Unidade Curricular aula 26 03

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Unidade Curricular: Análise de 
Fenômenos Físicos da Natureza
Aula 26.03 
Prof. Msc. Aline Daiane Gomes Schmitt 
Objetivo da aula
• Relembrar conceitos de Função Afim, estudados na última aula. 
• Resolver os exercícios da lista, exemplificando o gabarito. 
• Realizar atividade em grupo função quadrática. 
• Compreender os conceitos sobre função quadrática. 
• Relembrar conceitos de Função Afim, estudados 
na última aula. 
• Resolver os exercícios da lista, exemplificando o 
gabarito. 
Gabarito Lista Função Afim 
Prof. Msc. Aline 
m = 
𝜟𝒚
𝚫𝒙
=
𝟕−𝟑
 𝟐−(−𝟏
=
𝟒
𝟑
Par ordenado (-1,3) , x = -1 e y = 3
Par ordenado (2,7) , x = 2 e y = 7 
Par ordenado (-1,3) , x = -1 e y = 3 ; Par ordenado (2,-1) , x = 2 e y = -1 
Para encontrar o valor de a, usamos a fórmula da taxa de variação: 
a = 
𝜟𝒚
𝚫𝒙
=
−𝟏−𝟑
 𝟐−(−𝟏
=
−𝟒
𝟑
Para encontrar o valor de b, voltamos para a expressão y = ax + b , e substituímos um par ordenado e o valor de a. 
y = ax + b , escolhendo o par ordenado (-1,3) 
3 = 
−𝟒
𝟑
.-1 + b b = 
𝟗 −𝟒
𝟑
3 = 
𝟒
𝟑
+ b b = 
𝟓
𝟑
3 -
𝟒
𝟑
= b 
Solução. Encontrando a lei da função afim a imagem de x = 3, temos:
1232)3()3(f)iii
2x)x(f
132a32a)ii
2
2
4
b4b2
1ba
3ba
b)1.(a1
b)1.(a3
)i




















.
.
Par ordenado (-1,3) , x = -1 e y = 3 ; Par ordenado (1,1 ) , x = 1 e y = 1 
Para encontrar o valor de a, usamos a fórmula da taxa de variação: 
a = 
𝜟𝒚
𝚫𝒙
=
𝟏−𝟑
 𝟏−(−𝟏
=
−𝟐
𝟐
= −𝟏
Para encontrar o valor de b, voltamos para a expressão y = ax + b , e substituímos um par ordenado e o valor de a. 
y = ax + b , escolhendo o par ordenado (-1,3) 
3 = -1 .-1 + b b = 2 
3 = 1 + b 
3 - 1= b 
7750
4
31000
y31000y44000yy327000
3
4000y
1
y9000
41
4000y
10
y9000













Solução. A informação indica que o carro novo (tempo de uso igual a zero) vale R$9000,00 e após 4 anos (tempo de uso = 4) vale 
R$4000,00. A situação está representada na figura. 
Solução 1. Estabelecendo a semelhança entre os triângulos assinalados, temos:
.
Solução. A informação indica que o carro novo (tempo de uso igual a zero) vale R$9000,00 e após 4 anos (tempo de uso = 4) vale 
R$4000,00. A situação está representada na figura. 
Pares ordenados ( 0, 9000) e ( 4 , 4000) 
.
Para encontrar o valor de a, usamos a fórmula da taxa de variação: 
a = 
𝜟𝒚
𝚫𝒙
=
𝟗𝟎𝟎𝟎−𝟒𝟎𝟎𝟎
𝟎−𝟒
=
𝟓𝟎𝟎𝟎
−𝟒
= −𝟏𝟐𝟓𝟎
Para encontrar o valor de b, voltamos para a expressão y = ax + b , 
e substituímos um par ordenado e o valor de a. 
y = ax + b , escolhendo o par ordenado (0,9000) 
9000 = -1250 .0 + b 
9000 = 0 + b 
9000= b 
Solução. A informação indica que o carro novo (tempo de uso igual a zero) vale R$9000,00 e após 4 anos (tempo de uso = 4) vale 
R$4000,00. A situação está representada na figura. 
Pares ordenados ( 0, 9000) e ( 4 , 4000) 
.
Função: y = ax + b , 
y = -1250 .x+ 9000 
y = -1250 . 1 + 9000 
y = -1250 + 9000 
y = 7750
Solução. O custo total mensal será a soma do custo fixo com o custo para fabricar x bolsas. Se uma bolsa tem 
custo de R$25,00 então x bolsas terão um custo de 25x. O custo total será C(x) = 25x + 5000. O lucro é a diferença 
entre o valor de venda e o de custo. O total da venda será V(x) = 45x.
450
20
9000
x9000x20
50004000x205000x25x454000)5000x25(x454000CVL


.
20)10(2)10(f)iii
x2)x(f
066b6b)2(3)ii
2a
8ba4
6ba3
8ba4
)1(6ba3
b)4.(a8
b)3.(a6
)i


























.
.
Para encontrar o valor de a, usamos a fórmula da taxa de 
variação: 
a = 
𝜟𝒚
𝚫𝒙
=
𝟖−𝟔
𝟒−𝟑
=
𝟐
𝟏
= 𝟐
y = ax + b , escolhendo o par ordenado (3,6) 
6 = 2.3 + b 
6 = 6 + b 
6 -6 = b
B = 0 
Solução. A lei da função afim para:
plano A é f(x) = 0,03x + 8. 
plano B é g(x) = 0,02x + 10. 
Será mais econômico o plano B quando g(x) < f(x). Resolvendo, temos:
200
100
1
2
01,0
2
x2x01,02x01,0108x03,0x02,08x03,010x02,0 
.
Atividade 
Partindo de seus conhecimentos anteriores, determine:
1. O que são funções quadráticas?
2. Como representa uma função quadrática no gráfico? Como montar o
gráfico?
3. O que são os zeros de uma função?
4. Como identificar os pontos de intersecção com o eixo?
5. O que significa os pontos do vértice?
• Compreender os conceitos sobre função quadrática. 
Função Quadrática 
Prof. Msc. Aline Daiane Gomes Schmitt 
• Uma função polinomial é dita do 2º grau se...
𝑓: ℝ → ℝ
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
sendo 𝑎 ≠ 0
• A função polinomial do 2º grau também é chamada de Função Quadrática
• O gráfico de uma função quadrática é uma curva especial chamada de 
parábola.
Função Polinomial do 2º Grau
Função Polinomial do 2º Grau
Representação Gráfica
x y
• Bastariam três pontos para determinar uma 
parábola;
-3 4
-2 1
-1 0
0 1
1 4
• Usamos 5 para perceber o eixo de simetria 
(paralelo ao eixo das ordenadas) passando 
pelo seu vértice x = -1
2 2 1y x x  
• O eixo de simetria divide a parábola em 
duas partes que tem o comportamento 
exatamente oposto (simétrico)
• No exemplo, a primeira parte é 
decrescente e a segunda parte é 
crescente
• O eixo de simetria passa pelo vértice da 
parábola, que é o ponto exato da função 
onde há a mudança de comportamento
Eixo de 
Simetria
Vértice
2 2 1y x x  
Função Polinomial do 2º Grau
Representação Gráfica
2 2 1y x x  
Função Polinomial do 2º Grau
O Vértice da Parábola
• O vértice tem suas coordenadas 
definidas por:
𝑥𝑉 = −
𝑏
2𝑎
e 
𝑦𝑉 = −
∆
4𝑎
= −
𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎
.
• No exemplo temos:
Eixo de 
Simetria
Vértice
1
2
1
a
b
c


 
 
𝑥𝑉 = −
2
2×1
= −1 e 
𝑦𝑉 = −
22−4×1×1
4×1
= 0.
• A função quadrática pode ter duas raízes, x1 e x2, ou não ter raízes.
• Mas estas raízes podem ser diferentes uma da outra ou iguais entre si, o que 
dá a sensação de ser uma raiz só. 
• As raízes de cada função do segundo grau comportam-se de acordo com o 
valor do delta ():
• No exemplo anterior observamos no gráfico uma só raiz, pois de fato:
Função Polinomial do 2º Grau
Número de Raízes
2
0, a função possui 2 raízes reais e distintas
 Se 4 0, a função possui 2 raízes reais iguais 
0, a função não possui raízes reais
b ac
 

    
 
2 24 2 4 1 1 0b ac       
• Para obter o valor das raízes da função é necessário resolver a 
equação do segundo grau:
É feito com a Fórmula de Bháskara:
• No exemplo anterior temos:
Função Polinomial do 2º Grau 
Raízes
1
2
2
2
2
b
x
b a
x
a b
x
a
   

   
  
  


2 0ax bx c  
2 4b ac  
onde
2 0
1
2 2 1
b
x
a
    
   

• O coeficiente c é o local onde a parábola corta o eixo y:
Representação Gráfica: Interseção com o Eixo y
2 2 1y x x   2 2 2y x x  
Efeito de 
translação 
vertical
• O coeficiente a está ligado à concavidade da parábola
• A concavidade é o lado da parábola que possui a “cavidade”
• E então:
• Se a > 0, então a concavidade da parábola está voltada para cima.
• Se a < 0, então a concavidade da parábola está voltada para baixo.
Representação Gráfica
0a  0a 
• Represente graficamente: 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3
• Solução:
• Podemos seguir determinando os 4 elementos:
1. A direção da concavidade
2. O eixo de simetria e as coordenadas do vértice
3. As raízes da função (interseções com o eixo x)
4. A interseção com o eixo y
Exemplo
2 4 3y x x  
1
4
3
a
b
c


  
 
𝑎 = 1 > 0 concavidadevoltada para cima
𝑥𝑉 = −
𝑏
2𝑎
= −
−4
2×1
= 2, 𝑦𝑉 = −
∆
4𝑎
= −
−4 2−4×1×3
4×1
= −
4
4
= −1
𝑥 =
−𝑏± ∆
2𝑎
=
−(−4 ± 4
2×1
=
4±2
2
. Logo 𝑥1 =
4+2
2
= 3 e 𝑥2 =
4−2
2
= 1
A interseção é no ponto 𝑐 = 3
• Represente graficamente: 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3
• Solução:
Eixo de Simetria
Exemplo
• O coeficiente a está ligado à concavidade da parábola: 
• se a aumenta...
Função Polinomial do 2º Grau - Gráficos em ℝ𝟐
2y x 2a 22y x1a 
• O coeficiente a está ligado à concavidade da parábola: 
• se a diminui...
Função Polinomial do 2º Grau - Gráficos em ℝ𝟐
21
2
y x 1/ 2a 2y x 1a 
• O coeficiente b está ligado ao deslocamento (simultaneamente 
horizontal e vertical) da parábola: 
• Se b é positivo: 
Gráficos em ℝ𝟐
4b 
2 4y x x 0b 
2y x
• O coeficiente b está ligado ao deslocamento (simultaneamente 
horizontal e vertical) da parábola: 
• Se b é negativo: 
0b 2y x
2 4y x x  4b  
Gráficos em ℝ𝟐
2 3y x 
• O coeficiente c está ligado ao deslocamento estritamente vertical da 
parábola:
• Se c é positivo.
2y x 0c 
0c 
Gráficos em ℝ𝟐
• E se c é negativo:
2 3y x  0c 2y x 0c 
Gráficos em ℝ𝟐
• Uma função polinomial do 2º grau 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 tem um ponto de 
máximo sempre que 𝑎 < 0
• O maior valor de 𝑦 vai ser igual a 𝑦𝑉 = −
∆
4𝑎
e ocorrerá quando 𝑥 for igual a 
𝑥𝑉 = −
𝑏
2𝑎
Ponto de Máximo
−
∆
4𝑎
−
∆
4𝑎
= 0 −
∆
4𝑎−
𝑏
2𝑎
−
𝑏
2𝑎
−
𝑏
2𝑎
• De forma similar ao que falamos antes, uma função polinomial do 2º grau 𝑦 =
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 terá um ponto de mínimo sempre que 𝑎 > 0
• O menor valor de 𝑦 vai ser igual a 𝑦𝑉 = −
∆
4𝑎
e ocorrerá quando 𝑥 for igual a 
𝑥𝑉 = −
𝑏
2𝑎
Ponto de Mínimo
−
∆
4𝑎
−
∆
4𝑎
= 0
−
∆
4𝑎
−
𝑏
2𝑎
−
𝑏
2𝑎
−
𝑏
2𝑎
• O domínio da função polinomial do 2º grau é todo o conjunto real
• Na expressão que define a função, 𝑥 pode assumir qualquer valor
• 𝐷 = ℝ
• A imagem da função polinomial do 2º grau não é todo o conjunto real
• Depende da concavidade da função:
• Quando a função tem um ponto de mínimo, então a imagem é limitada 
inferiormente pelo vértice
• Quando a função tem um ponto de máximo, então a imagem é limitada 
superiormente pelo vértice
• Quando 𝑎 > 0 temos 𝐼𝑚 = 𝑦𝑉 ; +∞
• Quando 𝑎 < 0 temos 𝐼𝑚 = −∞ ; 𝑦𝑉
Função Polinomial do 2º Grau
Domínio e Imagem
2y ax bx c  
• Exemplos:
2y ax bx c  
22 4y x x  2 2 3y x x   
𝑦𝑉 = −2
ponto de mínimo𝐼𝑚 = −2 ; +∞
𝑦𝑉 = 3
ponto de máximo
𝐼𝑚 = −∞ ; 3
Função Polinomial do 2º Grau
Domínio e Imagem