Logaritmos: conceito e história

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Logaritmos 
Prof. Msc. Aline Daiane Gomes Schmitt 
Matemática, 1º Ano, Logaritmo: conceito
Um resumo da história
Cálculos que aprendemos nos anos iniciais da escola não eram do
conhecimento de todos alguns séculos atrás. Por exemplo, na Europa do
século XVII as operações de multiplicar e dividir só eram ensinadas nas
universidades e com técnicas bem diferentes das que utilizamos hoje.
No entanto, as grandes navegações, que buscavam novas terras e
mercados, exigiram cálculos mais precisos e rápidos.
Matemática, 1º Ano, Logaritmo: conceito
O surgimento dos logaritmos
O aparecimento dos logaritmos ocorreu no começo do século
XVII.
Mestresdahistoria.blogspot.com.br/2010/10/terceiro-ano-cndl-quarto-bimestre_16.html
Matemática, 1º Ano, Logaritmo: conceito
Os principais inventores dos logaritmos foram o suíço Joost
Biirgi (1552-1632) e o escocês John Napier (1550-1617), cujos
trabalhos foram realizados isoladamente.
John Napier
www.thocp.net/biographies/napier_john.html
Matemática, 1º Ano, Logaritmo: conceito
Em 1935, para comparar os tamanhos relativos dos sismos, Charles F.
Richter, sismólogo americano, formulou uma escala de magnitude
baseada na amplitude dos registros das estações sismológicas.
Charles F. Richter
www.seismosoc.org/awards/richter_award.php
Matemática, 1º Ano, Logaritmo: conceito
Definição de logaritmo
Consideremos um número real positivo N e ponhamos
ax = N. O valor único, real, do expoente x que verifica a
relação anterior chama-se logaritmo do número N, na base a.
x = loga N
(N > 0, a > 0 e a  1)
loga b = x ⇔ a
x = b
 a é a base;
 b é o logaritmando ou antilogaritmo;
 x é o logaritmo;
Condição de existência do logaritmo
•Da definição, concluímos que o logaritmo
só existe sob certas condições:
loga b = x ⇔
b > 0
a > 0
a ≠ 1
Matemática, 1º Ano, Logaritmo: conceito
As restrições impostas à base do logaritmo (a > 0 e a  1) provêm das
condições sobre a função exponencial e garantem que o logaritmo
exista e seja único.
A restrição de N > 0 é porque ax > 0 para todo valor de x  R. Dessa
forma, temos também uma condição de existência para o
logaritmando, que é N > 0.
Exemplos:
log5 625 = 4, pois 5
4 = 625
log10 0,01 = − 2, pois 10
−2 = 0,01
log3 1 = 0, pois 3
0 = 1
Exemplos
log5 𝑥. 2 = 2
log5 2𝑥 = 2
52 = 2𝑥
25= 2𝑥
𝑥 =
25
2
6𝑥 = 36
6𝑥 = 62
X = 2 
1
4
𝑥
= 2 2
4 −𝑥 = 2. 2
1
2
22 −𝑥 = 2
1
2+1
2 −2𝑥 = 2
3
2
−2𝑥 =
3
2
𝑥 =
3
−4
𝑥 = −
3
4
2𝑥 =
3
64
2𝑥 = 64
1
3
2𝑥 = 2
6
3
2𝑥 = 22
𝑥 = 2
49𝑥 =
3
7
72𝑥 = 7
1
3
2𝑥 =
1
3
𝑥 =
1
6
2𝑥 = 0,25
2𝑥 =
1
4
2𝑥 = 4−1
2𝑥 = 2−2
X = -2 
31 =
𝑥 + 3
𝑥 − 1
3=
𝑥+3
𝑥−1
3. 𝑥 − 1 = 𝑥 + 3
3𝑥 − 3 = 𝑥 + 3
3𝑥 − 𝑥 = 3 + 3
2𝑥 = 6
𝑥 = 3
34 = 𝑥
81 = 𝑥
1
3
−2
= 𝑥 − 1
32 = 𝑥 − 1
9 = 𝑥 − 1
9 +1 = 𝑥
𝑥 = 10
𝑥2 =
1
9
𝑥2 =
1
3
2
𝑥 =
1
3
𝑥−2 = 16
1
𝑥
2
= 42
1
𝑥
= 4
1
4
= 𝑥
121 = (𝑥2 − 𝑥)
12= (𝑥2 − 𝑥)
12= x² - x 
x² - x – 12 = 0 
X1 = 4 
X2 = -3 
3𝑥 = 27
3𝑥 = 33
𝑥 = 3
1
5
𝑥
= 125
5−𝑥 = 53
−𝑥 = 3
𝑥 = −3
4𝑥 = 32
22𝑥 = 25
22𝑥 = 2
5
2
2𝑥 =
5
2
𝑥 =
5
4
2
3
𝑥
=
8
27
2
3
𝑥
=
2
3
3
𝑥 = 3
𝑥3 = 8
𝑥 =
3
8
𝑥 = 2
𝑥2 =
1
16
𝑥 =
2 1
16
𝑥 =
1
4
25 = 𝑥
𝑥 = 32
𝑥 = 32
9𝑥 = 27
32𝑥 = 33
2𝑥 = 3
𝑥 = 3/2
1/2𝑥 = 32
2−𝑥 = 25
-𝑥 = 5
𝑥 = −5