ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA CALCULO VETORIAL

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ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA CALCULO VETORIAL 
 
 
Nome: Willian Pereira Costa 
Matrícula: 28161471 
Curso: Engenharia Mecânica 
 
 
Objetivo: determinar o trabalho que a partícula realiza ao longo do seu 
deslocamento, em um determinado campo F. 
Para determinar o trabalho que a partícula realiza ao longo do seu deslocamento 
em um determinado campo F, foi nos dado duas opções de campo vetorial para 
análise. São eles: 𝐹1(𝑥, 𝑦, 𝑧) = - 
1
2
𝑥𝑖 − 
1
2
𝑦𝑗 + 
1
4
𝑘 𝑜𝑢 𝐹2(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑖 + 2𝑥𝑗 + 𝑧𝑘 
De acordo com o enunciado da atividade, a trajetória feita pela partícula é 
representada pela curva parametrizada no espaço: r(t) = cos(t)i + sen(t)j + tk, 
sendo que a partícula se move do ponto A(1,0,0) até o ponto B(−1,0,4𝜋). Com 
essas informações, o cálculo do trabalho realizado é calculado utilizando a 
integral de linha de trabalho: 
𝑊 = ∫ 𝐹 . 𝑑𝑟 = ∫ 𝐹 (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡))
𝑏
𝑎
 . 𝑟′(𝑡) 𝑑𝑡 
 
Calculando a derivada de r(t): 
r(t) = cos(t)i + sen(t)j + tk → r’(t) = (−𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑖 + cos(𝑡)𝑗 + 1) 𝑑𝑡 
Utilizamos os parâmetros para a função: F1(x,y,z) = - 
1
2
𝑥𝑖 − 
1
2
𝑦𝑗 + 
1
4
𝑘 
(x,y,z) = (cos(t), sen(t),(t)) sendo: 
F1 (x,y,z) = (−
1
2
 cos(𝑡)𝑖 − 
1
2
𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑗 + 
1
4
(𝑡)𝑘) 
 
Vamos desenvolver esse cálculo utilizando o conceito de produto escalar entre 
os vetores. Segue passo a passo: 
∫ (−
1
2
 cos(𝑡)𝑖 − 
1
2
𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑗 + 
1
4
(𝑡)𝑘)
𝑎
𝑏
 . (−𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑖 + cos(𝑡)𝑗 + 1) 𝑑𝑡 
∫ (
1
2
 𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑐𝑜𝑠(𝑡) − 
1
2
𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑐𝑜𝑠(𝑡) + 
1
4
)
4𝜋
0
 𝑑𝑡 
Podemos simplificara a equação acima da seguinte forma: 
∫ (
1
2
 𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑐𝑜𝑠(𝑡) − 
1
2
𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑐𝑜𝑠(𝑡) + 
1
4
)
4𝜋
0
 𝑑𝑡 → ∫ ( 
1
4
)
4𝜋
0
 𝑑𝑡 
 
→ 
1
4
 t |4𝜋
0
 → 
1
4
 (4𝜋 − 0) → 
4𝜋
4
 = 𝜋 𝑜𝑢 3,141592 
 
No campo vetorial F1, encontramos o resultado de 𝜋 para trabalhar. 
 
Afim de determinar qual o melhor campo conservativo, utilizaremos os dados 
para o campo vetorial 𝐹2(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑖 + 2𝑥𝑗 + 𝑧𝑘: 
F2 (x,y,z) = ( cos(𝑡)𝑖 + 2 𝑐𝑜𝑠(𝑡)𝑗 + (𝑡)𝑘) 
Calculando o trabalho: 
𝑊 = ∫ 𝐹. 𝑑𝑟 = ∫ 𝐹(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)). 𝑟′(𝑡)
𝑏
𝑎
 𝑑𝑡 
∫ ( cos(𝑡)𝑖 + 2 𝑐𝑜𝑠(𝑡)𝑗 + (𝑡)𝑘). (−𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑖 + cos(𝑡)𝑗 + 1)
4𝜋
0
 𝑑𝑡 
∫ (− 𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑐𝑜𝑠(𝑡) + 2 𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑐𝑜𝑠(𝑡) + 𝑡)
4𝜋
0
 𝑑𝑡 
Simplificando: 
 
∫ ( 𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑐𝑜𝑠(𝑡) + 𝑡)
4𝜋
0
 𝑑𝑡 
𝑊 = ∫ (
1
2
𝑠𝑒𝑛(2𝑡) + 𝑡)
4𝜋
0
dt = -
1
4
 cos(2𝑡) +
𝑡2
2
|0
4𝜋 
𝑊 = −
1
4
+
16𝜋2
2
+
1
4
 = simplificando: 
16 𝜋2
2
 = 8𝜋2 
 
Como podemos evidenciar, no campo de trabalho F1 a partícula terá o menor 
deslocamento em relação ao resultado encontrado no campo de trabalho F2, 
portanto, o campo escolhido será o F1 ser o mais conservativo e proporcionar o 
melhor funcionamento. 
Na segunda situação, onde um colega de trabalho sugere uma mudança na 
trajetória da partícula, propondo assim que pode haver outros caminhos a 
serem percorridos pela partícula no campo, fica evidenciado que não há 
“caminhos melhores” a ser percorrido pela partícula, pois qualquer trajetória 
empregado a partícula, não irá alterar o trabalho realizado, pois o campo 
vetorial de trabalho é conservativo. 
Podemos demonstrar através do cálculo do gradiente ∇𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧). 
∇𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (
𝜕𝑓
𝜕𝑥
+
𝜕𝑓
𝜕𝑦
+ 
𝜕𝑓
𝜕𝑧
) = (−
1
2
𝑥, −
1
2
𝑦, −
1
4
𝑧) 
 
 
 
Referência bibliográfica: 
 
STEWART, James. Cálculo. Vol.ll. Ed.4. São Paulo: Editora: Pioneira Thomson 
Learning, 2005. 
 
THOMAS, George B; HASS, Joel; WEIR, Maurice D. Cálculo. Vol.ll. Ed.12. São 
Paulo: Editora: Pearson Education do Brasil, 2013.