Variáveis aleatórias contínuas

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Variáveis aleatórias contínuas
1. Distribuição normal
A distribuição normal conhecida também como distribuição gaussiana é sem dúvida a mais importante distribuição contínua. Sua importância se deve a vários fatores, entre eles podemos citar o teorema central do limite, o qual é um resultado fundamental em aplicações práticas e teóricas, pois ele garante que mesmo que os dados não sejam distribuídos segundo uma normal a média dos dados converge para uma distribuição normal conforme o número de dados aumenta. Além disso diversos estudos práticos têm como resultado uma distribuição normal. Podemos citar como exemplo a altura de uma determinada população em geral segue uma distribuição normal. Entre outras características físicas e sociais tem um comportamento gaussiano, ou seja, segue uma distribuição normal.
Definição: Dizemos que a variável aleatória X tem distribuição normal com parâmetros µ e σ², -∞< µ<+∞ e 0< σ²<∞, se sua densidade é dada por
Notação: X∼N(μ,σ2)
Esperança, E(x)
Variância, Var(x)
Exercício Resolvido 
Dada uma variável randomica X e uma distribuição normal com μ = 50 e σ = 10, encontre a probabilidade de X assumir valores entre 45 e 62.
Solução:
Os valores correspondentes a z são encontrados aplicando a seguinte formula,
Então temos que, e 
Exercícios Propostos 
1) Suponha que X seja uma variável aleatória normal com média 0,5. Se P(X>9) = 0,2, qual é o valor de Var(X), aproximadamente?
2) Seja f(x) a função densidade de probabilidade de uma variável aleatória normal com média µ e variância σ². Mostre que µ - σ e µ + σ são pontos de inflexão dessa função.
3) Suponha que X seja uma variável aleatória normal com variância 36. Se P(X>5) = 0,7977, qual é o valor de E(X), aproximadamente? 
2. Distribuição exponenciais 
 Uma variável aleatória contínua da qual sua função de densidade de probabilidade (fdp) é dada, para algum > 0, por
é conhecida como um variável aleatória exponencial (exponencialmente distribuída) com parâmetro em . A função de distribuição cumulativa F() de uma variável aleatória exponencial pode ser descrita abaixo
F() = P{ X }
 = 
 = 
 = 
Pode-se notar que F( = = 1.
2.1 Demonstração que o parâmetro é o oposto do valor previsto
Dado que X seja uma variável aleatória exponencial com parâmetro . Calcule (a) E[X] e (b) Var(X).
(a) Como a função de densidade é descrita como 
Obtemos para n
E = 
Fazendo a integração por partes com e , pode-se obter
E = + 
= 0 + 
= E
Fazendo n = 1 e depois n = 2, conseguimos
E[X] = 
E[X2] = = 
(b) Temos com isso que 
Var(X) = = 
Como podemos observar, a média de uma variável aleatória exponencial é o oposto de seu parâmetro , e a variância equivale ao quadrado da média.
Uma propriedade importante evidenciada apenas por variáveis aleatórias exponenciais é a de que elas não possuem memória, no sentido de que, para s e t positivos, temos
P {X > s + t|X > t} = P {X > s}
Se X representa a vida de um item, então a propriedade de falta de memória diz que, para qualquer t, a vida restante de um item com idade de t anos tem a mesma distribuição de probabilidade que a vida de um item novo. Assim, não é necessário conhecer a idade de um item para saber a distribuição de sua vida restante.
Suponha que X seja uma variável não negativa contínua com função de distribuição F e a função densidade ƒ. A função 
é denominada como a função de taxa de risco, ou mesmo taxa de falhas, de F. Ao interpretarmos que X representa a vida de um item, então, para valores menores de dt, é quase a probabilidade de que um item com idade t em unidades falhe em um tempo extra dt. Se F é uma distribuição exponencial com parâmetro , temos que 
É possível perceber que a distribuição exponencial é a única função de distribuição que possui uma taxa de falhas constante.
Exercício Resolvido 
Suponha que, em determinado período do dia, o tempo médio de atendimento em um caixa de banco seja de 5 minutos. Admitindo que o tempo para atendimento tenha distribuição exponencial, determinar a probabilidade de um cliente:
a) esperar mais do que 5 minutos;
b) esperar menos do que 4 minutos;
c) calcule a variância e o valor esperado.
Solução:
Seja a variável aleatória X: tempo de atendimento. Foi dado que o tempo médio de atendimento é de 5 minutos. Vimos que a média, ou esperança, de uma variável com distribuição exponencial é
E[X] = . Logo temos que, 
a) Sabendo que P {X > t} = , podemos calcular o P {X > 5}
P{X > 5} = = 0,3679 ou 36,79%
b) Sabendo que P{X t} = , podemos calcular P {X 4}
P{X 4} = = 0,5507 ou 55,07%
c) E[X] = E[X] = 
Var(X) = Var (X) = 
Exercícios Propostos 
1) O tempo de vida dos pneus de certo fabricante tem distribuição Exponencial, com duração média de 50.000 km. 
 a) Determine a probabilidade de que um pneu deste fabricante dure mais que 50.000 km. 
 b) Qual é o tempo de vida que o fabricante deve garantir de forma que, no máximo, 1% dos compradores utilizem a garantia?
 c) Você acha que a distribuição exponencial é adequada a esta situação? Justifique.
2) Suponha-se que um fusível tenha uma duração de vida X, a qual pode ser considerada uma variável aleatória contínua com distribuição Exponencial. Existem dois processos pelos quais o fusível pode ser fabricado. O processo I apresenta uma duração de vida esperada de 100 horas, enquanto o processo II apresenta uma duração de vida esperada de 150 horas. Suponha-se que o processo II seja duas vezes mais custoso que o processo I, que custa 3,00 u.m. por fusível. Admita-se, além disso, que se um fusível durar menos que 200 horas, uma multa de 20 u.m. seja lançada sobre o fabricante. Qual processo deve ser empregado de forma a se minimizar o custo esperado?
3) Suponha que o número de milhas que um carro percorre antes que sua bateria sofra desgaste tenha distribuição Exponencial com média 10.000 milhas. Se uma pessoa deseja fazer uma viagem de 5.000 milhas com uma bateria já usada por 8.000 milhas, qual é a probabilidade de terminar a viagem sem ter que trocar a bateria?
3. Distribuição gama
A distribuição gama é uma das mais gerais distribuições, pois diversas distribuições são caso particular dela como por exemplo a exponencial, a qui-quadrado, entre outras. Essa distribuição tem como suas principais aplicações à análise de tempo de vida de produtos.
Definição: A variável aleatória contínua X, assumindo valores positivos, tem uma distribuição gama com parâmetros α > 0 e β > 0, se sua f.d.p. for dada por
Onde T(α) é a função gama.
Notação: X∼ Gama (α, β)
Esperança, E(x)
Variância, Var(x)
Exercício Resolvido 
Suponha que o tempo de sobrevivência X em semanas de um camundongo macho selecionado aleatoriamente exposto a 240 rads de radiação gama tenha distribuição gama com 8 e 	 15. (Dados em Survival Distri-butions: Reliability Applications in the Biomedical Services, de A. J. Gross e V. Clark, sugerem 
 8,5 e 	 
13,3.) O tempo esperado de sobrevida é E(X) (8)(15) 120 semanas, enquanto V(X) (8)(15)2 1800 e
X 1	8	0	0	 42,43 semanas. A probabilidade de um camundongo sobreviver entre 60 e 120 semanas é
Exercício proposto
1) Prove que se, α for inteiro positivo, T(α)=( α -1)!
2) Prove que T(α + 1) = αT( α).
3) Calcule T(1) e T(1/2).
4. A distribuição beta
É dito que uma variável aleatória tem uma distribuição beta se sua densidade é dada por 
onde também,
A distribuição beta pode ser aplicada para moldar em fenômeno aleatório o qual seu conjunto de valores possíveis é algum intervalo finito [c,d] – que se considerarmos c como origem e d – c uma unidade de medida, pode ser transformado no intervalo de [0,1].
Quando temo que a = b, a função de densidade beta é simétrica em volta de ½, dando cada vez mais peso para as regiões próximo a ½ ao passo que o valor comum aumenta (veja a figura abaixo). Quando b > a, a densidade inclina-se para a esquerda (no sentido que os valores menores são mais prováveis) e ela se inclina para a direita quando a > b.
A seguinte relação 
B(a,b) = 
existe entre
B(a,b) = 
e a função gama é,
Fig. 1 Funçõesde densidade beta com parâmetros (a,b) quando a = b.
A média e a variância desta variável aleatória podem ser obtidas pelas seguintes equações,
E[X] = 
Var (X) = 
Exercício Resolvido:
Avalia-se o conjunto dos casais que têm no máximo dois filhos. Admitindo-se que nesse contexto, cada uma das possibilidades em termos do número de filhos, a saber, 0 filhos, 1 filho e 2 filhos têm a mesma probabilidade, ou seja, 1/3 para cada uma delas. Admitindo-se também que as probabilidades de nascimento de homens e de mulheres são iguais. Assim sendo, entre os que têm apenas 1 filho (o que ocorre com probabilidade 1/3), temos metade para cada sexo, isto é, 1/6 para 1 filho homem e 1/6 para uma filha mulher. Analogamente, entre os que têm 2 filhos (o que também ocorre com probabilidade 1/3), de novo cada uma das 4 possibilidades de combinações dos sexos tem a mesma chance: 2 homens tem probabilidade 1/12, 2 mulheres tem probabilidade 1/12, 1 homem e 1 mulher tem probabilidade 1/6. Sejam X e Y, respectivamente, o número de filhos homens e o número de filhas mulheres de um casal escolhido ao acaso.
 (a) Qual a distribuição de probabilidade de X? E de Y? 
(b) Calcule E(X), Var(X), E(Y) e Var(Y). 
(c) X e Y são variáveis aleatórias independentes? Por que?
Solução:
(a) X e Y têm ambos a mesma distribuição de probabilidade. X (resp, Y) pode ser 0, 1 ou 2, com probabilidades , e , respectivamente. 
(b) E(X) = E(Y) = = 
 Var(X) = Var(Y) = =.
(c) X e Y não são mais variáveis aleatórias independentes. Pois P (X=0, Y=0) = ≠ = = P(X=0) * P(Y=0).
Exercícios Propostos 
1) Um detector de mentiras será usado pela polícia para investigar 10 suspeitos de envolvimento em um determinado crime. Admita que entre eles 5 são culpados (mas alegarão inocência) e os outros 5 são realmente inocentes. Sabe-se também que:
 Mesmo quando uma pessoa diz a verdade, o detector tem uma chance de 5% de falhar, indicando que ela mentiu; 
 Mesmo quando ela mente, o detector tem uma chance de 30% de não conseguir detectar a mentira. 
Qual a probabilidade de que: 
(a) todos os 10 diagnósticos obtidos através do detector estejam corretos?
(b) o detector libere todos os 10 suspeitos?
(c) ao mesmo tempo, pelo menos 3 dos culpados sejam pegos e pelo menos 4 dos inocentes sejam liberados?
2) Suponha que o raio de uma esfera seja uma variável aleatória contínua. Em virtude de imprecisões no processo de fabricação, os raios das diferentes esferas podem ser diferentes. Suponha que o raio R tenha distribuição Beta(2,2). Determine a função densidade de probabilidade do volume V e da área superficial da esfera, A, bem como seus valores esperados.
3) Seja X uma variável aleatória com distribuição Beta(3,2). 
a) Determine a função de distribuição acumulada de X. 
b) Determine P(X>1/2).