarde, admitiu um sócio B, que entrou
com R$ 10 000,00. Ao final de 20 meses,com R$ 10 000,00. Ao final de 20 meses,
a empresa apresentou lucro de R$a empresa apresentou lucro de R$
15.000,00. Qual a parte do lucro que15.000,00. Qual a parte do lucro que
coube a coube a cada sócio?cada sócio?
8.8. Um reservatório de 2 520Um reservatório de 2 520 ll de cde capaciapacidadedade
foi completamente enchido por 3foi completamente enchido por 3
torneiras, que despejam por minuto 12torneiras, que despejam por minuto 12 ll ,,
88 ll e e 1616 ll de água, respectivamente.de água, respectivamente.
Determine o volume de água que oDetermine o volume de água que o
reservatório recebeu de reservatório recebeu de cada torneira?cada torneira?
9.9. Uma torre de 25,05 metros dá umaUma torre de 25,05 metros dá uma
sombra de 33,40 metros. Qual será, nasombra de 33,40 metros. Qual será, na
mesmmesma hora, a hora, a sombra de a sombra de uma pessoa cujauma pessoa cuja
altura é 1 ,80 metro?altura é 1 ,80 metro?
10.10. Um trabalho é feito por 21 teares em certoUm trabalho é feito por 21 teares em certo
tempo, trabalhando 5 horas por dia.tempo, trabalhando 5 horas por dia.
Quantas horas por dia deverão trabalharQuantas horas por dia deverão trabalhar
15 teares para realizar o mesmo trabalho15 teares para realizar o mesmo trabalho
no mesmo tempo?no mesmo tempo?
Se uma grandeza C é diretamenteSe uma grandeza C é diretamente
  proporcional, separadamente, às  proporcional, separadamente, às
  grandezas A (quando B permanece  grandezas A (quando B permanece
  constante) e B (quando C permanece  constante) e B (quando C permanece
  constante), então A é diretamente  constante), então A é diretamente
 proporcional ao produto B proporcional ao produto B ·· C.C.
X = 32 diasX = 32 dias
 Ismael Teixeira da Silva Ismael Teixeira da Silva
 MATEMÁTICA FINANCEIRA - Princípios Básicos MATEMÁTICA FINANCEIRA - Princípios Básicos 88
11.11. Um terreno retangular tem 36 m deUm terreno retangular tem 36 m de
comprimento e 45 m de largura. Secomprimento e 45 m de largura. Se
dimidiminuirmos o nuirmos o compricomprimento desse terrmento desse terrenoeno
em 6 m, quantos metros devemosem 6 m, quantos metros devemos
aumentar na sua largura para que a áreaaumentar na sua largura para que a área
permaneça a permaneça a mesmmesma?a?
12.12. Dez arados, em 9 dias de 8 horas,Dez arados, em 9 dias de 8 horas,
preparam um terreno de 40 ares. Empreparam um terreno de 40 ares. Em
quantos dias de 9 horas, 12 aradosquantos dias de 9 horas, 12 arados
idênticos aos primeiros preparam umidênticos aos primeiros preparam um
terreno de terreno de 48 ares?48 ares?
13.13. Uma família de 6 pessoas consome em 2Uma família de 6 pessoas consome em 2
dias 3 kg de pão. Quantos quilos serãodias 3 kg de pão. Quantos quilos serão
necessários para alimentá-la durante 5necessários para alimentá-la durante 5
dias estando ausentes 2 pessoas?dias estando ausentes 2 pessoas?
III – PORCENTAGEMIII – PORCENTAGEM
As expressões com o termoAs expressões com o termo   por cento  por cento,,
são simplesmente uma maneira de sesão simplesmente uma maneira de se
representar as razões centesimais, nas quais orepresentar as razões centesimais, nas quais o
símbolo % substitui o denominador 100.símbolo % substitui o denominador 100.
Nesse caso, as razões centesimais recebemNesse caso, as razões centesimais recebem
uma denominação especial:uma denominação especial:   taxa de  taxa de
 porcentagem porcentagem..
100100
1414
=14% (Lê-se 14 por cento)=14% (Lê-se 14 por cento)
Quando o denominador de uma fraçãoQuando o denominador de uma fração
não é 100, pode-se encontrar a taxa denão é 100, pode-se encontrar a taxa de
porcentagem que representa essa fração comoporcentagem que representa essa fração como
no exemplo a seguir.no exemplo a seguir.
%%,, 4040
100100
4040
404000
55
22
======
%%,, 7575
100100
7575
757500
44
33
======
pp⇒⇒ porcentagemporcentagem
Onde: iOnde: i⇒⇒ taxa taxa unitáriunitáriaa
P = P = principrincipalpalExemplos:Exemplos:
1)1) Um vendedor tem 3% de comissão nosUm vendedor tem 3% de comissão nos
negócios que faz. Qual sua comissãonegócios que faz. Qual sua comissão
numa venda de R$ numa venda de R$ 3.600,00?3.600,00?
P = 3.600,00P = 3.600,00
i = 3% = 0,03i = 3% = 0,03
p = ip = i ·· PP ⇒⇒ p = 0,03p = 0,03 ·· 3.6003.600
2)2) Um produto foi adquirido por R$ 50,00 eUm produto foi adquirido por R$ 50,00 e
vendido por R$ 82,00. Qual avendido por R$ 82,00. Qual a
porcentagem de lucro?porcentagem de lucro?
ll = 82,00 – 50,00 = 32,00 = p= 82,00 – 50,00 = 32,00 = p
p = ip = i ·· PP ⇒⇒ 32 = i32 = i ·· 5050
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃOEXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1)1) Exprima, sob a forma de taxa porcentual,Exprima, sob a forma de taxa porcentual,
cada uma cada uma das seguidas seguintes razões:ntes razões:
a)a)
55
22
b)b)
7272
3535
c)c)
33
22
11
d) d) 0,26 0,26 e) e) 0,05 0,05 e) e) 0,0120,012
2)2) Excreva as taxas percentuais abaixo comoExcreva as taxas percentuais abaixo como
unitárias:unitárias:
a) a) 85% 85% b) b) 3,75% 3,75% c) c) 0,2%0,2%
d)d) %%
55
33
e)e)
33
22
11 % % ff))
33
44
22 %%
3)3) Calcule:Calcule:
a)a) 25% de 40025% de 400
b)b) 12,5% de R$ 120,0012,5% de R$ 120,00
c)c) 0,38% de R$ 863,870,38% de R$ 863,87
d)d) 132% de R$ 56,00132% de R$ 56,00
4)4) Calcule a quantia na qual:Calcule a quantia na qual:
a)a) R$ 32,00 representam 5,6%R$ 32,00 representam 5,6%
b)b) R$ 32,56 representam 0,5%R$ 32,56 representam 0,5%
c)c) R$ 29,04 representam 1,57%R$ 29,04 representam 1,57%
5)5) Vendi uma mercadoria recebendo 25 % deVendi uma mercadoria recebendo 25 % de
entrada e o restante em três prestações deentrada e o restante em três prestações de
 Porcentagem é o resultado que obtemos Porcentagem é o resultado que obtemos
quando aplicamos a taxa de porcentagemquando aplicamos a taxa de porcentagem
  a um determinado valor, isto é, a  a um determinado valor, isto é, a
  porcentagem é o produto da taxa  porcentagem é o produto da taxa
unitária por esse valor.unitária por esse valor.
p = ip = i ·· PP
p = R$ 108,00p = R$ 108,00
i = 64 %i = 64 %
 Ismael Teixeira da Silva Ismael Teixeira da Silva
 MATEMÁTICA FINANCEIRA - Princípios Básicos MATEMÁTICA FINANCEIRA - Princípios Básicos 99
R$ 1.600,00 e uma de R$ 1.800,00. Qual oR$ 1.600,00 e uma de R$ 1.800,00. Qual o
preço da mercadoria?preço da mercadoria?
6)6) Um vendedor recebe 3% de comissãoUm vendedor recebe 3% de comissão
sobre as vendas que efetua. Qual a quantiasobre as vendas que efetua. Qual a quantia
a receber pelas vendas de R$ 800,00; R$a receber pelas vendas de R$ 800,00; R$
238,50 e R$ 973,65?238,50 e R$ 973,65?
7)7) Uma loja oferece 15% de desconto para asUma loja oferece 15% de desconto para as
mercadorias compradas à vista. Se o preçomercadorias compradas à vista. Se o preço
de uma delas é R$ 145,00, qual deve ser ode uma delas é R$ 145,00, qual deve ser o
seu preço para seu preço para venda nessa condivenda nessa condição?ção?
8)8) Um relojoeiro adquire um lote de 120Um relojoeiro adquire um lote de 120
relógios à R$ 85,00. Vende 2/3 a R$relógios à R$ 85,00. Vende 2/3 a R$
120,00 e o restante a R$ 142,00. De120,00 e o restante a R$ 142,00. De
quanto por cento foi o lucro?quanto por cento foi o lucro?
9)9) Uma pessoa deseja adquirir uma televisãoUma pessoa deseja adquirir uma televisão
catalogcatalogada por R$ 464,00. ada por R$ 464,00. SSe e o pagamentoo pagamento
for à vista, aloja oferecerá um desconto defor à vista, aloja oferecerá um desconto de
5%. Como a pessoa não pode fa5%. Como a pessoa não pode faze-lze-lo, pagao, paga
2/5 à vista e o restante em 3 prestações,2/5 à vista e o restante em 3 prestações,
sofrendo um aumento de 38% sobre asofrendo um aumento de 38% sobre a
parte reparte relativlativa às a às prestações.prestações.
a)a) Qual o preço à vista da televisão?Qual o preço à vista da televisão?
b)b) Qual o valor de cada Qual o valor de cada prestação?prestação?
10)10)Um comerciante comprou 120 bonés à R$Um comerciante comprou 120 bonés à R$
8,80 cada. Vendeu a metade a R$ 10,50 e8,80 cada. Vendeu a metade a R$ 10,50 e
o restante a R$ 12,30. De quanto por centoo restante a R$ 12,30. De quanto por cento
foi o lucro?foi o lucro?
11)11)Três sócios empregaram, respectivamente,Três sócios empregaram, respectivamente,
os capitais de R$ 1.800,00, R$ 2.250,00 eos capitais de R$ 1.800,00, R$ 2.250,00 e
R$ 2.700,00. Após um certo tempo,R$ 2.700,00. Após um certo tempo,
obtiveram um lucro líquido de R$obtiveram um lucro líquido de R$
5.400,00. 5.400,00. Qual Qual será a parte de será a parte de cada um?cada um?
12)12)Três sócios empregaram, respectivamente,Três sócios empregaram, respectivamente,
os capitais de R$ 2.800,00, R$ 2.500,00 eos capitais de R$ 2.800,00, R$ 2.500,00 e
R$ 2.700,00 na abertura de uma empresa.R$ 2.700,00 na abertura de uma empresa.
Após algum tempo, o terceiro sócioApós algum tempo, o terceiro sócio
resolveu sair da sociedade. O balançoresolveu sair da sociedade. O balanço
acusou um patrimônio (ativo e passivo) deacusou um patrimônio (ativo e passivo) de
R$ 12.750,00. Quanto cada um dos doisR$ 12.750,00. Quanto cada um dos dois
remanescentes devem pagar ao sócioremanescentes devem pagar ao sócio
desisdesistente patente para ficarem com ra ficarem com partes iguaipartes iguais?s?
IV – JUROS SIMPLESIV – JUROS SIMPLES
Juros representam a remuneração doJuros representam a remuneração do
Capital empregado em alguma atividadeCapital empregado em alguma atividade
produtiva. O Capital é o valor approdutiva. O Capital é o valor aplilicado atracado atravésvés
de alguma operação financeira. Tambémde alguma operação financeira. Também
conhecido como: Principal, Valor Atual,conhecido como: Principal, Valor Atual,
Valor Presente ou Valor Aplicado.Valor Presente ou Valor Aplicado.
OO jurojuro é a remuneração peloé a remuneração pelo
empréstimo do dinheiro. Ele existe porque aempréstimo do dinheiro. Ele existe porque a
maioria das pessoas prefere o consumomaioria das pessoas prefere o consumo
imediato, e está disposta a pagar um preço porimediato, e está disposta a pagar um preço por
isto. Por outro lado, quem for capaz de esperaristo. Por outro lado, quem for capaz de esperar
até possuir a quantia suficiente para adquiriraté possuir a quantia suficiente para adquirir
seu desejo, e neste ínterim estiver disposta aseu desejo, e neste ínterim estiver disposta a
emprestar esta quantia a alguém, menosemprestar esta quantia a alguém, menos
paciente, deve ser recompensado por estapaciente, deve ser recompensado por esta
abstinência na proporção doabstinência na proporção do tempotempo ee riscorisco,,
que a operação envolver. O tempo, o risco e aque a operação envolver. O tempo, o risco e a
quantidade de dinheiro disponível no mercadoquantidade de dinheiro disponível no mercado
para empréstimos definem qual deverá ser apara empréstimos definem qual deverá ser a
remuneração, mais conhecida comoremuneração, mais conhecida como taxa detaxa de
 juros. juros.
Raramente encontramos uso para oRaramente encontramos uso para o
regime de juros simples: é o caso dasregime de juros simples: é o caso das
operações de curtíssimo prazo, e do processooperações de curtíssimo prazo, e do processo
de desconto simples de duplicatas.de desconto simples de duplicatas.
A taxa de juros indica qualA taxa de juros indica qual
remuneração será paga ao dinheiroremuneração será paga ao dinheiro
emprestado, para um determinado período.emprestado, para um determinado período.
Ela vem normalmente expressa da formaEla vem normalmente expressa da forma
percentual, em seguida da especificação dopercentual, em seguida da especificação do
período de tempo a que se refere:período de tempo a que se refere:
•• 8 % a.a. 8 % a.a. - (a.a. signi- (a.a. significa ao fica ao ano).ano).
•• 10 % a.t. 10 % a.t. - (a.t. - (a.t. sigsignifica ao trimestre)nifica ao trimestre)
Outra forma de Outra forma de apresentação da taxa de jurosapresentação da taxa de juros
é a unitária, que é igual a taxa percentualé a unitária, que é igual a taxa percentual
dividida por100, excluído o %:dividida por 100, excluído o %:
•• 0,15 a.m. - (a.m. s0,15 a.m. - (a.m. signiignifica afica ao mês).o mês).
•• 0,10 a.q. - 0,10 a.q. - (a.q. sig(a.q. significa ao nifica ao quadrimquadrimestre).estre).
O regime de juros será simples quandoO regime de juros será simples quando
o percentual de juros incidir apenas sobre oo percentual de juros incidir apenas sobre o
valor principal. Sobre os juros gerados a cadavalor principal. Sobre os juros gerados a cada
período não incidirão novos juros.período não incidirão novos juros. ValorValor
Principal ou simplesmente principal é o valorPrincipal ou simplesmente principal é o valor
inicial emprestado ou aplicado, antes deinicial emprestado ou aplicado, antes de
somarmos os juros. Transformando emsomarmos os juros. Transformando em
fórmulfórmula a temos:temos:
JJ⇒⇒ juro (R$)juro (R$)
CC⇒⇒ capital (R$)capital (R$)
ii⇒⇒ taxa taxa unitáriunitáriaa
tt⇒⇒ tempotempo
J = CJ = C ·· ii ·· tt Onde:Onde:
 Ismael Teixeira da Silva Ismael Teixeira da Silva
 MATEMÁTICA FINANCEIRA - Princípios Básicos MATEMÁTICA FINANCEIRA - Princípios Básicos 1010
Exemplo:Exemplo:
Temos uma dívida de R$ 1.000,00 que deveTemos uma dívida de R$ 1.000,00 que deve
ser paga com juros de 10% a.m. pelo regimeser paga com juros de 10% a.m. pelo regime
de juros simples e devemos pagá-la em 3de juros simples e devemos pagá-la em 3
meses. Os juros que pagarei e o total a sermeses. Os juros que pagarei e o total a ser
pago serão:pago serão:
Período Período Capital Capital Juro Juro TotalTotal
0 1.000,000 1.000,00
1º 1º mês mês 1.000,00 1.000,00 100,00 100,00 1.100,001.100,00
2º 2º mês mês 1.100,00 1.100,00 100,00 100,00 1.200,001.200,00
3º 3º mês mês 1.200,00 1.200,00 100,00 100,00 1.300,001.300,00
300,00 1.300,00300,00 1.300,00
O valor total a ser pago (R$ 1.300,00)O valor total a ser pago (R$ 1.300,00)
será denominadoserá denominado montante montante..
Utilizando as fórmulas acima temos:Utilizando as fórmulas acima temos:
J = J = CC ·· ii ·· tt⇒⇒ J = 1000J = 1000 ·· 0,10,1 ·· 33
M = C + JM = C + J⇒⇒M = 1.000,00 + 300,00M = 1.000,00 + 300,00
EXEXERCÍCIOS DE FIERCÍCIOS DE FIXAÇÃOXAÇÃO
1)1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 aCalcular os juros simples de R$ 1200,00 a
13 % a.t. por 4 meses e 15 dias.13 % a.t. por 4 meses e 15 dias.
2)2) Calcular os juros simples produzidos porCalcular os juros simples produzidos por
R$40.000,00, aplR$40.000,00, aplicados à taxa de icados à taxa de 36% a.a.,36% a.a.,
durante 125 durante 125 dias.dias.
3)3) Qual o capital que aplicado a juros simplesQual o capital que aplicado a juros simples
de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de jurosde 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros
em 75 dias?em 75 dias?
4)4) Se a taxa de uma aplicação é de 150% aoSe a taxa de uma aplicação é de 150% ao
ano, quantos meses serão necessários paraano, quantos meses serão necessários para
dobrar um capital aplicado através dedobrar um capital aplicado através de
capitalização simples?capitalização simples?
5)5) Uma aplicação de R$ 40.000,00 em letrasUma aplicação de R$ 40.000,00 em letras
de câmbio, pelo prazo de 180 dias, obtevede câmbio, pelo prazo de 180 dias, obteve
o rendimento de R$ 6.000,00. Qual a taxao rendimento de R$ 6.000,00. Qual a taxa
anual correspondente a essa aanual correspondente a essa apliplicação?cação?
6)6) Qual é o tempo em que um capital de R$Qual é o tempo em que um capital de R$
964.800,00 a 25% ao ano, rende R$ 793.950,00 de964.800,00 a 25% ao ano, rende R$ 793.950,00 de
 juro? juro?
7)7) Sabendo que o juro de R$ 1.200,00 foiSabendo que o juro de R$ 1.200,00 foi
obtido com a aplicação de R$ 1.500,00 àobtido com a aplicação de R$ 1.500,00 à
taxa de taxa de 8% ao trimestre, calcul8% ao trimestre, calcule o e o prazo.prazo.
8)8) Em quanto tempo um capital triplica deEm quanto tempo um capital triplica de
valor à taxa de valor à taxa de 20% ao ano?20% ao ano?
9)9) Sabendo que um capital foi duplicado emSabendo que um capital foi duplicado em
8 anos a juro simples, a que taxa foi8 anos a juro simples, a que taxa foi
empregado esse capital?empregado esse capital?
10)10) Determine o montante de uma aplicaçãoDetermine o montante de uma aplicação
de R$ 5.000,00, à taxa de 2% ao mês,de R$ 5.000,00, à taxa de 2% ao mês,
durante 2 anos.durante 2 anos.
11)11) A que taxa A que taxa anual deve ser aplianual deve ser aplicado ocado o
capital de R; 485.000 para capital de R; 485.000 para que acumulque acumulee
em 1 ano e 2 meses um montante de R$em 1 ano e 2 meses um montante de R$
6.547,50?6.547,50?
12)12) Determine a aplicação inicial que, à taxaDetermine a aplicação inicial que, à taxa
de 27% ao ano, acumulou em 3 anos, 2de 27% ao ano, acumulou em 3 anos, 2
meses e 20 dias um montante de R$meses e 20 dias um montante de R$
5.864,32.5.864,32.
13)13) Duas pessoas têm juntas R$ 2.616,40 eDuas pessoas têm juntas R$ 2.616,40 e
empregam o que têm à taxa de 40% aoempregam o que têm à taxa de 40% ao
ano. Após 2 anos, a primeira recebe R$ano. Após 2 anos, a primeira recebe R$
697,38 de juro a mais que a segunda. Qual697,38 de juro a mais que a segunda. Qual
o capital de cada uma?o capital de cada uma?
V – DESCONTO SIMPLESV – DESCONTO SIMPLES
Se uma pessoa deve uma quantia emSe uma pessoa deve uma quantia em
dinheiro numa data futura, é normal quedinheiro numa data futura, é normal que
entregue ao credor um título de crédito, que éentregue ao credor um título de crédito, que é
o comprovante dessa dívida.o comprovante dessa dívida.
Todo título de crédito tem uma data deTodo título de crédito tem uma data de
vencimento, porém, o devedor pode resgata-lovencimento, porém, o devedor pode resgata-lo
antecipadamente, obtendo com isso umantecipadamente, obtendo com isso um
abatimento denominadoabatimento denominado  desconto desconto. Essa. Essa
operação é uma das mais comuns aplicaçõesoperação é uma das mais comuns aplicações
da regra de juro.da regra de juro.
Os títulos de crédito mais utilizadosOs títulos de crédito mais utilizados
em operações financeiras são a notaem operações financeiras são a nota
promisspromissória, a ória, a dupliduplicata cata e a e a letra de câmbio.letra de câmbio.
M = C + JM = C + J ⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ M = CM = C ·· (1 + i(1 + i ·· t)t)
J = R$ 300,00J = R$ 300,00
M = R$ 1.300,00M = R$ 1.300,00
 Ismael Teixeira da Silva Ismael Teixeira da Silva
 MATEMÁTICA FINANCEIRA - Princípios Básicos MATEMÁTICA FINANCEIRA - Princípios Básicos 1111
 AA nota promissórianota promissória é um comprovante daé um comprovante da
aplicação de um capital com vencimentoaplicação de um capital com vencimento
predeterminado. É um título muito usadopredeterminado. É um título muito usado
entre pessoas físicas ou entre pessoasentre pessoas físicas ou entre pessoas
físicas e uma instituição financeira.físicas e uma instituição financeira.
 AA duplicataduplicata é um título emitido por umaé um título emitido por uma
pessoa jurídica contra seu cliente (pessoapessoa jurídica contra seu cliente (pessoa
física ou jurídica), para o qual ela vendeufísica ou jurídica), para o qual ela vendeu
mercadorias a prazo ou prestou serviços amercadorias a prazo ou prestou serviços a
serem pagos no futuro, segundo umserem pagos no futuro, segundo um
contrato.contrato.
 AA letra de câmbioletra de câmbio, assim como a nota, assim como a nota
promissória, é um comprovante de umapromissória, é um comprovante de uma
aplicação de capital com vencimentoaplicação de capital com vencimento
predeterminado; porém, é um título aopredeterminado; porém, é um título ao
portador, emitido exclusivamente por umaportador, emitido exclusivamente por uma
instituição financeira.instituição financeira.
Com relação aos títulos de crédito, podeCom relação aos títulos de crédito, pode
ocorrer:ocorrer:
 que o devedor efetue o pagamento antesque o devedor efetue o pagamento antes
do dia predeterminado. Neste caso, ele sedo dia predeterminado. Neste caso, ele se
beneficia com um abatimentobeneficia com um abatimento
correspondente ao juro que seria geradocorrespondente ao juro que seriagerado
por esse dinheiro durante o intervalo depor esse dinheiro durante o intervalo de
tempo que falta para tempo que falta para o vencimo vencimento;ento;
 que o credor necessite do seu dinheiroque o credor necessite do seu dinheiro
antes da data predeterminada. Neste caso,antes da data predeterminada. Neste caso,
ele pode vender o título de crédito a umele pode vender o título de crédito a um
terceiro e é justo que este último obtenhaterceiro e é justo que este último obtenha
um lucro, correspondente ao juro doum lucro, correspondente ao juro do
capital que adianta, no intervalo de tempocapital que adianta, no intervalo de tempo
que falta para o devedor liquidar oque falta para o devedor liquidar o
pagamento; assim, ele paga uma quantiapagamento; assim, ele paga uma quantia
menor que a fmenor que a fixada no título de crédito.ixada no título de crédito.
Em ambos os casos há um benefício,Em ambos os casos há um benefício,
definido pela diferença entre as duasdefinido pela diferença entre as duas
quantidades. Esse benefício, obtido de comumquantidades. Esse benefício, obtido de comum
acordo, recebe o nome deacordo, recebe o nome de  desconto. desconto.
Além disso:Além disso:
 dia de vencimentodia de vencimento é o dia fixado no títuloé o dia fixado no título
para o pagamento ou recebimento dapara o pagamento ou recebimento da
aplicação;aplicação;
 valor nominal (N)valor nominal (N) é o valor indicado noé o valor indicado no
título (importância á ser paga no dia dotítulo (importância á ser paga no dia do
vencimento);vencimento);
 valor atual (A)valor atual (A) é o líquido pago (oué o líquido pago (ou
recebido) antes recebido) antes do vencimento;do vencimento;
 tempo ou prazo (t)tempo ou prazo (t) é o número de diasé o número de dias
compreendido entre o dia em que secompreendido entre o dia em que se
negocia o título e o de seu vencimento,negocia o título e o de seu vencimento,
incluindo o primeiro e não o último, ou,incluindo o primeiro e não o último, ou,
então. incluindo, o último e não oentão. incluindo, o último e não o
primeiro.primeiro.
Assim:Assim:
O desconto pode ser feitoO desconto pode ser feito
considerando-se como capital o valor nominalconsiderando-se como capital o valor nominal
ou o valor atual. No primeiro caso, éou o valor atual. No primeiro caso, é
denominadodenominado desconto comercial  desconto comercial  (ou por fora).(ou por fora).
No segundo,No segundo,   desconto racional   desconto racional (ou por(ou por
dentro).dentro).
5.1. Desconto comercial5.1. Desconto comercial
Valor do desconto comercial:Valor do desconto comercial:
onde:onde:
dd⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ valor do desconto comercial (R$)valor do desconto comercial (R$)
NN⇒⇒ valor nominal do título (R$)valor nominal do título (R$)
ii⇒⇒ taxa taxa de desconto (unitária)de desconto (unitária)
tt⇒⇒ tempo de tempo de antecipaçantecipaçãoão
Como o valor atual (A) é a diferençaComo o valor atual (A) é a diferença
entre o valor nominal e o desconto, temos:entre o valor nominal e o desconto, temos:
Nota:Nota: O desconto comercial só deve serO desconto comercial só deve ser
empregado para períodos curtos, poisempregado para períodos curtos, pois
para prazos longos o valor do descontopara prazos longos o valor do desconto
pode até ultrapassar o valor nominal dopode até ultrapassar o valor nominal do
título.título.
Exemplos:Exemplos:
 Desconto é a quantia a ser abatida, isto é, Desconto é a quantia a ser abatida, isto é,
  a diferença entre o valor nominal e o  a diferença entre o valor nominal e o
valor atual.valor atual.
Chamamos de desconto comercial,Chamamos de desconto comercial,
  bancário ou por fora o equivalente ao  bancário ou por fora o equivalente ao
  juro simples produzido pelo valor  juro simples produzido pelo valor
  nominal do título no período de tempo  nominal do título no período de tempo
 corresponden correspondente e te e à taxa fixada.à taxa fixada.
ddCC = N= N ·· ii ·· tt
AACC = N – d= N – dCC ⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ AACC = N= N ·· (1 – i(1 – i ·· t)t)
 Ismael Teixeira da Silva Ismael Teixeira da Silva
 MATEMÁTICA FINANCEIRA - Princípios Básicos MATEMÁTICA FINANCEIRA - Princípios Básicos 1212
1)1) Uma promissória no valor de R$ 1.450,00Uma promissória no valor de R$ 1.450,00
vai ser resgatada 45 dias antes do seuvai ser resgatada 45 dias antes do seu
vencimento. Sendo a taxa de jurosvencimento. Sendo a taxa de juros
empregada igual a 3% am, calcule:empregada igual a 3% am, calcule:
a)a) o valor do desconto comercial;o valor do desconto comercial;
b)b) o valor atual do título.o valor atual do título.
N = 1.450,00N = 1.450,00
T = 45 d = 1,5 mT = 45 d = 1,5 m
i = 3% am = 0,03 ami = 3% am = 0,03 am
d = Nd = N ·· ii ·· tt
d = 1450d = 1450 ·· 0,030,03 ·· 1,51,5⇒⇒
A = N – d = A = N – d = 1450,00 – 65,251450,00 – 65,25
2)2) Uma duplicata de R$ 3.400,00 foiUma duplicata de R$ 3.400,00 foi
descontada 2 meses antes de seudescontada 2 meses antes de seu
vencimento por R$ 2.890,00. Sabendo quevencimento por R$ 2.890,00. Sabendo que
a taxa envolvida na transação foi de 36 %a taxa envolvida na transação foi de 36 %
aa, qual foi o tempo de aa, qual foi o tempo de antecipação?antecipação?
N = 3.400,00N = 3.400,00
t = 2 mt = 2 m
A = 2.890,00A = 2.890,00
i =i =
1212
3636
= 3 % am = 0,03 am= 3 % am = 0,03 am
A = N (1 – iA = N (1 – i ·· t)t)
2890 = 3400 (1 – 0,032890 = 3400 (1 – 0,03 ·· t)t)
0,85 = 1 – 0,030,85 = 1 – 0,03 ·· tt
0,030,03 ·· t = 0,15t = 0,15 ⇒⇒
5.2. Taxa de juro efetiva5.2. Taxa de juro efetiva
A taxa de juro que no A taxa de juro que no períodoperíodo tt torna otorna o
capitalcapital AA igual ao montanteigual ao montante NN é a taxa queé a taxa que
realmente está sendo cobrada na operação derealmente está sendo cobrada na operação de
desconto. Essa taxa é denominadadesconto. Essa taxa é denominada   taxa de  taxa de
 juro efetiva juro efetiva, que iremos representar por, que iremos representar por ii E E..
C = (1 + iC = (1 + i ·· t), mas, C = A e M = Nt), mas, C = A e M = N
A (1 + iA (1 + i ·· t) = Nt) = N⇒⇒ 1 + i1 + i ·· t =t =
AA
NN
ii ·· t =t =
AA
NN
– – 1 1 , , daí:daí:
Exemplo:Exemplo:
Uma promissória no valor de R$ 1.450,00 vaiUma promissória no valor de R$ 1.450,00 vai
ser resgatada 45 dias antes do seu vencimentoser resgatada 45 dias antes do seu vencimento
a uma taxa de 3% am. Sabendo que oa uma taxa de 3% am. Sabendo que o
desconto dado foi de R$ 65,25, calcule a taxadesconto dado foi de R$ 65,25, calcule a taxa
de juro efetiva.de juro efetiva.
N = 1.450,00N = 1.450,00
d = 65,25d = 65,25
t = 1,5 mt = 1,5 m
i = 3% am = 0,03 ami = 3% am = 0,03 am
A = 1.384,75A = 1.384,75
i =i =
5511757513841384
25256565
ttAA
dd
,,,,
,,
⋅⋅
==
⋅⋅
i = 0,0314i = 0,0314 ⇒⇒
5.3. Equivalência de capitais5.3. Equivalência de capitais
Às vezes temos necessidade deÀs vezes temos necessidade de
substituir um título (ou mais) por outro (ou,substituir um título (ou mais) por outro (ou,
outros) com vencimento diferente ou. ainda,outros) com vencimento diferente ou. ainda,
de saber se duas formas de pagamento sãode saber se duas formas de pagamento são
equivalentes.equivalentes.
Esses problemas estão afetos, de modoEsses problemas estão afetos, de modo
geral, à equivalência de capitais diferidos –geral, à equivalência de capitais diferidos –
capitais cujos vencimentos têm datascapitais cujos vencimentos têm datas
diferentes.diferentes.
Dizemos que dois ou mais capitaisDizemos que dois ou mais capitais
diferidos são equivalentes, em certa época,diferidos são equivalentes, em certa época,
quando seus valores atuais, nessa época, sãoquando seus valores atuais, nessa época, são
iguais.iguais.
A solução deste tipo de problemaA solução deste tipo de problema
consiste em estabelecer uma data - data deconsiste em estabelecer uma data - data de
comparação - e comparação - e comparar os valores atuais docomparar os valores atuais doss
títultítulos em questão, os em questão, nessa data. nessa data. Se resultar umaSe resultar uma
igualdade, podemos concluir que essesigualdade, podemos concluir que essescapitais diferidos são equivalentes.capitais diferidos são equivalentes.
No regime de juro simples, essa dataNo regime de juro simples, essa data
de comparação deve ser ade comparação deve ser a  data zero data zero, isto é, a, isto é, a
data em que a dívida foi contraída; istodata em que a dívida foi contraída; isto
porque, neste rporque, neste regiegime, não podemos fracionar ome, não podemos fracionar o
prazo de aplicação, já que o juro é admitidoprazo de aplicação, já que o juro é admitido
como sendo formado no fim do período decomo sendo formado no fim do período de
aplicação.aplicação.
Assim, ao substituirmos títulos,Assim, ao substituirmos títulos,
sea para adiar ou para antecipar, devemossea para adiar ou para antecipar, devemos
recuar à data zero e depois disso recalcularrecuar à data zero e depois disso recalcular
d = R$ 65,25d = R$ 65,25
A = R$ 1.384,75A = R$ 1.384,75
t = 5 mesest = 5 meses
iiEE ==
ttAA
dd
⋅⋅
iiEE = 3,14 %= 3,14 %
 Ismael Teixeira da Silva Ismael Teixeira da Silva
 MATEMÁTICA FINANCEIRA - Princípios Básicos MATEMÁTICA FINANCEIRA - Princípios Básicos 1313
para a data prevista para o pagamento do novopara a data prevista para o pagamento do novo
título.título.
Exemplo:Exemplo:
Quero substituir um título de R$ 5.000,00,Quero substituir um título de R$ 5.000,00,
vencível em 2 meses por outros dois devencível em 2 meses por outros dois de
valores iguais com vencimentos para daqui avalores iguais com vencimentos para daqui a
45 dias e 90 dias. Sendo a taxa de 2,4 % am,45 dias e 90 dias. Sendo a taxa de 2,4 % am,
qual o valor nominal de cada um dos novosqual o valor nominal de cada um dos novos
títulos?títulos?
N = 5.000,00N = 5.000,00
t = 2 mt = 2 m
i = 2,4 % am = 0,024 ai = 2,4 % am = 0,024 amm
t’ = 45 d = 1,5 mt’ = 45 d = 1,5 m
t” = 90 d = 3 mt” = 90 d = 3 m
N’= N”N’= N”
ΣΣA =A = ΣΣ A’A’
N (1 – iN (1 – i ·· t) = N’ (1 – it) = N’ (1 – i ·· t’) + N” (1 – it’) + N” (1 – i ·· t”)t”)
5000 (1 – 0,0245000 (1 – 0,024 ·· 2) = N’ (1 – 0,0242) = N’ (1 – 0,024 ·· 1,5) +1,5) +
N’(1 – 0,024N’(1 – 0,024 ·· 3)3)
47600 = 0,964 N’ + 0,977 N’47600 = 0,964 N’ + 0,977 N’
N’ =N’ =
94194111
4760047600
,,
⇒⇒
5.4. Desconto racional5.4. Desconto racional
Nota:Nota: Na prática, somente o descontoNa prática, somente o desconto
comercial é utilizado; porém, écomercial é utilizado; porém, é
necessário fazermos um rápido estudonecessário fazermos um rápido estudo
do desconto racional porque, comodo desconto racional porque, como
veremos adiante, o desconto compostoveremos adiante, o desconto composto
está ligado a esse conceito.está ligado a esse conceito.
Valor do desconto racional:Valor do desconto racional:
onde:onde:
dd⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ valor do desconto comercial (R$)valor do desconto comercial (R$)
NN⇒⇒ valor nominal do título (R$)valor nominal do título (R$)
ii⇒⇒ taxa taxa de desconto (unitária)de desconto (unitária)
tt⇒⇒ tempo de tempo de antecipaçantecipaçãoão
Como o valor atual (A) é a diferençaComo o valor atual (A) é a diferença
entre o valor nominal e o desconto, temos:entre o valor nominal e o desconto, temos:
AARR = N – d= N – dRR ⇒⇒ ttii11
ttiiNN
ddRR
⋅⋅++
⋅⋅⋅⋅
==
Substituindo as duas expressões acima, temos:Substituindo as duas expressões acima, temos:
ttii11
NN
AA RR
⋅⋅++
==
Exemplo:Exemplo:
Uma promissória no valor de R$ 1.450,00 vaiUma promissória no valor de R$ 1.450,00 vai
ser resgatada 45 dias aser resgatada 45 dias antes do seu vencimento.ntes do seu vencimento.
Sendo a taxa de juros empregada igual a 3%Sendo a taxa de juros empregada igual a 3%
am, calcule:am, calcule:
a)a) o valor do o valor do desconto racional;desconto racional;
b)b) o valor atual do título.o valor atual do título.
N = 1.450,00N = 1.450,00
T = 45 d = 1,5 mT = 45 d = 1,5 m
i = 3% am = 0,03 ami = 3% am = 0,03 am
d =d =
551103030011
551103030014501450
ttii11
ttiiNN
,,,,
,,,,
⋅⋅++
⋅⋅⋅⋅
==
⋅⋅++
⋅⋅⋅⋅
d =d =
04504511
25256565
,,
,,
⇒⇒
A = N – d A = N – d = 1450,00 – 62,44= 1450,00 – 62,44
Nota:Nota: Sempre que o tipo de desconto não forSempre que o tipo de desconto não for
explicitado, adotaremos o descontoexplicitado, adotaremos o desconto
comercial.comercial.
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃOEXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1)1) 0 valor atual de um título de R$ 0 valor atual de um título de R$ 4.800,00 é4.800,00 é
R$ 4.380,00. Sabendo que a taxa bancáriaR$ 4.380,00. Sabendo que a taxa bancária
de desconto é de 3,5% ao mês, qual ode desconto é de 3,5% ao mês, qual o
tempo de atempo de antecintecipação?pação?
mesesmeses0 1 2 30 1 2 3
N’ = N” = R$24.523,44N’ = N” = R$24.523,44
ChamChamamos de desconto amos de desconto racional ou porracional ou por
 dentro o equivalente ao  dentro o equivalente ao juro produzidojuro produzido
 pelo valor at pelo valor atual do título numa taxa fixadaual do título numa taxa fixada
e durante o te durante o tempo correspondenempo correspondente.te.
ddRR = A= A ·· ii ·· tt
A = R$ 1.387,56A = R$ 1.387,56
d = R$ 62,44d = R$ 62,44
 Ismael Teixeira da Silva Ismael Teixeira da Silva
 MATEMÁTICA FINANCEIRA - Princípios Básicos MATEMÁTICA FINANCEIRA - Princípios Básicos 1414
2)2) Uma empresa possui um titulo cujo valorUma empresa possui um titulo cujo valor
nominal é de R$ 70.000,00, comnominal é de R$ 70.000,00, com
vencimento daqui a 150 dias. Quantos diasvencimento daqui a 150 dias. Quantos dias
antes do vencimento deve descontá-lo àantes do vencimento deve descontá-lo à
taxa comercial de 36 % aa, para que possataxa comercial de 36 % aa, para que possa
adquirir mercadorias no valor de R$adquirir mercadorias no valor de R$
67.900,00?67.900,00?
3)3) Um comerciante vai a um banco eUm comerciante vai a um banco e
desconta uma nota promissória para 90desconta uma nota promissória para 90
dias, à taxa de 3 % ao mês, mais 1,5% dedias, à taxa de 3 % ao mês, mais 1,5% de
comissão. Sabendo que o líquido creditadocomissão. Sabendo que o líquido creditado
para o comerciante foi de R$ 17.900,00,para o comerciante foi de R$ 17.900,00,
qual o valor da promissória?qual o valor da promissória?
4)4) Um título de R$ 2.700,00 foi descontadoUm título de R$ 2.700,00 foi descontado
faltando 60 dias para o vencimento dofaltando 60 dias para o vencimento do
mesmo. Sabendo que o desconto foi de R$mesmo. Sabendo que o desconto foi de R$
180,00, calcule a taxa de desconto e a taxa180,00, calcule a taxa de desconto e a taxa
de juro efetiva.de juro efetiva.
5)5) Sou portador de duas notas promissórias,Sou portador de duas notas promissórias,
uma de R$ 80.000,00 vencível em 150uma de R$ 80.000,00 vencível em 150
dias, e outra de R$ 40.000,00 vencível emdias, e outra de R$ 40.000,00 vencível em
120 dias. Pretendendo descontá-las dentro120 dias. Pretendendo descontá-las dentro
de 90 dias, qual o valor a ser recebido, àde 90 dias, qual o valor a ser recebido, à
taxa de taxa de desdesconto de 3,5% ao conto de 3,5% ao mês?mês?
6)6) Um título no valor nominal de R$Um título no valor nominal de R$
70.000,00 pagável em 50 dias vai ser70.000,00 pagável em 50 dias vai ser
substisubstituído por outro tuído por outro com vencimento parcom vencimento paraa
120 dias. Sabendo que o credor pode120 dias. Sabendo que o credor pode
resgatar o título à taxa de 36% ao ano,resgatar o título à taxa de 36% ao ano,
determine o valor nominal do novo título.determine o valor nominal do novo título.
7)7) Um comerciante descontou dois títulos emUm comerciante descontou dois títulos em
um banco: um de R$ 1.200,00 para 120um banco: um de R$ 1.200,00 para 120
dias, e outro de R$ 1.000,00 para 150 dias.dias, e outro de R$ 1.000,00 para 150 dias.
Desejando substitui-los por um títuloDesejando substitui-los por um título
único com vencimento para 90 dias,único com vencimento para 90 dias,
calcule o valor nominal deste último,calcule o valor nominal deste último,
supondo que a taxa de desconto de 42% aosupondo que a taxa de desconto de 42% ao
ano permaneça ano permaneça inalinalterada.terada.
8)8) Um microempresário tem três títulos, deUm microempresário tem três títulos, de
R$ 2.000,00, R$ 1.200,00 e R$ 2.800,00,R$ 2.000,00,R$ 1.200,00 e R$ 2.800,00,
descontados descontados em um em um banco banco e e comcom
vencimentos para 90, 150 e 180 dias,vencimentos para 90, 150 e 180 dias,
respectivamente. Desejando substitui-losrespectivamente. Desejando substitui-los
por dois outros de valores nominais iguaispor dois outros de valores nominais iguais
para 60 e para 60 e 120 dias, cal120 dias, calcule o valor nocule o valor nomiminalnal
comum, supondo que a taxa de descontocomum, supondo que a taxa de desconto
seja de 3,2% ao mês para as transaçõesseja de 3,2% ao mês para as transações
desse tipo.desse tipo.
9)9) Determine o desconto racional de umaDetermine o desconto racional de uma
promisspromissória de R$ ória de R$ 3.200,00, à taxa de 40%3.200,00, à taxa de 40%
ao ano, resgatada 75 dias antes doao ano, resgatada 75 dias antes do
vencimento.vencimento.
10)10) Uma duplicata foi descontada pelo valorUma duplicata foi descontada pelo valor
de R$ 2.343,75 cinqüenta dias antes de de R$ 2.343,75 cinqüenta dias antes de seuseu
vencimento, à taxa racional de 45% aovencimento, à taxa racional de 45% ao
ano. Qual o seu valor nominal?ano. Qual o seu valor nominal?
11)11) Ao pagar um título de R$ 3.600,00 comAo pagar um título de R$ 3.600,00 com
antecipação de 90 dias, recebe umantecipação de 90 dias, recebe um
desconto racional de R$ 486,00. Qual é adesconto racional de R$ 486,00. Qual é a
taxa de taxa de descondesconto?to?
VI – JURO COMPOSTOVI – JURO COMPOSTO
O regime de juros compostos é o maisO regime de juros compostos é o mais
comum no sistema financeiro e portanto, ocomum no sistema financeiro e portanto, o
mais útil para cálculos de problemas do dia-a-mais útil para cálculos de problemas do dia-a-
dia. Os juros gerados a cada período sãodia. Os juros gerados a cada período são
incorporados ao principal para o cálculo dosincorporados ao principal para o cálculo dos
 juros do período seguinte. juros do período seguinte.
Chamamos de capitalização oChamamos de capitalização o
mommomento em ento em que os juros são que os juros são incorporados aoincorporados ao
principal.principal.
Vejamos um exemplo: um capital deVejamos um exemplo: um capital de
R$ 100,00, aplicado a 2 % am, durante trêsR$ 100,00, aplicado a 2 % am, durante três
meses, tem a seguinte evolução:meses, tem a seguinte evolução:
Mês Mês Juro Juro MontanteMontante
0 100,000 100,00
1 1 2,00 2,00 102,00102,00
2 2 2,04 2,04 104,04104,04
3 3 2,08 2,08 106,12106,12
Assim:Assim:
M = C x (1 + M = C x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)i)
Como o juro é a diferença entre oComo o juro é a diferença entre o
montante e o capital temos:montante e o capital temos:
 Juro compos Juro composto é aquele to é aquele que em cadaque em cada
 período financeiro, a partir do  período financeiro, a partir do segundo, ésegundo, é
 calculado sobre o montante relativo do calculado sobre o montante relativo do
 período anterior. período anterior.
M = C (1 + i)M = C (1 + i) tt
 Ismael Teixeira da Silva Ismael Teixeira da Silva
 MATEMÁTICA FINANCEIRA - Princípios Básicos MATEMÁTICA FINANCEIRA - Princípios Básicos 1515
Exemplo:Exemplo:
1)1) Calcule o montante de um capital deCalcule o montante de um capital de
R$6.000,00, aplicado a juros compostos,R$6.000,00, aplicado a juros compostos,
durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês.mês.
C = R$6.000,00C = R$6.000,00
t = 1 t = 1 ano = 12 mesesano = 12 meses
i = 3,5 % a.m. = 0,035i = 3,5 % a.m. = 0,035
M = CM = C·· (1 + i)(1 + i)tt
M = 6000M = 6000··(1+0,035)12 = 6000(1+0,035)12 = 6000··(1,035)(1,035)1212
2)2) Um capital de R$ 2.000,00, aplicado emUm capital de R$ 2.000,00, aplicado em
regimregime de juro coe de juro composmposto a 5 to a 5 % am, produz% am, produz
um montante de R$ 2.205,00. Quantoum montante de R$ 2.205,00. Quanto
tempo durou a aplicação?tempo durou a aplicação?
C = 2.000,00C = 2.000,00
i = 5 % am = 0,05 ami = 5 % am = 0,05 am
M = 2.205,00M = 2.205,00
M = C (1 + i)M = C (1 + i) tt
2205 = 2000 (1 + 2205 = 2000 (1 + 0,05)0,05)tt
1,1025 = 1,051,1025 = 1,05tt ⇒⇒ aplicando logaritmo temos,aplicando logaritmo temos,
log 1,1025 = log 1,05log 1,1025 = log 1,05 tt
log 1,1025 = tlog 1,1025 = t ·· log 1,05log 1,05
t =t =
0212021200
0424042400
,,
,,
⇒⇒
6.1. Taxas equivalentes6.1. Taxas equivalentes
Duas taxas iDuas taxas i11 e e ii22 são equivalentes, sesão equivalentes, se
aplicadas ao mesmo Capitalaplicadas ao mesmo Capital PP durante odurante o
mesmo período de tempo, através demesmo período de tempo, através de
diferentes sistemas de capitalização,diferentes sistemas de capitalização,
produzem o mesmo montante final.produzem o mesmo montante final.
 Seja o capitalSeja o capital CC aplicado por um ano aaplicado por um ano a
uma taxa anual iuma taxa anual iaa..
 O montanteO montante MM ao final do período de 1ao final do período de 1
ano será iguano será igual a M = Pal a M = P(1 + i(1 + i aa).).
 Consideremos agora, o mesmo capitalConsideremos agora, o mesmo capital CC
aplicado por 12 meses a uma taxa mensalaplicado por 12 meses a uma taxa mensal
iimm..
 O montanteO montante M’M’ ao final do período de 12ao final do período de 12
meses smeses será igual a M’ = Perá igual a M’ = P(1 + i(1 + imm))
1212..
Pela definição de taxas equivalentesPela definição de taxas equivalentes
vista acima, deveremos tervista acima, deveremos ter M = M’.M = M’.
Portanto, C (1 + iPortanto, C (1 + iaa) = C (1 + i) = C (1 + imm))
1212
Daí concluímos queDaí concluímos que 1 + i1 + iaa = (1 + i= (1 + imm))1212
Com esta fórmula podemos calcular aCom esta fórmula podemos calcular a
taxa anual equivalente a uma taxa mensaltaxa anual equivalente a uma taxa mensal
conhecida.conhecida.
onde k é onde k é o período relativo.o período relativo.
Exemplos:Exemplos:
1)1) Qual a taxa anual equivalente a 8% aoQual a taxa anual equivalente a 8% ao
semestre?semestre?
Em um ano temos dois semestres, então k = 2:Em um ano temos dois semestres, então k = 2:
1 + i1 + iaa = (1 + i= (1 + iss))
22
1 + i1 + iaa = 1,08= 1,08
22
iiaa = 0,1664= 0,1664
2)2) Qual a taxa anual equivalente a 0,5% aoQual a taxa anual equivalente a 0,5% ao
mês?mês?
1 + i1 + iaa = (1 + i= (1 + imm))
1212
1 + i1 + iaa = (1,005)= (1,005)
1212
iiaa = 0,0617= 0,0617
6.2. Taxas nominais6.2. Taxas nominais
Normalmente o juro só é formado noNormalmente o juro só é formado no
final de cada período. Entretanto, sãofinal de cada período. Entretanto, são
freqüentes, na freqüentes, na prátiprática, ca, enuncienunciados do ados do tipo:tipo:
 Juros de 25 % aa capitalizadosJuros de 25 % aa capitalizados
trimestralmente.trimestralmente.
 Juros de 174,5 % aa capitalizadosJuros de 174,5 % aa capitalizados
mensalmente.mensalmente.
Tais enunciados caracterizam o que seTais enunciados caracterizam o que se
convencionou chamarconvencionou chamar taxas nominais taxas nominais ..
Para resolvermos problemas quePara resolvermos problemas que
trazem em seu enunciado uma taxa nominal,trazem em seu enunciado uma taxa nominal,
adotamos, por convenção, que a taxa poradotamos, por convenção, que a taxa por
J = M – CJ = M – C ⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ J = C [(1 + i)J = C [(1 + i)tt – 1]– 1]
M = R$9.054,00M = R$9.054,00
t = 2 mesest = 2 meses
1 + i = (1 + i’)1 + i = (1 + i’)kk
iiaa = 16,64% a.a= 16,64% a.a
iiaa = = 6,17% a.a= = 6,17% a.a
Taxa nominal é aquela cujo período deTaxa nominal é aquela cujo período de
 capitalização não coincide com aquele a capitalização não coincide com aquele a
que ela se refere.que ela se refere.
 Ismael Teixeira da Silva Ismael Teixeira da Silva
 MATEMÁTICA FINANCEIRA - Princípios Básicos MATEMÁTICA FINANCEIRA - Princípios Básicos 1616
período de capitalização seja proporcional àperíodo de capitalização seja proporcional à
taxa nominal.taxa nominal.
Exemplo:Exemplo:
Qual o montante de um capital de R$Qual o montante de um capital de R$
2.500,00, no fim de 2 anos, com juros de 18 %2.500,00, no fim de 2 anos, com juros de 18 %
aa capitalizados trimestralmente?aa capitalizados trimestralmente?
C = 2.500,00C =2.500,00
t = 2 a = 8 tt = 2 a = 8 t
i = 18 % aa i = 18 % aa = 4,5 % at = = 4,5 % at = 0,045 at0,045 at
M = C (1 + i)M = C (1 + i)tt
M = 2500 (1 + 0,045)M = 2500 (1 + 0,045)88
6.3. Taxa efetiva6.3. Taxa efetiva
É evidente que, ao adotarmos aÉ evidente que, ao adotarmos a
convenção, a taxa anual paga não é aconvenção, a taxa anual paga não é a
oferecida e, sim, maior. Essa é aoferecida e, sim, maior. Essa é a  taxa efetiva. taxa efetiva.
Quando oferecemos 10 % ao ano eQuando oferecemos 10 % ao ano e
capitalizamos bimestralmente a 2 % é, comocapitalizamos bimestralmente a 2 % é, como
vimvimos, a tos, a taxa nominal. Aaxa nominal. A taxa efetivataxa efetiva é a taxaé a taxa
anual equivalente a 2 % bimestrais. Logo,anual equivalente a 2 % bimestrais. Logo,
1 + i1 + iEE = (1 + 0,02)= (1 + 0,02)
66
1 + i1 + iEE = 1,126= 1,126 ⇒⇒
6.4. Taxa real e taxa aparente6.4. Taxa real e taxa aparente
Taxa aparenteTaxa aparente é aquela que vigora nasé aquela que vigora nas
operações correntes. Quando não há inflação,operações correntes. Quando não há inflação,
a taxa aparente é igual à taxa real; porém,a taxa aparente é igual à taxa real; porém,
quando há inflação, a taxa aparente é formadaquando há inflação, a taxa aparente é formada
por dois componentes: um correspondente àpor dois componentes: um correspondente à
inflinflação e ação e outro correspondente ao juro real.outro correspondente ao juro real.
Sendo:Sendo:
iiRR⇒⇒ taxa realtaxa real
iiAA⇒⇒ taxa aparentetaxa aparente
iiII⇒⇒ taxa de inflaçãotaxa de inflação
temos,temos,
Exemplo:Exemplo:
Qual deve ser a taxa aparente correspondenteQual deve ser a taxa aparente correspondente
a uma taxa real de 0,5 % am e a uma inflaçãoa uma taxa real de 0,5 % am e a uma inflação
de 5 % no de 5 % no período?período?
iiRR = 0,5% am = 0,005 am= 0,5% am = 0,005 am
iiII = 5 % am = 0,05 am= 5 % am = 0,05 am
1 + i1 + iAA = (1 + i= (1 + iRR)) ·· (1 + i(1 + iII))
1 + i1 + iAA = (1 + 0,005)= (1 + 0,005) ·· (1 + 0,05)(1 + 0,05)
1 + i1 + iAA = 1,05525= 1,05525 ⇒⇒
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃOEXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1)1) Calcule o montante de uma aplicação deCalcule o montante de uma aplicação de
R$ 8.200,00, por um prazo de 8 meses, noR$ 8.200,00, por um prazo de 8 meses, no
regime de juro composto, à taxa de 1,5%regime de juro composto, à taxa de 1,5%
ao mês.ao mês.
2)2) Calcule o montante do capital de R$Calcule o montante do capital de R$
75.000,00, colocado a juros compostos à75.000,00, colocado a juros compostos à
taxa de 2,75 % taxa de 2,75 % ao ao mês, no mês, no fim fim de 6 meses.de 6 meses.
3)3) Qual o montante produzido por R$Qual o montante produzido por R$
12.000,00 em regime de juro composto, à12.000,00 em regime de juro composto, à
taxa de 2% am durante 40 meses?taxa de 2% am durante 40 meses?
4)4) Determine a taxa mensal equivalente a 0,2Determine a taxa mensal equivalente a 0,2
% ao dia.% ao dia.
5)5) Determine a taxa anual correspondente aDetermine a taxa anual correspondente a
7,45 % am.7,45 % am.
6)6) Uma taxa nominal de 18 % aa éUma taxa nominal de 18 % aa é
capitalizada semestralmente. Calcule acapitalizada semestralmente. Calcule a
taxa efetiva.taxa efetiva.
7)7) Um banco emprestou a importância de R$Um banco emprestou a importância de R$
35.000,00 por 2 anos. Sabendo que o35.000,00 por 2 anos. Sabendo que o
banco cobra a taxa de 36 % aa, combanco cobra a taxa de 36 % aa, com
capitalização trimestral, qual a taxa efetivacapitalização trimestral, qual a taxa efetiva
anual e qual o montante a ser pago ao finalanual e qual o montante a ser pago ao final
de 2 anos?de 2 anos?
8)8) Qual deve ser a taxa aparenteQual deve ser a taxa aparente
correspondente a uma taxa real de 1,5 %correspondente a uma taxa real de 1,5 %
am e a uma inflação de 8 % no mesmoam e a uma inflação de 8 % no mesmo
período?período?
9)9) Uma financeira cobra uma taxa aparenteUma financeira cobra uma taxa aparente
de 22% aa, com a intenção de ter umde 22% aa, com a intenção de ter um
retorno real correspondente a uma taxa deretorno real correspondente a uma taxa de
9% aa. Qual é a 9% aa. Qual é a taxa de infltaxa de inflação?ação?
M = R$ 3.555,25M = R$ 3.555,25
iiEE = 12,6 % aa= 12,6 % aa
1 + i1 + iAA = (1 + i= (1 + iRR)) ·· (1 + i(1 + iII))
iiAA = 5,525 % am= 5,525 % am
 Ismael Teixeira da Silva Ismael Teixeira da Silva
 MATEMÁTICA FINANCEIRA - Princípios Básicos MATEMÁTICA FINANCEIRA - Princípios Básicos 1717
10)10) A que taxa bimestral devo aplicar o meuA que taxa bimestral devo aplicar o meu
capital, de modo a obter um total de jurocapital, de modo a obter um total de juro
igual a 50% do capital aplicado no fim deigual a 50% do capital aplicado no fim de
8 meses?8 meses?
11)11) O capital de R$ 9.200,00 foi colocado emO capital de R$ 9.200,00 foi colocado em
regime de capitalização composta duranteregime de capitalização composta durante
1 ano e 9 meses, à taxa de 36% ao ano.1 ano e 9 meses, à taxa de 36% ao ano.
Qual o montante?Qual o montante?
12)12) A caderneta de poupança paga juro de 6%A caderneta de poupança paga juro de 6%
ao ano capitalizado trimestralmente. Qualao ano capitalizado trimestralmente. Qual
a taxa efetiva de juro?a taxa efetiva de juro?
13)13) Durante quanto tempo R$ 2.500,00Durante quanto tempo R$ 2.500,00
produzem R$ 1.484,60 de juro, a 24% aoproduzem R$ 1.484,60 de juro, a 24% ao
ano, capitalizado trimestralmente?ano, capitalizado trimestralmente?
14)14) Calcule o montante de uma aplicação deCalcule o montante de uma aplicação de
R$ 12.000,00, à taxa de juro de 22% aoR$ 12.000,00, à taxa de juro de 22% ao
ano, capitalizado semestralmente, duranteano, capitalizado semestralmente, durante
21 meses.21 meses.
VII – DESCONTO COMPOSTOVII – DESCONTO COMPOSTO
O conceito deO conceito de descontodesconto no regime deno regime de
capitalização composta é o mesmo docapitalização composta é o mesmo do
desconto simples:é o abatimento que obtemosdesconto simples:é o abatimento que obtemos
ao saldar um compromisso antes de seuao saldar um compromisso antes de seu
vencimento.vencimento.
Empregamos o desconto composto paraEmpregamos o desconto composto para
operações a longo prazo, já que a aplicação dooperações a longo prazo, já que a aplicação do
desconto simples comercial, para esses casos,desconto simples comercial, para esses casos,
pode levar-nos a resultados sem nexo.pode levar-nos a resultados sem nexo.
Analogamente ao caso do descontoAnalogamente ao caso do desconto
simples, temos dois tipos de descontosimples, temos dois tipos de desconto
composto: o racional e o comercial, mascomposto: o racional e o comercial, mas
ficaremos restritos ao estudo do descontoficaremos restritos ao estudo do desconto
composto comercial.composto comercial.
Assim, temos:Assim, temos:
ttii11
NN
AA
))(( ++
==
Como o desconto é a diferença entre oComo o desconto é a diferença entre o
valor nominal e o valor atual, temos:valor nominal e o valor atual, temos:
Exemplo:Exemplo:
1)1) DeterminDetermine o valor e o valor atual de um título de R$atual de um título de R$
8.000,00, saldado 4 meses antes de seu8.000,00, saldado 4 meses antes de seu
vencimento, à taxa de descontovencimento, à taxa de desconto
(composto) de 2 % am.(composto) de 2 % am.
N = 8.000,00N = 8.000,00
t = 4 mt = 4 m
i = 2% ami = 2% am
A =A =
0824082411
80008000
02020011
80008000
44 ,,)),,((
==
++
7.1. 7.1. Equivalência Equivalência de de capitais difcapitais diferidoseridos
Quando do estudo de desconto emQuando do estudo de desconto em
regime de juro simples, vimos que dois ouregime de juro simples, vimos que dois ou
mais capitais diferidos são equivalentes, emmais capitais diferidos são equivalentes, em
certa época, quando seus valores atuais, nessacerta época, quando seus valores atuais, nessa
época, são iguais.época, são iguais.
Vimos, ainda, que em regime deVimos, ainda, que em regime de
capitalicapitalização simples essa data zação simples essa data de comparaçãode comparação
deve coincidir com a data zero. Em regime dedeve coincidir com a data zero. Em regime de
capitalização composta, a data