Equações e Inequações de 1º e 2º Graus-2

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18/06/2020 Equações e Inequações de 1º e 2º Graus
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Lição 02
Equações e Inequações de 1º e 2º
Graus
Matemática
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1. Introdução
Em matemática, usamos uma letra para representar valores que não conhecemos e essa letra é
chamada Incógnita da equação ou da inequação.
Denominamos como equações toda sentença matemática aberta, com uma incógnita, expressa com
uma igualdade e como uma inequação, expressa por uma desigualdade (sinal de maior ou menor).
As equações e inequações apresentam algebricamente situações de problemas do nosso cotidiano
para que a solução possa ser encontrada.
Para que isso aconteça, vocês devem relembrar as propriedades aritméticas e algébricas já
estudadas e fazer sua análise e seu desenvolvimento.
2. Equação de primeiro grau
A equação de primeiro grau tem a forma ax = b = 0, onde a e b são números conhecidos e a ≠ 0; se
resolve de maneira simples:
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No entanto, vale ressaltar que, para resolver a equação de primeiro grau, deve-se apenas isolar a
incógnita no primeiro membro e restante dos números no segundo membro, para que seja
encontrado o conjunto solução.
São exemplos de equações de 1º grau:
Todas as equações acima são equações de primeiro grau, pois a incógnita “x” está elevada à
potência 1. Assim, mesmo que não apresente diretamente a forma , tem a incógnita elevada à
potência 1, assim, é uma equação de 1º grau.
Vamos resolvê-las:
Considerando a resolução de uma equação, todas elas precisam de um Conjunto Verdade. Este
conjunto é usualmente representado por V. O conjunto verdade também é conhecido por conjunto
Solução, representado por S.
Temos conjunto verdade da equação resolvida abaixo:
Em relação à letra b, verificamos que temos incógnita dos dois membros da igualdade. Assim:
Para resolver, isolamos x no primeiro membro e números no segundo membro.
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Assim, x = 11/4 é o único valor que numérico que faz da equação de primeiro grau dada verdadeira.
Os elementos do conjunto verdade de uma equação são chamados Raízes da equação. No caso de
uma equação de primeiro grau, encontramos apenas uma raiz. Apenas um valor que faz da equação
verdade.
Continuando a resolução das equações:
Para resolução da letra d, devemos observar que os coeficientes são números reais, representados
na forma de fração, para isso, é necessário igualar denominares, tirando M.M.C..
Mais um exemplo:
Resolver a equação de primeiro grau dada abaixo:
5(x - 1) + 2(2x - 3) = -2
Neste exemplo, antes de isolar variável, devemos iniciar pela propriedade distributiva da
multiplicação.
5x - 5 +4x - 6 = - 2
9x = -2 + 11
9x = 9
x = 1
V = {1}
As equações estão presentes em diversas situações do nosso cotidiano. 
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Podemos utilizá-las desde o cálculo de uma simples corrida de táxi, relacionando a quantidade de
quilômetros rodados (variável independente) com o preço total pago ao final da corrida (variável
dependente), no cálculo do ponto de equilíbrio de produção de empresas, estabelecendo uma
igualdade entre Receita e Custo, em relação da quantidade de produtos vendidos e até relacionando
peso de produtos que estão em uma balança.
 
Balança em desequilíbrio.
3. Equações de segundo grau
A equação de segundo grau tem a forma ax² + bx + c = 0, em que a, b e c são números reais
conhecidos, chamados de coeficientes, com a ≠ 0 e x sendo a incógnita.
As equações de segundo grau também são chamadas de equações quadráticas.
São exemplos de equações de segundo grau:
a) x² - 25 = 0
b) 2x² - 6x = 0
c) x² - 5x + 6 = 0
d) x(x - 1) = 3x - 4
e) 5x² + 4x + 1 = 0
Analisando as equações acima, percebemos que a letra a e a letra b são incompletas, ou seja, elas
têm o termo ax², porém não tem todos os coeficientes da equação quadrática.
Para ser uma equação quadrática, a equação não precisa estar completa e ter todos os coeficientes;
precisa apenas ter o termo ax², com a ≠ 0.
As equações de segundo grau incompletas, podem ser resolvidas, por fatoração.
Vamos resolvê-las e encontrar Suas Raízes. Lembrando que uma equação de segundo grau pode ter
até duas raízes reais diferentes.
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Para resolver a letra c, recorremos à famosa Fórmula de Bhaskara, já conhecida por todos, estudada
em outras formações.
A fórmula de Bhaskara é um método resolutivo para encontrarmos as raízes de equações do
segundo grau e temos:
Se a ax² + bx + c = 0, com a, b e c reais e a ≠ 0
Vamos à resolução da equação de segundo grau da letra c.
Vale relembrar que, se temos um número elevado ao quadrado, x², podemos encontrar dois valores
que fazem deste cálculo verdadeiro:
x.x = x² e (-x).(-x) = x²
Podemos encontrar solução de uma equação quadrática, através de radiciação.
x² = a
x = ± √a
x = -a e x = a
Temos dois valores de a que, substituídos em x², fazem da igualdade verdadeira.
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d) x(x - 1) = 3x - 4, esta equação, primeiramente, deve ser colocada na forma padrão ax² + bx + c =
0. Vamos usar propriedade distributiva.
Observe que o Discriminante (ou incremento) Δ é igual a Zero. Encontramos duas raízes reais e
iguais.
Neste momento, não conseguimos encontrar as raízes, pois nos deparamos com uma raiz quadrada
de número negativo. Sendo assim, não existe raiz real. V = Ø.
Após fazermos exemplos, conseguimos ver claramente qual a influência do discriminante (ou
incremento) com as raízes de uma equação de segundo grau:
Se b² - 4ac > 0, a equação terá duas raízes reais diferentes;
Se b² - 4ac = 0, a equação terá duas raízes reais iguais;
Se b² - 4ac < 0, a equação não terá raízes reais.
Considere a planta do apartamento ilustrado na figura abaixo:
É possível resolver as equações de segundo grau, incompletas, relacionadas nos itens a e b acima,
com a Fórmula de Bhaskara?
Pense e faça o cálculo para conferência.
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Este é um apartamento quadrado, portanto, possui lados iguais e com área total de 65,23 m².
Escreva uma equação que represente a área total deste apartamento. Em seguida, encontre a
medida aproximada dos lados.
lado = x
A = bh
A = x.x
A = x² se área total é de 65,23 m², então:
x² = 65,23
Resolvendo:
x = √65,23
x ≅ 8,07 m
Como estamos nos referindo a um problema de aplicação, sua variável se refere às dimensões de
um apartamento, o valor negativo de uma das raízes não se aplica.
Apartamento com dimensões quadradas.
4. Inequações de 1º grau
Denominamos como inequações toda sentença matemática aberta com uma incógnita expressa por
uma desigualdade (sinal de maior ou menor). As inequações podem ser utilizadas para análise e
resolução de problemas do cotidiano.
Símbolos de Desigualdades.
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Vamos analisar a situação abaixo:
Um taxista recebe R$ 5,20 pela bandeirada (valor fixo da corrida) e mais R$ 1,55 por quilometro
rodado. Quantos quilômetros o taxista deve percorrer em uma única corrida para ganhar, pelo
menos, R$ 60,00? Devemos considerar números de quilômetros exatos e não frações de
quilômetros rodados.
Interpretando a situação problema acima, temos:
P(x) preço da corrida
x quantidade de quilômetros rodados
P(x) = 5,20 + 1,55x
O que queremos saber é, para que valores de x, P(x) ≥ 60,00.
Ou seja, esta é uma situação típica do cotidiano, que pode ser expressa por uma inequação.
Sendo assim, para receber, no mínimo, R$ 60,00, o taxista deverá percorrer 36 quilômetros.
O que fizemos foi resolver uma desigualdade envolvendo uma equação de 1º grau. Esta é chamada
de inequação de 1º grau.
Toda inequação de 1º grau pode ser representada pelas formas:
ax + b > 0
ax + b ≥ 0
ax + b < 0
ax + b ≤ 0
O conjunto de todas as soluções de uma inequação é o Conjunto Solução (S) ou Conjunto Verdade
dessa inequação.
O processo de resolução de uma inequação de 1º grau envolve descobrir valores de x para os quais a
desigualdade é atendida.
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São exemplos de inequações de 1º Grau:
 
Essas inequações relacionadas estão resolvidas, passo a passo, no vídeo.
O Resultado de uma inequação é sempre um Intervalo Numérico. Estudamos sobre intervalo
numérico. Você pode relembrar conceitos e representações de intervalos numéricos sempre que
precisar!
5. Conclusão
Ao final do Tópico 2, podemos concluir que aplicamos, em muitas situações do nosso cotidiano, as
equações e inequações. Então, saber analisá-las e resolvê-las é fundamental.
Desenvolvemos, neste Tópico, a habilidade de resolver equações e inequações, discutindo todos os
seus conceitos e definições. Essa habilidade melhorará ainda mais desenvolvimento de vocês
durante a disciplina.
6. Referências
YouTube. (2013, Julho, 12). Khan Academy Brasil. Problemas de aplicação com a equação de
uma variável. 2min03. Disponível em: < https://youtu.be/BiE0OokSPmo>.
YouTube. (2013, setembro, 25). Khan Academy Brasil. Mínimo Múltiplo Comum (MMC).
5min26. Disponível em: < https://youtu.be/ThTdnWB6nnQ>.
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