Unidade 2 - Revisão sobre transformada de laplace

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TEORIA DE 
CONTROLE E 
SERVOMECANISMO
Eduardo Scheffer
Saraiva
 
Revisão sobre 
transformada de Laplace
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Reconhecer variáveis complexas e funções complexas.
 � Selecionar as propriedades e os teoremas da transformada de Laplace.
 � Determinar a transformada inversa de Laplace.
Introdução
Neste capítulo, você vai estudar a transformada de Laplace, um método 
vantajoso para solução de equações diferenciais. A grande vantagem 
desse método está no fato de podermos transformar funções como 
senos, exponenciais, integrais e derivadas em equações puramente al-
gébricas da variável complexa s. Outra vantagem dessa transformada 
é a possibilidade de se obter, resolvendo a equação diferencial, tanto a 
resposta transitória quanto de regime permanente simultaneamente. 
Além disso, é possível usar esse método para análise gráfica de modo 
a prever o comportamento do sistema, sem necessidade de resolver as 
equações diferenciais que o descrevem.
Variáveis e funções complexas 
Uma variável complexa nada mais é do que um número complexo no qual a 
parte real e/ou imaginária é uma variável. Na transformada de Laplace, usa-
remos a notação s para denominar uma variável complexa, como apresentado 
a seguir:
s = σ + jω
σ é a parte real e ω é a parte imaginária.
Uma função complexa dada por F(s), que está em função de s, possui uma 
parte real e uma parte imaginária, ou seja:
F(s) = Fx + jFy
Fx e Fy são quantidades reais. 
Podemos dizer que uma função complexa G(s) é analítica em uma região 
se todas as derivadas de G(s) existem nessa região (OGATA, 1998). Assim, é 
possível escrever a derivada de uma função analítica como:
Para um percurso particular ∆s = ∆σ (sobre o eixo real), é definido como:
Para um percurso particular ∆s = ∆jω (sobre o eixo imaginário), é definido 
como:
Se esses dois valores forem iguais:
Ou se as condições seguintes forem verdadeiras:
Revisão sobre transformada de Laplace2
Então a derivada é determinada de maneira única. Quando essas 
condições são satisfeitas, dizemos que a função G(s) é analítica.
Chamamos de ordinários os pontos no plano s nos quais a função G(s) é 
analítica, e aqueles em que a função G(s) não é analítica são chamados de 
pontos singulares. Os pontos singulares em que a derivada de G(s) tende ao 
infinito são chamados de polos.
G(s)(s + p)n, para n = 1, 2, 3,…
Se n = 1, o polo é chamado de polo simples. Se n = 2, 3,…, o polo é dito 
de segunda ordem, de terceira ordem, e assim sucessivamente. Os pontos nos 
quais a função G(s) se anula são chamados de zeros.
Considere a função complexa:
G(s) apresenta zeros em s = –3, s = –7, e polos simples em s = 0, s = –1, s = –10, além 
de um polo duplo em s = –3. Observe que G(s) se torna nulo em s = ∞. Se levarmos 
em conta os pontos no infinito, G(s) apresenta o mesmo número de polos e zeros.
Propriedades e teoremas da 
transformada de Laplace
A transformada de Laplace a partir de uma função de variável t (tempo) 
gera uma função de variável (frequência). Isso é vantajoso porque, dada uma 
descrição matemática de um sistema, a transformada fornece uma descrição 
alternativa que muitas vezes diminui a complexidade da análise do comporta-
mento do sistema. Efetivamente, a transformada converte equações diferenciais 
em equações algébricas e converte a convolução em multiplicação. Considere:
3Revisão sobre transformada de Laplace
f(t): função no contínuo de variável t tal que f(t) = 0, para t < 0.
s: variável complexa.
ℒ: símbolo operacional indicando que a grandeza que ele antecede deve ser 
transformada por meio da integral de Laplace .
F(s): transformada de Laplace de f(t).
Assim, obtemos a transformada de Laplace dada por (OGATA, 1998):
A transformada de Laplace de uma função f(t) existe se a integral de 
Laplace convergir. Para isso ocorrer, f(t) terá de ser seccionalmente contínua 
em todo o intervalo de tempo finito da faixa t > 0; quando t → ∞, ela é de 
ordem exponencial.
Função degrau:
Em que A é uma constante. A função degrau é indefinida para t = 0. Sua 
transformada de Laplace é dada por:
Ao calcularmos essa integral, estamos admitindo que a parte real de s seja 
maior do que zero, assim o é nulo. 
Função rampa:
Revisão sobre transformada de Laplace4
Em que A é constante. A transformada de Laplace dessa função rampa 
é dada por:
Função senoidal:
Em que A e ω são constantes, considerando sen(ωt) como:
Assim, a transformada de Laplace para uma função senoidal é dada por:
A transformada de A cos (ωt) pode ser calculada de maneira semelhante, 
sendo dada por:
Uma vez que se saiba o método para obter a transformada de Laplace, não é necessário 
deduzir toda vez a transformada de f(t). Utilizaremos sempre tabelas de transformadas 
para se obter a transformada de Laplace de uma função f(t).
5Revisão sobre transformada de Laplace
f(t) para t ≥ 0 F(s)
 
1
 
t
 
sen(ωt) 
cos(ωt)
e–atsen(ωt)
e–atcos(ωt)
Quadro 1. Tabela de transformadas de Laplace
Transformada inversa de Laplace
O processo inverso de obtermos uma função no tempo f(t) dada uma transfor-
mada de Laplace F(s) é o que chamamos de transformada inversa de Laplace 
(OGATA, 1998), sendo dada pela seguinte fórmula:
Revisão sobre transformada de Laplace6
Em que c não apenas é a abscissa de convergência, mas também um número 
real constante e escolhido como o valor superior da parte real de todos os 
pontos singulares de F(s). Contudo, essa integral de inversão é complicada, 
e um método mais conveniente de se obter a transformada inversa é utilizar 
tabelas de transformada de Laplace. 
O grande segredo para o uso das tabelas de transformada inversa é adequar 
a equação ao formato da tabela, o que pode ser feito expandindo-se a F(s) em 
frações parciais e escrevendo F(s) em termos de funções simples de s para as 
quais exista o equivalente na tabela.
Na análise de sistema de controle, F(s), a transformada de Laplace de f(t) 
ocorre sob a forma:
Nela, A(s) e B(s) são polinômios em s. Para expandirmos F(s) em frações 
parciais, é importante que a maior potência em A(s) seja superior que a maior 
potência em B(s).
Expansão em frações parciais quando F(s) possui apenas polos simples:
Em que m < n. Se F(s) tiver apenas polos distintos, então será possível 
expandi-la em uma soma de frações parciais como mostrado a seguir:
Em que são constantes.
Veja no box “Exemplo” a expansão em frações parciais quando F(s) envolve 
polos múltiplos.
7Revisão sobre transformada de Laplace
A expansão em frações parciais desta F(s) envolve três termos dados da seguinte 
maneira:
Aplicando o mínimo múltiplo comum, obtemos que:
Para determinar o coeficiente A, substituímos a variável s = 0:
Para determinar o coeficiente B, substituímos a variável s = –10:
Para determinar o coeficiente C, devido à multiplicidade de polos existentes, não 
basta substituir o valor do polo na equação acima, pois resultaria novamente no 
coeficiente B. Sendo assim, quando há polos múltiplos de mesmo valor, aplica-se o 
seguinte método:
Em que r representa a quantidade de polos múltiplos iguais, i representa o índice do 
coeficiente e p, o valor dos polos múltiplos. Assim, pode-se obter que:
Uma vez que determinamos todos os coeficientes, aplicamos a transformada inversa 
de Laplace por meio da tabela para obtenção da resposta temporal da variável de 
saída do processo, y(t). 
Revisão sobre transformada de Laplace8
1. Dado , encontre a transformada de Laplace para esse sistema 
utilizando frações parciais.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
2. Dado , encontre os coeficientes por meio de frações 
parciais.
a) A = 2, B = -1, C = -5
b) A = 10, B = 5, C = -2
c) A = 1, B = -1, C = -20
d) A = -1, B = 1, C = 10
e) A = -20, B = -1, C = 1
3. Dado , encontre a transformada inversa de Laplace do sistema, 
utilizando frações parciais.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
4. Dado , encontre a transformada inversa de Laplace do sistema, 
utilizando frações parciais.a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
9Revisão sobre transformada de Laplace
OGATA, K. Engenharia de controle moderno. 3. ed. Rio de Janeiro: Prentice Hall do Brasil, 
1998. 
Leituras recomendadas
DORF, R. C.; BISHOP, R. H. Sistemas de controle modernos. 12. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2013. 
SPIEGEL, M. R. Transformadas de Laplace: resumo da teoria, 263 problemas resolvidos, 
614 problemas propostos. São Paulo: McGraw-Hill, 1965.
Referência
5. Dado , encontre a transformada inversa de Laplace do sistema.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Revisão sobre transformada de Laplace10
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.