CALCULO VETORIAL- ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA

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ATIVIDADE CONTEXTUALIZA DE 
CÁLCULO VETORIAL 
 
 
Nome Completo: Helder Moreira Moura Júnior 
Matrícula:01418245 
Curso: Engenharia Civil 
 
INTRODUÇÃO 
Nesse estudo de vamos aprender o conceito de integração ao longo de uma 
curva C em um campo conservativo que é denominada de integral de linha ou 
“integral de curva” e também aplicações tanto do ponto de vista teórico como 
prático. Definições de campo vetorial e campo escalar, depois varemos a 
resolução de um exercício para demonstrar o que foi estudado neste trabalho. 
 
OBJETIVO 
Temos como objetivo aprender e encontrar o trabalho feito por uma partícula em 
um maquinário, que se move através de um campo conservativo e suas 
aplicações para a produção de um item da empresa. 
 
DESENVOLVIMENTO 
Vamos começar nosso estudo com conceito de Integral de linha que nada mais 
é uma integral em que a função a ser integrada é calculada com a soma dos 
valores do campo em todos os pontos ao longo de uma curva e essa função poder 
ser um campo vetorial ou escalar cujo entre as inúmeras aplicações é usado 
para o cálculo do trabalho realizado por uma força variável sobre uma partícula, 
movendo-a de um ponto A até um ponto B no plano, conforme veremos no 
decorre do estudo. 
A integral de linha é uma função que pode ser em um campo vetorial ou escalar, 
então primeiro iremos descrever essas funções. 
 FUNÇÃO ESCALAR 
A função escalar é a mais simples, pois é apenas uma função em uma curva 
lisa no espaço bidimensional ou tridimensional. de f em relação a 's' ao longo 
de C e não dependem da parametrização escolhida de r. 
	| ′ | 
onde r: [a, b] → C é uma parametrização bijectiva arbitrária da curva C, de tal 
modo que r(a) e r(b) correspondem aos extremos de C, com a < b. 
 FUNÇÃO VETORIAL 
Na física, campos vetoriais indicam a velocidade e a direção de um fluido ou 
corpo que se move pelo espaço ou ainda comprimento e direção relacionados a 
uma força, na matemática é uma função que transforma um ponto em um vetor 
ao longo de uma curva que independe da parametrização r em valor absoluto, 
contudo depende da orientação, pois ao mudar esta, o sinal da integral sofrera 
alterações. 
A expressão F: L ⊆ R n → R n, define a integral de linha ao longo de uma curva 
lisa orientada, na direção de R como sendo escrita a seguir. 
	. 	. r t dt 
onde · é o produto escalar e R: [a, b] → C é uma parametrização da curva C de 
tal modo que r (a) e r (b) são os pontos de extremidade de C. 
Outro ponto importante sobre integral de linha é quando esta é definita como 
sendo um campo conservativo, pois independente da trajetória dos pontos o 
resultado do trabalho é o mesmo. 
. 
Se esta trajetória fizer um caminho circular, onde o ponto inicial for igual a final 
o trabalho realizado por essa partícula será zero. 
. 0 
 METODOLOGIA 
Agora vamos resolver o exercício abaixo para melhor fixar o que foi exposto. 
Considere-se o funcionamento dessa empresa, encarregado de tal tarefa, ou 
seja, determinar o trabalho de uma partícula em um campo vetorial desse 
maquinário. Para isso, seu superior lhe apresenta duas opções de campos 
vetoriais a serem escolhidos para se trabalhar: 
1 , , 	
1
2
	
1
2
	
1
4
	 	 2 , , 2 
A trajetória feita pela partícula é dada pela curva parametrizada no espaço r(t) = 
cos(t)i + sem(t)j + tk, sendo que a partícula se nove do ponto A(1,0,0) até B(-1,0 
4 ). A dinâmica de todo esse processo é mostrada na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
Questão 1: Determinar o trabalho que a partícula realiza ao longo do seu 
deslocamento, em determinado campo F. 
Somando a isso, imagine uma segunda situação, em que um colega de trabalho 
sugere uma alteração da trajetória da partícula, ou seja, sugere o caminho feito 
entre A e B nesse campo, dizendo que existem outros caminhos a serem 
percorrido resultariam em um menor trabalho realizado pela partícula. Portanto, 
deve-se avaliar, também: 
Questão 2: Essa sugestão do colega de trabalho, apontando os aspectos 
relevantes que devem ser discutidos para que haja ou não uma alteração no 
caminho entre os pontos A e B realizados pela partícula. 
Resolvendo as questões. 
Questão 1: 
Opção 1: 
 1 , , 	 	 	 
 Vamos inicialmente escrever a integral de linha 
 W= . , , . 
 Agora vamos calcular x(t), y(t) e z(t) e também o vetor tangente r’(t) 
 cos → →	 → 
 cos 
 
 
cos 	 →
cos
	 	 
′ cos 
 
 
 Por fim vamos descobrir o trabalho realizado pela partícula 
 W= . , , . 
1
2
cos	 	
1
2
1
4
	. cos 
1
2
cos
1
2
cos 	
1
4
 
1
4
 
1
4
4
0
	
4
4
	 
Opção 2: Vamos refazer todos os passos na opção 1, só que agora com uma 
outra função. 
 2 , , 2 
 Vamos inicialmente escrever a integral de linha 
 W= . , , . 
 Agora vamos calcular x(t), y(t) e z(t) e também o vetor tangente r’(t) 
 cos → →	 → 
 cos 
 
 
cos 	 →
cos
	 	 
′ cos 
 
 Por fim vamos descobrir o trabalho realizado pela partícula 
 W= . , , . 
cos	 	2 	. cos 
cos 2 cos 
cos 
1
2
2 
1
4
cos 2
2
4
0
	
16
2
	8 
Questão 2: 
Como já exposto anteriormente sobre integral de linha de campos conservativos, 
o trabalho realizado é obtido somente em relação ao ponto inicial e final não 
levando em consideração sua trajetória utilizada ou seja, o resultado permanece 
inalterado mesmo percorrendo trajetórias diferentes. 
 Seja F um campo vetorial continuo com domínio D 
. 
 E c1 e c2 os caminhos percorridos. 
. = . 
 Se um vetor de campo F é o gradiente de um campo escalar G, isto é, 
 
Derivando 
	 . . ′ 
	.		 	 	.		 
 
 
CONCLUÇÃO 
Neste trabalho analisamos duas funções cuja a trajetória feita pela partícula é 
dada pela curva parametrizada no espaço onde calculamos o menor trabalho 
que a partícula realiza ao longo do seu deslocamento, em determinado campo F 
onde tivemos como resultado a primeiro opção, também verificamos que por se 
tratar de integral de linha de campos conservativos o resultado do trabalho leva 
apenas em consideração o ponto inicial e final, desprezando a trajetória 
escolhida. 
 
 
REFERÊNCIAS 
https://sistemas.eel.usp.br/docentes/arquivos/5817712/TDQ%20I/IntegraldeLin
ha.pdf 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Integral_de_linha 
https://estudar.com.vc/conceitos/11356-integrais-de-linha-de-campos-
vetoriais/resumo-integrais-de-linha-de-campos-vetoriais 
https://sereduc.blackboard.com/ultra/courses/_92815_1/outline/scorm/launchFr
ame?toolHref=https:~2F~2Fsereduc.blackboard.com~2Fwebapps~2Fscor-
scormengine-
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