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Universidade de Brası́lia – UnB
Departamento de Engenharia Elétrica – ENE
Prova 1 – Controle de Sistemas Dinâmicos – 19/08/2021
Professor: Renato Alves Borges
Aluno: Matrı́cula:
=⇒ A prova é individual com duração de 2 horas, e tempo adicional de 30 minutos para o
envio pela plataforma Teams. A solução deverá ser manuscrita e digitalizada para o formato
pdf. É obrigatório a apresentação do desenvolvimento completo realizado para a obtenção
dos resultados em cada questão da prova. É de responsabilidade do aluno verificar se o
arquivo pdf não está corrompido. Não serão consideradas provas enviadas após decorridos
2 horas e 30 minutos do inı́cio da avaliação, ou aquelas cujo arquivo pdf estiver corrompido.
Questão 1 (2,5 pontos). No sistema mecânico da Figura 1, a mola não-linear é definida pela
relação xs(t) = 2−2e
−0,05 fs(t), em que xs(t) é a deformação da mola e fs(t) é a força que nela atua.
a) Determine a função de transferência linearizada H(s) = X(s)/F(s) para pequenos desloca-
mentos da massa.
b) Ao conferir as especificações da planta, observou-se que M = 1kg, e que o coeficiente de
amortecimento viscoso era dependente de um parâmetro desconhecido e invariante no tempo,
α , com relação dada por c = 7cos(α) Ns/m. Considerando estas informações, verifique se o
sistema incerto é estável para qualquer valor de α .
mola
não-linear
M
c
x(t)
f(t)
Figura 1: Sistema massa-mola-amortecedor.
Questão 2 (2,5 pontos). Considere a seguinte planta P(s) com o controlador C(s) dados por
P(s) =
4
s2 +5s+6s
C(s) =
K
s
conectados conforme a Figura 2. Verifique se é possı́vel obter um erro em regime permanente de
no máximo 5% considerando as seguintes entradas r1(t) = At e r2(t) = 0,5At
2? Caso não seja
possı́vel, qual é o menor erro alcançável?
Figura 2: Sistema de controle em malha fechada.
Questão 3 (2,5 pontos). Considere o sistema de controle apresentado na Figura 2. Utilizando esta
estrutura, deseja-se estabilizar a planta P(s), com função de transferência dada por
P(s) =
1
(s−1)2
de tal forma que o sistema em malha fechada tenha um tempo de acomodação de 1,33s para o
critério de ±2%. Para tanto, dispõem-se de dois possı́veis controladores, um proporcional-integral
(PI), e outro proporcional-derivativo (PD), com funções de transferência dadas, respectivamente
C(s) = k+
1
T s
, C(s) = k+Ds.
Diante do exposto pergunta-se:
a) É possı́vel estabilizar a planta P(s) com os dois controladores disponı́veis? Apresente o
desenvolvimento completo para sustentar sua resposta.
b) Em caso afirmativo, escolha um dos controladores e projete uma solução (determine k e T
no caso do PI, ou k e D para o PD) que atenda o requisito de desempenho solicitado.
Questão 4 (2,5 pontos). A Figura 3 mostra o diagrama de blocos de um manipulador robótico, no
qual a entrada U(s) representa a força exercida pelo ser humano, F(s) representa a carga, e P(s) é
o ponto terminal do manipulador. Obtenha as funções de transferência T1(s) e T2(s) de modo que
a saı́da P(s) seja expressa da forma P(s) = T1(s)U(s)+T2(s)F(s).
B(s)
K(s)G1(s)
H(s)
E(s) Gc(s)
G(s)
+
−
+
−
+
+
+
+
+
U(s)
F (s)
P (s)
Figura 3: Diagrama de blocos de um manipulador robótico.