ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA CALCULO VETORIAL

Prévia do material em texto

ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA DE CALCULO VETORIAL 
 
Curso: Engenharia Civil 
 
Atividade proposta 
Dado o campo vetorial conservativo: 𝐹1 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = −
1
2
 𝑥𝑖 −
1
2
𝑦𝑗 +
1
4
𝑘 𝑜𝑢 𝐹2(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑖 + 2𝑥𝑗 + 𝑧𝑘 , Determinar o trabalho realizado por uma 
partícula ao longo de uma curva C= 𝑟 (𝑡) cos(𝑡) 𝑖 + 𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑗 + 𝑡𝑘; 
A, B sendo 𝐴 (1,0,0) e 𝐵 (−1,0,4𝜋) contido nesse espaço. 
Realizar a avaliação da sugestão dada por um colega de trabalho da hipotética 
empresa sobre mudar o caminho da partícula entre os pontos A, B, no intuito de 
reduzir o trabalho realizado pela partícula. 
 
Resolução da atividade 
1º questão 
Para resolução da atividade, foi sugerido dois campos, mais o campo escolhido 
foi: campo vetorial 𝐹1 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = −
1
2
 𝑥𝑖 −
1
2
𝑦𝑗 +
1
4
𝑘, e tem se uma curva, que pela 
equação paramétrica nota se que é arco de hélice C== 𝑟 (𝑡) cos(𝑡) 𝑖 + 𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑗 +
𝑡𝑘; [ a,b] sabendo o ponto de origem do percurso da partícula 𝐴 (1,0,0), e final 
𝐵 (−1,0,4𝜋)., então: 
Utiliza-se a integral de linha de trabalho: 
𝑊 = ∫ 𝐹
 
𝑐
 . 𝑑𝑟 = ∫ 𝐹
𝑏
𝑎
(𝑟(𝑡)) . 𝑟′(𝑡)𝑑𝑡 
Primeiramente identificando a primeira parte da integral da linha, reescreve-se a 
função do campo vetorial F em função dos parâmetros de r(t) da seguinte forma: 
𝐹(𝑟(𝑡)) → 𝐹(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡) = −
1
2
 𝐶𝑜𝑠(𝑡)𝑖, −
1
2
𝑆𝑒𝑛(𝑡)𝑗,
1
4
𝑘 
Agora indo para a segunda parte da integral da linha, para isso precisa se 
encontrar o vetor tangente r’(t) através das derivadas parciais dos componentes 
do arco de hélice, então tem-se: 
(𝑡)𝑑𝑡
𝑑𝑟 = 𝑟′(𝑡) = 𝑖𝜕𝑡
𝜕cos (𝑡)
+ 𝑗 𝜕𝑡
𝜕𝑠𝑒𝑛(𝑡)
+ 𝜕𝑡
𝜕𝑡𝑘 
𝑟′(𝑡) = −𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑖 + cos(𝑡) 𝑗 + 𝑡𝑘 
Tendo estes dados sobre o campo vetorial F e o vetor tangente ao caminho da 
partícula, aplica-se na integral de linha, apresentada no início da resolução deste 
case. 
∫ ( −
1
2
 
4𝜋
0
(cos(𝑡)) 𝑖 −
1
2
(𝑠𝑒𝑛(𝑡))𝑗 +
1
4
𝑘) . (−𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑖 + cos(𝑡) 𝑗 + 𝑡𝑘)𝑑𝑡 
→ ∫ ( −
1
2
 
4𝜋
0
sen(t)cos (t) −
1
2
𝑠𝑒𝑛(𝑡)cos (𝑡) +
1
4
𝑘) 𝑑𝑡 = 𝜋 ≈ 3,1416 → 
𝑊 ≈ 3,1416 
 
 
Tendo em vista que o trabalho realizado pela partícula ao longo do seu percurso 
é dado pela integral do produto escalar entre o vetor tangente ao caminho da 
partícula e um vetor do campo vetorial dentro dos limites da variável (t), o 
resultado será sempre um escalar. 
 
2º Questão – Um colega de trabalho sugere a mudança no trajeto da partícula 
entre os pontos [a,b] definidos, logo que há outros caminhos para se deslocar de 
um ponto a outro que resultariam em um menor trabalho realizado pela partícula. 
 
Resposta 
Esta questão fica respondida, logo que por questões operacionais da máquina 
para o seu funcionamento ideal este campo deve ser conservativo, ou seja, a 
energia é conservada, e por característica, o trabalho é independente do 
caminho, sendo dependente apenas dos 
pontos inicial e final do trajeto da partícula. 
Pode se verificar calculando o gradiente: ∇𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧). 
 
∇𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ( 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
+
𝜕𝑓
𝜕𝑦
+
𝜕𝑓
𝜕𝑧
) = (−
1
2
 
𝑥, −
1
2
 
𝑦, −
1
4
 
𝑧) 
 
Assim, fica claro que não há diferença de potencial neste campo, e por assim 
ser, não há alteração no trabalho realizado pela partícula independente do 
caminho percorrido entres os pontos. 
 
Referencias 
 
THOMAS, G. B; HASS, J.; WEIR, M. D. Cálculo. Vol. II.Ed.12. São Paulo: 
Editora: Pearson Education do Brasil, 2013.