Mackenzie EM 2 Série - Matemática - Livro do Professor - 1 Semestre - Parte 2

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M2_EM_U2_BOOK_Professor.indb 1 18/03/16 14:08
EQUIPE MACKENZIE
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Alfredo Gonçalves Pera
Ana Enésia Sampaio Machado 
ELABORAÇÃO DOS INTEGRANDO 
CONHECIMENTOS E REFLEXÃO 
BÍBLICA
Miguel Carlos dos Santos Junior
DIREÇÃO EDITORIAL
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COORDENAÇÃO EDITORIAL 
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COORDENAÇÃO PEDAGÓGICA
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ELABORAÇÃO E COORDENAÇÃO 
DO PROJETO EDITORIAL
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EDIÇÃO DE TEXTO E 
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DADOS INTERNACIONAIS DE 
CATALOGAÇÃO NA PUBLICAÇÃO CIP
CONCEPÇÃO E DIREÇÃO 
EXECUTIVA DE PROJETO GRÁFICO 
CONCEITO / LINGUAGEM / SISTEMAS DE 
IDENTIFICAÇÃO DE SÉRIES E DISCIPLINAS / 
ACESSIBILIDADE / ILUSTRAÇÕES / CAPAS 
ALTAMIRA Editorial
Equipe
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Alexandre Mazzini 
Diego Alves de Carvalho
Produção de capas
Equipe
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Finalização de capas
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DIREÇÃO DE DESIGN
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INFOGRÁFICOS / CAPAS / FINALIZAÇÃO
ALTAMIRA Editorial
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Alexandre Mazzini
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Fábio Martins
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Valéria Ferreira
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Mapas e cartografi a
ESTÚDIO PARCEIRO : VESPÚCIO
Equipe : Carlos Henrique
EMENDAS DE PROVAS
Zeta Design Studio
IMPRESSÃO
BRASILFORM
GRÁFICA / EDITORA
Os textos bíblicos foram extraídos de
diferentes versões da Bíblia Sagrada.
CRÉDITOS
P426e Pera, Alfredo Gonçalves.
Escolher com sabedoria : Ensino Médio : Matemática, 
2ª série : Livro didático e caderno de atividades do 
Professor : Livro 2 / Alfredo Gonçalves Pera, Ana Enésia 
Sampaio Machado; organizador: Instituto Presbiteriano 
Mackenzie. – São Paulo : Ed. Mackenzie, 2016.
328 p. : il. ; 28 cm. – (Sistema Mackenzie de Ensino ; 
v. 277)
Obra coletiva concebida, desenvolvida e produzida
pelo Mackenzie.
ISBN 978-85-8293-432-6
1. Ensino Médio – 2º ano. 2. Matemática. I. Machado, 
Ana Enésia Sampaio. II. Instituto Presbiteriano Mackenzie. 
III. Título. IV. Série.
CDD 372.7
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Reimpressão: Dezembro de 2020
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GALHOS
professor | transmissor | mediador
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RAIZ
base | alicerce sólido | essência
FOLHAS
aluno | assimilação | crescimento
Ele é como árvore plantada 
junto à corrente de águas, 
que, no devido tempo, dá o 
seu fruto, e cuja folhagem 
não murcha; e tudo quanto 
ele faz será bem-sucedido.
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FLORES / FRUTOS: 
aprendizagem signi� cativa
“PRINCÍPIOS E 
VALORES BÁSICOS DA 
BÍBLIA COMO LENTE”
VISÃO CRISTÃ DE MUNDO
APLICADA À EDUCAÇÃO
“relação com Deus, com o próximo e com o mundo”
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IDENTIDADE
RAPIDEZ
VISUAL
DIGITAL
HETEROGENIA
DIVERSIDADE
DINÂMICO
Estabelecer 
projetos 
de vida.
Prosseguir nos 
estudos e encarar os 
desa� os de trabalho 
com o compromisso 
de servir a Deus 
e a sociedade de 
maneira participativa 
e responsável.
Ampliar o 
conhecimento 
a respeito das 
diferentes 
possibilidades.
Fazer escolhas 
com sabedoria.
Discutir os valores 
morais e sociais com 
vista à construção 
da criticidade e 
formação intelectual.
Compartilhar 
ideias e 
experiências.
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Branco e respiro
A forma de um objeto é 
tão importante quanto o 
espaço em torno dele. 
Projeto 
GRÁFICO
MSerifa slab
TIPOGRAFIA
Além de transmitir por meio das palavras o conteúdo 
abordado, a tipogra� a usada deve expressar visualmente 
através de sua forma e cor o que está sendo dito, assim 
como a imagem. 
A fonte Myriad continua compondo os textos de leitura 
corrente devido suas características fundamentais ao 
projeto, tais como alta legibilidade, variedade de pesos 
e suas propriedades estruturais que ajudam a diminuir o 
desconforto do dislexo.
Para acompanhar as mudanças e trazer novos benefícios 
e possibilidades às páginas, a fonte de título escolhida 
para o segundo ano foi a Sanchez, pois apresenta uma boa 
legibilidade em vários pesos e possui grande � exibilidade em 
caixa alta e baixa, dando destaque aos títulos dos capítulos.
MYRIAD PRO: Bom equilíbrio entre ascendentes, descendentes e altura x
abcefgkjoxuascendentedescendente XSanchezCaixa alta e baixa
A serifa slab, característica da Sanchez, 
tem uma estrutura forte. Por serem retas, 
uniformes e pesadas, proporcionam boa 
estabilidade no desenho da caixa de texto. 
Outro fator é a personalidade que difere dos 
textos de leitura corrente (Myriad), criando 
um contraste de forma interessante em 
termos de desenho e hierarquia.
DIAGONAL
Principal mudança que ocorreu na segunda série. 
Com o objetivo de trazer mais dinamismo ao projeto, 
está presente na capa e no decorrer do livro.
Com o objetivo de informar de maneira concisa 
e e� caz, o projeto grá� co evoluiu na segunda 
série e traz algumas mudanças mas ainda 
prevalece o uso de uma linguagem dinâmica e 
lúdica, porém séria, para transmitir ao aluno o 
conteúdo de cada disciplina. 
Interpreta-se cada matéria e tema, criando 
uma atmosfera grá� ca através do uso de 
cores, formato, imagens, tipogra� a, ícones e 
ilustrações. Nada é por acaso. Toda informação 
visual busca re� etir o que está escrito.
Veja nessa página alguns critérios utilizados 
na evolução do projeto grá� co para os livros 
da 2ª série de ensino médio do SME, 
re� etido em mudanças signi� cativas, 
com o propósito de acompanhar o 
crescimento dos alunos e os novos 
conhecimentos e experiências 
adquiridos por eles.
 Bom equilíbrio entre ascendentes, descendentes e altura x
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“(...) A LINHA é o meio 
indispensável para tornar visível o 
que ainda não pode ser visto, por 
existir apenas na imaginação.”
Sintaxe da Linguagem Visual - Donis A. Dondis
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Matemática
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Física
História
Geogra� a
Química
Espanhol
Inglês
Biologia
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Acessibilidade
Dislexia e TDAH
TEXTO COM SERIFA E JUSTIFICADOS
BAIXO CONTRASTE ENTRE FIGURA-FUNDO
A dislexia é uma combinação 
de habilidades e di� culdades 
que afetam o processo de 
aprendizagem exibindo uma 
vasta gama de di� culdades. 
TEXTO “REDEMOINHO”
TEXTO “DESBOTADO”
Prezado aluno,
Este livro foi desenvolvido com algumas características especí� cas 
que ajudam no estudo, principalmente, de pessoas com alguns 
quadros que podem di� cultar a aprendizagem, tais como a dislexia 
e o transtorno de dé� cit de atenção e hiperatividade (TDAH).
Destacamos, a seguir, algumas dessas características. O tipo 
de letra usado possui estrutura formal que ajuda a diminuir 
possíveis confusões visuais, com equilíbrio entre as linhas 
ascendentes e descendentes, boas aberturas e espaços internos 
maiores, facilitando sua discriminação. Foram usados contrastes 
mais fortes entre as partes impressas e o fundo, também buscando 
aumentar a discriminação da informação relevante e diminuir as 
confusões visuais (ver quadros ao lado). As linhas foram alinhadas 
à esquerda, aumentando os recursos para o aluno se localizar 
durante a leitura de um texto. Adicionalmente, são explicitamente 
apontadas, ao longo dos capítulos, as informações que precisam 
ser recordadas por serem relevantes ao conteúdo atual (nos 
destaques intitulados “Vale lembrar”). Também são destacados, 
nos itens “Integrando conhecimentos”, trechos em que são 
discutidas ideias que vão além da matéria especí� ca, unindo 
duas ou mais áreas diferentes de conhecimento.
Sugerimos que você aproveite esse material desenvolvido 
com cuidado e rigor! Lembramos que você também pode adotar 
estratégias para facilitar sua aprendizagem. Primeiro, esteja 
consciente da sua forma de aprender. Descubra como você 
entende melhor, se é lendo em voz alta, escrevendo, fazendo 
desenhos ou esquemas, resumindo o texto, dentre outras 
possibilidades. Conheça seus pontos fortes e seus pontos fracos. 
Quando ler os capítulos, aproveite as várias dicas que o texto 
lhe oferece: analise o título, as imagens, as cores, as palavras em 
negrito e os quadros em destaque. Use seu livro: sublinhe o que 
achar relevante, faça resumos, desenhos, esquemas. Procure o 
signi� cado das palavras que você não conhece. Anote suas 
dúvidas e discuta-as com seus professores. 
Se você quiser mais 
informações sobre a dislexia 
e o transtorno de dé� cit de 
atenção e hiperatividade, 
sugerimos que visite os sites: 
www.dislexia.org.br/, 
www.andislexia.org.br/ e 
http://www.tdah.org.br/.
Revise os conteúdos 
anteriores periodicamente. Você 
também pode ler o capítulo em 
casa antes da aula, o que facilitará 
a apreensão do conteúdo e o 
esclarecimento das dúvidas 
com os professores. 
ABAIXO: possíveis 
distorções presentes na 
visão de um disléxico.
ACIMA: características 
de formatação evitadas 
nesse projeto pois 
di� cultam a leitura
QR CODE
Parao rápido acesso a 
links sugeridos por meio 
de dispositivos móveis. 
A dislexia é uma combinação de 
habilidades e di� culdades que afetam 
o processo de aprendizagem exibindo 
uma vasta gama 
de di� culdades. 
A dislexia é uma combinação de 
habilidades e di� culdades que afetam 
o processo de aprendizagem exibindo 
uma vasta gama de di� culdades. 
A dislexia é uma combinação de 
habilidades e di� culdades que afetam 
o processo de aprendizagem exibindo 
uma vasta gama de di� culdades. 
A dislexia é uma combinação de 
habilidades e di� culdades que afetam 
o processo de aprendizagem exibindo 
uma vasta gama de di� culdades. 
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tock.com
O que é?
Visão do 
daltônico
O daltonismo é uma limitação visual no 
indivíduo caracterizada pela incapacidade de 
identi� car/diferenciar todas ou algumas cores.
SISTEMA DE CÓDIGOS DE 
COR PARA DALTÔNICOS
Desenvolvido por Miguel Neiva
coloradd@gmail.com / info@coloradd.net
Daltonismo
O Código ColorADD assenta num processo 
de associação lógica e de fácil memorização 
permitindo ao daltônico, através do 
conceito de adição das cores, relacionar os 
símbolos e facilmente identi� car todas as 
cores. O branco e o preto orientam para as 
tonalidades claras e escuras.
Cada implementação do Código é planejada para 
todos e não especi� camente para o universo dos 
daltônicos – incluir sem discriminar. O ColorADD é 
um código de fácil implementação com Inovação, 
Valor, Utilidade e Responsabilidade Social.
O Daltonismo afeta aproximadamente 10% dos homens e 
0,5% das mulheres – cerca de 350 milhões em todo o mundo. 
No entanto, apesar deste número impressionante, não 
existiam respostas socialmente efetivas visando a inclusão 
desta “grande minoria” da população mundial.
O Código ColorADD é um sistema de identi� cação de cores 
universal e transversal, cuja missão é facilitar a integração dos 
indivíduos daltônicos numa sociedade global na qual 90% da 
comunicação é efetuada através da cor. Portanto, o Código 
ColorADD tem como objetivo promover a compreensão da cor 
para todos, sempre que a cor for utilizada como fator de 
identi� cação, orientação ou escolha. 
O sistema ColorADD se encontra implementado em 
diversas áreas e em diversos países. Por exemplo, em hospitais, 
transportes, material escolar e didático, vestuário, tecnologias 
de informação, sinalização e orientação, entre outros. Neste 
projeto desenvolvido pelo SME, o ColorADD é utilizado para 
auxiliar na identi� cação de séries e disciplinas nas capas dos 
livros de Ensino Médio, estando em consonância com o 
projeto de acessibilidade proposto pelos materiais didáticos 
do Mackenzie, o que ajuda a garantir um mundo 
mais acessível e igualitário para todos!
Miguel Neiva
CORES | SÍMBOLOS 
BRANCO | PRETO | CINZENTO
Azul Verde Amarelo Laranja Vermelho Roxo Castanho
PrataDouradoBranco Preto Cinza Claro Cinza Esc.
TONS METALIZADOS
TONS CLAROS
TONS ESCUROS
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Matemática
Português
Física
História
Geogra� a
Sociologia
Química
Espanhol
Inglês
Biologia
Desenvolvido com base nas três cores primárias, 
sendo cada uma representada através de um 
símbolo grá� co monocromático.
AZUL AMARELO VERMELHO BRANCO PRETO
M2_EM_U2_BOOK_Professor.indb 9 18/03/16 14:09
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Um livro tem 
uma forma de ser 
organizado. Conhecer essa 
organização lhe ajudará a 
utilizá-lo melhor. Apresentamos 
a seguir, comentários sobre 
cada uma das partes que você 
encontrará nas páginas do 
seu livro didático.
ABERTURA DE UNIDADE
Uma unidade, em nossos livros, reúne 
três capítulos. A Abertura de unidade, que 
trabalha sobre um pequeno texto, imagens, 
questões e trechos bíblicos, é uma 
apresentação dos assuntos contidos nesses 
capítulos. Ela se relaciona diretamente com 
outra seção, a Re� etindo ideias e atitudes.
ABERTURA DE CAPÍTULO
A Abertura de capítulo trabalha sobre imagens (artes plásticas, cinema, 
literatura etc.) e um texto introdutório ao assunto principal que será desenvolvido.
REFLETINDO IDEIAS E ATITUDES
Seção que encerra três capítulos, ligando-se à 
Abertura de unidade. Seu objetivo é trazer 
re� exões sobre alguns dos conceitos e temas 
estudados na unidade, associando-os a 
situações do cotidiano, por meio de um texto, 
porções da Bíblia, questões e comentários 
relacionados à cosmovisão cristã. 
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(c) Tony1 | Dreamstime.com
O pôr do sol pode nos presentear com os mais belos retratos da natu-
reza. No Parque Nacional de Jericoacoara, no Ceará, há uma formação 
rochosa, cartão postal da região, de cerca de cinco metros de altura 
com um buraco esculpido pela ação das águas. O que faz da Pedra 
Furada uma atração especial é que no mês de julho, auge do solstício 
de inverno, é possível ver o sol se pondo através do buraco, onde a luz solar re-
alça a cor avermelhada das rochas de quartzo ferruginoso. A cena é de tirar o 
fôlego! Ao observarmos o formato da Pedra Furada ou de qualquer outra for-
mação geológica esculpida pela ação dos elementos da natureza, não é difícil 
perceber o motivo de serem denominadas de pontes ou arcos naturais. 
Desde o princípio, o homem preci-
sou intervir no meio ambiente para 
superar os obstáculos que se inter-
punham em seu caminho. Não 
podendo contar com pontes natu-
rais para atravessar os diversos rios 
e vales, o desenvolvimento de 
meios técnicos tornou-se questão 
de sobrevivência e progresso. As 
pontes encontram-se entre as es-
truturas mais antigas construídas 
pelo homem para interligar regiões 
separadas por obstáculos naturais 
ou artificiais. Inicialmente elas 
eram construídas com materiais 
disponíveis na natureza como pe-
dra, madeira, e cordas, mas com o 
tempo foram substituídas por no-
vos materiais como aço, cimento e 
concreto estrutural.
A resolução de problemas complexos, como 
o projeto de uma ponte, é um exemplo con-
creto do exercício das potencialidades 
criativas do homem, aplicadas a melhor com-
preensão e domínio do meio em que habita. 
O que antes era apenas uma ideia na cabeça 
de alguém, só se torna real, porque ferramen-
tas matemáticas possibilitaram a 
representação de problemas concretos por 
equações envolvendo diversas variáveis. 
Neste capítulo, estudaremos como as matri-
zes e determinantes são empregados para a 
simplificação da resolução de problemas en-
volvendo sistemas lineares.
Clapper Bridge - ponte pré-histórica
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MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 4 | 3
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Alguns vídeos mostram estratégias chinesas 
de cálculo bem diferentes das ocidentais. Eis 
um exemplo: nós, ocidentais, provavelmente 
multiplicaríamos 5 242 por 53 colocando os 
números no algoritmo.
Os chineses fariam uma tabela cujo número de colunas seria 
igual ao número de algarismos do primeiro número, e o número 
de linhas, igual ao número de algarismos do segundo número.
Depois, fariam uma diagonal em cada célula da tabela.
Eles, então, multiplicariam o algarismo de cada linha 
pelo de cada coluna e escreveriam o resultado na célula.
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MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 5 | 3
CAPÍT
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“Há três diferentes tipos de milho. Três porções do primeirotipo de 
milho, mais duas porções do segundo tipo, mais uma porção do 
terceiro tipo fazem uma saca que pesa 39 medidas. Duas porções do 
milho do primeiro tipo, mais três porções do segundo tipo e mais uma 
porção do terceiro tipo fazem uma saca que pesa 34 medidas. Uma 
medida do milho do primeiro tipo, duas medidas do segundo tipo e 
três do terceiro tipo fazem uma saca que pesa 26 medidas. Quanto de 
cada tipo de milho tem uma pessoa que tem as três sacas?” 
(MIKAMI, Yoshio. The development of mathematics in China and Japan, 1913, disponível em: <http://
aleph0.clarku.edu/~djoyce/ma105/simultaneous.html>. Acesso em: dez. 2015. Tradução e livre 
adaptação feita para esta obra.)
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de tabelas para a resolução de 
problemas do cotidiano se deu 
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que apresentavam mais de uma 
variável. Um desses problemas 
já foi retratado e resolvido, pelo 
método chinês, no capítulo sobre 
matrizes. Vamos retomá-lo:
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MATEMÁTICA
NAN
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2 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | 3
A fama de “Gertie” cresceu ao ponto de cobrarem 
um pedágio dos curiosos que desejavam atravessar a 
ponte oscilante. Entretanto, no dia 7 de novembro, 
apenas quatro meses após sua inauguração, este fu-
turo ponto turístico encontrou um destino 
inesperado. Às 11 horas, sob ventos de 68Km/h, 
“Gertie” começou a se comportar de uma maneira dis-
tinta do usual. Ao invés de oscilar verticalmente, 
observou-se que a ponte passou a oscilar de modo a 
se torcionar e com uma intensidade nunca vista até 
então. Ao perceberem que havia algo de errado, as 
autoridades interromperam o tráfego, mas ainda ha-
via um veículo no meio da ponte. O motorista 
Leonard Coatsworth, jornalista, que estava com o co-
cker speniel de sua filha, Tubby, percebeu-se em meio 
a violentas oscilações e, após perder o controle do 
veículo, pisou no freio e tentou em vão pegar o assus-
tado cachorrinho. Ao sair do veículo, foi lançado ao 
chão. Ouvindo atrás de si o som de concreto rachan-
do, Leonard rastejou por quase 500m metros até 
chegar a extremidade segura da ponte, para teste-
munhar o colapso das estruturas e observar seu carro 
mergulhar ponte abaixo.
A transposição de obstáculos naturais através da constru-
ção de estruturas engenhosas é geralmente vista como um 
sinal do progresso de uma civilização. Em 1940, engenhei-
ros e construtores deram os retoques finais no que seria a 
mais longa ponte pênsil dos Estados Unidos: a Ponte de 
Tacoma Narrow. Desde sua inauguração, esse produto da 
engenhosidade humana estava destinado a chamar à aten-
ção do mundo. Muito embora a estrutura tenha sido 
projetada para resistir a fortes ventos, observadores locais 
notaram que mesmo uma leve brisa era suficiente para fa-
zer com que toda ponte oscilasse, ao ponto de causar enjoo 
em algumas pessoas. Motoristas que se aventuravam na 
travessia em dias de ventos fortes, apelidaram a ponte de 
“Galloping Gertie” (algo como “Gertrudes Galopante”), em 
referência a uma música da época. 
Unidade 2
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“O orgulho vem antes da 
destruição; o espírito altivo, 
antes da queda.” 
Provérbios 16.18 (NVI)
Conheça como era essa ponte assistindo 
ao vídeo Tacoma Narrows Bridge Collapse 
“Gallopin´Gerthie”. Disponível em: 
<www.youtube.com/watch?v=j-
zczJXSxnw>. Acesso em: mar. 2016. 
M2_EM_U2_BOOK_Professor.indb 10 18/03/16 14:09
Em várias páginas, você encontrará ícones e termos como Conceito e Glossary que 
representam complementos ao tema e assuntos abordados, seja na forma de textos, 
de atividades, em sugestões de sites, � lmes e livros ou em chamadas à re� exão. 
Recursos
Conceito
Traz a sistematização de 
um conceito-chave que 
merece destaque em 
meio à explicação de 
determinado assunto.
Glossário
Um pequeno dicionário 
com termos técnicos 
presentes no texto.
Sugestões 
bibliográ� cas
Sequencia de livros, sites, 
� lmes e outras fontes de 
informação para sua 
pesquisa extra livro.
Código QR 
É um código de resposta 
(ou leitura) rápida (do 
inglês, Quick Response 
Code), indicado junto 
ao recurso Para acessar. 
A partir de um aplicativo 
de celular (que tenha 
câmera) ou tablet, o 
código QR pode identi� car 
rapidamente o site/blog. 
Na impossibilidade de 
usar o celular/tablet, você 
pode digitar o endereço 
virtual indicado.
INTEGRANDO CONHECIMENTOS
Tem como objetivo a integração do conteúdo com a cosmovisão 
cristã através da re� exão sobre uma referência bíblica.
PARA ACESSAR
Indicação de links, vídeos, � lmes, bibliogra� as, dicas culturais 
e literárias, dentre outras, para auxiliar na compreensão do 
tema abordado.
PARA REFLETIR
No Para re� etir, as perguntas surgem do próprio conteúdo ministrado, 
sem uma integração explícita com textos bíblicos. No entanto, parte da 
ideia de que toda verdade tem em Deus sua fonte e origem, onde quer 
que ela possa ser encontrada. 
PRODUÇÃO DE PESQUISA
Propostas de incentivo à busca de informações em outras fontes 
(algumas não escritas, como no caso de música ou de monumentos), para 
ampliação do conhecimento em determinado tema abordado no capítulo 
e iniciação ao processo de produção cientí� ca (individual ou coletiva).
VALE LEMBRAR
Resgate de conteúdos trabalhados anteriormente que 
servem no momento como pré-requisito para o novo saber.
VOCÊ SABIA?
Apresenta informações complementares e 
suplementares ao conteúdo abordado no capítulo.
CADERNO DE ATIVIDADES
Ícone que faz referência ao Caderno de Atividades, onde 
o aluno encontrará uma lista de exercícios, originais, do 
Enem e de vestibulares.
MATEMÁTICA, TECNOLOGIA, 
SOCIEDADE E AMBIENTE
Relaciona a matemática com as Ciências Humanas e da Natureza, 
mostrando pontos de conexão entre elas, como também o contexto 
histórico e/ou sociocultural que levaram ao desenvolvimento de um 
assunto do capítulo em questão. Ou ainda, conecta o saber 
matemático, desenvolvido no capítulo, a uma tecnologia.
VAMOS PRATICAR
Exercícios e/ou atividades de indução para sistematizar/
analisar o conteúdo apresentado e indicação de outros 
exercícios no caderno de atividades.
PENSANDO MATEMÁTICA
Apresentação de desa� os matemáticos contemporâneos ou não, 
relacionados ao mundo da matemática, que necessariamente, 
não precisam ter aplicação prática atualmente.
MTSA
Matemática Tecnologia
Sociedade e Ambiente
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Capítulo 4
Matriz: uma 
organização numérica
Primeiras Ideias
Pensando Enem
Por dentro do vestibular
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209
Capítulo 5
Determinante: Em 
busca de um número
Primeiras Ideias
Por dentro do vestibular
231
242
Capítulo 6
Sistema linear: 
conjunto de equações 
que facilitam nossa vida
Primeiras Ideias
Pensando Enem
Por dentro do vestibular
255
265
267
Caderno de
Atividades
132CAPÍTULO 6
Sistema linear: 
conjunto de equações 
que facilitam nossa vida
Sistemas lineares
Resolução de sistemas lineares
Resolução de um sistema linear por substituição
Resolução de um sistema linear pela regra de Cramer 
Resolução de um sistema linear por escalonamento
Classi� cação de sistemas lineares 
Discussão dos sistemas lineares
Discussão de sistemas 2 x 2
O teorema de Rouché-Capelli
Matriz linha equivalente
Característica ou posto de uma matriz
Aplicação do teorema de Rouché-Capelli
Re� etindo ideias e atitudes
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As propriedades dos determinantes
Linha ou coluna nula (� la nula)
Filas paralelas iguais 
Multiplicação de um determinante 
por um escalar (número) 
Duas linhas ou colunas paralelas proporcionais 
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Determinante de Vandermonde
Teorema de Jacobi
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Soma de determinantes 
Cálculo da matriz inversa 
com o uso de determinantes
Matriz cofatora
Matriz adjunta
Matriz inversa
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(c) Tony1 | Dreamstime.com
O pôr do sol pode nos presentear com os mais belos retratos da natu-
reza. No Parque Nacional de Jericoacoara, no Ceará, há uma formação 
rochosa, cartão postal da região, de cerca de cinco metros de altura 
com um buraco esculpido pela ação das águas. O que faz da Pedra 
Furada uma atração especial é que no mês de julho, auge do solstício 
de inverno, é possível ver o sol se pondo através do buraco, onde a luz solar re-
alça a cor avermelhada das rochas de quartzo ferruginoso. A cena é de tirar o 
fôlego! Ao observarmos o formato da Pedra Furada ou de qualquer outra for-
mação geológica esculpida pela ação dos elementos da natureza, não é difícil 
perceber o motivo de serem denominadas de pontes ou arcos naturais. 
Desde o princípio, o homem preci-
sou intervir no meio ambiente para 
superar os obstáculos que se inter-
punham em seu caminho. Não 
podendo contar com pontes natu-
rais para atravessar os diversos rios 
e vales, o desenvolvimento de 
meios técnicos tornou-se questão 
de sobrevivência e progresso. As 
pontes encontram-se entre as es-
truturas mais antigas construídas 
pelo homem para interligar regiões 
separadas por obstáculos naturais 
ou arti� ciais. Inicialmente elas 
eram construídas com materiais 
disponíveis na natureza como pe-
dra, madeira, e cordas, mas com o 
tempo foram substituídas por no-
vos materiais como aço, cimento e 
concreto estrutural.
A resolução de problemas complexos, como 
o projeto de uma ponte, é um exemplo con-
creto do exercício das potencialidades 
criativas do homem, aplicadas a melhor com-
preensão e domínio do meio em que habita. 
O que antes era apenas uma ideia na cabeça 
de alguém, só se torna real, porque ferramen-
tas matemáticas possibilitaram a 
representação de problemas concretos por 
equações envolvendo diversas variáveis. 
Neste capítulo, estudaremos como as matri-
zes e determinantes são empregados para a 
simpli� cação da resolução de problemas en-
volvendo sistemas lineares.
Clapper Bridge - ponte pré-histórica
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MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 4 | 17
Alguns vídeos mostram estratégias chinesas 
de cálculo bem diferentes das ocidentais. Eis 
um exemplo: nós, ocidentais, provavelmente 
multiplicaríamos 5 242 por 53 colocando os 
números no algoritmo.
Os chineses fariam uma tabela cujo número de colunas seria 
igual ao número de algarismos do primeiro número, e o número 
de linhas, igual ao número de algarismos do segundo número.
Depois, fariam uma diagonal em cada célula da tabela.
Eles, então, multiplicariam o algarismo de cada linha 
pelo de cada coluna e escreveriam o resultado na célula.
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18 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 4
Interessante, não é? Antigo também. A China tem uma tradi-
ção importante no desenvolvimento de cálculos matemáticos 
que envolvem tabelas; na verdade, tabuleiros. 
Da dinastia Han, entre os séculos II a.C. e I a.C., há registros 
dessa matemática chinesa, como podemos constatar na obra 
Jiuzhang suanshu 2, ou K’ ui – ch’ang Suan – Shu, traduzida no 
Ocidente por Nove capítulos da arte matemática. Essa obra apre-
senta 246 problemas (com respostas), distribuídos ao longo de 
seus nove capítulos. Daí o nome. Desses nove capítulos, é no oita-
vo, chamado Fangsheng, que se apresenta a solução de 
problemas matemáticos oriundos do cotidiano chinês com o uso 
de tabuleiros e varetas de bambu. Problemas como: “Há três dife-
rentes tipos de milho. Três porções do primeiro tipo de milho 
mais duas porções do segundo tipo mais uma porção do terceiro 
tipo fazem uma saca que pesa 39 medidas. Duas porções do mi-
lho do primeiro tipo mais três porções do segundo tipo e mais 
uma porção do terceiro tipo fazem uma saca que pesa 34 medi-
das. Uma medida do milho do primeiro tipo, duas medidas do 
segundo tipo e três do terceiro tipo fazem uma saca que pesa 26 
medidas. Quanto de cada tipo de milho tem uma pessoa que tem 
as três sacas?” (MIKAMI, Yoshio. The development of Mathematics in 
China and Japan, 1913. Disponível em: <http://aleph0.clarku.
edu/~djoyce/ma105/simultaneous.html>. Acesso em: dez. 2015. 
Tradução e livre adaptação feita para esta obra.).
Por fi m, somariam os números de cada diagonal.
No Ocidente, nós resolveríamos, normalmente, por:
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1 2 3
2 3 2
3 1 1
26 34 39
Sc Sb Sa
1 2 3
2 3 2
3 1 1
26 34 39
Sc Sb Sa
MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 4 | 19
A lógica chinesa era semelhante, mas, escrita em tabela, da 
direita para a esquerda, em conformidade com a escrita chinesa:
Como explica o professor David E. Joyce, da Universidade Clark, 
em Massachusetts, nos Estados Unidos: os chineses conseguiam re-solver problemas como esse pelo uso de tabelas, sem usar as 
variáveis, e evitando frações. E como eles faziam isso? 
A ideia principal era multiplicar as linhas por um número, de tal 
forma que, subtraindo outra linha da que fosse multiplicada pelo 
número de vezes necessário, pelo menos duas casas fossem zera-
das em cada linha. E por quê? Para dividir o valor maior pelo menor, 
tendo, assim, a quantidade de cada tipo de milho. A primeira casa a 
ser zerada era a primeira da segunda linha, e, depois, a primeira e a 
segunda casas da primeira linha. Na sequência, começavam a zerar 
pelo menos mais uma casa na segunda linha e duas na terceira.
Chamemos cada coluna de saca A (SA), saca B (SB) e saca C 
(SC), e consideremos que, na saca A, calcularemos a quantidade 
de milho do tipo 1, na saca B, de milho do tipo 2, e na saca C, de 
milho do tipo 3.
Observe como eles chegariam à solução desse problema, segundo consta no 
Fangsheng (apud JOYCE, David. Simultaneous linear equations. Disponível em: <http://
aleph0.clarku.edu/~djoyce/ma105/simultaneous.html>. Acesso em: dez. 2015):
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20 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 4
SC − 4SB
Sc Sb Sa
0 0 3
0 5 2
36 1 1
99 24 39
Eles pegavam a segunda 
coluna e multiplicavam 
por 3 (SB · 3)
Sc Sb Sa
1 6 3
2 9 2
3 3 1
26 102 39
Depois, multiplicavam a 
terceira coluna por 2 e 
a subtraiam da segunda 
coluna (SB − 2SA)
Sc Sb Sa
1 0 3
2 5 2
3 1 1
26 24 39
Multiplicavam a primeira 
coluna por 3 (SC · 3)
Sc Sb Sa
3 0 3
6 5 2
9 1 1
78 24 39
Depois, subtraíam a 
primeira coluna da 
terceira (SC − SA)
Sb Sa
0 3
5 2
1 1
24 39
Em seguida, 
multiplicavam a primeira 
coluna por 5 (SC · 5)
Sb Sa
0 3
5 2
1 1
24 39
Para, então, multiplicar 
a segunda coluna por 4 e 
subtrair da primeira 
(SC − 4SB)
Sb Sa
0 3
5 2
1 1
24 39
Sb
6
9
3
102
Depois, multiplicavam a 
terceira coluna por 2 e 
a subtraiam da segunda 
coluna (SB − 2SA)
Sb
0
5
1
24
Sc
3
6
9
78
Depois, subtraíam a 
primeira coluna da 
terceira (SC − SA)
Sc
0
4
8
39
Sc
0
20
40
195
Para, então, multiplicar 
a segunda coluna por 4 e 
subtrair da primeira 
(SC − 4SB)
Sc
0
0
36
99
Observe que a primeira casa da segunda linha e a primeira 
e a segunda casas da primeira linha estão zeradas:
M2_EM_U2_BOOK_Professor.indb 20 18/03/16 14:09
MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 4 | 21
Agora, eles procurariam zerar pelo menos duas casas em cada li-
nha, semelhantemente ao que já teriam na primeira linha. E por 
quê? Porque eles precisavam zerar duas quantidades de milho para 
que, sobrando apenas uma, dividissem o total por essa única parte 
para saber sua quantidade. Na saca C, portanto, eles já saberiam 
que há , ou seja, de milho do tipo 3. Se a medida fosse qui-
lograma, por exemplo, seriam 2,75 quilogramas de milho do tipo 3. 
Para achar a medida de milho do tipo 1 e do tipo 2, fariam:
Quantidade de 
milho do tipo 3 da saca
C = 99 : 36
Sc Sb Sa
0 0 3
0 5 2
4 1 1
11 24 39
SB · 4
Sc Sb Sa
0 0 3
0 20 2
4 4 1
11 96 39
SB − SC
Sc Sb Sa
0 0 3
0 20 2
4 0 1
11 85 39
Quantidade de 
milho do tipo 2 da saca 
B = 85 : 20
Sc Sb Sa
0 0 3
0 4 2
4 0 1
11 17 39
SA · 4
Sc Sb Sa
0 0 12
0 4 8
4 0 4
11 17 156
SA − SC
Sc Sb Sa
0 0 12
0 4 8
4 0 0
11 17 145
Sb
0
20
4
96
Sb
0
20
0
85
UNIDADE 2
Sa
12
8
4
156
Sa
12
8
0
145
0
0
0
0
4
17
4
11
M2_EM_U2_BOOK_Professor.indb 21 18/03/16 14:09
1
A
B
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
A
B
Fonte de pesquisa: <www.invivo.fi ocruz.br/cgi/cgilua.exe/start.
htm?infoid=982&sid=9>. Acesso em: dez. 2015.
22 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 4
SA − 2SB
Sc Sb Sa
0 0 12
0 4 0
4 0 0
11 17 111
Quantidade de milho do tipo 1 
da saca A = 111 : 12
Sc Sb Sa
0 0 12
0 4 0
4 0 0
11 17 111
Sa
12
0
0
111
12
111
0
0
Logo, em quilogramas, teríamos: 2,75 kg de milho do tipo 3; 4,25 kg de 
milho do tipo 2; 9,25 kg de milho do tipo 1.
E por que essa estratégia chinesa de solução de cálculos como esse do 
milho nos interessa até hoje? Porque eles foram um dos primeiros povos a 
organizar em tabelas dados fornecidos por determinada situação. Hoje, 
organizar dados em tabelas, e mais, fazer planejamentos e previsões ba-
seadas em cálculos de dados tabelados é absolutamente comum e até 
essencial em nosso dia a dia. E é sobre esses cálculos que podemos fazer 
hoje utilizando algo semelhante a uma tabela, matematicamente chama-
dos de matrizes, que estudaremos a seguir.
O uso de tabuleiros (tabelas) e varetas de bambu para representar 
os números era algo muito comum na China antiga, como podemos 
notar na fi gura a seguir.
Nesse tipo de notação, para representar o número 321, usava-se a 
tabela A para representar o número 1, a tabela B para representar 
o número 2 e, novamente, a tabela A para representar o número 3. 
M2_EM_U2_BOOK_Professor.indb 22 18/03/16 14:09
MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 4 | 23
Portanto, a representação do número 321 será:
Essa notação era representada em um tabuleiro, como 
mostra a figura a seguir:
O algarismo zero era representado por um espaço vazio no tabuleiro.
Na resolução de problemas que envolvessem sistemas lineares, os 
chineses também usavam o tabuleiro e as varetas de bambu. Portanto, 
não é de estranhar que o uso de tabelas para resolver os diversos 
problemas matemáticos tenha se iniciado na China. 
Da China 
para o Ocidente: 
de tabelas 
a matrizes
Evidentemente, da estratégia chinesa de cálculo em tabelas até o desen-
volvimento que hoje temos de cálculos em matrizes há uma história. 
Por volta de 1545, Girolamo Cardano, considerado o pai da teoria da 
probabilidade, passou a fazer uso de tabelas na resolução de problemas 
que apresentassem sistemas de duas equações lineares, como, por exem-
plo, a soma das idades entre dois amigos ser igual a 20, e a diferença, igual 
a 13, ou seja, e . Mas foi apenas no Japão, em 1683, 
que o grande matemático japonês do século XVII, Takakazu Seki Kowa 
(1642-1708) escreveu o manuscrito Kai Fukudai no Ho (Método de solução 
de questões secretas), expondo soluções de equações e problemas por 
meio de métodos matriciais. Ou seja, da mesma forma que os chineses, 
Seki Kowa fez uso de tabuleiros (tabelas) para a resolução de tais proble-
mas. Para uma equação do primeiro grau, a representação em forma de 
tabela usada por ele ficou da seguinte forma:
M2_EM_U2_BOOK_Professor.indb 23 18/03/16 14:09
24 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 4
Para Kowa, um sistema com duas 
equações do primeiro grau seria repre-
sentado da seguinte forma:
Em seu manuscrito, Kowa também 
apresentou sistemas de três equações, 
como pode ser visto a seguir:
Kowa representava sistemas de três 
equações por uma tabela como a seguinte:
Até aqui, não há muita diferença do 
que já vimos que os chineses conseguiam 
fazer, certo? Mas o interessante é que, não 
apenas como Girolamo Cardano, Kowa já 
via nas tabelas uma representação para 
sistemas matemáticos envolvendo incóg-
nitas (sistemas lineares) e o trabalho de 
Kowa não parou na representação em 
tabela de sistemas de até três equações 
lineares. Em seus manuscritos, Kowa tam-
bém representou, em forma de tabela, um 
sistema de quatro e de cinco equações, do 
terceiro e quarto graus, respectivamente. 
Além disso, ele desenvolveu um sistema de 
notação para representar, também em tabe-
la, os coeficientes de um sistema de quatro 
equações, como podemos notar em seguida:
 Essa seria a representação de Kowa, 
em tabela, para um sistema linear do tipo:
Enquanto o matemático japonês desenvolveu 
sua teoria para até 5 equações e 4 incógnitas, os 
estudos do matemático alemão Gottfried Wilhelm 
von Leibniz (1646-1716), que apresentou resulta-
dos muito próximos dos de Kowa, visavam a 
resolução de sistemas lineares formados por 
equações e incógnitas, que só seriam, contudo, 
formalmente alcançadospor outro matemático, 
Augustin-Louis Cauchy (1789-1857). 
M2_EM_U2_BOOK_Professor.indb 24 18/03/16 14:09
MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 4 | 25
Em 1812, Cauchy publicou um artigo em que tomou elementos, chamou-os 
de , , , ... e realizou o produto desses números por todas as diferenças 
possíveis entre eles, ficando da seguinte forma:
Representando em forma “tabelada”, tivemos:
Embora Cauchy tenha chegado à primeira representação em tabela 
de um sistema de equações , a representação de cada elemento 
de uma matriz por uma notação posicional, que localizava e determina-
va cada elemento na tabela (matriz), deve-se a Leibniz. Na notação de 
Leibniz, torna possível localizar o elemento da matriz que está na 
primeira linha e na primeira coluna, enquanto , o elemento que está 
na segunda linha e na primeira coluna, e , o elemento que está na 
primeira linha e na segunda coluna.
Na matriz:
Observe, então, que corresponde ao elemento 
7; corresponde ao elemento 8, e assim por diante.
O artigo de Cauchy foi bem além de apresentar a pro-
posta em tabela para um sistema de equações . Ele 
chegou ao conceito de determinante, assunto que estuda-
remos em nosso próximo capítulo, e organizou a tabela de 
, da forma como a fez, considerando a notação de 
Leibniz e a lógica a seguir. Se:
fazendo a distributiva, temos:
M2_EM_U2_BOOK_Professor.indb 25 18/03/16 14:09
26 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 4
que ele propôs escrever da seguinte forma:
Essas quatro quantidades ( ) 
seriam dispostas da seguinte maneira por Cauchy:
Para Cauchy, essa tabela formava um “sistema simétrico de ordem 4”.
Tomando a matriz apresentada no exemplo dado, ele defi niu os termos e 
 , ou seja, e , como termos conjugados. Os termos onde = , como, 
por exemplo, os termos e , como termos autoconjugados. Ao produto dos 
termos autoconjugados, Cauchy chamou, simplesmente, de produto principal.
A teoria das matrizes
Até por volta do início do século XVII, o uso de tabelas era 
visto como uma ferramenta de auxílio para o desenvolvi-
mento de outros estudos matemáticos, como os 
determinantes e sistemas lineares, o cálculo diferencial e 
integral, os sistemas de equações diferenciais e o estudo 
das formas quadráticas. Mas será que algo impedia o apa-
recimento e desenvolvimento da teoria de matrizes? 
Na história da matemática, sempre se acreditou que de-
terminadas propriedades deveriam ser respeitadas e que 
funcionavam como leis universais. Tanto na geometria co-
mo na álgebra, tais propriedades eram imutáveis e não 
passíveis de alteração. Esse fato fez com que muitos temas 
não fossem abordados com a devida profundidade, e um 
desses temas foram justamente as matrizes. 
 Acreditava-se, na época, que a alteração de ordem em 
um produto não alterava seu resultado, como, por exem-
plo, 2 · 3 = 3 · 2, propriedade essa denominada comutativa. 
Sabia-se que as matrizes não obedeciam tal propriedade, 
pois, ao alterar a ordem em um produto de tabelas, seus re-
sultados eram, geralmente, diferentes. 
como dar atenção a um 
assunto em que a propriedade 
comutativa não valia?
M2_EM_U2_BOOK_Professor.indb 26 18/03/16 14:09
MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 4 | 27
Então, por volta de 1829, o matemático Lobachevsky, e em 1832, o matemáti-
co Bolyai perceberam a existência de uma nova geometria, que dependia de que 
nem todos os postulados de Euclides fossem respeitados. O mesmo fato ocorreu 
com a álgebra, por volta do início do século XIX, sobretudo com trabalhos do ma-
temático William Rowan Hamilton (1805-1865), em 1843. Uma nova álgebra 
estava surgindo, a álgebra não comutativa, na qual o produto dos termos 
nem sempre seria igual ao produto .
 Nesse contexto, tivemos o desenvolvimento de mais uma álgebra não comu-
tativa, a álgebra das matrizes, finalmente oficializada e teorizada em 1855 pelo 
importante matemático inglês Arthur Cayley (1821-1895). Atualmente, a forma 
de representação dos elementos de uma matriz se dá de modo muito parecido 
com a que Cayley utilizou em seus estudos. 
Hoje, uma matriz tem a seguinte representação: 
Atribuímos uma letra maiúscula para a matriz e uma letra minúscula cor-
respondente para cada um dos elementos que compõem a matriz, seguida 
de dois números subscritos que correspondem à linha e à coluna de localiza-
ção do respectivo elemento. 
É importante salientarmos que, nos dias atuais, quando temos uma matriz 
do tipo representado a seguir, denominamos essa matriz de matriz coluna. 
A matriz coluna, normalmente, representa uma equação do 
primeiro grau, como: . Já uma equação do primeiro 
grau do tipo seria, hoje, representada mais comu-
mente por uma matriz linha, como podemos notar a seguir.
Já um sistema linear do tipo:
teria uma matriz como a indicada a seguir, 
denominada matriz quadrada.
M2_EM_U2_BOOK_Professor.indb 27 18/03/16 14:09
Matriz coluna 
Matriz linha 
Matriz quadrada
número de linhas igual 
ao número de colunas
Diagonal 
secundária de 
uma matriz
3 linhas e 3 colunas
28 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 4
E um sistema linear do tipo
seria escrito em forma de matriz da forma a seguir representada. 
Essa forma é denomidada matriz quadrada de ordem 3.
Portanto, sistematizando alguns conhecimentos sobre matrizes 
até o momento, temos:
Observação: 
O exemplo apresentado é o que 
chamamos de matriz quadrada 
2 por 2 ou matriz quadrada de 
ordem 2, pois apresenta o mesmo 
número de linhas e de colunas (2).
Matriz quadrada 
de ordem 3
Já o que Cauchy chamou de termos conjugados ( e ), ou seja, 
os termos e , são, em uma matriz, sua diagonal secundária. 
M2_EM_U2_BOOK_Professor.indb 28 18/03/16 14:09
Diagonal 
principal de 
uma matriz
MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 4 | 29
E o que Cauchy chamou de produto princi-
pal (o produto dos termos autoconjugados), 
importante para o cálculo do determinante, 
hoje, chamamos de produtos dos termos da 
diagonal principal.
Os termos que Cauchy chamou de autocon-
jugados ( , onde = ), como, por exemplo, os 
termos e são, hoje, em uma matriz, sua 
diagonal principal.
Vamos, agora, treinar um pouco os conceitos 
vistos até aqui.
EXERCÍCIO RESOLVIDO 1
Dê o número de linhas e de colunas 
em cada uma das matrizes a seguir:
a. 
b. 
c. 
1 linha e 3 colunas 
2 linhas e 1 coluna
2 linhas e 3 colunas
EXERCÍCIO RESOLVIDO 2
Dada a matriz a seguir, determine 
o valor de cada um dos elementos 
que se pede:
M2_EM_U2_BOOK_Professor.indb 29 18/03/16 14:09
30 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 4
Resolução
Antes de mais nada, devemos observar que a matriz apresenta 
quatro linhas e cinco colunas, ou seja, é uma matriz 4 × 5. 
Representando essa matriz e seus elementos, temos:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
f. 
g. 
h. 
i. 
Portanto:
 = Observe que 
este elemento se re-
fere à quinta linha e 
à quarta coluna, mas 
a matriz apresentada 
tem apenas quatro 
linhas. Portanto, esse 
elemento não existe.
EXERCÍCIO RESOLVIDO 3 
Apresente a matriz C a seguir, sendo dada sua lei de formação:
Resolução
O que foi dado neste exemplo é uma expressão, , que vai gerar cada 
elemento da matriz, dependendo dos valores de e de . Observe que a matriz é 
, ou seja, apresenta duas linhas e três colunas. Vejamos sua apresentação.
M2_EM_U2_BOOK_Professor.indb 30 18/03/16 14:09
MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 4 | 31
Logo, nossa matriz C será: 
Vamos, com o uso da expressão fornecida, 
calcular o valor de cada um dos elementos dessa matriz:
1. Relacione a primeira coluna com a segunda.
( ) Matriz coluna com duas linhas 
( ) Matriz com três linhas e duas colunas 
( ) Matriz linha com duas colunas 
 
( ) Matriz com duas linhas e três colunas
a. 
b. 
c. 
 
d. 
2. Dada a matriz a seguir, determine ca-da um dos elementos que se pede:
Asequência correta é c – d – a – b. 
M2_EM_U2_BOOK_Professor.indb 31 18/03/16 14:09
32 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 4
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
f. 
g. 
h. 
i. 
3. Dada a lei de formação em cada item, apresente cada uma das matrizes a seguir:
Resolva as questões 
152 a 158 e 188 a 
191 do Caderno 
de Atividades.
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
5
3
2
-1
6
0
5
6
não existe
M2_EM_U2_BOOK_Professor.indb 32 18/03/16 14:09
MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 4 | 33
Definição e propriedades das matrizes
Embora em 1858 Arthur Cayley tenha publicado a obra Memoir on the Theory of 
Matrices, expondo, de forma abrangente, a teoria de matrizes desenvolvida até o 
momento, e ficando, dessa forma, conhecido como o pai da teoria das matrizes, 
foi o matemático inglês James Joseph Sylvester (1814-1897) quem utilizou o ter-
mo pela primeira vez, por volta de 1850, para se referir a tabelas que 
representavam coeficientes de sistemas lineares. 
CONCEITO
Matrizes são tabelas retangulares, 
delimitadas por parênteses, colchetes ou 
barras, com dados organizados em linhas e 
colunas. Os dados correspondem a elementos 
de determinado conjunto, especificado ou 
subentendido. Geralmente são números, 
inteiros, reais ou complexos, mas também 
podem ser relacionados a expressões 
polinomiais ou de outro tipo. 
CLAPHAM, Christopher; NICHOLSON, James. Concise dictionary of 
mathematics. Oxford, [s.d], p. 506. Tradução feita para esta obra.
Na verdade, muito do que temos até hoje sobre matrizes, suas proprieda-
des e conceitos, foi fruto das contribuições de Arthur Cayley e Sylvester. De 
forma resumida, vejamos alguns pontos importantes da teoria das matrizes 
desenvolvida por Sylvester e Cayley e aprimorada por outros matemáticos 
em anos posteriores.
Ordem da matriz 
Dada uma matriz de ordem , ou seja, linhas 
e colunas, chamamos de diagonal principal, 
como vimos, o conjunto de elementos que apre-
sentam os mesmos índices, ou seja, todo o 
elemento , com = . 
Na matriz , os elementos da diagonal 
 
principal são 1 ( ), 5 ( ) e 9 ( ). A quantida-
de de elementos da diagonal principal de uma 
matriz determina sua ordem. Dessa 
 
forma, a matriz é de ordem 3.
M2_EM_U2_BOOK_Professor.indb 33 18/03/16 14:09
34 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 4
Vimos, também, que chamamos de diagonal secundária o conjun-
to de elementos que apresentam índices conjugados, e . A soma 
dos índices da diagonal secundária de uma matriz resultará na ordem 
da matriz acrescida de uma unidade. Na matriz , a soma dos 
índices dos elementos da matriz diagonal, (correspon-
dentes a 7, 5 e 3, respectivamente), é igual a 4, ou seja, a ordem da 
matriz (3) somada de uma unidade. Matematicamente:
Matriz triangular superior
Uma matriz será triangular superior quando os ele-
mentos abaixo da diagonal principal forem todos 
nulos e pelo menos um elemento acima da diagonal 
principal for diferente de zero.
Exemplo:
Matriz triangular inferior 
Uma matriz será triangular inferior quando os elemen-
tos acima da diagonal principal forem todos nulos e 
pelo menos um elemento abaixo da diagonal princi-
pal for diferente de zero.
Exemplo:
M2_EM_U2_BOOK_Professor.indb 34 18/03/16 14:09
MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 4 | 35
Matriz diagonal
Chamamos de matriz diagonal a matriz em que pelo menos um 
elemento do tipo , com , for diferente de zero e todos os 
demais elementos do tipo , com , forem nulos.
Exemplo:
Matriz escalar
É uma matriz diagonal em que todos os elementos da diagonal 
principal são iguais.
Exemplos:
Observe que os elementos e , com , devem ser dife-
rentes de zero, caso contrário, teríamos uma matriz nula e não 
uma matriz diagonal.
Matriz real
É toda a matriz que apresenta seus elementos pertencentes ao 
conjunto dos números reais, ou seja, , com , ℕ.
Exemplo:
M2_EM_U2_BOOK_Professor.indb 35 18/03/16 14:09
36 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 4
Traço de uma matriz
Podemos definir traço de uma matriz como a soma dos 
elementos da diagonal principal. Vejamos um exemplo:
Seja a matriz e a matriz 
Nos exemplos dados, teríamos:
Vejamos algumas propriedades muito interessantes a res-
peito do traço de matrizes:
1. Podemos representar o traço da matriz como 
2. 
3. 
4. 
5. Para qualquer constante , temos 
Em Matemática, quando queremos expressar uma soma 
de modo resumido, utilizamos o símbolo . Por exemplo:
Podemos ler assim: o somatório de para , variando 
de 1 a 9.
Matriz identidade
Matriz identidade é uma matriz em que todos os elementos 
da diagonal principal são iguais a 1. É representada pela le-
tra maiúscula I.
Exemplos:
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MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 4 | 37
Matriz nula
Uma matriz qualquer que apresenta todos os seus elementos nulos 
é chamada de matriz nula. São exemplos de matriz nula, dessa forma,
Observe que a matriz identidade deve, obrigatoriamente, ser qua-
drada (o número de linhas deve ser igual ao número de colunas).
O matemático alemão Leopold Kronecker (1823-1891) deu uma 
importante contribuição para a teoria das matrizes. Kronecker, 
desenvolvendo novos conceitos no estudo dos determinantes, 
definiu matriz identidade da seguinte forma:
onde é chamado símbolo de Kronecker e se define da seguinte forma:
Como exemplo, apresentamos a matriz identidade a seguir:
Quando não houver dúvidas sobre a ordem da matriz nula, 
poderemos omitir o índice:
M2_EM_U2_BOOK_Professor.indb 37 18/03/16 14:09
38 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 4
1. Faça a relação da primeira com a segunda coluna.
a. Matriz linha 
 
 
b. Matriz coluna 
 
 
c. Matriz triangular inferior 
 
 
d. Matriz triangular superior 
 
 
 
e. Matriz diagonal 
 
 
f. Matriz escalar 
 
 
g. Matriz identidade 
 
 
h. Matriz retangular 
 
 
i. Matriz quadrada 
 
j. Matriz nula
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
I
E
D
B
A
G
J
C
F
H
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MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 4 | 39
Transposta de uma matriz
Seja dada uma matriz com linhas e colunas, ou 
seja, . Para determinarmos a matriz , transposta 
de , devemos ter cada coluna de A transformada em li-
nha da matriz . Com isso, a primeira coluna de A será 
a primeira linha de e assim por diante.
Devemos ressaltar que se é , sua transposta 
será e todo o elemento de será elemento 
de (as posições de linha e coluna ficam invertidas). 
Vejamos um exemplo para entendermos melhor:
Determine a transposta da matriz a seguir.
Para determinarmos a matriz transposta de , basta 
pegarmos cada uma das colunas dessa matriz e trans-
formá-las em linhas. Portanto, a primeira coluna de 
será a primeira linha de . 
Feito isso, devemos pegar a segunda coluna de , 
que será, agora, a segunda linha de .
O mesmo acontecendo com a terceira coluna de A, 
que será, agora, a terceira linha da matriz transposta.
igualdade entre matrizes
Duas matrizes são ditas iguais quando os elementos que estão na 
mesma posição da tabela forem iguais. Então, o elemento de uma 
matriz A deve ser igual ao elemento de outra matriz, chamada . 
Observe, portanto, que, para haver a igualdade de matrizes, elas, obri-
gatoriamente, devem ter o mesmo número de linhas e de colunas.
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40 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 4
EXERCÍCIO RESOLVIDO 1
Determine os valores de , , e para que as matrizes 
 e sejam iguais.
Resolução
Como devemos ter elementos na mesma posi-
ção das duas matrizes iguais, concluímos que:
ou seja:
EXERCÍCIO RESOLVIDO 2
Determine os valores de , , e para que a 
igualdade entre as matrizes a seguir se verifique.
Resolução 
Temos:Portanto:
EXERCÍCIO RESOLVIDO 3
Determine os valores de , , e na igualdade a seguir:
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MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 4 | 41
Resolução
Temos: 
Portanto:
Matriz simétrica e matriz 
antissimétrica (ou hemissimétrica)
A matriz será chamada de simétrica quando sua matriz transposta 
for igual à matriz inicial, ou seja:
Note que, nesse caso, temos que como condição de simetria. 
Observe o exemplo a seguir.
Determine os valores de e para que a matriz a seguir seja simétrica.
Os elementos e devem ser iguais para que a matriz dada seja 
simétrica, o mesmo deve ocorrer com os elementos e . Logo:
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42 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 4
Observe que, para classificarmos uma matriz como simétrica, ela deve ser quadrada.
Por outro lado, se ocorrer que , temos o que chamamos de matriz antissimé-
trica ou hemissimétrica. Note que, para atender a essa condição, obrigatoriamente, 
 se . 
EXERCÍCIO RESOLVIDO 
Determine os valores de , , , , e para que 
a matriz a seguir seja antissimétrica.
Resolução
Nesse caso, devemos determinar a transposta 
dessa matriz e obter seu oposto, ou seja:
e, com isso, vem que:
Como devemos ter , temos:
de onde vem que:
Observe que todos os elementos com são nulos.
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MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 4 | 43
Vejamos, ainda, duas propriedades de 
matrizes simétricas muito interessantes: 
1. Se a matriz for simétrica, então 
 também será simétrica.
2. Se a matriz for antissimétrica, então 
 também será antissimétrica.
A ideia de matriz simétrica já existia 
desde o século XVII com a obra Elementa 
Curvarum Linearum, do matemático 
holandês Jan de Witt (1629-1672), de 
1660, em que ele apresentou estudos 
referentes à diagonalização de uma 
matriz simétrica.
1. Determine o valor de e para que a igualdade seja verdadeira.
a. 
b. 
2. Determine a transposta da matriz .
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44 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 4
3. Verifique se as matrizes a seguir são simétricas.
a. 
 
 
 
 
b. 
 
 
 
c. 
a. 
 
 
 
 
b. 
 
 
c. 
4. Verifique se as matrizes a seguir são antissimétricas.
Resolva as questões 159 a 167 e 192 do Caderno de Atividades.
Operação 
com matrizes
Como as tabelas eram compostas de números reais, era natural 
que se desenvolvessem métodos para operar com tais tabelas. 
Essas operações tiveram início com o produto entre matrizes, que 
era o ponto conflitante com todo o pensamento algébrico então 
existente. Cauchy chegou a propor o teorema da multiplicação pa-
ra matrizes, mas ele não definiu o produto de matrizes. Essa 
definição apareceu somente após 1853, com Cayley. 
a) sim b) sim c) não a) sim b) sim c) não
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MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 4 | 45
Produto de matrizes 
Das quatro operações básicas que conhecemos (adição, subtração, multiplicação 
e divisão) entre matrizes, a multiplicação foi a primeira a ser defi nida por Cayley. 
Ele percebeu que, no produto de duas matrizes, quando trocada a ordem delas, 
resultaria quase sempre em tabelas diferentes, daí esta álgebra ser chamada de 
não comutativa. Logo, em matrizes, geralmente . Quando aconte-
cer de , diremos que as matrizes e comutam. Em seus estudos, 
Cayley chegou em um produto de matrizes como observaremos a seguir: 
Para obter , foi feito:
Para obtermos , será feito:
Continuando, teríamos:
Segunda linha
Primeira coluna Primeiro elemento 
da segunda linha
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46 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 4
Dos estudos de Cayley, sabemos que, para realizar uma multipli-
cação entre matrizes, o número de colunas da primeira matriz de 
um produto tem de ser numericamente igual ao número de linhas 
da segunda matriz desse mesmo produto, ou seja:
1a matriz 2a matriz
Se o número de colunas da primeira matriz não for igual ao núme-
ro de linhas da segunda matriz, não é possível efetuar seu produto.
Note, também, que o resultado do produto de duas matrizes sem-
pre será uma matriz que tem o mesmo número de linhas da primeira 
matriz e o mesmo número de colunas da segunda, ou seja:
Matriz idempotente
O produto de matrizes resulta em outra matriz. Mas há um caso em 
que o produto de matrizes resulta na própria matriz, é o caso da ma-
triz idempotente: toda a matriz quadrada A, em que o produto dessa 
matriz por ela mesma resulta na própria matriz, ou seja:
Exemplo:
A matriz é um exemplo de matriz idempotente, pois 
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MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 4 | 47
Propriedades do produto de matrizes
A multiplicação de matrizes é distributiva à direita e à esquerda em relação à 
adição: temos . 
Também é possível observarmos a propriedade associativa em operações de 
multiplicação em matrizes, ou seja, se tivermos as matrizes , e , temos 
.
Temos sempre que , sendo um 
número qualquer. 
No produto de matrizes, o elemento neutro é aquele que, ao multiplicar a 
matriz por ele, o resultado é a própria matriz. Logo, no produto de matrizes, o 
elemento neutro é matriz identidade.
Vejamos, a seguir, algumas 
propriedades do produto de matrizes.
EXERCÍCIO RESOLVIDO 1
Sendo , determine o valor de .
Resolução
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48 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 4
Então
EXERCÍCIO RESOLVIDO 2 
Dadas as matrizes e , determine:
a. O valor de . 
Resolução
b. O valor de . 
Resolução
c. O valor de .
Resolução
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MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 4 | 49
EXERCÍCIO RESOLVIDO 3
Dada a matriz , calcule .
Resolução
EXERCÍCIO RESOLVIDO 4
Verifique que se e , então 
, ou seja, mostre que as matrizes e 
não comutam.
Resolução
1. Dados , e , 
mostre que .
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50 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 4
2. Sendo , calcule:
a. b. 
3. Determine o produto das matrizes a seguir, quando possível.
a. 
b. 
c. 
d. 
M2_EM_U2_BOOK_Professor.indb 50 18/03/16 14:09
MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 4 | 51
4. Dadas as matrizes e , determine:
Resolva a questão 193 do Caderno de Atividades.
a. b. c. 
Adição de matrizes
Dadas duas matrizes, podemos efetuar sua adição pela soma dos 
elementos que se encontram na mesma posição de cada uma das 
matrizes. Observe: 
Chamando , temos:
Vejamos algumas 
propriedades da 
adição de matrizes.
M2_EM_U2_BOOK_Professor.indb 51 18/03/16 14:09
52 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 4
Propriedades da 
adição de matrizes
Se tivermos três matrizes , e , então te-
mos . Essa é a 
propriedade associativa da adição.
Pela propriedade comutativa, sabemos 
que .
Na adição de matrizes, o elemento neutro 
é aquele que, somando a matriz por ele, o re-
sultado obtido é a própria matriz. Logo, na 
adição de matrizes, o elemento neutro é a 
matriz nula.
EXERCÍCIO RESOLVIDO 1
Dada a matriz , calcule o valor de .
Resolução 
Temos que:
Logo:
EXERCÍCIO RESOLVIDO 2
Dados , e , 
mostre que .
M2_EM_U2_BOOK_Professor.indb 52 18/03/16 14:09
MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 4 | 53
Resolução
EXERCÍCIO RESOLVIDO 3
Dada a matriz e sendo 
e , mostre que vale a igualdade .
Resolução
Temos:
M2_EM_U2_BOOK_Professor.indb 53 18/03/16 14:09
54 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 4
EXERCÍCIO RESOLVIDO 4
Dados e mostre que A + B = B + A.
Resolução
EXERCÍCIORESOLVIDO 5
Sendo e duas matrizes quadradas de ordem , 
coloque V para verdadeiro e F para falso.
a. ( )
Resolução 
Verdadeiro 
Como não sabemos se as matrizes e comutam, não podemos di-
zer que , e portanto, .
b. ( )
Resolução
Falso
Não sabemos se as matrizes e comutam. 
Portanto, .
A + B = + = = 
A + B = B + A= 
B + A = + = = 
Logo:
M2_EM_U2_BOOK_Professor.indb 54 18/03/16 14:09
MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 4 | 55
Multiplicação de um escalar 
(número) por uma matriz
Se for um número real qualquer, definimos o produto de 
por uma matriz qualquer como o produto de por todos 
os elementos da matriz . Aqui, também temos propriedades 
muito importantes que devemos observar.
Propriedades do produto 
de um escalar por uma matriz
Sejam e dois escalares (números) quais-
quer em e e , duas matrizes quaisquer. 
Temos:
EXERCÍCIO RESOLVIDO 
Se e , calcule .
Resolução
Subtração de matrizes
Podemos entender a subtração de duas matrizes e como 
a soma da matriz pelo oposto da matriz .
Para entendermos como ocorre a subtração de matrizes, 
devemos, então, definir o conceito de matriz oposta.
M2_EM_U2_BOOK_Professor.indb 55 18/03/16 14:09
56 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 4
Matriz oposta 
A matriz oposta de é a matriz obtida pelo produto do escalar –1 
pela própria matriz . Seja, então, a matriz , 
obtemos a matriz , oposta de , simplesmente multiplicando cada 
um dos elementos de por –1. Sua matriz oposta será, portanto: 
 . 
Devemos notar que da soma da matriz com sua oposta resulta 
em uma matriz nula.
EXERCÍCIO RESOLVIDO 
Sabendo que e , 
calcule .
Resolução
Temos:
Portanto, teremos:
1. Sabendo que e , 
calcule o valor de .
M2_EM_U2_BOOK_Professor.indb 56 18/03/16 14:10
MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 4 | 57
2. Dadas as matrizes e , 
determine o valor de .
Resolva as questões 168 a 175 e 194 
a 210 do Caderno de Atividades.
Matriz inversível (ou não singular)
A inversa de uma matriz , que denominaremos , é a 
matriz obtida de que obedece à seguinte definição:
Ou seja, o produto da matriz (de ordem ) pela sua 
inversa (também de ordem ) é igual à matriz identidade 
(de ordem ). 
Principais propriedades 
das matrizes inversíveis
A inversa da matriz inversa é a própria matriz: 
M2_EM_U2_BOOK_Professor.indb 57 18/03/16 14:10
58 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 4
O cálculo da inversa de uma matriz é dado pela expressão 
 
. Esta é uma forma bem mais simples de cálculo da inversa 
 
de uma matriz 2×2. No próximo capítulo, que será o estudo dos determinan-
tes, explicaremos o porquê de o denominador ser . 
Se as matrizes e forem quadradas de mesma ordem e inversíveis, 
então temos .
A inversa do produto de duas matrizes é igual ao produto das inversas 
de cada matriz com os fatores trocados, ou seja: .
A inversa da transposta é igual à transposta da inversa: .
PROPRIEDADES DA MATRIZ 
TRANSPOSTA E A MATRIZ ORTOGONAL
A matriz transposta tem algumas propriedades, como:
 • A transposta da transposta é igual à própria matriz.
Em uma linguagem mais matemática:
 • A transposta da soma de duas matrizes é igual à soma 
das transpostas de cada uma.
Ou seja:
 • A transposta do produto de duas matrizes e será igual 
ao produto da transposta de pela transposta de .
Observe atentamente a ordem em que os produtos são 
efetuados. No primeiro membro, temos e, no segundo, .
Da mesma forma, se tivéssemos , isso seria igual a 
 e assim por diante.
 • A transposta do produto de um escalar por uma matriz é 
igual ao produto desse mesmo escalar pela transposta de .
Matematicamente falando:
M2_EM_U2_BOOK_Professor.indb 58 18/03/16 14:10
MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 4 | 59
Uma matriz A é dita matriz 
ortogonal quando a inversa da 
matriz transposta de é igual à 
própria matriz . De forma 
mais matemática, temos:
De outro modo, podemos 
perceber que é o mesmo que dizer:
onde n é a ordem da matriz 
identidade ou da matriz A. 
Vejamos um exemplo:
Verifique se a matriz 
 é ortogonal.
Poderíamos utilizar qualquer uma 
das definições vistas anteriormente. 
Vamos fazer pela segunda definição. 
Temos:
Portanto, a matriz apresentada é ortogonal.
EXERCÍCIO RESOLVIDO 1
Determine a inversa da matriz a seguir, se possível.
Resolução
Em primeiro lugar, é interessante notar que o exemplo solicitou calcular a 
inversa da matriz dada “se possível”. Apenas para explicar, sem a intenção 
de nos aprofundarmos no tema nesse momento, nem toda a matriz admi-
te inversa. Para uma matriz 2×2 admitir inversa, o produto dos elementos 
da diagonal principal subtraído do produto dos elementos da diagonal se-
cundária deve dar um número diferente de zero.
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60 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 4
Em nosso exemplo, temos:
Observe que , que 
é diferente de zero. Portanto, a matriz é 
dita inversível (ou não singular). 
Seja 
Pela definição, temos:
Pelo processo de multiplicação de 
matrizes, temos:
E pela igualdade entre eles, vem que:
que podemos dividir em dois sistemas:
Resolvendo, vem que:
Como , temos:
Como , vem que:
Portanto, a matriz inversa será:
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MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 4 | 61
EXERCÍCIO RESOLVIDO 2
No exemplo anterior, calculamos a inversa da matriz e 
encontramos a matriz . Agora, vamos calcular a 
inversa da matriz como se ela fosse nossa matriz .
Resolução
Temos por definição que:
onde a matriz é nossa inversa da matriz inversa. 
Desenvolvendo, temos:
De onde extraímos as seguintes equações:
ou seja:
Resolvendo o primeiro sistema, temos:
Da segunda equação, vem que
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62 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 4
Substituindo na primeira equação, temos:
Substituindo na primeira equação, temos que .
Resolvendo, agora, o segundo sistema da mesma forma que o primeiro, temos:
Da segunda equação, vem que 
Substituindo na primeira equação, temos:
Substituindo na primeira equação, temos que .
Ou seja, encontramos para a inversa da matriz inversa:
como apresenta a defi nição.
EXERCÍCIO RESOLVIDO 3
Vamos determinar a inversa da matriz 
pela expressão
Resolução
Temos:
exatamente como calculamos anteriormente.
.
M2_EM_U2_BOOK_Professor.indb 62 18/03/16 14:10
MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 4 | 63
EXERCÍCIO RESOLVIDO 4
Mostre a validade da propriedade anterior 
 no caso de
Resolução
Vamos resolver o primeiro membro da igualdade.
Agora, resolvemos o segundo membro.
e, fazendo o produto, vem que:
Observe que o resultado foi igual ao anterior, 
mostrando que .
e
M2_EM_U2_BOOK_Professor.indb 63 18/03/16 14:10
64 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 4
EXERCÍCIO RESOLVIDO 5
Verifique a igualdade para .
Resolução
Como já determinamos a inversa dessa matriz, temos:
Desenvolvendo, agora, o segundo membro da igualdade 
apresentada, temos:
E como podemos verificar, os dois resultados são iguais.
1. Determine se as matrizes a seguir são inversíveis:
-3 (inversível) 1 (inversível)
0 (não inversível) 0 (não inversível)
M2_EM_U2_BOOK_Professor.indb 64 18/03/16 14:10
MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 4 | 65
2. Aplicando a definição de matriz inversa, determine a inversa das matrizes a seguir:
3. Determine a transposta das seguintes matrizes:
a. 
b. 
(não inversível)
M2_EM_U2_BOOK_Professor.indb 65 18/03/16 14:10
66 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 4
Número de 
samambaias 
por quadrante
Número de 
quadrantes
4. (UEL 2015) Uma reserva florestal foi dividida em qua-drantes de 1 m² de área cada