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Universidade de Brası́lia
FACULDADE DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
Controle de Sistemas Dinâmicos
Segunda Lista Complementar de Exercı́cios
=⇒ A solução dos exercı́cios deverá ser manuscrita e digitalizada para o formato pdf. É
obrigatório a apresentação do desenvolvimento completo realizado para a obtenção dos re-
sultados em cada questão. É de responsabilidade do aluno verificar se o arquivo pdf não está
corrompido. Não serão considerados arquivos pdf que estiverem corrompidos.
Questão 1. Considere um sistema P com um compensador C = K (ganho constante) conectado
conforme ilustrado na Figura 1. Em um ponto s∗ do lugar geométrico das raı́zes do sistema P as
Figura 1: Sistema P com compensador C em realimentação negativa unitária.
seguintes relações são válidas
d
i
dsi
K
∣
∣
∣
∣
s=s∗
= 0, i = 1,2,
d
3
ds3
K
∣
∣
∣
∣
s=s∗
6= 0.
Com base nestas informações, esboce o lugar geométrico das raı́zes na vizinha do ponto s∗ uti-
lizando apenas retas assintóticas e considerando valores negativos de K. Especifique os sentidos
dos pólos à medida que K varia de 0 a −∞. Apresente todo o desenvolvimento para a obtenção do
resultado e justifique sua resposta.
Questão 2. Considere novamente o sistema em malha fechada apresentado na Figura 1, com C =K
e P conforme abaixo
P(s) =
(s+10)(s+5)(s+0.05)(s+0.02)
(s+100)2(s+1)(s+0,2)(s+0,01)(s+0,001)(s−0,0005)
.
A Figura 2 destaca os pontos de cruzamento do eixo imaginário do lugar geométrico das raı́zes de
Figura 2: Lugar das raı́zes com pontos de cruzamentos do eixo imaginário em destaque.
Tabela 1: Frequência nos cruzamentos.
Ponto de cruzamento Frequência no cruzamento
A 0
B 0,003895634178675
C 0,021954072988539
D 0,440315721828126
E 6,862627536041506
F 84,933395893761656
Com base no exposto determine os valores de K para os quais o sistema em malha fechada é
estável. Apresente todo o desenvolvimento para a obtenção do resultado e justifique sua resposta.
KP(s), identificados como A, B, C, D, E, e F . Os valores das frequências nos pontos de cruzamento
podem ser vistos na Tabela 1.
Questão 3. Utilizando o lugar geométrico das raı́zes projete um compensador para o sistema
G(s) =
1
s(s+1)
que resulte em um sobressinal que não seja maior que 20% e em um tempo de subida que não
seja maior que 0,3 segundos. Apresente todo o desenvolvimento para a obtenção do resultado e
justifique sua resposta.
Questão 4. Utilizando o lugar geométrico das raı́zes, projete o controlador C(s) mais simples tal
que a planta
P(s) =
1
(s2 −1)
,
conectada conforme ilustrado na Figura 1, siga uma entrada do tipo rampa com erro em regime
estacionário nulo. Apresente todo o desenvolvimento para a obtenção do resultado e justifique sua
resposta.