aula2 Análise das variações

Prévia do material em texto

Disciplina: Análise das variações
Aula 2: Variações lineares (parte 1)
Apresentação
Olá, nesta aula começaremos a utilizar a Matemática de uma maneira que, para muitos,
será novidade, como forma de modelagem de problemas.
Nesta primeira abordagem, utilizaremos as variações lineares como instrumento,
fazendo uso dos conceitos matemáticos nas resoluções dos problemas, dando
continuidade ao que começamos a estudar na aula anterior.
Objetivos
Modelar fenômenos lineares;
Interpretar fenômenos lineares;
Explicar as variações lineares.
Variações Lineares
Na aula anterior, foi visto como podemos ter variações positivas e negativas em
um gráfico de linha.
Nesta aula, iremos fazer o uso desse conceito nas análises das variações
lineares, onde o seu comportamento estará ligado a funções geradoras dessas
variações.
Em vários casos podemos aplicar os conceitos matemáticos para resolvermos
problemas do nosso cotidiano fazendo uso de um termo chamado modelagem
matemática.

Modelagem matemática é um conjunto de procedimentos
cujo objetivo é construir um paralelo para tentar
explicar, matematicamente, os fenômenos presentes no
cotidiano do ser humano, ajudando-o a fazer predições e
a tomar decisões.
(BURUK, 1992, p. 62)
As funções matemáticas são bons exemplos de como podemos aplicar esses
conceitos para resolução de problemas onde haja a necessidade do uso de
modelagem matemática.
Vejamos um exemplo para entender melhor.
Observe o enunciado da questão abaixo onde verifica-se um caso como este:
Exemplo 1 - (UNESA) Em uma fábrica, o custo de produção de 100 unidades de
bonés é de R$1.820,00, enquanto o custo para produzir 400 unidades é de
R$2.480,00. Sabendo que o custo dos bonés é dado em função do número
produzido, através da expressão , em que é a quantidade
produzida e é o custo fixo, determine:
a. Os valores de e de .
b. O custo de produção de 1000 unidades de bonés.
Nesse exemplo, não está tão explicito que a situação apresentada é um
fenômeno linear, a única percepção que temos é a de crescimento, pois à
medida que a quantidade de bonés é produzida o seu valor aumenta.
Quando o enunciado nos fornece a expressão , temos a certeza
que se trata de uma variação linear; como já havíamos percebido que era
crescente, agora sabemos que o problema apresentado modela uma variação
linear crescente.
Agora vamos resolver essa questão?
Para isso, vamos fazer a associação das variáveis envolvidas que são unidades
de peças produzidas e valor da produção. Sendo assim, temos a seguinte
relação:
Quantidade de Peças (Unidades) Valor da Produção (R$)
100 1.820,00
400 2.480,00
1000 x
Continuamos a resolução do problema. Aqui, vamos nos apropriar das
informações dadas pelo enunciado, a função custo , as
quantidades produzidas e seus respectivos valores, sendo assim, temos:
1ª Situação:
Quando eu produzo 100 unidades, meu custo é de R$1.820,00.
C (x)  =  ax+ b x
b
a b
C (x)  =  ax+ b
C (x)  =  ax+ b
2ª Situação:
Quando eu produzo 400 unidades, meu custo é de R$2.480,00.
Agora, substituindo isso na função custo fornecida, temos a seguinte
configuração:
Essa forma, como foram apresentados os dados do
enunciado, nos remete a um conceito matemático chamado
de sistema linear, que consiste em descobrirmos, utilizando
um dos métodos conhecido, substituição ou adição, por
exemplo, as variáveis desconhecidas, aqui representadas
pelas letras a e b.
Para essa resolução iremos usar o método da adição, ou seja, tentar eliminar
uma das variáveis para facilitar a resolução.
Por ser a variável mais fácil de ser eliminada, iremos multiplicar por (-1) e
somar com a linha de baixo.
Veja:
Ao arrumarmos a expressão, temos:
{
a× 100 + b = 1820, 00
a× 400 + b = 2480, 00
b
{ ⇒ {
100 × a+ b = 1820, 00
400 × a+ b = 2480, 00
   x (−1)
   + ↵
100 × a+ b = 1820, 00
−300 × a+ 0b = −660, 00
   x (−1)
   + ↵
Como podemos substituir na equação anterior para acharmos o valor
de , sendo assim, temos:
Com isso, respondemos o item a do exemplo 1:
Agora, vamos resolver o item b que pede “o custo de
produção de 1000 unidades de boné”.
Para encontrarmos o resultado preciso recorrer à função custo fornecida no
início do enunciado:
Só que, agora, já sabemos os valores de e , sendo assim podemos usá-los na
função custo:
Como queremos saber o valor da produção de 1000 peças, significa saber 
:
{ ⇒ a = = 2, 2
100 × a+ b = 1820, 00
−300 × a = −660, 00
−660,00
−300
a  =  2, 2
b
100 × a+ b 
100 × 2, 2 + b 
220 + b 
=
=
=
 1880, 00
 1880, 00
 1880, 00
b  =  1600, 00
a  =  2, 2
b  =  1600, 00
C (x) = ax+ b
a b
C (x) = 2, 2x+ 1600, 00
C (1000)
Podemos representar graficamente da seguinte maneira:
Observe que o gráfico parte do valor R$1.600,00, isso
acontece porque o enunciado diz que existe um curto fixo,
ou seja, que independente da quantidade de unidades
produzidas já há um gasto inicial desse valor.

Exemplo
Antes de continuar seus estudos, observe outro exemplo
<galeria/aula2/anexo/exemplo_2.pdf> onde utiliza-se a modelagem
matemática para a resolução de um problema.
C (1000) 
C (1000) 
=
=
 2, 2 × 1000 + 1600, 00
 2200, 00 + 1600, 00
C (1000) = R$3800, 00
Atividade
1. Com base nas informações apresentadas no Exemplo 2, o valor de
mercado da moto, após 3 anos de uso, seria de:
 a) R$ 2.300,00
 b) R$ 2.350,00
 c) R$ 2.400,00
 d) R$ 2.450,00
 e) R$ 2.500,00
Variações Lineares Crescentes e
Decrescentes
Ao fazermos a observação dos dois gráficos que representam os exemplos 1 e 2,
podemos observar que um tem sua inclinação positiva e o outro negativa.
Então, o que identificamos como sendo uma variação linear
crescente e uma variação linear decrescente se não tivermos
o gráfico?
Variação Linear Crescente
Em uma variação linear crescente, à medida que uma das variáveis
aumenta, o seu valor correspondente também aumenta. Observe que no
Exemplo 1 à medida que a quantidade de unidades produzidas aumenta, o
valor do custo de produção também aumenta, em uma razão diretamente
proporcional, isso caracteriza como sendo um problema onde haja uma
variação linear crescente.
Variação Linear Decrescente
Em uma variação linear decrescente, acontece o processo inverso da
variação linear crescente, pois à medida que uma das variáveis aumenta o
seu valor correspondente, diminui o seu valor de referência. No Exemplo 2,
cada vez que o tempo aumentava, o seu valor diminuía, em uma razão
inversamente proporcional.
Isso caracteriza o problema como sendo de variação linear decrescente.
Agora, vamos observar outro problema apresentado abaixo:
Exemplo 3 - (UNESA) Uma casa tem seu valor de mercado atual em torno de
R$80.000,00 e estima-se que daqui a 4 anos seu valor seja R$88.000,00.
Admitindo-se que o valor do imóvel seja calculado durante o tempo, segundo
uma função , onde significa o tempo (medido em anos e com
valor zero na data atual), seu valor daqui a 6 anos e 6 meses será de,
aproximadamente:
a. R$ 90.066,00
b. R$ 93.000,00
c. R$ 94.266,00
d. R$ 93.366,00
e. R$ 93.466,00
Em uma primeira leitura, essa questão pode nos remeter ao mesmo exemplo da
moto, e logo viria em nossa mente tratar-se de um problema de variação linear
decrescente, mas ao lermos com bastante atenção vemos que o valor do imóvel,
com o passar dos anos, não diminui, pelo contrário, aumenta.
Sendo assim a sua variação, pela definição feita anteriormente, não poderia ser
decrescente, temos então nesse problema, modelada uma função do primeiro
grau. É um problema de modelagem de variação linear crescente.
Utilizando-se o mesmo princípio usado nas resoluções dos exemplos 1 e 2
vamos resolver esse problema de variação.
P (x)  =  qx+ b x
1ª Situação:
Atualmente (tempo0), o valor de mercado da casa é de R$80.000,00.
2ª Situação:
Em 4 anos, o valor de mercado da casa será de R$88.000,00.
Substituindo-se na função custo fornecida, temos a seguinte configuração:
Tempo (anos) Valor do Imóvel (R$)
0 80.000,00
4 88.000,00
6 anos e 6 meses x
Nesse caso, ao separarmos as variáveis, temos um problema, pois estamos
trabalhando com escalas diferentes (anos e meses), sendo assim, devemos
colocar tudo na mesma unidade de tempo medido em anos.
6 meses equivale a 0,5 ano, logo temos:
Tempo (anos) Valor do Imóvel (R$)
0 80.000,00
4 88.000,00
6,5 x
Substituindo os valores no sistema:

Resolvendo o sistema:
{
q× 0+ b  =  80. 000, 00
q× 4+ b  =  88. 000, 00
{
b  =  80. 000, 00
4 × q+ b  =  88. 000, 00
Como nesse caso o valor de já foi descoberto, vamos utilizá-lo na linha de
baixo do sistema para fazermos a sua resolução:
Com isso a função apresenta-se da seguinte maneira:

Como o tempo desejado para saber quanto valerá a moto é 6,5 anos, temos:
Resposta correta: Letra B
Somente com os dados informados no enunciado já seríamos capazes de
verificar que tratava-se de uma variação crescente, pois à medida que o tempo
aumentava, o valor do imóvel aumentava também.
Se tivéssemos a representação gráfica do exercício teríamos essa interpretação
da variação crescente ou decrescente como podemos comprovar abaixo.
b
{
b  =  80. 000, 00
4 × q+ 80. 000, 00  =  88. 000, 00
4 × q 
4 × q 
q 
=
=
=
 88. 000, 00 − 80. 000, 00
 8. 000, 00
    =  2. 000, 00
8.000,00
4
P (x) = 2000x+ 80. 000, 00
P (1) = 2000 × 6, 5 + 80. 000, 00  =  93. 000, 00
Atividade
2. O gráfico do Exemplo 3 nos apresenta uma variação crescente.
Considerando que essa casa continue se valorizando, ao final de 10 anos o
seu valor de mercado será de:
 a) R$ 70.000,00
 b) R$ 95.000,00
 c) R$ 100.000,00
 d) R$ 120.000,00
 e) R$ 130.000,00
Zero de uma variação
É o valor existente para que toda essa variação seja igual a zero.
No caso dos três exemplos usados nesta aula as funções geradoras dos
resultados foram, respectivamente:
Ao querer calcular o zero de cada uma das funções acima descritas teríamos que
igualar toda elas a zero e descobrir o valor de que iria proporcionar isso,
sendo assim temos:
Na primeira função apresentada:
Na segunda função apresentada:
Simplificando, temos:
C (x)  =  2, 2x+ 1. 600, 00
f (x)  =   − 550, 00x+ 4. 000, 00
P (x)  =  2000x+ 80. 000, 00
x
C (x)  =  2, 2x+ 1. 600, 00
2, 2x+ 1. 600, 00  =  0
x  =  
−1.600,00
2,2
f (x)  =   − 550, 00x+ 4. 000, 00
− 550, 00x+ 4. 000, 00  =  0
x  =  
−4.000,00
−550,00
x  =     =  
400
55
80
11
Na terceira função apresentada:
Esses três valores que foram descobertos fazem com que a função fique zerada.
Na próxima aula, ao fazermos abordagem do gráfico da função do primeiro grau,
iremos estudar a interpretação gráfica do zero da função e a sua importância.
Atividade
3. Um problema foi modelado segundo a função: . O
valor que irá zerar essa função será:
 a) 1,5
 b) 1,75
 c) 1,85
 d) 2,5
 e) 2,75
P (x)  =  2000x+ 80. 000, 00
2000x+ 80. 000, 00  =  0
x  =     =  4
80.000,00
2000
f (x) = 2000x+ 3500
4. A empresa de telefonia celular JCR oferece um plano mensal para seus
clientes com as seguintes características:
Para um total de ligações de até 100 minutos, o cliente paga apenas a
taxa de assinatura cujo valor fixo de R$60,00;
Se os 100 minutos forem excedidos, cada minuto de excesso será
cobrado pelo valor de R$1,20 (além da taxa de assinatura).
O valor pago por um cliente que utilizou o celular por 120 minutos, em
certo mês, foi de:
 a) R$ 60,00
 b) R$ 66,00
 c) R$ 84,00
 d) R$ 90,00
 e) R$ 94,00
5. Na produção de peças, uma indústria tem um custo fixo de R$6,00 mais
um custo variável de R$0,35 por unidade produzida. Sendo o número de
unidades produzidas, o custo de produção para 1000 peças é de:
 a) R$ 35,60
 b) R$ 41,00
 c) R$ 63,50
 d) R$ 356,00
 e) R$ 410,00
x
6. Em uma fábrica, o custo de produção de 300 unidades de determinado
item é de R$2.260,00, enquanto o custo para produzir 500 unidades do
mesmo item é de R$2.700,00. Sabendo que o custo de produção dessa
empresa é calculado pela função , em que é a
quantidade produzida, é o custo variável por item produzido e é o custo
fixo, o valor do custo variável é:
 a) R$ 2,20
 b) R$ 3,20
 c) R$ 4,20
 d) R$ 5,20
 e) R$ 6,20
7. Na produção de peças, uma indústria tem um custo fixo de R$7,00 mais
um custo variável de R$0,60 por unidade produzida. Sendo o número de
unidades produzidas, ao modelarmos esse custo de produção temos a lei
da função que fornece o custo total de peças expressas como:
 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
C (x)  =  ax+ b x
a b
x
x
C (x)  =  7, 00
C (x)  =  7, 00x
C (x)  =  0, 6x+ 7, 00
C (x)  = 7, 00x+ 0, 6
C (x)  = 6, 00x
 8. Na produção de peças, uma indústria tem um custo fixo de R$7,00 mais
um custo variável de R$0,60 por unidade produzida. Sendo o número de
unidades produzidas: o custo de produção de 800 peças será de:
 a) R$ 487,00
 b) R$ 497,00
 c) R$ 498,00
 d) R$ 499,00
 e) R$ 587,00
Referências
BURAK, D. Modelagem matemática: ações e interações no processo de
ensinoaprendizagem. Tese de Doutorado. Campinas: Unicamp, 1992.
GUIMARÃES, L. G. S., et al. Bases matemáticas para Engenharia. Rio de Janeiro:
SESES, 2015.
IEZZI, G. et al. Matemática: ciência e aplicações. São Paulo: Atual, 2003.
Próximos Passos
Domínio e imagem de uma função;
Coeficientes de uma função do 1º grau e seu comportamento geométrico;
Aplicação da função do 1º grau.
Explore mais
Nesses artigos é apresentada a importância da utilização da modelagem matemática:
FORTES, E. de V.; DE SOUZA JUNIOR, A. W.; DE OLIVEIRA, A. M. L. O uso de
modelagem matemática no ensino de funções nas séries finais do ensino
fundamental: um estudo de caso. In: Itinerarius Reflectionis, [s./l.], v. 9, n. 2,
fev. 2014. Disponível em:
<https://www.revistas.ufg.br/rir/article/view/26414
x
<https://www.revistas.ufg.br/rir/article/view/26414> >. Acesso em: 02
maio 2018.
KLÜBER, T. E.; BURAK, D. Concepções de modelagem matemática: contribuições
teóricas. In: Educ. Mat. Pesqui., São Paulo, v. 10, n. 1, p. 17-34, 2008.
Disponível em:
<https://revistas.pucsp.br/index.php/emp/article/viewFile/1642/1058
<https://revistas.pucsp.br/index.php/emp/article/viewFile/1642/1058>
>. Acesso em: 02 maio 2018.