Lista de Exercicios 7

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL 
Licenciatura em Computação e Robótica Educativa 
Álgebra Linear 
Profa. Dra. Bianca Neves Machado 
Lista de Exercícios 7 
 
Questão 1. Determinar os autovalores e autovetores do operador linear 𝑇: ℝ2 → ℝ2, tal 
que 𝑇(𝑥, 𝑦) = (4𝑥 + 5𝑦, 2𝑥 + 𝑦). 
 
Questão 2. Calcular os autovalores e autovetores da transformação linear representada 
pela matriz 𝐴 = [
7 −2 0
−2 6 −2
0 −2 5
]. 
 
Questão 3. Verifique se o vetor �⃗� = (1, 1, 2) é um autovetor da matriz 𝐴 =
 [
1 1 1
0 2 1
0 2 3
]. 
 
Questão 4. Determinar os autovalores e autovetores das transformações lineares: 
(a) 𝑇: ℝ2 → ℝ2, 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 2𝑦, −𝑥 + 4𝑦). 
(b) 𝑇: ℝ2 → ℝ2, 𝑇(𝑥, 𝑦) = (5𝑥 − 𝑦, 𝑥 + 3𝑦). 
(c) 𝑇: ℝ3 → ℝ3, 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑦 + 𝑧, 2𝑦 + 𝑧, 2𝑦 + 3𝑧). 
(d) 𝑇: ℝ3 → ℝ3, 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥, −2𝑥 − 𝑦, 2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧). 
 
Questão 5. Calcular os autovalores e autovetores das matrizes: 
 
(a) 𝐴 = [
1 3
−1 5
] 
(c) 𝐴 = [
3 2 1
1 4 1
1 2 3
] 
 
(b) 𝐴 = [
2 1
3 4
] 
(𝐝) 𝐴 = [
3 3 −2
0 −1 0
8 6 −5
] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL 
Licenciatura em Computação e Robótica Educativa 
Álgebra Linear 
Profa. Dra. Bianca Neves Machado 
Respostas: 
 
Questão 1: 𝜆1 = 6, 𝜆2 = −1, �⃗�1 = (1,
2
5
) , �⃗�2 = (1, −1). 
Questão 2: 𝜆1 = 3, 𝜆2 = 6, 𝜆3 = 9, �⃗�1 = (1, 2, 2), �⃗�2 = (2, 1, −2), �⃗�3 = (2, −2, 1). 
Questão 3: Sim. 
Questão 4: 
a. 𝜆1 = 3, 𝜆2 = 2, �⃗�1 = (1,1), �⃗�2 = (2,1). 
b. 𝜆1 = 𝜆2 = 4, �⃗� = (1,1). 
c. 𝜆1 = 𝜆2 = 1, 𝜆3 = 4, �⃗� = (𝑥, 𝑦, −𝑦), �⃗�3 = (1, 1, 2). 
d. 𝜆1 = 1, 𝜆2 = −1, 𝜆3 = 2, �⃗�1 = (−1, 1, 1), �⃗�2 = (0, −3, 1), �⃗�3 = (0, 0, 1). 
Questão 5: 
a. 𝜆1 = 2, 𝜆2 = 4, �⃗�1 = (3,1), �⃗�2 = (1, 1). 
b. 𝜆1 = 1, 𝜆2 = 5, �⃗�1 = (−1,1), �⃗�2 = (1, 3). 
c. 𝜆1 = 𝜆2 = 2, 𝜆3 = 6, �⃗� = (𝑥, 𝑦, −𝑥 − 2𝑦), �⃗�3 = (1, 1, 1). 
d. 𝜆1 = 𝜆2 = 𝜆3 = −1, �⃗� = (𝑥, 𝑦, 2𝑥 +
3
2
𝑦)