Introdução à Matemática Financeira - Juros e Descontos*

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Introdução à Matemática Financeira 
 
(juros e descontos) 
 
2014 
 
Prof. Luiz Gustavo Alves Silva 
 
 
 
 
Sumário 
 
Revisão de Porcentagem .............................................................................................................................. 1 
01 Conceitos Iniciais ..................................................................................................................................... 5 
02 Capitalização Simples .............................................................................................................................. 8 
03 Desconto Simples .................................................................................................................................. 11 
04 Capitalização Composta ........................................................................................................................ 16 
05 Desconto Composto .............................................................................................................................. 19 
06 Noção sobre Amortizações .................................................................................................................... 24 
Respostas dos Exercícios Propostos ........................................................................................................... 27 
Resolução dos Exercícios Propostos ........................................................................................................... 29 
Bibliografia ................................................................................................................................................. 41 
Apêndice A - Logaritmos ............................................................................................................................ 42 
Apêndice B - Taxas .................................................................................................................................... 44 
Apêndice C - Formulário ............................................................................................................................. 47 
 
1 
 
Revisão de Porcentagem 
 
 Introdução 
A Matemática Financeira estuda, essencialmente, os processos que envolvem a quitação de 
empréstimos, assim como métodos e análises de investimentos em geral. Nosso estudo será breve 
e visará o leitor que tenha tido pouco contato com este ramo da Matemática. Antes de tudo, 
revisar-se-á o estudo de porcentagem, em que o mesmo está presente em todo o texto que segue. 
 
 Razão Centesimal 
Se estivermos interessados em saber certa fração de um “todo”, podemos multiplicar este 
todo pela fração desejada. Assim, por exemplo, para saber quanto é 2/3 de 750, basta fazer: 
2
3
⋅ 750 = 500 
Neste processo, dividimos o “todo” em tantas partes iguais quanto seja o denominador da 
fração e tomamos tantas dessas partes quanto seja o numerador da mesma. Isso se dá para 
qualquer que seja o “todo” e qualquer que seja a fração desejada. Quando a fração do todo tem 
como denominador o número 100, dizemos que esta é uma razão centesimal. 
Por exemplo, a fração 
20
100
 de um todo, significa que a cada 100 unidades, tomamos 20. 
Normalmente indicamos com o símbolo % e dizemos que é uma taxa percentual ou uma 
porcentagem e, escrevemos: 20% (lê-se vinte por cento). 
Obter uma razão centesimal de certo valor é expressar uma quantidade (fração) do mesmo, 
isso que constitui a porcentagem. Por exemplo, se um produto que custa R$ 80,00 tiver um 
aumento de 15%, pode-se calcular o valor acrescido da seguinte forma: 
15% de 80 ⟺
15
100
⋅ 80 = 12 
Logo, o produto seria vendido a R$ 92,00. Outra forma de interpretar o mesmo problema é 
perceber que o valor final corresponde a 115% de R$ 80,00, ou seja: 
115% de 80 ⟺
115
100
⋅ 80 = 92 
Além deste processo prático de multiplicar a razão centesimal pelo valor desejado afim de 
obter certa porcentagem, há outro modo igualmente usado que constitui em aplicar uma regra de 
três simples diretamente proporcional com as grandezas “taxa percentual” e “valor em questão”. 
Do exemplo anterior, teríamos: 
Valor do produto Taxa percentual 
ou 
Valor do produto Taxa percentual 
80 100% 80 100% 
𝑥 15% 𝑥 115% 
80
𝑥
=
100
15
⇒ 𝑥 = 12 
80
𝑥
=
100
115
⇒ 𝑥 = 92 
2 
 
 Exercícios resolvidos 
 
1. (UFU MG) Uma loja de artigos para presente sempre colocou seus produtos à venda aplicando 
50% a mais sobre o preço de custo. No entanto, devido à recessão, ela anunciou uma 
liquidação com 20% de desconto sobre todos os produtos para pagamentos à vista. Nesse 
caso, o lucro da loja na venda à vista de cada produto será de: 
a) 10% b) 30% c) 20% d) 40% e) 25% 
Solução: 
Chamando o preço original do produto (sem descontos ou acréscimos) de 𝑥, temos que a loja vendia 
seus produtos a 150% do preço original, ou seja: 
150
100
⋅ 𝑥 
Porém, descontando 20% deste último valor, significa o mesmo que obter 80% do mesmo, assim: 
80
100
⋅ 
150
100
⋅ 𝑥 
Para saber a porcentagem de lucro que esta última expressão representa “por produto”, basta 
reescrevê-la de modo que se tenha 𝑥 multiplicado por apenas uma razão centesimal: 
80
100
⋅ 
150
100
⋅ 𝑥 =
120
100
⋅ 𝑥 ⟺ 120% de 𝑥 
Logo, resposta: alternativa c. 
2. (ENEM-2010) Em março de 2010, o Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e 
Tecnológico (CNPq) reajustou os valores de bolsas de estudo concedidas a alunos de iniciação 
científica, que passaram a receber R$ 360,00 mensais, um aumento de 20% com relação ao 
que era pago até então. O órgão concedia 29 mil bolsas de iniciação científica até 2009, e esse 
número aumentou em 48% em 2010. 
Caso o CNPq decidisse não aumentar o valor dos pagamentos dos bolsistas, utilizando o 
montante destinado a tal aumento para incrementar ainda mais o número de bolsas de 
iniciação científica no país, quantas bolsas a mais que em 2009, aproximadamente, poderiam 
ser oferecidas em 2010? 
a) 5,8 mil b) 13,9 mil c) 22,5 mil d) 51,5 mil e) 94,4 mil 
Solução: 
Chamando de 𝑥 o valor da bolsa sem o ajuste de 20%, temos que: 
120
100
⋅ 𝑥 = 360 ⇒ 𝑥 = 300 
O número de bolsas concedidas em 2009 aumentou em 48%, assim: 
148
100
⋅ 29 000 = 42 990 
Ou seja, pagar R$ 360,00 para cada um desses 42 990 alunos, custa o capital de R$ 15 476 400,00 que 
custearia 51 588 bolsas de R$ 300,00, ou seja, montante suficiente para 22 588 novas bolsas. 
Logo, resposta: alternativa c. 
3 
 
3. (PUC-MG) Um galão de dez litros está cheio de um combustível resultante de uma mistura que tem 
14% de álcool de 86% de gasolina; um outro galão de vinte litros está cheio com uma outra mistura 
que tem 20% de álcool e 80% de gasolina. Despejando-se o conteúdo dos dois galões em um só 
recipiente, obtém-se uma nova mistura cuja porcentagem de gasolina é: 
a) 75,0% b) 77,0% c) 79,0% d) 81,0% e) 82,0% 
Solução: 
Um modo de resolver esse problema é calculando quanto de gasolina que há em cada galão e 
determinar qual porcentagem de 30 litros isso corresponde. Assim: 
Galão de dez litros Galão de vinte litros 
capacidade taxa percentual capacidadetaxa percentual 
10 100% 20 100% 
𝑥 86% 𝑦 80% 
10
𝑥
=
100
86
⇒ 𝑥 = 8,6 
20
𝑦
=
100
80
⇒ 𝑦 = 16 
Logo, somando a quantidade de gasolina contida nos dois barris encontramos 24,6 litros e, chamando 
de “𝑝” a porcentagem de gasolina que 24,6 representa em 30 litros, temos: 
Galão de trinta litros 
capacidade taxa percentual 
30 100% 
24,6 𝑝% 
30
24,6
=
100
𝑝
⇒ 𝑝 = 82 
Logo, resposta: alternativa e. 
4. (ENEM-2011) Uma pessoa aplicou certa quantia em ações. No primeiro mês, ela perdeu 30% do total do 
investimento e, no segundo mês, recuperou 20% do que havia perdido. Depois desses dois meses, 
resolveu retirar o montante de R$ 3 800,00 gerado pela aplicação. A quantia inicial que essa pessoa 
aplicou em ações corresponde ao valor de 
a) R$ 4 222,22 b) R$ 4 523,80 c) R$ 5 000,00 d) R$ 13 300,00 e) R$ 17 100,00 
Solução: 
Chamando de 𝑥 o valor inicial, o valor perdido no primeiro mês corresponde a: 
30
100
⋅ 𝑥 
E recuperando 20% disto, equivale a recuperar a quantia de: 
20
100
⋅ 
30
100
⋅ 𝑥 =
6
100
⋅ 𝑥 
Este último valor recuperado, se somado a 70% de 𝑥 deve resultar no montante final de R$ 3 800,00, 
assim: 
6
100
⋅ 𝑥 +
70
100
𝑥 = 3 800 ⇒ 𝑥 = 5 000 
Logo, resposta: alternativa c. 
 
4 
 
 Exercícios propostos 
 
1. O preço de custo de uma mercadoria é de R$ 180,00. O comerciante quer ter um lucro de 30% 
sobre o preço dessa mercadoria. Por quanto ele deve vendê-la? 
2. A população de certa cidade ficou muito insatisfeita quando a tarifa de ônibus passou de 
R$ 1,60 para R$ 2,50. Qual foi o aumento percentual da tarifa? 
3. A camiseta que Flávia quer comprar custa R$ 24,90 e o desconto na promoção é de 20%. Ao 
pagar, o caixa cobra R$ 21,00. O preço cobrado de Flávia está correto? Justifique. 
4. (ENEM-2013) O contribuinte que vende mais de R$ 20 mil de ações em Bolsa de Valores em um 
mês deverá pagar Imposto de Renda. O pagamento para a Receita Federal consistirá em 15% 
do lucro obtido com a venda das ações. 
Um contribuinte que vende por R$ 34 mil um lote de ações que custou R$ 26 mil terá de pagar 
de Imposto de Renda à Receita Federal o valor de 
a) R$ 900,00 b) 1 200,00 c) 2 100,00 d) R$ 3 900,00 e) R$ 5 100,00 
5. (ENEM-2013) Para aumentar as vendas no início do ano, uma loja de departamentos remarcou 
os preços de seus produtos 20% abaixo do preço original. Quando chegam ao caixa, os clientes 
que possuem o cartão de fidelidade da loja têm direito a um desconto adicional de 10% sobre 
o valor total de suas compras. 
Um cliente deseja comprar um produto que custava R$ 50,00 antes da remarcação de preços. 
Ele não possui o cartão de fidelidade da loja. Caso esse cliente possuísse o cartão de fidelidade 
da loja, a economia adicional que obteria ao efetuar a compra, em reais, seria de 
a) 15,00 b) 14,00 c) 10,00 d) 5,00 e) 4,00 
6. (Vunesp-SP) Suponhamos que, para uma dada eleição, uma cidade tivesse 18 500 eleitores 
inscritos. Suponhamos ainda que, para essa eleição, no caso de se verificar um índice de 
abstenções de 6% entre os homens e de 9% entre as mulheres, o número de votantes do sexo 
masculino será exatamente igual ao de votantes do sexo feminino. Determine o número de 
eleitores inscritos de cada sexo. 
7. (UF-PA) Para produzir determinado artigo, uma indústria tem dois tipos de despesas: uma fixa e 
uma variável. A despesa fixa foi estimada em R$ 90,00, e a variável deverá corresponder a 30% 
do total das vendas. Se para o próximo mês pretende-se que o lucro em relação ao produto 
represente 20% do total de vendas, qual deve ser, em reais, o volume de vendas e de quanto 
será o lucro? 
8. (UF-MG) Um fabricante de papel higiênico reduziu o comprimento dos rolos de 40 m para 
30 m. No entanto, o preço dos rolos de papel higiênico, para o consumidor, manteve-se 
constante. Nesse caso, é correto afirmar que, para o consumidor, o preço do metro de papel 
higiênico teve um aumento: 
a) Inferior a 25%. b) Superior ou igual a 30%. 
c) Igual a 25%. d) Superior a 25% e inferior a 30%. 
 
 
5 
 
01 Conceitos Iniciais 
 
 Capital, Juro e Taxa de Juro 
 
Quando uma pessoa (física ou jurídica) empresta a outra um valor monetário, por certo 
tempo, essa quantia é chamada de capital e indicamos por “C”. Ou seja, o capital é um valor 
disponibilizado para uma operação financeira. Há alguns sinônimos para o termo capital, por 
exemplo, principal ou valor atual. 
O valor a ser cobrado pelo emprestador pelo uso do dinheiro é chamado de juro e indica-se 
por “J”. Sendo assim, o juro é a remuneração paga pelo capital emprestado, de forma mais 
simples, é o aluguel pago pelo uso do dinheiro. 
O juro é calculado por uma taxa percentual sobre o capital, chamada taxa de juros, que 
representamos por “i” (do inglês interest). Essa taxa é sempre atribuída à operação financeira 
numa unidade de tempo: ao ano (a.a.), ao trimestre (a.t.), ao mês (a.m.), etc. 
 
 Regimes de Capitalização 
 
O ato de se agregar juros a um capital é chamado de capitalização e o regime de 
capitalização é que indica o modo de se acumularem os juros. Caso o juro incorra somente sobre 
o capital inicial, trata-se de juro simples e, o regime de capitalização correspondente é chamado 
de capitalização simples. Caso o juro incida sobre o capital mais o juro acumulado anteriormente, 
trata-se de juro composto, e o regime denomina-se capitalização composta. 
 
 Prazo e Montante 
O prazo é o tempo de duração de um empréstimo e é dividido em “n” períodos conforme a 
unidade de tempo representada pela taxa i. Em outras palavras, n indica o número de vezes em 
que será acrescido juro ao capital. 
O pagamento do empréstimo que é feito ao final do prazo, consta do capital inicial mais os 
juros rendidos sobre o mesmo, a esse valor final chamamos montante e indicamos por “M”, logo: 
 
 Exercícios Resolvidos 
 
1. (PUC-MG) Uma pessoa toma emprestados R$ 9 000,00 e deverá pagar, ao final de oito 
meses R$ 13 680,00 para liquidar este empréstimo. A taxa total de juros cobrada nessa 
operação é de: 
a) 46% b) 52% c) 61% d) 67% 
Solução: 
Perceba que o juro desta operação foi de R$ 4 680,00 e como a taxa total é uma porcentagem do 
capital, temos: 
J = i ⋅ C ⇒ 4 680 = i ⋅ 9 000 ⇒ i = 0,52 = 52% 
Logo, resposta: alternativa b. 
M = C + J 
6 
 
2. (ENEM-2011) Um jovem investidor precisa escolher qual investimento lhe trará maior 
retorno financeiro em uma aplicação de R$ 500,00. Para isso, pesquisa o rendimento e o 
imposto a ser pago em dois investimentos: poupança e CDB (Certificado de Depósito 
Bancário). As informações obtidas estão resumidas no quadro: 
 Rendimento mensal (%) IR (Imposto de Renda) 
POUPANÇA 0,560 ISENTO 
CDB 0,876 4% (sobre o ganho) 
Para o jovem investidor, ao final de um mês, a aplicação mais vantajosa é 
a) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 502,80. 
b) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 500,56. 
c) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,38. 
d) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,21. 
e) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 500,87. 
Solução: 
Primeiro calculemos o rendimento nas situações: 
Poupança CDB 
J =
0,560
100
⋅ 500 = 2,8 J =
0,876
100
⋅ 500 = 4,38 
Agora resta saber se, ao descontar IR de 4% sobre o ganho do CDB, se ainda será mais vantajoso: 
96% de 4,38 ⇔ 
96
100
⋅ 4,38 ≅ 4,21 
Logo, resposta: alternativa d. 
 
3. (UFV-MG) Um investidor tinha R$ 100 000,00 aplicados, parte em ouro e o restante em 
Certificados de Depósitos Bancários (CDBs). O ouro teve uma alta de 8% ao mês; os CDBs, de 
10% ao mês. Se o rendimento no mês foi R$ 8 500,00,então a quantia, em reais, que ele 
investiu em ouro foi de: 
a) 55 000 b) 75 000 c) 45 000 d) 65 000 e) 85 000 
Solução: 
Se chamarmos de 𝑥 a quantia, em reais, que foi investido em ouro, o juro no mês pode ser dado por: 
J = 𝑥 ⋅
8
100
+ 100 000 − 𝑥 ⋅
10
100
 
Como o juro foi de R$ 8 500,00, temos: 
8 500 = 𝑥 ⋅
8
100
+ 100 000 − 𝑥 ⋅
10
100
⇒ 𝑥 = 75 000 
Resposta: alternativa b. 
 
 
 
7 
 
 Exercícios Propostos 
 
1. (U.F. Juiz de Fora-MG) Uma loja de eletrodomésticos anuncia a seguinte promoção: 
“Televisor 29", à vista, por apenas R$ 702,00, ou a prazo, em duas prestações mensais 
iguais de R$ 390,00, sendo a primeira paga no ato da compra”. 
Nessas condições, a taxa mensal de juros embutida na venda a prazo é igual a: 
a) 10% b) 15% c) 20% d) 25% e) 30% 
2. (ESPM-SP) Numa loja um objeto custa R$ 100,00 à vista. Uma pessoa compra esse objeto 
em duas parcelas iguais de R$ 60,00, pagando a primeira parcela no ato da compra e a 
segunda parcela trinta dias depois. Os juros cobrados por essa loja foram a uma taxa mensal 
de: 
a) 50% b) 40% c) 30% d) 20% e) 10% 
3. (Vunesp-SP) O preço de tabela de um determinado produto é R$ 1 000,00. O produto tem 
um desconto de 10% para pagamento à vista e um desconto de 7,2% para pagamento em 
30 dias. Admitindo que o valor desembolsado no pagamento à vista possa ser aplicado pelo 
comprador em uma aplicação de 30 dias, com um rendimento de 3%, determine: 
a) quanto o comprador teria ao final da aplicação? 
b) qual a opção mais vantajosa para o comprador: pagar à vista ou aplicar o dinheiro e pagar 
em 30 dias? Justifique. 
4. (UnB-DF) Uma pessoa investiu certo capital, por um período de 5 anos, da seguinte maneira: 
com 2/5 do capital comprou ações da bolsa de valores; do restante, aplicou metade em 
imóveis e metade em caderneta de poupança. Ao final de 5 anos, ela contabilizou um 
prejuízo de 2% na aplicação em ações, um ganho de 20% na aplicação imobiliária e um 
ganho de 26% na aplicação em poupança. Calcule, em relação capital inicial, o percentual 
ganho pelo investidor, desprezando a parte fracionaria de seu resultado, caso exista. 
5. (FGV-SP) O Sr. Matias tem R$ 12 000,00 para investir pelo prazo de um ano. Ele pretende 
investir parte numa aplicação A que tem um rendimento esperado de 15% ao ano sobre o 
valor investido, e parte numa outra aplicação B que dá um rendimento esperado de 20% 
sobre o valor investido. 
a) Qual o rendimento anual esperado, se ele aplicar R$ 7 000,00 em A e R$ 5 000,00 em B? 
b) Qual o máximo que deve investir em A para auferir um ganho esperado de, no mínimo, 
R$ 2 200,00 daqui um ano? 
6. (FGV-SP) João divide suas economias e as aplica em dois fundos: A e B. No primeiro mês, o 
fundo A rendeu 50% e o fundo B, 30%. No segundo mês, ambos renderam 20%. Se a 
rentabilidade de que João obteve no bimestre foi de 63,2%, que porcentagem de sua 
economia foi aplicada no fundo B? 
a) 30% b) 60% c) 70% d) 40% e) 50% 
 
8 
 
02 Capitalização Simples 
 
 Juros Simples 
 
Já discutimos o conceito de juro simples na secção anterior e sabemos que se trata do juro 
calculado sempre sobre o capital inicial em cada período. Sendo assim, considere um capital C 
aplicado a juros simples, a uma taxa i por período e durante n períodos. Logo o juro em cada 
período é calculado por: 
J = C ⋅ i 
Somando-se os juros de n períodos, temos: 
J = C ⋅ i + C ⋅ i + C ⋅ i + ⋯ + C ⋅ i 
n vezes
 
Ou seja, o juro simples é dado pela soma de n parcelas iguais a C ⋅ i, assim: 
 
Por conseguinte, como M = C + J, temos: 
 
 Exercícios Resolvidos 
 
1. (UF-PA) André devia, em seu cartão de crédito, R$ 1 000,00. Como não conseguiu pagar, em 
dois meses essa dívida aumentou para R$ 1 440,00. Nesse caso, qual foi a taxa de juros simples 
cobrada mensalmente pelo cartão de crédito? 
a) 7,2% b) 14,4% c) 20% d) 22% e) 44% 
Solução: 
Perceba que o juro acrescido no prazo foi de R$ 440,00, assim, usando a fórmula para o calculo do juro 
simples, temos: 
J = C ⋅ i ⋅ n ⇒ 440 = 1 000 ⋅ i ⋅ 2 ⇒ i =
22
100
= 22% 
Logo, resposta: alternativa d. 
 
2. (FGV-SP) Um capital aplicado a juros simples, à taxa de 2,5% ao mês, triplica em: 
a) 75 meses b) 80 meses c) 85 meses d) 90 meses e) 95 meses 
Solução: 
Se o capital triplica, significa que o montante é igual a três vês o capital, logo: 
M = C + C ⋅ i ⋅ n ⇒ 3C = C + C ⋅
2,5
100
⋅ n ⇒ n = 80 
Logo, resposta: alternativa b. 
M = C + C ⋅ i ⋅ n 
J = C ⋅ i ⋅ n 
9 
 
3. (UF-CE) José emprestou R$ 500,00 a João por 5 meses, no sistema de juros simples, a uma 
taxa de juros fixa e mensal. Se no final dos 5 meses José recebeu um total de R$ 600,00, 
então a taxa fixa mensal aplicada foi de: 
a) 0,2% b) 0,4% c) 2% d) 4% e) 6% 
Solução: 
Perceba que o juro total cobrado foi de R$ 100,00, assim, essa é uma aplicação direta da fórmula do 
juro simples: 
J = C ⋅ i ⋅ n ⇒ 100 = 500 ⋅ i ⋅ 5 ⇒ i = 0,04 = 4% 
Resposta: alternativa d. 
 
4. (U.F. Juiz de Fora-MG) O preço à vista de uma mercadoria é de R$ 130,00. O comprador 
pode pagar 20% de entrada no ato da compra e o restante em uma única parcela de 
R$ 128,96, vencível em três meses. Admitindo-se o regime de juros simples comerciais, a 
taxa de juros anual cobrada na venda a prazo é de: 
a) 94% b) 96% c) 98% d) 100% 
Solução: 
Note que o capital financiado é 80% de R$ 130,00, assim: 
80
100
⋅ 130 = 104 
Logo, o juro cobrado é de R$ 24,96. 
Deseja-se uma taxa anual, note que 3 meses corresponde a 1/4 do ano, assim pela fórmula vista: 
J = C ⋅ i ⋅ n ⇒ 24,96 = 104 ⋅ i ⋅
1
4
⇒ i =
96
100
= 96% 
Resposta: alternativa b. 
5. (FGV-RJ) João comprou um televisor por R$ 1 050,00 a ser pago em duas parcelas iguais: a 
primeira à vista, e a segunda após um mês. Se a loja cobra taxa de juros de 10% ao mês 
sobre o saldo devedor, o valor de cada parcela é: 
a) R$ 550,00 b) R$ 577,00 c) R$ 525,00 d) R$ 540,00 e) R$ 545,00 
Solução: 
Chamemos de 𝑥 o valor das parcelas. Note que a segunda parcela é o montante obtido do capital 
financiado, assim, temos: 
M = C + C ⋅ i ⋅ n ⇒ 𝑥 = 1 050 − 𝑥 + 1 050 − 𝑥 ⋅
10
100
⋅ 1 
Resolvendo esta última equação, temos: 
𝑥 = 550 
Resposta: alternativa a. 
 
 Exercícios Propostos 
 
1. (Cefet-SP) O juro simples produzido pelo capital de R$ 600,00, durante 3 anos, a uma taxa 
de 5% ao ano é: 
a) R$ 45,00 b) R$ 60,00 c) R$ 75,00 d) R$ 90,00 e) R$ 105,00 
10 
 
2. (UF-PI) O capital que, investido a juros simples de 3% ao mês, gera, depois de 6 meses, um 
montante de R$ 141 600,00 é: 
a) R$ 110 000,00 d) R$ 120 000,00 
b) R$ 115 000,00 e) R$ 122 000,00 
c) R$ 118 000,00 
 
3. (UF-SE) Cláudia aplicou a quantia de R$ 100,00 a juros simples, à taxa de 1,8% ao mês. Ao 
completar 5 meses, retirou o montante e aplicou-o em outra instituição, com uma taxa 
mensal maior. Ao completar 4 meses da nova aplicação, seu novo montante era de 
R$ 119,90. Essa nova taxa mensal foi de: 
a) 2,5% b) 2,4% c) 2,3% d) 2,2% e) 2,1% 
 
4. (FGV-SP) Carlos adquiriu um aparelho de TV em cores pagando uma entrada de R$ 200,00 
mais uma parcela de R$ 450,00 dois meses após a compra. Sabendo-se que o preço à vista 
do aparelho é R$ 600,00: 
a) qual a taxa mensal de juros simples do financiamento? 
b) após quantos meses da compra deveria vencer a parcela de R$ 450,00 para que a taxa de 
juros simples do financiamento fosse de 2,5% ao mês? 
 
5. (Ibmec-SP, adaptado) Classifique a sentença abaixo como verdadeira ou falsa: 
Um televisoré vendido à vista por R$ 1 000,00 ou a prazo com 10% de entrada e mais uma 
parcela de R$ 1 080,00 após 4 meses. Logo, a taxa mensal de juros simples do 
financiamento é 4,5%. 
 
6. (FGV-SP) Um fabricante vende determinado produto pelo preço 𝑝, para pagamento n meses 
após a compra. Se o pagamento for feito à vista, há um desconto igual a 5% de 𝑝. A taxa 
mensal de juros simples do financiamento é: 
a) 
100
19n
% b) 
100
20n
% c) 
100
21n
% d) 
100
22n
% e) 
100
23n
% 
 
7. (UFMS-MS) Dois amigos dividiram entre si uma quantia de R$ 850,00, em partes não iguais. 
Após a divisão, cada um fez uma aplicação, em juros simples, da seguinte forma: 
 o primeiro aplicou todo o seu dinheiro a uma taxa de 4% ao mês, durante 1 ano e 8 meses. 
 o segundo aplicou todo o seu dinheiro a uma taxa de 5% ao mês, durante 1 ano e meio. 
Sabendo-se que os juros obtidos ao final das duas aplicações foram iguais e considerando as 
informações fornecidas, copie a(s) proposição(ões) verdadeira(s). 
a) O valor dos juros obtidos pelo primeiro amigo foi de R$ 360,00. 
b) O valor do montante obtido pelo segundo amigo foi de R$ 760,00. 
c) O valor investido inicialmente pelo segundo amigo foi de R$ 450,00. 
d) O valor investido inicialmente pelo primeiro amigo foi de R$ 400,00. 
e) O valor da soma dos montantes dos dois amigos foi de R$ 1 210,00. 
 
11 
 
03 Desconto Simples 
 Conceito de Desconto 
É sabido que ao solicitarmos um empréstimo ou algum financiamento de qualquer tipo, 
precisamos assinar um documento como garantia ao credor. Este tipo de documento que 
comprova uma dívida a uma data futura é chamado de título de crédito e, basicamente, temos 
dois tipos: 
 Nota Promissória – trata-se de um comprovante emitido pelo devedor sobre um capital com 
vencimento predeterminado. Título que necessariamente uma das partes é uma pessoa física. 
 Duplicata – título emitido por uma pessoa jurídica para seu cliente (pessoa física ou jurídica) 
correspondente a uma fatura a prazo. Necessariamente uma das partes é uma pessoa jurídica. 
É plausível de se imaginar que alguém que antecipe o pagamento de uma dívida, receba um 
abatimento de parte dessa dívida, ou seja, algum desconto. Ou que um desconto ocorra 
igualmente para quem regatar antecipadamente um título. 
Desconto é, portanto, o abatimento sobre um título de crédito resgatado antecipadamente. 
Representa a retirada do juro calculado na operação de capitalização, proporcionalmente ao prazo 
de antecipação do pagamento. 
 
 Desconto Comercial Simples 
O desconto comercial (ou bancário) é calculado aplicando-se uma taxa de desconto sobre o 
valor montante a ser descontado, chamado de valor nominal. Ainda é necessário observar que o 
cálculo é proporcional ao prazo de antecipação. Assim, definimos: 
 
Onde “D” é o desconto comercial simples, “N” é o valor nominal, “i” é a taxa de desconto e 
“n” é o prazo de antecipação expresso na mesma unidade de tempo da taxa de desconto. 
Chama-se valor atual, indicado por “A”, aquele que se obtém pela diferença entre o valor 
nominal o valor do desconto, ou seja, é o valor de resgate do título, logo: 
 
 
 Exercícios Resolvidos 
1. Um título de cinco meses de valor nominal igual a R$ 100 000,00 foi descontado sob o 
regime de juro simples a uma taxa de desconto comercial de 2% a.m. O valor do desconto é: 
a) R$ 10 000,00 b) R$ 12 000,00 c) R$ 8 000,00 d) 14 000,00 
Solução: 
Basta aplicar a fórmula do desconto comercial simples: 
D = N ⋅ i ⋅ n ⇒ D = 100 000 ⋅
2
100
⋅ 5 ⇒ D = 10 000 
Resposta: alternativa a. 
A = N − D 
D = N ⋅ i ⋅ n 
12 
 
2. Um título no valor de R$ 1 200,00, pago 5 meses antes do vencimento, ficou reduzido a 
R$ 900,00. Qual foi a taxa de desconto mensal utilizada? 
Solução: 
Perceba que R$ 900,00 é o valor atual e, portanto, o desconto foi de R$ 300,00. Assim: 
D = N ⋅ i ⋅ n ⇒ 300 = 1 200 ⋅ i ⋅ 5 ⇒ i = 0,05 = 5% 
Resposta: a taxa mensal utilizada foi de 5%. 
 
3. Um título de R$ 8 400,00 foi descontado três meses antes do seu vencimento. Sabemos que 
a taxa corrente em desconto comercial é de 22% ao ano. Calcule o desconto comercial e o 
valor que o proprietário do título recebeu. 
Solução: 
Ressaltamos que a taxa de desconto e o prazo de antecipação precisam estar na mesma unidade, 3 
meses representa 1/4 do ano, assim: 
D = N ⋅ i ⋅ n ⇒ D = 8 400 ⋅
22
100
⋅
1
4
⇒ D = 462 
O valor atual é dado por: 
A = N − D ⇒ A = 8 400 − 462 ⇒ A = 7 938 
Resposta: o valor descontado é R$ 462,00 e o valor recebido pelo proprietário é R$ 7 938,00. 
 
4. Uma empresa desconta em um banco uma duplicata de R$ 12 000,00, três meses antes do 
vencimento, a uma taxa de desconto de 3% a.m. Determine a taxa de juros simples 
efetivamente cobrada pelo banco. 
Obs.: Este tipo de operação financeira de desconto de duplicata consiste na empresa ceder o direito 
do recebimento da duplicata para o banco e, em troca, recebe do banco um valor menor que o valor 
da duplicata. 
Solução: 
A princípio, calculemos o valor descontado: 
D = N ⋅ i ⋅ n ⇒ D = 12 000 ⋅
3
100
⋅ 3 ⇒ D = 1 080 
Assim, o valor atual que será recebido pela empresa é dado por: 
A = N − D ⇒ A = 12 000 − 1 080 ⇒ A = 10 920 
Pela ótica do banco, a partir da capitalização de juros simples, este valor de R$ 10 920,00 seria o 
capital inicial e o valor de R$ 12 000,00, a ser recebido em 3 meses, seria o montante. Logo, o juro 
recebido pelo banco corresponde ao valor descontado de R$ 1 080,00. 
Assim, usando a fórmula do juro simples, temos: 
J = C ⋅ i ⋅ n ⇒ 1 080 = 10 920 ⋅ i ⋅ 3 ⇒ i = 0,033 = 3,3% 
Resposta: a taxa de juro simples efetivamente cobrada pelo banco é de 3,3% a.m. 
 
 
 
13 
 
 Desconto Racional Simples 
Imaginemos um título de crédito gerado pela capitalização simples, onde o desconto provido 
do resgate antecipado trata-se do juro simples gerado sobre o valor atual do título. Esse tipo de 
desconto é chamado de desconto racional simples, que representaremos por “Dr”. 
A situação descrita é ilustrada pelo gráfico abaixo: 
 
Pela definição, Dr é determinado aplicando-se uma taxa de desconto sobre o valor atual: 
Dr = A ⋅ i ⋅ n 
Ora, sabemos que “A” é dado por: 
A = N − Dr 
Isso implica que: 
Dr = N − A 
Substituindo esta última equação na primeira, temos: 
N − A = A ⋅ i ⋅ n 
Por fim, isolando “A” nesta última, temos: 
 
Se quisermos determinar o desconto diretamente, basta substituirmos “A” na primeira 
equação: 
Dr = A ⋅ i ⋅ n ⇒ Dr = 
N
1 + i ⋅ n
 ⋅ i ⋅ n 
Logo: 
 
Dr =
N ⋅ i ⋅ n
1 + i ⋅ n
 
A =
N
1 + i ⋅ n
 
14 
 
 Nota do Autor 
No mercado, os descontos comercial e racional são também conhecidos, respectivamente, 
por descontos “por fora” e desconto “por dentro”. 
 
 Exercícios resolvidos 
 
1. Calcular o desconto racional de um título de R$ 6 864,00, a uma taxa de 12% ao mês, pago 
um mês e seis dias antes do prazo de vencimento. 
Solução: 
Podemos calcular o valor atual e descontar o mesmo do valor nominal (ressaltando que um mês e 
seis dias corresponde a 1,2 meses): 
A =
N
1 + i ⋅ n
⇒ A =
6 864
1 + 0,12 ⋅ 1,2
⇒ A = 6 000 
Assim, o valor descontado corresponde a: 
Dr = N − A ⇒ Dr = 6 864 − 6 000 = 864 
Poderíamos ainda aplicar diretamente a fórmula do desconto racional: 
Dr =
N ⋅ i ⋅ n
1 + i ⋅ n
⇒ Dr =
6 864 ⋅ 0,12 ⋅ 1,2
1 + 0,12 ⋅ 1,2
⇒ Dr = 864 
Resposta: o desconto racional simples foi de R$ 864,00. 
 
2. Determine a diferença entre o desconto comercial e o desconto racional sobre um título de 
R$ 38 400,00, considerando uma taxa de desconto simples igual a 3% ao mêse sabendo 
que o título vencerá daqui a cinco meses. 
Solução: 
Calculando o desconto comercial: 
D = N ⋅ i ⋅ n ⇒ D = 38 400 ⋅ 0,03 ⋅ 5 ⇒ D = 5 760 
Calculando o desconto racional: 
Dr =
N ⋅ i ⋅ n
1 + i ⋅ n
⇒ Dr =
38 400 ⋅ 0,03 ⋅ 5
1 + 0,03 ⋅ 5
⇒ Dr = 5 008,70 
Assim: D − Dr = R$ 751,30 
Obs.: O desconto comercial é sempre maior que o racional, operados com a mesma taxa, devido ao 
fato do primeiro ser calculado sobre o valor nominal e o segundo sobre o valor atual. 
 
3. O desconto racional simples recebido por um título de R$ 2 388,96, que foi resgatado 
quatro meses antes do seu vencimento, foi de R$ 255,96. Qual foi a taxa de desconto 
utilizada nessa operação? 
Solução: 
Uma aplicação direta da fórmula do desconto racional: 
Dr =
N ⋅ i ⋅ n
1 + i ⋅ n
⇒ 255,96 =
2 388,96 ⋅ i ⋅ 4
1 + i ⋅ 4
⇒ i = 0,03 = 3% 
Resposta: 3% a.m. 
15 
 
4. Calcular a taxa a ser aplicada, num desconto racional, em uma duplicata de R$ 1 200,00, de 
modo que dois meses e meio antes do vencimento ela se reduza a R$ 1 000,00. 
Solução: 
Deseja-se a taxa para o valor atual de R$ 1 000,00, assim: 
A =
N
1 + i ⋅ n
⇒ 1 000 =
1 200
1 + i ⋅ 2,5
⇒ i = 0,08 = 8% 
Resposta: 8% a.m. 
 
 Exercícios Propostos 
 
1. Uma empresa pretende saldar um título de R$ 3 900,00 três meses antes do seu 
movimento. Sabendo que a taxa de juros simples corrente é de 24% ao ano, determine o 
desconto comercial que vai obter e que valor ela deve pagar. 
2. Uma nota promissória de R$ 44 250,00 foi paga cinco meses antes do vencimento, a uma 
taxa de desconto comercial simples de 18% ao ano. Qual foi o valor do resgate? 
3. Qual foi a taxa mensal de desconto comercial utilizada numa operação financeira em que um 
título de R$ 3 200,00 foi resgatado por R$ 2 854,40, noventa dias antes de seu vencimento? 
4. Ao descontar uma promissória com prazo de 45 dias, um banco calculou um desconto de 
R$ 1 200,00. Qual o valor da promissória sabendo-se que a taxa de desconto comercial 
utilizada foi de 4% a.m.? 
5. Determine o desconto racional sofrido por uma letra de câmbio de R$ 1 000,00, descontada 
a uma taxa de 3% a.m., 6 meses antes de seu vencimento. 
6. Um título de R$ 4 600,00 foi pago seis meses antes de seu vencimento. Sabendo que o 
título recebeu um desconto racional simples com uma taxa de desconto de 30% a.a., 
determine o valor pago pelo resgate do título. 
7. O desconto racional simples recebido por um título de R$ 2 388,96, que foi resgatado 
quatro meses antes de seu vencimento, foi de R$ 255,96. Qual foi a taxa de desconto 
utilizada nessa operação? 
8. Um título no valor de R$ 8 000,00 foi descontado à taxa de 0,12% ao dia. Sabendo que o 
valor do desconto racional simples foi de R$ 233,01, calcule o período de antecipação (dias) 
no resgate do título. 
9. Um título com valor nominal de R$ 2 000,00, a uma taxa de desconto de 3% ao mês, vai ser 
descontado 8 meses antes do vencimento. Calcular a diferença entre os descontos comercial 
e racional. 
10. Qual seria o desconto comercial em uma negociação cujo valor forneceria um desconto 
racional de R$ 2 800,00 à taxa de juros simples de 2% ao mês, num período de quatro 
meses? 
 
16 
 
04 Capitalização Composta 
 
 Juros Compostos 
Já sabemos que os juros compostos são capitalizados aplicando a taxa de juros sobre o 
montante do período anterior. Assim, consideremos um capital C aplicado a juros compostos, sob 
uma taxa i por período e durante n períodos. 
O montante do primeiro período é dado por: 
M1 = C + C ⋅ i = C 1 + i 
E o montante do segundo período: 
M2 = M1 + M1 ⋅ i = M1 1 + i = C 1 + i 1 + i = C 1 + i 
2 
Do terceiro período: 
M3 = M2 + M2 ⋅ i = M2 1 + i = C 1 + i 
2 1 + i = C 1 + i 3 
⋯ 
Montante após n períodos: 
Mn = Mn−1 + Mn−1 ⋅ i = Mn−1 1 + i = C 1 + i 
n−1 1 + i = C 1 + i n 
Em resumo, para se calcular o montante gerado pela capitalização composta após n 
períodos, usamos a seguinte fórmula: 
 
E como M = C + J, logo temos que J = M − C, assim o juro na capitalização composta é: 
 
 
 Exercícios Resolvidos 
 
1. (PUC-RJ) Uma carteira de investimento rende 2% ao mês. Depois de três meses, 
R$ 1 500,00 aplicados cumulativamente nessa carteira valem aproximadamente: 
a) R$ 1 550,00 b) R$ 1 590,00 c) R$ 1 690,00 d) 1 750,00 e) 1 900,00 
Solução: 
Observe que quando se diz “cumulativamente” refere-se sobre o “juro sobre juro”, ou seja, juros 
compostos. Logo: 
M = C 1 + i n ⇒ M = 1 500 1 + 0,02 3 ⇒ M = 1 591,81 
Resposta: alternativa b. 
 
J = C 1 + i n − C 
M = C 1 + i n 
17 
 
2. Um capital de R$ 5 000,00 é aplicado a juros compostos, à taxa de 2% ao mês. Qual o 
montante se os prazos de aplicação forem: 
a) 5 meses b) 2 anos 
Solução item a: 
Aplicação direta da fórmula do montante composto: 
M = C 1 + i n ⇒ M = 5 000 1 + 0,02 5 ⇒ M = 5 520,40 
Resposta: R$ 5 520,40. 
Solução item b: 
Basta observar que 2 anos representam 24 meses: 
M = C 1 + i n ⇒ M = 5 000 1 + 0,02 24 ⇒ M = 8 042,19 
Resposta: R$ 8 042,19 
 
3. (Uespi-PI) Um investidor aplicou seu capital a juros simples, durante 60 dias, à taxa de 4% 
ao mês. Se a aplicação fosse a juros compostos, nas mesmas condições de período e taxa, 
teria recebido R$ 16,00 a mais de montante. Qual foi o capital aplicado? 
a) R$ 10 000,00 b) R$ 9 000,00 c) R$ 8 000,00 d) 7 000,00 e) 6 000,00 
Solução: 
Chamando de Ms o montante a juro simples, temos: 
Ms = C + C ⋅ i ⋅ n ⇒ Ms = C + C ⋅ 0,04 ⋅ 2 ⇒ Ms = 1,08 ⋅ C 
E sendo Mc o montante a juro composto, temos: 
Mc = C 1 + i 
n ⇒ Mc = C 1 + 0,04 
2 ⇒ Mc = 1,0816 ⋅ C 
Como Mc = Ms + 16, temos: 
Mc = Ms + 16 ⇒ 1,0816 ⋅ C = 1,08 ⋅ C + 16 ⇒ C = 10 000 
Resposta: alternativa a. 
 
4. Determine o juro produzido pelo capital de R$ 12 000,00, aplicado a juro composto de 
1,4% ao mês, capitalizado mensalmente, durante um ano. 
Solução: 
Aplicando a fórmula vista, temos: 
J = C 1 + i n − C ⇒ J = 12 000 1 + 0,014 12 − 12 000 ⇒ J = 2 178,71 
Resposta: R$ 2 178,71 
 
5. A que taxa de juro mensal um capital de R$ 2 000,00 gera um montante de R$ 2 200,00, 
durante 2 meses? 
Solução: 
Usando a fórmula do montante composto, temos: 
M = C 1 + i n ⇒ 2 200 = 2 000 1 + i 2 ⇒ 1,1 = 1 + i ⇒ i = 0,0488 = 4,88% 
Resposta: 4,88% a.m. 
18 
 
6. (UF-PI) Um capital é empregado a uma taxa anual de 5% (juros compostos), calculada 
anualmente. Se o valor do montante, depois de n anos, é aproximadamente 34% maior do 
que o capital inicial, qual o valor de n? (Use log 1,05 = 0,02 e log 1,34 = 0,12). 
Solução: 
Basta verificar que, neste caso, M = 134% de C. 
M = C 1 + i n ⇒ 
134
100
⋅ C = C 1 + 0,05 n ⇒ 1,34 = 1,05n 
Assim, usando algumas propriedades dos logaritmos, temos: 
1,34 = 1,05n ⇒ log 1,34 = log 1,05n ⇒ log 1,34 = n ⋅ log 1,05 ⇒ n = 6 
Resposta: n é igual a 6 anos. 
 
 Nota do Autor 
Use os botões: 𝑥𝑦 ou 𝑦𝑥 , ou ainda ∧ , para efetuar potenciações em sua calculadora. E, 
caso seja necessário, no apêndice “A” há um resumo sobre logaritmos e suas propriedades. 
 
 Exercícios Propostos 
 
1. Determine o montante de um capital inicial de R$ 6 000,00 a juros compostos, sob a taxa de 
5% a.m., durante seis meses. 
 
2. Qual o capital que deve ser aplicado a juros compostos durante 5 meses e à taxa de 1,5% ao 
mês para resultar em um montante de R$ 12 000,00? 
 
3. Qual foi a taxa de juros semestral utilizada, segundo a qual a importância de R$ 10 000,00 
foi remunerada produzindo um montante de R$ 15 200,00 no prazo de dois anos? 
 
4. Por quantos meses o capital de R$ 1 800,00 foi aplicado a uma taxa dejuro composto de 
1,6% ao mês, tendo produzido o montante de R$ 2 250,00? 
 
5. (ESPM-SP) Certo capital foi aplicado a juros compostos durante 2 anos, à taxa de 20% ao 
ano. Se esse capital tivesse sido aplicado a juro simples, para obter o mesmo rendimento, a 
taxa mensal deveria ser de aproximadamente: 
a) 2% b) 1,98% c) 1,94% d) 1,87% e) 1,83% 
 
6. (PUC-SP, adaptado) Utilizando-se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, o capital de R$ 2 000,00, 
aplicado a juros compostos, à taxa de 20% ao ano, produzirá o montante de R$ 5 000,00, 
ao final de um período de: 
a) 4 anos d) 5 anos 
b) 4 anos e 2 meses e) 5 anos e 6 meses 
c) 4 anos e 8 meses 
19 
 
05 Desconto Composto 
 
Em essência, o conceito de desconto será o mesmo visto anteriormente, ou seja, é o 
abatimento sobre um título de crédito resgatado antecipadamente. O que muda é apenas o 
regime de capitalização. Aqui teremos também dois tipos de descontos, por fora e por dentro. 
 
 Desconto Comercial Composto 
 
O desconto comercial composto, que indicaremos por D, é calculado aplicando-se uma taxa 
de desconto sobre o valor nominal. Sendo assim, consideremos um título de crédito de valor atual 
“A”, valor nominal “N” e uma taxa de desconto “i”. 
No primeiro período, A pode ser calculado do seguinte modo: 
A1 = N − D ⇒ A1 = N − N ⋅ i ⇒ A1 = N 1 − i 
No segundo período, temos: 
A2 = A1 − D ⇒ A2 = N 1 − i − N 1 − i ⋅ i ⇒ A2 = N 1 − i 
2 
Em resumo, para se calcular o valor atual resgatado pela capitalização composta com n 
períodos de antecipação, usamos a seguinte fórmula: 
 
Então, concluímos que desconto comercial composto é dado por: 
D = N − A ⇒ D = N − N 1 + i n 
Fatorando, temos: 
 
 
 Exercícios Resolvidos 
 
1. Uma empresa concede 3,8% ao mês de desconto comercial composto para compras 
realizadas à vista. Se o valor a prazo for de R$ 3 000,00 e o prazo concedido é de 60 dias, 
determine o valor pago à vista. 
Solução: 
Perceba que o valor à vista corresponde ao valor atual do título, assim: 
A = N 1 − i n ⇒ A = 3 000 ⋅ 1 − 0,038 2 ⇒ A = 2 776,33 
Resposta: R$ 2 776,33. 
 
D = N ⋅ 1 − 1 − i n 
A = N 1 − i n 
20 
 
2. Determine o valor do desconto comercial composto de um título de R$ 8 000,00 
descontando um ano antes do vencimento, a uma taxa de desconto de 3% ao bimestre. 
Solução: 
Esta é uma aplicação direta da fórmula do desconto comercial composto: 
D = N ⋅ 1 − 1 − i n ⇒ D = 8 000 ⋅ 1 − 1 − 0,03 6 ⇒ D = 1 336,22 
Resposta: R$ 1 336,22. 
 
3. Uma empresa, necessitando de capital de giro, decide antecipar um título de crédito com 
vencimento daqui a 150 dias. A instituição financeira, aplicando o desconto comercial 
composto, antecipa o valor de R$ 16 847,50. Se o valor nominal é de R$ 20 000,00, 
determine a taxa de desconto oferecida pelo banco. 
Solução: 
Como 150 dias correspondem a 5 meses, vamos determinar uma taxa mensal: 
A = N 1 − i n ⇒ 16 847,50 = 20 000 1 − i 5 ⇒ 0,842375 = 1 − i 5 ⇒ 
⇒ 0,8423751/5 = 1 − i ⇒ i ≅ 0,0337 = 3,37% 
Resposta: 3,37% ao mês. 
 
4. Antecipando um título de crédito à taxa de 36% ao ano, uma instituição financeira, ao 
aplicar o desconto comercial composto, define o valor liberado em R$ 17 888,54. Se o valor 
nominal é de R$ 20 000,00, calcule o prazo da operação. 
Solução: 
Assim, temos que: 
A = N 1 − i n ⇒ 17 888,54 = 20 000 1 − 0,36 n ⇒ 0,89443 = 0,64n 
Usando logaritmos, temos: 
0,89443 = 0,64n ⇒ log 0,89443 = n ⋅ log 0,64 ⇒ n =
log 0,89443
log 0,64
= 0,25 
Como 0,25 corresponde a fração 1/4, logo 0,25 anos equivale a 3 meses. 
Resposta: 3 meses. 
 
 Desconto Racional Composto 
 
Em um título de crédito gerado pela capitalização composta, o valor nominal pode ser dado 
pelo juro composto sobre o valor atual de modo que o período de capitalização corresponde ao 
período de antecipação. Assim: 
N = A 1 + i n ⇒ 
 
 
A =
N
 1 + i n
 
21 
 
A situação descrita é ilustrada pelo gráfico abaixo: 
 
Desta forma, o valor do desconto racional composto, indicado por “Dr”, é dado por: 
Dr = N − A ⇒ 
 
 
 Exercícios Resolvidos 
1. Suponha um título no valor de R$ 47 800,00 com vencimento para daqui a quatro meses e 
que se deseja quitá-lo hoje. Supondo, ainda, que se consiga uma taxa de desconto racional 
composto de 2,8% ao mês. Qual o valor do desconto a ser recebido e o valor da quantia a 
ser paga? 
Solução: 
Aplicação direta da fórmula do valor atual do desconto racional composto: 
A =
N
 1 + i n
⇒ A =
47 800
 1 + 0,028 4
⇒ A = 42 801,15 
Em posse do valor atual, basta subtraí-lo do valor nominal para obter o desconto: 
Dr = N − A ⇒ Dr = 47 800 − 42 801,15 ⇒ Dr = 4 998,85 
Resposta: o valor do desconto é de R$ 4 998,85 e o valor a ser recebido é de R$42 801,15. 
 
2. Um título cujo valor atual é de R$ 3 500,00 foi descontado a uma taxa de 5% ao mês. Sabe-
se que seu vencimento é daqui a 90 dias. Determine o valor nominal deste título. 
Solução: 
Usando a fórmula vista, temos: 
A =
N
 1 + i n
⇒ 3 500 =
N
 1 + 0,05 3
⇒ N = 3 500 ⋅ 1 + 0,05 3 ⇒ N = 4 051,69 
Resposta: R$ 4 051,69. 
Dr = N −
N
 1 + i n
 
22 
 
3. Um título de crédito foi descontado a uma taxa de 8% ao mês e seu vencimento é para 
daqui alguns dias. Se o valor nominal é de R$ 1 800,00 e o valor atual de R$ 1 603,75 
determine o prazo de antecipação. 
Solução: 
Aplicando a equação do valor atual, temos: 
A =
N
 1 + i n
⇒ 1 603,75 =
1 800
 1 + 0,08 n
⇒ 1 603,75 ⋅ 1,08n = 1 800 ⇒ 1,08n =
1 800
1 603,75
⇒ 
⇒ 1,08n = 1,122369 ⇒ n ⋅ log 1,08 = log 1,122369 ⇒ n =
log 1,122369
log 1,08
⇒ n = 1,5 
Resposta: um mês e meio, ou seja, 45 dias. 
 
4. Um título de crédito é descontado 180 dias antes do seu vencimento. Sabendo-se que o 
valor nominal é de R$ 5 000,00 e que o desconto racional composto foi de R$ 2 838,36, 
determine a taxa de desconto. 
Solução: 
Note que 180 dias corresponde a 6 meses, assim, busquemos uma taxa mensal: 
Dr = N −
N
 1 + i n
⇒ 2 838,36 = 5 000 −
5 000
 1 + i 6
⇒ 1 + i 6 = 2,31306 ⇒ 
⇒ 1 + i = 2,313061/6 ⇒ i = 0,15 = 15% 
Resposta: 15% ao mês. 
 
 Exercícios Propostos 
1. Determine o desconto comercial composto de um título de R$ 40 000,00 que vencerá daqui 
um ano, supondo uma taxa efetiva de desconto igual a 1,8% ao mês. 
 
2. Um título é descontado com base na modalidade de desconto comercial composto. Sabe-se 
que a taxa é de 10% ao mês e o prazo de antecipação é de 3 meses. Determine o valor 
liberado, se o valor nominal corresponde a R$ 15 000,00. 
 
3. Um título de R$ 27 000,00 é descontado oito meses antes de seu vencimento, por desconto 
comercial composto, pelo valor de R$ 23 925,09. Considerando a capitalização mensal, 
calcule a taxa de desconto. 
 
4. Um título de R$ 12 000,00 foi resgatado por 11 091,02 a uma taxa de desconto comercial 
composto de 1,95% ao mês. Determine o prazo de antecipação do título. 
 
5. Um título de valor nominal R$ 12 000,00 foi descontado 3 meses antes do seu vencimento. 
Sabendo que a taxa é de 2,5% a.m., qual o valor atual recebido no modelo racional 
composto? 
 
23 
 
6. Uma nota promissória no valor de R$ 30.000,00 foi descontada 120 dias antes do seu 
vencimento à taxa de 4% a.m. Qual foi o desconto racional composto? 
 
7. Um título de R$ 48 100,00 é descontado um ano antes do vencimento, por desconto 
racional composto, pelo valor de R$ 43 106,96. Calcule a taxa mensal de desconto. 
 
8. Um título de R$ 10 000,00 foi resgatado antes de seu vencimento e obteve uma taxa de 
desconto racional composto iguala 2,15% ao mês. Sabendo que o resgate foi efetuado por 
R$ 8 801,77, determine o prazo de antecipação do título. 
 
 
24 
 
06 Noção sobre Amortizações 
 Conceito de Amortização 
Até então, estudamos o pagamento de um montante sobre um capital em uma única 
parcela, após determinado período. No entanto, será dada nesta secção uma noção sobre 
pagamentos efetuados em parcelas, esse tipo de operação é chamado de amortização. 
 
 Modelo Básico de uma Sequência Uniforme 
Consideremos um capital financiado “C” que deve ser pago em prestações iguais de valor 
“p” nas datas 1, 2, 3, ..., n e, suponhamos que a taxa de juros compostos cobrada seja i por 
período de tempo. 
 
Assim, é possível provar que a relação existente entre o valor das prestações “p” e o capital 
financiado “C”, a taxa de juro “i” e o número de prestações “n” é dada pela seguinte fórmula: 
 
 
 Sistema Francês de Amortização (Sistema Price) 
Há várias formas de se amortizar uma dívida que constituem os chamados sistemas de 
amortização. Neste texto, por questões de compacidade, explanaremos somente o sistema 
francês ou Sistema Price que é amplamente utilizado no Brasil. Nesse sistema, é adotado o critério 
de sequência uniforme, ou seja, a amortização ocorre em parcelas periódicas, iguais e sucessivas. 
Cada prestação é composta de uma cota de amortização e uma de juros, que variam em 
sentido inverso ao longo do prazo de financiamento. Isso ocorre porque o juro diminui a cada 
período, pois ele é calculado sobre o saldo devedor que diminui a cada parcela paga e, como as 
parcelas são fixas, os valores correspondentes as amortizações vão aumentando. 
A situação descrita é ilustrada pelo gráfico abaixo: 
 
p =
C ⋅ i ⋅ 1 + i n
 1 + i n − 1
 
25 
 
No sistema francês o saldo devedor “St” de um período específico é dado pela diferença 
entre o saldo devedor do período anterior e o valor da atual amortização, assim: 
 
E o juro de um período específico é calculado aplicando-se a taxa de juro sobre o saldo 
devedor do período anterior: 
 
Como as prestações são constituídas de duas partes: o juro “J” e a amortização “a”, assim: 
 
 
 Exercício Resolvido 
 
Uma empresa financiou um galpão no valor de R$ 100 000,00 pelo sistema francês de 
amortização. Sabendo-se que o financiamento constitui de 4 prestações mensais com taxa 
de 10% ao mês. Descreva em uma planilha o valor das parcelas, as amortizações, o juro e o 
saldo devedor. 
Solução: 
Por se tratar de uma sequência uniforme, o valor das prestações é dado por: 
p =
C ⋅ i ⋅ 1 + i n
 1 + i n − 1
⇒ p =
100 000 ⋅ 0,1 ⋅ 1 + 0,1 4
 1 + 0,1 4 − 1
⇒ p = 31 547,08 
Assim, têm-se quatro parcelas iguais a R$ 31 547,08. 
Vamos calcular o juro, a amortização e o saldo devedor no primeiro período: 
Jt = St−1 ⋅ i ⇒ J1 = 100 000 ⋅ 0,1 ⇒ J1 = 10 000,00 
p = at + Jt ⇒ 31 547,08 = a1 + 10 000 ⇒ a1 = 21 547,08 
St = St−1 − at ⇒ S1 = 100 000 − 21 547,08 ⇒ S1 = 78 452,92 
Calculando os mesmos valores para o segundo período, temos: 
Jt = St−1 ⋅ i ⇒ J2 = 78 452,92 ⋅ 0,1 ⇒ J2 = 7 845,29 
p = at + Jt ⇒ 31 547,08 = a2 + 7 845,29 ⇒ a2 = 23 701,79 
St = St−1 − at ⇒ S2 = 78 452,92 − 23 701,79 ⇒ S2 = 54 751,13 
Já no terceiro período, temos: 
Jt = St−1 ⋅ i ⇒ J3 = 54751,13 ⋅ 0,1 ⇒ J3 = 5 475,11 
p = at + Jt ⇒ 31 547,08 = a3 + 5 475,11 ⇒ a3 = 26 071,97 
St = St−1 − at ⇒ S3 = 54 751,13 − 26 071,97 ⇒ S3 = 28 679,16 
 
p = at + Jt 
Jt = St−1 ⋅ i 
St = St−1 − at 
26 
 
Por fim, no quarto período, temos: 
Jt = St−1 ⋅ i ⇒ J4 = 28 679,16 ⋅ 0,1 ⇒ J4 = 2 867,92 
p = at + Jt ⇒ 31 547,08 = a4 + 2 867,92 ⇒ a4 = 28 679,16 
St = St−1 − at ⇒ S4 = 28 679,16 − 28 679,16 ⇒ S4 = 0,00 
Logo construímos a chamada Tabela Price: 
Período Valor da prestação Amortização Juro da parcela Saldo devedor 
0 R$ 31 547,08 R$ 100 000,00 
1 R$ 31 547,08 R$ 21 547,08 R$ 10 000,00 R$ 78 452,92 
2 R$ 31 547,08 R$ 23 701,79 R$ 7 845,29 R$ 54 751,13 
3 R$ 31 547,08 R$ 26 071,97 R$ 5 475,11 R$ 28 679,16 
4 R$ 31 547,08 R$ 28 679,16 R$ 2 867,92 R$ 0,00 
 
 Exercício Proposto 
 
Um apartamento no valor de R$ 100 000,00 foi financiado pelo sistema francês de 
amortização, sendo dada uma entrada de 10% do valor total no ato da compra. Sabendo-se que o 
financiamento constitui de 10 parcelas mensais e que a taxa é de 1,8% ao mês, construa a Tabela 
Price para esse problema. 
 
 Nota do Autor 
 
Agradeço a atenção e paciência de todos e desejo-lhes bons estudos! Dúvidas, críticas e 
sugestões são bem vindas. Este material (juntamente com vários outros arquivos sobre 
Matemática) está disponível gratuitamente no sitio: 
http://manualdasexatas.blogspot.com.br/ 
 
27 
 
Respostas dos exercícios propostos 
 
 Revisão de Porcentagem 
1. R$ 234,00 
2. 56,25% 
3. Não. O preço correto a ser cobrado seria R$ 19,92. 
4. b) 
5. e) 
6. 9 100 homens e 9 400 mulheres. 
7. Vendas: R$ 180,00; lucro: R$ 36,00. 
8. b) 
 
 Conceitos Iniciais 
1. d) 
2. a) 
3. a. R$ 927,00 
b. Pagar à vista, pois aplicando ainda faltaria R$ 1,00 para o pagamento. 
4. 13% 
5. a. 17,08% 
b. R$ 4 000,00 
6. c) 
 
 Capitalização Simples 
1. d) 
2. d) 
3. a) 
4. a. 6,25% a.m. 
b. 5 meses. 
5. Falsa. 
6. a) 
7. a e b 
 
 Desconto Simples 
1. R$ 234,00 
2. R$ 40 931,25 
3. 3,6% a.m. 
4. R$ 20 000,00 
28 
 
5. R$ 152,54 
6. R$ 4 000,00 
7. 3% a.m. 
8. 25 dias 
9. R$ 92,90 
10. R$ 3 024,00 
 
 Capitalização Composta 
 
Obs.: os resultados poderão gerar pequenas diferenças dependendo de quantas casas decimais o 
leitor utilizar em seus cálculos. 
1. R$ 8 040,57 
2. R$ 11 139,12 
3. 11,035% a.s. 
4. 14 meses 
5. e) 
6. d) 
 
 Desconto Composto 
 
1. R$ 7 833,94 
2. R$ 10 935,00 
3. 1,5% a.m. 
4. 4 meses 
5. R$ 11 143,19 
6. R$ 4 355,87 
7. 0,91% a.m. 
8. 6 meses 
 
 Noção sobre Amortizações 
 
Resposta do exercício proposto: 
Período Valor da prestação Amortização Juro da parcela Saldo devedor 
0 R$ 90 000,00 
1 R$ 9 914,83 R$ 8 294,83 R$ 1 620,00 R$ 81 705,17 
2 R$ 9 914,83 R$ 8 444,14 R$ 1 470,69 R$ 73 261,03 
3 R$ 9 914,83 R$ 8 596,13 R$ 1 318,70 R$ 64 664,90 
4 R$ 9 914,83 R$ 8 750,86 R$ 1 163,97 R$ 55 914,04 
5 R$ 9 914,83 R$ 8 908,38 R$ 1 006,45 R$ 47 005,66 
6 R$ 9 914,83 R$ 9 068,73 R$ 846,10 R$ 37 936,93 
7 R$ 9 914,83 R$ 9 231,97 R$ 682,86 R$ 28 704,96 
8 R$ 9 914,83 R$ 9 398,14 R$ 516,69 R$ 19 306,82 
9 R$ 9 914,83 R$ 9 567,31 R$ 347,52 R$ 9 739,51 
10 R$ 9 914,83 R$ 9 739,52 R$ 175,31 −R$ 0,01 
 
29 
 
Resolução dos exercícios propostos 
 Nota do autor 
 
Procure tentar resolver os exercícios por conta própria e a seu modo. Há inúmeros caminhos 
de se chegar a uma mesma resposta de um problema matemático. Deixe para recorrer a estas 
resoluções em último caso, pois de repente o seu modo de encarar os problemas seja mais 
simples do que o modo do autor. 
 
 Revisão de porcentagem 
 
1. Solução: 
Basta calcularmos quanto é 130% de R$ 180,00: 
130
100
⋅ 180 = 234 
Resposta: R$ 234,00. 
 
2. Solução: 
Usando regra de três, temos: 
Valor Porcentagem 
1,60 100% 
2,50 𝑥% 
1,6
2,5
=
100
𝑥
⇒ 𝑥 = 156,25 
Resposta: 56,25% 
 
3. Solução: 
De acordo com a promoção, Flávia devia pagar 80% do preço da camiseta, assim: 
80% de 24,90 ⇔ 
80
100
⋅ 24,90 = 19,92 
Resposta: o preço correto a ser cobrado seria R$ 19,92. 
 
4. Solução: 
É fácil perceber que o lucro foi de 8 mil, assim deverá ser pago 15% dessa quantia: 
15
100
⋅ 8 000 = 1 200 
Resposta:alternativa b) R$ 1 200,00. 
 
 
 
 
 
 
30 
 
5. Solução: 
Como cliente não possuí o cartão da loja, ele pagará 80% do valor do produto: 
80
100
⋅ 50 = 40 
Caso o cliente possuísse o cartão da loja, pagaria 90% sobre o preço já descontado de 80%, logo: 
90
100
⋅ 40 = 36 
Resposta: alternativa e) R$ 4,00. 
 
6. Solução 
Chamando de 𝑥 o número de eleitores homens e de 𝑦 o número de eleitoras mulheres, temos que: 
94
100
⋅ 𝑥 =
91
100
⋅ 𝑦 
E como se tem que: 
𝑥 + 𝑦 = 18 500 
Associando essas duas equações, temos: 
94
100
⋅ 𝑥 =
91
100
⋅ 18 500 − 𝑥 ⇒ 𝑥 = 9 100 
Portanto, 𝑦 = 9 400. 
Logo, temos 9 100 eleitores homens e 9 400 eleitoras mulheres. 
 
7. Solução: 
Chamando o custo de “c”, o valor arrecadado em vendas de “v” e o lucro de “l”, temos: 
c = 90 +
30
100
⋅ v 
Sabemos que o lucro é a arrecadação em vendas menos o custo, logo: 
l = v − c ⇒ l = v − 90 +
30
100
⋅ v 
Pretende-se que o lucro “l” represente 20% das vendas, assim temos: 
l =
20
100
⋅ v 
Associando estas duas últimas equações, temos: 
20
100
⋅ v = v − 90 +
30
100
⋅ v ⇒ v = 180 
Portanto: 
l =
20
100
⋅ 180 ⇒ l = 36 
Resposta: vendas R$ 180,00; lucro R$ 36,00. 
 
 
31 
 
8. Solução: 
Usando uma regra de três simples poderíamos determinar o preço “𝑥” correto para o novo tamanho 
do papel em função do preço “p” do tamanho original: 
Comprimento Preço 
40 m p 
30 m 𝑥 
40
30
=
p
𝑥
⇒ 𝑥 =
3
4
⋅ p 
Isso quer dizer que o papel deveria custar 3/4 do preço p, porém continua a custar p. 
Imaginemos agora que um aumento de 𝑦% no valor do tamanho reduzido resulte na diferença para 
o valor original, ou seja, 𝑦% representaria o aumento para o consumidor. Logo: 
𝑦
100
⋅ 
3
4
⋅ p =
1
4
⋅ p ⇒ 𝑦 = 33,33 
Resposta: alternativa b) superior ou igual a 30%. 
 
 Conceitos Iniciais 
 
1. Solução: 
Perceba que o capital financiado é de R$ 312,00, ou seja, o juro cobrado é de R$ 78,00. 
Assim, a taxa percentual de juros será dada por: 
i ⋅ 312 = 78 ⇒ i = 0,25 
Resposta: alternativa d) 25%. 
 
2. Solução: 
Perceba que o capital financiado é de R$ 40,00, ou seja, o juro cobrado é de R$ 20,00. 
Assim, a taxa percentual de juros será dada por: 
i ⋅ 40 = 20 ⇒ i = 0,50 
Resposta: alternativa a) 50%. 
 
3. Solução: 
O valor desembolsado à vista é 90% do valor original, logo: 
90
100
⋅ 1 000 = 900 
Aplicando esse último como capital, rendendo 3%, temos: 
103
100
⋅ 900 = 927 
Resta saber quanto se deve pagar em 30 dias com desconto de 7,2%: 
92,8
100
⋅ 1 000 = 728 
Respostas: a) No final da aplicação o comprador teria R$ 727,00. 
b) A opção mais vantajosa é pagar à vista, pois aplicando o dinheiro ainda faltaria R$ 1,00. 
 
32 
 
4. Solução: 
Chamando de 𝑥 o capital total investido, temos que o valor ganho no investimento pode ser dado 
por: 
98% de 
2
5
⋅ 𝑥 + 120% de 
3
10
⋅ 𝑥 + 126% de 
3
10
⋅ 𝑥 ⇒ 
⇒
98
100
⋅ 
2
5
⋅ 𝑥 +
120
100
⋅ 
3
10
⋅ 𝑥 +
126
100
⋅ 
3
10
⋅ 𝑥 
Simplificando a expressão: 
113
100
⋅ 𝑥 
Resposta: o investidor lucrou 13% em relação a seu capital inicial. 
 
5. Solução: 
Aplicando R$ 7 000,00 em A e R$ 5 000,00 temos um montante final de: 
115
100
⋅ 7 000 +
120
100
⋅ 5 000 = 14 050 
Onde este último valor representa um aumento de 17,08% em relação ao capital inicial. 
Chamando de 𝑥 o valor investido em A e estipulando o montante mínimo de R$ 14 200,00, temos: 
115
100
⋅ 𝑥 +
120
100
⋅ 12 000 − 𝑥 = 14 200 
Resolvendo esta última equação (do primeiro grau), encontramos: 
𝑥 = 4 000 
Respostas: a) 17,08% 
b) R$ 4 000,00 
 
6. Solução: 
Chamemos de 𝑎 e de 𝑏 as quantias aplicadas nos fundos A e B, respectivamente. Assim, no primeiro 
mês temos um montante igual a: 
150
100
⋅ 𝑎 +
130
100
⋅ 𝑏 
E no segundo mês, o montante será dado pelo aumento de 20% sobre esse último montante, logo: 
120
100
⋅ 
150
100
⋅ 𝑎 +
130
100
⋅ 𝑏 
Simplificando a última expressão, temos: 
9
5
⋅ 𝑎 +
39
25
⋅ 𝑏 
Sabemos que a última expressão representa 163,2% do capital inicial total, ou seja, 𝑎 + 𝑏. Logo: 
9
5
⋅ 𝑎 +
39
25
⋅ 𝑏 =
163,2
100
 𝑎 + 𝑏 
 
 
33 
 
Simplificando, temos: 
𝑎 =
3
7
⋅ 𝑏 
Assim, a porcentagem aplicada em B é: 
𝑏
𝑎 + 𝑏
=
𝑏
3
7
⋅ 𝑏 + 𝑏
= 0,70 = 70% 
Resposta: alternativa c) 70%. 
 
 Capitalização Simples 
 
1. Solução: 
Aplicando a fórmula para o cálculo do juro simples, temos: 
J = C ⋅ i ⋅ n ⇒ J = 600 ⋅
5
100
⋅ 3 ⇒ J = 90 
Resposta: alternativa d) R$ 90,00. 
 
2. Solução: 
Aplicando a fórmula do montante para juro simples, temos: 
M = C + C ⋅ i ⋅ n ⇒ 141 600 = C + C ⋅
3
100
⋅ 6 ⇒ C = 120 000 
Resposta: alternativa d) R$ 120 000,00. 
 
3. Solução: 
Primeiro, vamos calcular o montante gerado na primeira instituição: 
M = C + C ⋅ i ⋅ n ⇒ M = 100 + 100 ⋅
1,8
100
⋅ 5 ⇒ M = 109 
Agora usaremos este montante como capital inicial na segunda instituição. Note que de acordo com 
os dados, o juro gerado na segunda instituição é de R$ 10,90. Assim: 
J = C ⋅ i ⋅ n ⇒ 10,90 = 109 ⋅ i ⋅ 4 ⇒ i = 0,025 = 2,5% 
Resposta: alternativa a) 2,5%. 
 
4. Solução: 
É fácil perceber que o juro total sobre o capital financiado é de R$ 50,00, logo: 
J = C ⋅ i ⋅ n ⇒ 50 = 400 ⋅ i ⋅ 2 ⇒ i = 0,0625 = 6,25% 
Para que i seja igual a 2,5% a.m., teríamos: 
J = C ⋅ i ⋅ n ⇒ 50 = 400 ⋅
2,5
100
⋅ n ⇒ n = 5 
Respostas: a) 6,25% 
b) 5 meses 
 
34 
 
5. Solução: 
O capital financiado no pagamente a prazo é 90% de R$ 1 000,00, logo: 
90
100
⋅ 1 000 = 900 
Agora basta calcular a taxa de juro deste financiamento considerando o montante de R$ 1 080,00 
para verificar se a sentença é verdadeira ou falsa: 
M = C + C ⋅ i ⋅ n ⇒ 1 080 = 900 + 900 ⋅ i ⋅ 4 ⇒ i = 0,05 = 5% 
Resposta: a sentença é falsa, pois a taxa deveria ser de 5% a.m. 
 
6. Solução: 
Perceba que o capital (valor à vista) é igual a 95% do montante (valor a prazo), assim: 
M = C + C ⋅ i ⋅ n ⇒ M = 
95
100
⋅ M + 
95
100
⋅ M ⋅ i ⋅ n 
Simplificando a última expressão, temos: 
1 = 19 ⋅ i ⋅ n 
Isolando i, temos: 
i =
1
19n
=
100
19n
% 
Resposta: alternativa a) 
100
19n
% 
 
7. Solução: 
Vamos chamar de 𝑥 e 𝑦 os capitais do primeiro e segundo amigo, respectivamente. Escrevendo suas 
capitalizações de juros temos: 
1º amigo 2º amigo 
J = C ⋅ i ⋅ n ⇒ J = 𝑥 ⋅
4
100
⋅ 20 ⇒ J =
4
5
⋅ 𝑥 J = C ⋅ i ⋅ n ⇒ J = 𝑦 ⋅
5
100
⋅ 18 ⇒ J =
9
10
⋅ 𝑦 
Como em ambos renderam o mesmo juro, podemos igualar as equações: 
4
5
⋅ 𝑥 =
9
10
⋅ 𝑦 
Ora, sabemos que 
𝑥 + 𝑦 = 850 
Associando as duas últimas equações, encontramos que: 
𝑥 = 450 e 𝑦 = 400 
Isso implica que o juro e montante do primeiro e segundo amigo são respectivamente iguais a 
R$ 360,00, R$ 810,00 e R$ 360,00, R$ 760,00. 
Resposta: estão corretas as afirmações “a” e “b”. 
 
 
 
35 
 
 Desconto Simples 
 
1. Solução: 
Basta verificar que três meses representa 1/4 do ano, assim: 
D = N ⋅ i ⋅ n ⇒ D = 3 900 ⋅
24
100
⋅
1
4
⇒ D = 234 
Resposta: R$ 234,00. 
 
2. Solução: 
O valor descontado é dado por: 
D = N ⋅ i ⋅ n ⇒ D = 44 250 ⋅
18
100
⋅
5
12
⇒ D = 3 318,75 
Logo, o valor atual de resgate é dado por: 
A = N − D ⇒ A = 44 250 − 3 318,75 ⇒ A = 40 931,25 
Resposta: R$ 40 931,25. 
 
3. Solução:Perceba que o valor descontado é de R$ 345,60, assim: 
D = N ⋅ i ⋅ n ⇒ 345,6 = 3 200 ⋅ i ⋅ 3 ⇒ i = 0,036 = 3,6% 
Resposta: 3,6% a.m. 
 
4. Solução: 
Observe apenas que 45 dias equivale 1,5 meses, assim: 
D = N ⋅ i ⋅ n ⇒ 1 200 = N ⋅
4
100
⋅ 1,5 ⇒ N = 20 000 
Resposta: R$ 20 000,00. 
 
5. Solução: 
Uma aplicação direta da fórmula do desconto racional: 
Dr =
N ⋅ i ⋅ n
1 + i ⋅ n
⇒ Dr =
1 000 ⋅ 0,03 ⋅ 6
1 + 0,03 ⋅ 6
⇒ Dr = 152,54 
Resposta: R$ 152,54. 
 
6. Solução: 
O valor pago pelo resgate do título trata-se do valor atual da operação, logo: 
A =
N
1 + i ⋅ n
⇒ A =
4 600
1 + 0,3 ⋅ 0,5
⇒ A = 4 000 
Resposta: R$ 4 000,00. 
 
 
 
36 
 
7. Solução: 
Também é uma aplicação direta da fórmula do desconto racional: 
Dr =
N ⋅ i ⋅ n
1 + i ⋅ n
⇒ 255,96 =
2 388,96 ⋅ i ⋅ 4
1 + i ⋅ 4
⇒ i = 0,03 = 3% 
Resposta: 3% a.m. 
 
8. Solução: 
Análogo à questão anterior, temos: 
Dr =
N ⋅ i ⋅ n
1 + i ⋅ n
⇒ 233,01 =
8 000 ⋅ 0,0012 ⋅ n
1 + 0,0012 ⋅ n
⇒ n = 25 
Resposta: 25 dias. 
 
9. Solução: 
Calculando o desconto comercial: 
D = N ⋅ i ⋅ n ⇒ D = 2 000 ⋅
3
100
⋅ 8 ⇒ D = 480 
Calculando o desconto racional: 
Dr =
N ⋅ i ⋅ n
1 + i ⋅ n
⇒ Dr =
2 000 ⋅ 0,03 ⋅ 8
1 + 0,03 ⋅ 8
⇒ Dr = 387,10 
Assim, temos a diferença: D − Dr = 480 − 387,1 = 92,9 
Resposta: R$ 92,90. 
 
10. Solução: 
Considerando-se uma mesma taxa de desconto e o mesmo período de antecipação, temos que o 
numerador da fração da fórmula do desconto racional equivale ao desconto comercial: 
D = N ⋅ i ⋅ n e Dr =
N ⋅ i ⋅ n
1 + i ⋅ n
 ⇒ Dr =
D
1 + i ⋅ n
 
Substituindo os valores do enunciado, temos: 
Dr =
D
1 + i ⋅ n
⇒ 2 800 =
D
1 + 0,02 ⋅ 4
⇒ D = 3 024 
Resposta: o desconto comercial seria de R$ 3 024,00. 
 
 Capitalização Composta 
 
Obs.: os resultados poderão gerar pequenas diferenças dependendo de quantas casas decimais o 
leitor utilizar em seus cálculos. 
 
1. Solução: 
Aplicação direta da fórmula do montante composto: 
M = C 1 + i n ⇒ M = 6 000 1 + 0,05 6 ⇒ M = 8 040,57 
Resposta: R$ 8 040,57. 
 
 
37 
 
2. Solução: 
Usando a fórmula vista, temos: 
M = C 1 + i n ⇒ 12 000 = C 1 + 0,015 5 ⇒ C = 11 139,12 
Resposta: R$ 11 139,12. 
 
3. Solução: 
Basta observar que 2 anos equivale a 4 semestres: 
M = C 1 + i n ⇒ 15 200 = 10 000 1 + i 4 ⇒ 1,52 = 1 + i 4 ⇒ i ≅ 0,11035 
Resposta: 11,035% a.s. 
 
4. Solução: 
Aplicando a fórmula, temos: 
M = C 1 + i n ⇒ 2 250 = 1 800 1 + 0,016 n ⇒ 1,25 = 1 + 0,016 n 
Usando logaritmos (use uma calculadora): 
1,25 = 1,016n ⇒ log 1,25 = n ⋅ log 1,016 ⇒ n = 14 
Resposta: 14 meses. 
 
5. Solução: 
Perceba que o rendimento na capitalização composta corresponde a: 
M = C 1 + i n ⇒ M = C 1 + 0,2 2 ⇒ M = 1,44 ⋅ C 
Assim, devemos estipular que o montante da capitalização simples seja igual a “1,44 ⋅ C” para poder 
determinar a taxa solicitada (lembrando que agora a taxa é mensal): 
M = C + C ⋅ i ⋅ n ⇒ 1,44 ⋅ C = C + C ⋅ i ⋅ 24 ⇒ 1,44 = 1 + i ⋅ 24 ⇒ i = 0,0183 
Resposta: alternativa e) 1,83%. 
 
6. Solução: 
Semelhante a 4ª questão dessa secção, temos: 
M = C + C ⋅ i ⋅ n ⇒ 5 000 = 2 000 1 + 0,2 n ⇒ 2,5 = 1,2n 
Aqui se usa algumas propriedades operatórias dos logaritmos: 
2,5 = 1,2n ⇒ 
25
10
= 
12
10
 
n
⇒ log
25
10
= n ⋅ log
12
10
⇒ log
 10/2 2
10
= n ⋅ log
22 ⋅ 3
10
⇒ n = 5 
Resposta: alternativa d) 
 
 Desconto Composto 
 
1. Solução: 
Aplicando diretamente a fórmula do desconto comercial composto, temos: 
D = N ⋅ 1 − 1 − i n ⇒ D = 40 000 ⋅ 1 − 1 − 0,018 12 ⇒ D = 7 833,94 
Resposta: R$ 7 833,94. 
 
38 
 
2. Solução: 
Sabemos que o valor atual no desconto comercial composto é dado por: 
A = N 1 − i n ⇒ A = 15 000 ⋅ 1 − 0,1 3 ⇒ A = 10 935,00 
Resposta: R$ 10 935,00. 
 
3. Solução: 
Perceba que a quantia de R$ 23 925,09 representa o valor atual, assim: 
A = N 1 − i n ⇒ 23 925,09 = 27 000 ⋅ 1 − i 8 ⇒ 0,886114 = 1 − i 8 ⇒ 
⇒ 0,8861141/8 = 1 − i ⇒ i = 0,015 = 1,5% 
Resposta: 1,5% ao mês. 
 
4. Solução: 
Aplicando a fórmula do valor atual do desconto comercial composto, temos: 
A = N 1 − i n ⇒ 11 091,02 = 12 000 1 − 0,0195 n ⇒ 0,924251 = 0,9805n ⇒ 
⇒ log 0,924251 = n ⋅ log 0,9805 ⇒ n =
log 0,924251
log 0,9805
⇒ n = 4 
Resposta: 4 meses. 
 
5. Solução: 
Uma aplicação direta da fórmula do valor atual do desconto racional composto: 
A =
N
 1 + i n
⇒ A =
12 000
 1 + 0,025 3
⇒ A = 11 143,19 
Resposta: R$ 11 143,19. 
 
6. Solução: 
Sabemos que o desconto racional composto pode ser dado por: 
Dr = N −
N
 1 + i n
⇒ Dr = 30 000 −
30 000
 1 + 0,04 4
⇒ Dr = 30 000 − 25Dr = 4 355,87 
Resposta: R$ 4 355,87. 
 
7. Solução: 
Aplicando a fórmula do valor atual, temos: 
A =
N
 1 + i n
⇒ 43 106,96 =
48 100
 1 + i 12
⇒ 43 106,96 ⋅ 1 + i 12 = 48 100 ⇒ 
⇒ 1 + i 12 =
48 100
43 106,96
⇒ 1 + i 12 = 1,115829 ⇒ 1 + i = 1,1158291/12 ⇒ i = 0,0091 
Resposta: 0,91% a.m. 
 
 
 
39 
 
8. Solução: 
Aplicando também a fórmula do valor atual, temos: 
A =
N
 1 + i n
⇒ 8 801,77 =
10 000
 1 + 0,0215 n
⇒ 8 801,77 ⋅ 1,0215n = 10 000 ⇒ 
⇒ 1,0215n =
10 000
8 801,77
⇒ 1,0215n = 1,136135 ⇒ n ⋅ log 1,0215 = log 1,136135 ⇒ n = 6 
Resposta: 6 meses. 
 
 Noção sobre Amortizações 
 
Solução do exercício proposto: 
Por se tratar de uma sequência uniforme, o valor das prestações é dado por: 
p =
C ⋅ i ⋅ 1 + i n
 1 + i n − 1
⇒ p =
90 000 ⋅ 0,018 ⋅ 1 + 0,018 10
 1 + 0,018 10 − 1
⇒ p = 9 914,83 
Assim, o valor das prestações será de R$ 9 914,83. 
Lembre-se que é dada entrada de 10% e, por isso, o capital financiado é de R$ 90 000,00. 
A seguir será calculado o juro, a amortização e o saldo devedor em cada período da operação: 
Jt = St−1 ⋅ i ⇒ J1 = 90 000 ⋅ 0,018 ⇒ J1 = 1 620 
p = at + Jt ⇒ 9 914,83 = a1 + 1 620 ⇒ a1 = 8 294,83 
St = St−1 − at ⇒ S1 = 90 000 − 8 294,83 ⇒ S1 = 81 705,17 
1º período 
 
Jt = St−1 ⋅ i ⇒ J2 = 81 705,17 ⋅ 0,018 ⇒ J2 = 1 470,69 
p = at + Jt ⇒ 9 914,83 = a2 + 1 470,69 ⇒ a2 = 8 444,14 
St = St−1 − at ⇒ S2 = 81 705,17 − 8 444,14 ⇒ S2 = 73 261,03 
2º período 
 
Jt = St−1 ⋅ i ⇒ J3 = 73 261,03 ⋅ 0,018 ⇒ J3 = 1 318,70 
p = at + Jt ⇒ 9 914,83 = a3 + 1 318,70 ⇒ a3 = 8 596,13 
St = St−1 − at ⇒ S3 = 73 261,03 − 8 596,13 ⇒ S3 = 64 664,90 
3º período 
 
Jt = St−1 ⋅ i ⇒ J4 = 64 664,90 ⋅ 0,018 ⇒ J4 = 1 163,97 
p = at + Jt ⇒ 9 914,83 = a4 + 1 163,97 ⇒ a4 = 8 750,86 
St = St−1 − at ⇒ S4 = 64 664,90 − 8 750,86 ⇒ S4 = 55 914,04 
4º período 
 
Jt = St−1 ⋅ i ⇒ J5 = 55 914,04 ⋅ 0,018 ⇒ J5 = 1 006,45 
p = at + Jt ⇒ 9 914,83 = a5 + 1 006,45 ⇒ a5 = 8 908,38 
St = St−1 − at ⇒ S5 = 55 914,04 − 8 908,38 ⇒ S5 = 47 005,66 
5º período 
 
40 
 
Jt = St−1 ⋅ i ⇒ J6 = 47 005,66 ⋅ 0,018 ⇒ J6 = 846,10 
p = at + Jt ⇒ 9 914,83 = a6 + 846,10 ⇒ a6 = 9 068,73 
St = St−1 − at ⇒ S6 = 47 005,66 − 9 068,73 ⇒ S6 = 37 936,93 
6º período 
 
Jt = St−1 ⋅ i ⇒ J7 = 37 936,93 ⋅ 0,018 ⇒ J7 = 682,86 
p = at + Jt ⇒ 9 914,83 = a7 + 682,86 ⇒ a7 = 9 231,97 
St = St−1 − at ⇒ S7 = 37 936,93 − 9 231,97 ⇒ S7 = 28 704,96 
7º período 
 
Jt = St−1 ⋅ i ⇒ J8 = 28 704,96 ⋅ 0,018 ⇒ J8 = 516,69 
p = at + Jt ⇒ 9 914,83 = a8 + 516,69 ⇒ a8 = 9 398,14 
St = St−1 − at ⇒ S8 = 28 704,96 − 9 398,14 ⇒ S8 = 19 306,82 
8º período 
 
Jt = St−1 ⋅ i ⇒ J9 = 19 306,82 ⋅ 0,018 ⇒ J9 = 347,52 
p = at + Jt ⇒9 914,83 = a9 + 347,52 ⇒ a9 = 9 567,31 
St = St−1 − at ⇒ S9 = 19 306,82 − 9 567,31 ⇒ S9 = 9 739,51 
9º período 
 
Jt = St−1 ⋅ i ⇒ J10 = 9 739,51 ⋅ 0,018 ⇒ J10 = 175,31 
p = at + Jt ⇒ 9 914,83 = a10 + 175,31 ⇒ a10 = 9 739,52 
St = St−1 − at ⇒ S10 = 9 739,51 − 9 739,52 ⇒ S10 = −0,01 
10º período 
 
Devido a arredondamentos, no saldo devedor do 10º período encontramos −R$ 0,01, isso significa 
que sobrou 1 centavo e, portanto, a dívida foi totalmente amortizada. 
41 
 
Bibliografia 
 
CASTANHEIRA, N. P.; MACEDO, L. R. D. Matemática Financeira Aplicada. Curitiba: Ibpex, 2007. 
IEZZI, G.; HAZZAN, S.; DEGENSZAJN, D. Matemática Comercial, Matemática Financeira e Estatística 
Descritiva. São Paulo: Atual, 2004. (Coleção Fundamentos de Matemática Elementar 11) 
PINHEIRO, C. A. O. Matemática Financeira: sem o uso de calculadoras financeiras. 2 ed. Rio de 
Janeiro: Ciência Moderna, 2009. 
SPINELLI, W.; SOUZA, M. H. S. Matemática Comercial e Financeira. 14 ed. São Paulo: Ática, 2003. 
 
 
 
42 
 
Apêndice A – Logaritmos 
 
 Definição de Logaritmo 
Sendo 𝑎 e 𝑏 números reais positivos, com 𝑎 ≠ 1, chama-se logaritmo de 𝒃 na base 𝒂, o 
expoente que se deve dar à base 𝑎 de modo que a potência obtida seja igual a 𝑏. Indicamos da 
seguinte forma: 
 
Onde 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 0 < 𝑎 ≠ 1 e 𝑏 > 0. 
Dizemos que 𝑎 é a base do logaritmo, 𝑏 é o logaritmando e 𝑥 é o logaritmo. 
 
 Exemplos 
 log2 8 = 3 pois 2
3 = 8  log2 4 = 2 pois 2
2 = 4 
 log4 4 = 1 pois 4
1 = 4  log8 1 = 0 pois 8
0 = 1 
 
 Consequências da Definição 
Decorrem diretamente da definição de logaritmo as seguintes propriedades: 
 
 
 
 Propriedades Operatórias 
É possível provar que os logaritmos obedecem às seguintes propriedades operatórias: 
 
 
 
 
 Mudança de Base 
Eventualmente é preciso efetuar uma mudança na base em um logaritmo, para isso usamos 
da seguinte propriedade (que também pode ser provada): 
 
 
Obs.: Quando não se está indicada a base de um logaritmo, significa que a base é o número 10 e o 
logaritmo é dito decimal. E, quando se escreve “ln” ao invés de “log”, indica que a base é o 
número “𝑒” e, o logaritmo é dito natural. 
log𝑎 𝑏 =
log𝑐 𝑏
log𝑐 𝑎
 
log𝑎 𝑏
n
= log𝑎 𝑏
1
n =
1
n
⋅ log𝑎 𝑏 log𝑎 𝑏
𝑘 = 𝑘 ⋅ log𝑎 𝑏 
log𝑎 𝑏 ÷ 𝑐 = log𝑎 𝑏 − log𝑎 𝑐 log𝑎 𝑏 ⋅ 𝑐 = log𝑎 𝑏 + log𝑎 𝑐 
log𝑎 𝑏 = log𝑎 𝑐 ⇔ 𝑏 = 𝑐 𝑎log 𝑎 𝑏 = 𝑏 log𝑎 𝑎 = 1 log𝑎 1 = 0 
log𝑎 𝑏 = 𝑥 ⇔ 𝑎
𝑥 = 𝑏 
43 
 
 Exercício Resolvido 
NOTA: este exercício objetiva tão somente sanar eventuais impasses na resolução de 
equações exponenciais no estudo da capitalização composta. 
Resolva as seguintes equações exponenciais: 
a) 2𝑥 = 3 
Solução: 
2𝑥 = 3 ⇒ 𝑥 = log
2
3 
S = {log
2
3} 
b) 2 250 = 1 800 1,016 𝑥 , use log 1,25 = 0,097 e log 1,016 = 0,0069 
Solução: 
2 250 = 1 800 ⋅ 1,016 𝑥 ⇒ 
2 250
1 800
= 1,016𝑥 ⇒ 1,25 = 1,016𝑥 
Aqui, usa-se aplicar o logaritmo (decimal ou natural) em ambos os membros da equação com base 
na propriedade da igualdade de logaritmos: 
1,25 = 1,016𝑥 ⇒ log 1,25 = log 1,016𝑥 
E pela propriedade do logaritmo da potência, temos: 
log 1,25 = log 1,016𝑥 ⇒ log 1,25 = 𝑥 ⋅ log 1,016 ⇒ 0,097 = 𝑥 ⋅ 0,0069 ⇒ 𝑥 = 14 
S = {14} 
c) 2,5 = 1,2𝑥 , use log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48 
Solução: 
Aplicando-se o logaritmo decimal em ambos os membros, temos: 
2,5 = 1,2𝑥 ⇒ log 2,5 = log 1,2𝑥 ⇒ log 2,5 = 𝑥 ⋅ log 1,2 
O problema agora consiste em escrever os números 2,5 e 1,2 de modo que evidenciem alguma 
relação com os números 2 ou 3: 
log 2,5 = 𝑥 ⋅ log 1,2 ⇒ log
25
10
= 𝑥 ⋅ log
12
10
 
Pela propriedade do logaritmo do quociente, temos: 
log
25
10
= 𝑥 ⋅ log
12
10
⇒ log 25 − log 10 = 𝑥 ⋅ log 12 − log 10 ⇒ log 25 − 1 = 𝑥 ⋅ log 12 − 1 
E como, 25 = 10/2 2 e 12 = 22 ⋅ 3, podemos escrever: 
log 25 − 1 = 𝑥 ⋅ log 12 − 1 ⇒ log 
10
2
 
2
− 1 = 𝑥 ⋅ log 22 ⋅ 3 − 1 
Aqui se aplica as propriedades da potência, produto e quociente de logaritmos e, obtemos: 
2 ⋅ 1 − 0,3 − 1 = 𝑥 ⋅ 2 ⋅ 0,3 + 0,48 − 1 ⇒ 𝑥 = 5 
S = {5} 
 
44 
 
Apêndice B – Taxas 
 
 Taxa Nominal e Taxa Efetiva 
 
Em algumas operações pode ocorrer que as taxas adotadas não sejam efetivamente 
cobradas, são taxas em que o período de formação e de agregação de juros ao capital não 
coincidem com o prazo, essas são as taxas nominais. Por outro lado, quando o prazo a que se 
refere à taxa coincidir com o período de formação e de agregação de juros ao capital, tem-se uma 
taxa efetiva. 
As taxas nominais podem ser operadas de modo a se tornarem efetivas. Duas taxas distintas, 
i1 e i2, são ditas equivalentes se, para um mesmo prazo de capitalização for indiferente aplicar a 
taxa i1 ou a taxa i2. 
 
 Taxas Equivalentes na Capitalização Simples 
 
Na capitalização simples, o crescimento dos juros é linear. Assim, para que de uma taxa 
nominal se obtenha uma taxa efetiva, basta que para isso, observemos quantos períodos de 
capitalização cabem dentro do prazo da taxa. Por exemplo, uma taxa nominal de 24% a.a. sob 
uma capitalização mensal, corresponde à taxa efetiva de 2% a.m., pois no prazo da taxa nominal 
cabem 12 períodos de capitalização. 
De modo geral, sendo duas taxas equivalentes i1 e i2, sob os períodos n1 e n2, temos que: 
 
Onde “𝑘” é o número de vezes em que o período n2 cabe “dentro” do período n1. 
 
 Taxas Equivalentes na Capitalização Composta 
 
Na capitalização composta, o fundamento do regime não é linear, por exemplo, uma taxa de 
10% ao mês não é equivalente a taxa de 30% ao trimestre. No entanto, se duas taxas i1 e i2, sob 
os períodos n1 e n2, produzirem o mesmo montante ao final do mesmo período, ocorre que: 
C 1 + i1 
n1 = C 1 + i2 
n2 
E sendo 𝑘 igual ao número de vezes em que o período n2 cabe “dentro” do período n1, 
temos que: 
C 1 + i1 
n1 = C 1 + i2 
𝑘⋅n1 
Por fim, isolando o termo i2 na última equação, chegamos à seguinte fórmula: 
 
i2 = 1 + i1 
1/𝑘 − 1 
i2 =
i1
𝑘
 
45 
 
 Exercícios Resolvidos 
 
1. Seja a taxa nominal de 6% a.a. com capitalização trimestral, determine a taxa efetiva 
correspondente para a capitalização simples. 
Solução: 
Como um período trimestral cabe quatro vezes um período anual, pela fórmula, 𝑘 = 4, assim: 
i2 =
i1
𝑘
⇒ i2 =
0,06
4
⇒ i1 = 0,015 = 1,5% 
Resposta: a taxa efetiva é de 1,5% a.t. 
 
2. Compare os montantes obtidos pela capitalização composta sobre um capital de 
R$ 50 000,00 pelo prazo de 3 meses, em relação as taxas 10% a.m. e 30% a.t. 
Solução: 
Sob a taxa de 10% a.m.,temos: 
M = C 1 + i n ⇒ M = 50 000 1 + 0,1 3 ⇒ M = 66 550 
Sob a taxa de 30% a.t.: 
M = C 1 + i n ⇒ M = 50 000 1 + 0,3 1 ⇒ M = 65 000 
Como o montante obtido difere em cada caso, percebemos que as taxas não são equivalentes. 
 
3. Determine a taxa trimestral equivalente a taxa de 10% a.m. considerando a capitalização 
composta. 
Solução: 
Como um período mensal cabe três vezes em um período trimestral, assim pela formula vista, temos 
que 𝑘 = 1/3 : 
i2 = 1 + i1 
1/𝑘 − 1 ⇒ i2 = 1 + 0,1 
1
1/3 − 1 ⇒ i2 = 0,331 = 33,1% 
Resposta: a taxa de 33,1% a.t. equivale a taxa de 10% a.m. corresponde a capitalização composta. 
 
 Taxa Aparente e Taxa Real 
 
O aumento geral dos preços de bens e de serviços com consequente perda do poder 
aquisitivo do dinheiro é o que denominamos inflação. O fenômeno oposto ao da inflação, que 
constitui da queda persistente dos preços e de serviços, denomina-se por deflação. 
As taxas de juros que foram estudadas