Equações do 2 Grau (Resumo)

Prévia do material em texto

O número 𝛥 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐, é chamado de 
discriminante da equação. 
• Se Δ < 0, a equação não solução (raiz) raiz real. 
• Se Δ = 0 a equação possui uma única raiz real. 
• Se Δ > 0 a equação tem duas raízes reais. 
 
Para 𝑥 = −5 temos: 
(−5)2 − 25 = 0 
⇒ 25 − 25 = 0 
⇒ 0 = 0 
Solução correta. 
Para 𝑥 = 5 temos: 
52 − 25 = 0 
⇒ 25 − 25 = 0 
⇒ 0 = 0 
Solução correta. 
 
Equação do 2° Grau 
 
Def.: Denomina-se equação do 2º grau com uma incógnita (𝑥), a equação que pode ser reduzida 
à forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 com 𝑎 ≠ 0. 
 
Obs.: os números reais 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são os coeficientes da equação do 2º grau. 
 
 Exemplos 
 
a) 𝑥2 − 25 = 0 b) 3𝑥2 + 15𝑥 = 0 c) 𝑥2 + 4𝑥 − 21 = 0 
 
Obs.: uma equação do 2º grau é chamada de completa quando os coeficientes 𝑏 e 𝑐 são diferentes de zero e é 
chamada de incompleta quando 𝑏 = 0 ou 𝑐 = 0, ao, ainda, 𝑏 = 𝑐 = 0. 
 
 Resolvendo uma equação do 𝟐º grau 
 
A solução (𝑥) ou raízes da equação do 2º pode ser obtida pela seguinte equação: 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
 
 
 
Obs.: quando temos uma equação incompleta, pode ser mais simples resolver a equação isolando a incógnita (𝑥). 
 
 
a) 𝑥2 − 25 = 0 
 
Como se trata de uma equação incompleta, pois 𝑏 = 0, podemos resolver a equação 
isolando a incógnita (𝑥) no primeiro membro (lado direito da igualdade) da equação. 
 
𝑥2 − 25 = 0 
⇒ 𝑥2 = 25 
⇒ 𝑥 = ±√25 
⇒ 𝑥 = ±5 
 
Logo, 𝑥 = −5 ou 𝑥 = 5 são as 
soluções da equação 𝑥2 − 25 = 0. 
verificando se as soluções encontradas são corretas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 3𝑥2 + 15𝑥 = 0 
 
Visto que se trata de uma equação incompleta, uma vez que, 𝑐 = 0, podemos resolver a 
equação fatorando o primeiro membro (lado direito da igualdade) da equação e em seguida, o 
isolar a incógnita (𝑥). 
 
3𝑥2 + 15𝑥 = 0 
⇒ 𝑥(3𝑥 + 15) = 0 
 
Assim temos 𝑥 = 0 ou 3𝑥 + 15 = 0. 
 
3𝑥 + 15 = 0 
⇒ 3𝑥 = −15 
⇒ 𝑥 =
−15
3
 
⇒ 𝑥 = −5 
 
Portanto, 𝑥 = 0 e 𝑥 = −5 são as soluções para a equação 3𝑥2 + 15𝑥 = 0. 
 
 
c) 𝑥2 + 4𝑥 − 21 = 0 
 
Para resolvermos essa equação, utilizaremos a equação 𝑥 =
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
, no qual, 𝑎 = 1, 
𝑏 = 4 e 𝑐 = −21. Substituindo esses valores temos: 
 
𝑥 =
−4 ± √42 − 4 ∙ 1 ∙ (−21)
2 ∙ 1
 
⇒ 𝑥 =
−4 ± √16 − (−84)
2
 
⇒ 𝑥 =
−4 ± √100
2
 
⇒ 𝑥 =
−4 ± 10
2
 
 
Assim temos duas soluções: 
 
𝑥 =
−4 − 10
2
 
⇒ 𝑥 =
−14
2
 
⇒ 𝑥 = −7 
 
𝑥 =
−4 + 10
2
 
⇒ 𝑥 =
6
2
 
⇒ 𝑥 = 3 
Desse modo, 𝑥 = −7 e 𝑥 = 3 são as soluções para a equação 𝑥2 + 4𝑥 − 21 = 0.