Aula 14 Exponencial

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2DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL
A discussão da distribição de Poisson definiu uma variável
aleatória como número de falhas ao longo do comprimento de
um fio de cobre. A distância entre as falhas é uma outra variável
aleatória que é frequentemente de interesse. Denote por X a
variável aleatória dada pelo comprimento de qualquer ponto ini-
cial no fio até o ponto em que uma falha seja detectada.
Como você pode esperar, a distribuição de X pode ser obtida
do conhecimento da distribuição do número de falhas. A chave
para a relação é o seguinte conceito. A distância para a primeira
falha excederá 3 mm se, e somente se, houver falhas dentro de
um comprimento de 3 mm - simples, mas suficiente para uma
análise da distribuição de X .
FUNÇÃO DE DENSIDADE DE PROBABILIDADE
Em geral, represente o número de falhas em x mm de fio
pela variável aleatória N. Se o número médio de falhas for λ
por mm, então N terá uma distribuição de Poisson com média
λx. Consideramos que o fio seja mais longo que o valor de x.
Então:
P(X > x) = P(N = 0) =
e−λx (λx)0
0!
= e−λx
Logo
FX(X) = P(X ≤ x) = 1− e−λx, x≥ 0
é a função de distribuição acumulada de X . Diferenciando
FX(X), a função de densidade de probabilidade de X é calculada
como sendo
fX(x) = λe−λx, x≥ 0
A dedução da distribuição de X depende somente da suposição
das falhas no fio seguirem o processo de Poisson. Também
o ponto inicial para medir X não importa, porque a probabili-
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Probabilidade e Estatı́stica | Distribuição Exponencial
dade do número de falhas em um intervalo de um processo de
Poisson depende somente do comprimento do intervalo e não
da localização. Para qualquer processo de Poisson, o seguinte
resultado geral se aplica.
Definição 14.1 (Distribuição Exponencial). blablabla
A variável aleatória X , que é igual a distância entre conta-
gens de um processo de Poisson, com média λ > 0, tem uma
distribuição exponencial de probabilidade com parâmetro λ .
A função de densidade de probabilidade de X é dada por:
fX(x) = λe−λx, para 0≤ x < ∞
A distribuição exponencial tem este nome por conta na função
exponencial em sua função de densidade de probabilidade. A
notação geralmente usada para denotar que uma variável aleatória
X tem uma distribuição exponencial é:
X ∼ Exp(λ )
FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA
A função de distribuição acumulada de X é obtida a partir da
integral da função de densidade de probabilidade.
FX(x) = P(X ≤ x) =
∫ x
0
f (t)dt =
∫ x
0
λe−λ t dt
= λ
∫ x
0
e−λ t dt = λ
(
− 1
λ
e−λ t
)∣∣∣∣∣
x
0
=
(
−e−λx−
(
−e−λ×0
))
= −e−λx + 1
e0
=−e−λx +1.
Logo:
FX(X) = 1− e−λx, para x≥ 0.
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2ESPERANÇA E VARIÂNCIA
Se a variável aleatória X tiver uma distribuiçãoexponencial
de probabilidade com parâmetro λ , então
E(X) =
1
λ
e VAR(X) =
1
λ 2
�� ��Exemplo 14.1. blablabl
A duração de uma lâmpada é uma variável aleatória cuja fdp
é dada por
fT (t) =

1
1.000e
−t
1.000 , se t ≥ 0
0 caso contrário
onde T é medido em horas. Calcule a probabilidade de uma
lâmpada:
1. Queimar antes de 1.000 horas;
2. Durar entre 800 e 1.200 horas;
3. Determine a duração média de uma lâmpada nestas condiçõoes.
Solução:
1. A probabilidade de uma lâmpada queimar antes de 1.000
horas é equivalente a dizer que ela vai durar menos que
1.000. Ou seja: P(T ≤ 1.000).
P(T ≤ 1.000) =
∫ 1.000
0
1
1.000
e
−t
1.000 dt
=
1
1.000
(
−1.000e
−t
1.000
)∣∣∣∣∣
1.000
0
=
(
−e−1
)
−
(
−e0
)
= 1− 1
e
= 1− 1
2,71
= 1−0,369 = 0,631.
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Probabilidade e Estatı́stica | Distribuição Exponencial
2.
P(800≤ T ≤ 1.200) =
∫ 1.200
800
1
1.000
e
−t
1.000 dt
=
1
1.000
(
−1.000e
−t
1.000
)∣∣∣∣∣
1.200
800
=
(
−e−1,2
)
−
(
−e−0,8
)
=
1
(2,71)0,8
− 1
(2,71)1,2
=
1
2,22
− 1
3,31
= 0,4504−0,3021 = 0,1483.
3. A partir da função de densidade de probabilidade de T ,
percebe-se facilmente que λ = 11.000 . Desta forma tere-
mos:
E(T ) =
1
λ
= 1.000.
A duração média das lâmpadas é de 1.000 horas.
�� ��Exemplo 14.2. blablabl
Sendo
fX(x) =

(k+44
6
)
e−2kx, se x≥ 0
0 caso contrário
Determine:
1. O valor de k;
2. P(8µ−3σ ≤ X ≤ 10µ +6σ).
Solução:
1. Como podemos observar, trata-se de uma distribuição ex-
ponencial e, consequentemente, a constante λ que ante-
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cede a função exp é a mesma que multiplica −x no argu-
mento da função exp, ou seja:
fX(x) =
 λe
−λx, se x≥ 0
0 caso contrário
Assim,
k+44
6
= 2k ⇒ k+44 = 12k
⇒ 12k− k = 44⇒ 11k = 44⇒ k = 44
11
= 4.
2. Para o cálculo desta probabilidade, precisamos saber de
antemão, o valor de E(X) = µ e do desvio padrão σ .
Como é sabido, a partir de λ , obtemos estes valores.
Como k = 4 e λ = 2k, então, λ = 8. Consequentemente,
µ = 18 e VAR(X) =
1
64 . Como σ =
√
VAR(X), então σ =
1
8 .
Desta forma:
P(8µ−3σ ≤ X ≤ 10µ +6σ) = P
(
8
8
− 3
8
≤ X ≤ 10
8
+
6
8
)
= P
(
5
8
≤ X ≤ 16
8
)
=
∫ 16
8
5
8
8e−8x dx =−e−8x
∣∣∣∣∣
16
8
5
8
=
(
−e−16
)
−
(
−e−5
)
= e−5− e−16
=
1
(2,71)5
− 1
(2,71)16
= 0,0068−0,000000118
= 0,0068.
�� ��Exemplo 14.3. blablabl
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Probabilidade e Estatı́stica | Distribuição Exponencial
Uma fábrica de tubos de imagens de aparelhos de TV deter-
minou que a vida média dos tubos de sua fabricação é de 800 ho-
ras de uso contı́nuo e segue uma distribuição exponencial. Qual
a probabilidade de que a fábrica tenha que substituir um tubo
gratuitamente, se ela oferece uma garantia de 300 horas?
Solução:
Se a vida útil V tem distribuição exponencial, então:
V ∼ Exp(λ )
E mais, a vida média será E(V ) = 1
λ
. Como a vida média é
de 800 horas, então:
800 =
1
λ
⇒ λ = 1
800
.
Desta forma, a função de densidade de V será:
fV (v) =

1
800e
− v800 , se v≥ 0
0 caso contrário
Se a garantia oferecida pela fábrica é de 300 horas, então o
fabricante deverá substituir por um tubo novo sempre que o tubo
durar menos que 300 horas, pois estaria dentro da garantia. A
probabilidade de isto acontecer será:
P(V ≤ 300) =
∫ 300
0
1
800
e−
v
800 dv =−e−
v
800
∣∣∣∣∣
300
0
= −e
−300
800 −
(
−e0
)
= 1− e−0,375
= 1− 1
(2,71)0,375
= 1− 1
1,4533
= 1−0,688 = 0,312 = 31,2%.
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Resumo
Nesta aula você iniciou o estudo sobre variáveis aleatórias
contı́nuas, aprendendo os seguintes conceitos:
• A densidade exponencial é
f (x) =
 λe
−λx se x≥ 0
0 caso contrário
E(X) =
1
λ
Var(X) =
1
λ 2
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Probabilidade e Estatı́stica | Distribuição Exponencial
Exercı́cio 14.1.
Suponha que uma variável aleatória X tenha distribuição ex-
ponencial com λ = 2. Determine o que se segue:
1. P(X ≤ 0);
2. P(X ≥ 2);
3. P(X ≤ 1);
4. p(1 < X < 2);
5. Encontre o valor de x tal que P(X < x) = 0,05.
Exercı́cio 14.2.
O tempo de vida de um arranjo mecânico em um teste vibra-
cional é distribuı́do exponencialmente com uma média de 400
horas.
1. Qual é a probabilidade de que um arranjo em teste falhe
em menos de 100 horas?
2. Qual é a probabilidade de que um arranjo opere por mais
de 500 horas antes de falhar?
3. Se um arranjo estiver em teste por 400 horas sem apresen-
tar falha, qual a probabilidade de uma falha nas próximas
100 horas?
Exercı́cio 14.3.
O tempo entre as chamadas para uma loja de suprimentos de
encanamentos é distribuı́do exponencialmente com um tempo
médio de 15 minutos entre as chamadas. Determine a probabili-
dade de:
1. Não haver chamadas no intervalo de 30 minutos;
2. No mı́nimo uma chamada chegar dentro do intervalo de
10 minutos;
3. A primeira chamada chegar dentro de 5 e 10 minutos de-
pois da loja aberta.
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2SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS
Exercı́cio 14.1.
Temos que
fX(x) =
{
2e−2x se x≥ 0
0 caso contrário
1. Como X segue uma distribuição exponencial e a função de
densidade de uma distribuição exponencial está definida
para x≥ 0, então
P(X≤ 0) = 0
.
2.
P(X ≥ 2) =
∫
∞
2
2e−2x dx =−e−2x
∣∣∣∣∣
∞
2
=
(
−1
e∞
− −1
e4
)
=
1
(2,71)4
−0
=
1
53,935
= 0,0185.
3.
P(X ≤ 1) =
∫ 1
0
2e−2x dx =−e−2x
∣∣∣∣∣
1
0
=
−1
e2
− −1
e0
=
1
1
− 1
(2,71)2
= 1− 1
7,3441
= 1−0,1362 = 0,8638.
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Probabilidade e Estatı́stica | Distribuição Exponencial
4.
P(1 < X < 2) =
∫ 2
1
2e−2x dx =−e−2x
∣∣∣∣∣
2
1
=
−1
e4
− −1
e2
=
1
(2,71)2
− 1
(2,71)4
=
1
7,3441
− 1
53,9358
= 0,136163−0,01854 = 0,1176.
5. Vamos encontrar o valor de x tal que P(X < x) = 0,05.
P(X < x) =
∫ x
0
2e−2t dt = 0,05
⇒ −e−2t
∣∣∣∣∣
x
0
= 0,05
⇒ −e−2x−
(
− 1
e0
)
= 0,05
⇒ 1− e−2 = 0,05
⇒ −e−2x = 0,05−1 =−0,95
⇒ e−2x = 0,95.
Aplicando a função ln em ambos os lados da igualdade,
teremos:
ln
(
e−2x
)
= ln(0,95)
−2x = −0,05129
2x = 0,05129
x =
0,05129
2
= 0,0256.
Exercı́cio 14.2.
Seja X o tempo de vida útil do arranjo. Assim:
X ∼ exp(λ )
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Como a média de vida útil é de 400 horas, então E(X)= 400.
Mas E(X) = 1
λ
, então
λ =
1
400
1. A probabilidade desejada é:
P(X < 100) =
∫ 100
0
1
400
e−
1
400 x dx
= −e−
1
400 x
∣∣∣∣∣
100
0
= −e−
100
400 −
(
−e
0
400
)
= − 1
e
100
400
−
(
− 1
e0
)
= − 1
e0,25
+1
= 1− 1
(2,71)0,25
= 1− 1
1,283
= 1−0,7794
= 0,2206.
2.
P(X > 500) =
∫
∞
500
1
400
e−
1
400 x dx
= −e−
1
400 x
∣∣∣∣∣
∞
500
= −e−∞−
(
−e−
500
400
)
=
1
e5/4
− 1
e∞
=
1
e1,25
−0
=
1
(2,71)1,25
=
1
3,477
= 0,287.
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Probabilidade e Estatı́stica | Distribuição Exponencial
3.
P(400≤ X ≤ 500) =
∫ 500
400
1
400
e−
1
400 x dx
= −e−
1
400 x
∣∣∣∣∣
500
400
= −e−
500
400 −
(
−e−
400
400
)
= e−1− e−5/4
=
1
2,71
− 1
(2,71)1,25
= 0,369−0,287 = 0,082.
Exercı́cio 14.3.
Seja X o tempo entre as chamadas. Então X ∼ exp(λ ).
Temos também que E(X) = 15. Consequentemente, λ = 115 .
temos que perceber que a variável aleatória neste caso é o
tempo entre as chamadas e não o número de chamadas, que neste
caso seria uma v.a com distribuição de Poisson.
1. Neste caso, estamos interessados na probabilidade de não
haver chamadas até completar 30 minutos. Ou seja, qual
a probabilidade de o tempo entre as chamadas ser maior
que 30 minutos. Desta forma:
P(X > 30) =
∫
∞
30
1
15
e−
1
15 x dx
= −e−
1
15 x
∣∣∣∣∣
∞
30
= − 1
e∞
−
(
− 1
e
30
15
)
=
1
e2
−0 = 1
(2,71)2
=
1
7,3441
= 0,136.
2. Neste caso, deseja-se saber qual a probabilidade de o in-
tervalo entre as chamadas ser menor que 10 minutos, pois
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assim, há pelo menos uma chamada neste intervalo de
tempo. Logo:
P(X ≤ 10) =
∫ 10
0
1
15
e−
1
15 x dx
= −e−
1
15 x
∣∣∣∣∣
10
0
= −e−
10
15 −
(
−e0
)
= 1− 1
e10/15
= 1− 1
(2,71)0.667
= 1− 1
1,944
= 1−0,5144 = 0,4856.
3. De forma análoga aos itens anteriores, o que se deseja
neste item é a probabilidade de o intervalo entre as cha-
madas estar entre 5 e 10. Assim:
P(5≤ X ≤ 10) =
∫ 10
5
1
15
e−
1
15 x dx
= −e−
1
15 x
∣∣∣∣∣
10
5
= −e−
10
15 −
(
−e−
5
15
)
= e−0,333− e−0,667
=
1
(2,71)0,333
− 1
(2,71)0,667
=
1
1,3937
− 1
1,944
= 0,7175−0,5144
= 0,2031.
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