Mackenzie EM 2 Série - Matemática - Livro do Professor - 2 Semestre - Parte 1

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M2_EM_U3_BOOK_Professor.indb 1 05/07/16 13:53
EQUIPE MACKENZIE
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BÍBLICA
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DIREÇÃO EDITORIAL
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COORDENAÇÃO EDITORIAL 
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EMENDAS DE PROVAS
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IMPRESSÃO
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GRÁFICA / EDITORA
Os textos bíblicos foram extraídos de
diferentes versões da Bíblia Sagrada.
CRÉDITOS
M149e Machado, Ana Enésia Sampaio.
Escolher com sabedoria : Ensino Médio : Matemática, 2ª 
série : Livro didático e caderno de atividades do Professor : 
Livro 3 / Ana Enésia Sampaio Machado; organizador: 
Instituto Presbiteriano Mackenzie. – São Paulo : Ed. 
Mackenzie, 2016.
232 p. : il. ; 28 cm. – (Sistema Mackenzie de Ensino ; 
v. 279)
Obra coletiva concebida, desenvolvida e produzida
pelo Mackenzie.
ISBN 978-85-8293-486-9
1. Ensino Médio – 2º ano. 2. Matemática. I. Instituto 
Presbiteriano Mackenzie. II. Título. III. Série.
CDD 372.7
Reimpressão: Junho de 2020
M2_Modelo_Créditos_Final_LD_Professor_L3.indd 2 22/11/16 18:53
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GALHOS
professor | transmissor | mediador
CAULE
força | estrutura | suporte 
RAIZ
base | alicerce sólido | essência
FOLHAS
aluno | assimilação | crescimento
Ele é como árvore plantada 
junto à corrente de águas, 
que, no devido tempo, dá o 
seu fruto, e cuja folhagem 
não murcha; e tudo quanto 
ele faz será bem-sucedido.
SALMOS 1.3
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FLORES / FRUTOS: 
aprendizagem signi� cativa
“PRINCÍPIOS E 
VALORES BÁSICOS DA 
BÍBLIA COMO LENTE”
VISÃO CRISTÃ DE MUNDO
APLICADA À EDUCAÇÃO
“relação com Deus, com o próximo e com o mundo”
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IDENTIDADE
RAPIDEZ
VISUAL
DIGITAL
HETEROGENIA
DIVERSIDADE
DINÂMICO
Estabelecer 
projetos 
de vida.
Prosseguir nos 
estudos e encarar os 
desa� os de trabalho 
com o compromisso 
de servir a Deus 
e a sociedade de 
maneira participativa 
e responsável.
Ampliar o 
conhecimento 
a respeito das 
diferentes 
possibilidades.
Fazer escolhas 
com sabedoria.
Discutir os valores 
morais e sociais com 
vista à construção 
da criticidade e 
formação intelectual.
Compartilhar 
ideias e 
experiências.
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Branco e respiro
A forma de um objeto é 
tão importante quanto o 
espaço em torno dele. 
Projeto 
GRÁFICOMSerifa slab
TIPOGRAFIA
Além de transmitir por meio das palavras o conteúdo 
abordado, a tipogra� a usada deve expressar visualmente 
através de sua forma e cor o que está sendo dito, assim 
como a imagem. 
A fonte Myriad continua compondo os textos de leitura 
corrente devido suas características fundamentais ao 
projeto, tais como alta legibilidade, variedade de pesos 
e suas propriedades estruturais que ajudam a diminuir o 
desconforto do dislexo.
Para acompanhar as mudanças e trazer novos benefícios 
e possibilidades às páginas, a fonte de título escolhida 
para o segundo ano foi a Sanchez, pois apresenta uma boa 
legibilidade em vários pesos e possui grande � exibilidade em 
caixa alta e baixa, dando destaque aos títulos dos capítulos.
MYRIAD PRO: Bom equilíbrio entre ascendentes, descendentes e altura x
abcefgkjoxuascendentedescendente XSanchezCaixa alta e baixa
A serifa slab, característica da Sanchez, 
tem uma estrutura forte. Por serem retas, 
uniformes e pesadas, proporcionam boa 
estabilidade no desenho da caixa de texto. 
Outro fator é a personalidade que difere dos 
textos de leitura corrente (Myriad), criando 
um contraste de forma interessante em 
termos de desenho e hierarquia.
DIAGONAL
Principal mudança que ocorreu na segunda série. 
Com o objetivo de trazer mais dinamismo ao projeto, 
está presente na capa e no decorrer do livro.
Com o objetivo de informar de maneira concisa 
e e� caz, o projeto grá� co evoluiu na segunda 
série e traz algumas mudanças mas ainda 
prevalece o uso de uma linguagem dinâmica e 
lúdica, porém séria, para transmitir ao aluno o 
conteúdo de cada disciplina. 
Interpreta-se cada matéria e tema, criando 
uma atmosfera grá� ca através do uso de 
cores, formato, imagens, tipogra� a, ícones e 
ilustrações. Nada é por acaso. Toda informação 
visual busca re� etir o que está escrito.
Veja nessa página alguns critérios utilizados 
na evolução do projeto grá� co para os livros 
da 2ª série de ensino médio do SME, 
re� etido em mudanças signi� cativas, 
com o propósito de acompanhar o 
crescimento dos alunos e os novos 
conhecimentos e experiências 
adquiridos por eles.
 Bom equilíbrio entre ascendentes, descendentes e altura x
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“(...) A LINHA é o meio 
indispensável para tornar visível o 
que ainda não pode ser visto, por 
existir apenas na imaginação.”
Sintaxe da Linguagem Visual - Donis A. Dondis
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Matemática
Português
Física
História
Geogra� a
Química
Espanhol
Inglês
Biologia
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Acessibilidade
Dislexia e TDAH
TEXTO COM SERIFA E JUSTIFICADOS
BAIXO CONTRASTE ENTRE FIGURA-FUNDO
A dislexia é uma combinação 
de habilidades e di� culdades 
que afetam o processo de 
aprendizagem exibindo uma 
vasta gama de di� culdades. 
TEXTO “REDEMOINHO”
TEXTO “DESBOTADO”
Prezado aluno,
Este livro foi desenvolvido com algumas características especí� cas 
que ajudam no estudo, principalmente, de pessoas com alguns 
quadros que podem di� cultar a aprendizagem, tais como a dislexia 
e o transtorno de dé� cit de atenção e hiperatividade (TDAH).
Destacamos, a seguir, algumas dessas características. O tipo 
de letra usado possui estrutura formal que ajuda a diminuir 
possíveis confusões visuais, com equilíbrio entre as linhas 
ascendentes e descendentes, boas aberturas e espaços internos 
maiores, facilitando sua discriminação. Foram usados contrastes 
mais fortes entre as partes impressas e o fundo, também buscando 
aumentar a discriminação da informação relevante e diminuir as 
confusões visuais (ver quadros ao lado). As linhas foram alinhadas 
à esquerda, aumentando os recursos para o aluno se localizar 
durante a leitura de um texto. Adicionalmente, são explicitamente 
apontadas, ao longo dos capítulos, as informações que precisam 
ser recordadas por serem relevantes ao conteúdo atual (nos 
destaques intitulados “Vale lembrar”). Também são destacados, 
nos itens “Integrando conhecimentos”, trechos em que são 
discutidas ideias que vão além da matéria especí� ca, unindo 
duas ou mais áreas diferentes de conhecimento.
Sugerimos que você aproveite esse material desenvolvido 
com cuidado e rigor! Lembramos que você também pode adotar 
estratégias para facilitar sua aprendizagem. Primeiro, esteja 
consciente da sua forma de aprender. Descubra como você 
entende melhor, se é lendo em voz alta, escrevendo, fazendo 
desenhos ou esquemas, resumindo o texto, dentre outras 
possibilidades. Conheça seus pontos fortes e seus pontos fracos. 
Quando ler os capítulos, aproveite as várias dicas que o texto 
lhe oferece: analise o título, as imagens, as cores, as palavras em 
negrito e os quadros em destaque. Use seu livro: sublinhe o que 
achar relevante, faça resumos, desenhos, esquemas. Procure o 
signi� cado das palavras que você não conhece. Anote suas 
dúvidas e discuta-as com seus professores. 
Se você quiser mais 
informações sobre a dislexia 
e o transtorno de dé� cit de 
atenção e hiperatividade, 
sugerimos que visite os sites: 
www.dislexia.org.br/, 
www.andislexia.org.br/ e 
http://www.tdah.org.br/.
Revise os conteúdos 
anteriores periodicamente. Você 
também pode ler o capítulo em 
casa antes da aula, o que facilitará 
a apreensão do conteúdo e o 
esclarecimento das dúvidas 
com os professores. 
ABAIXO: possíveis 
distorções presentes na 
visão de um disléxico.
ACIMA: características 
de formatação evitadas 
nesse projeto pois 
di� cultam a leitura
QR CODE
Para o rápido acesso a 
links sugeridos por meio 
de dispositivos móveis. 
A dislexia é uma combinação de 
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o processo de aprendizagem exibindo 
uma vasta gama 
de di� culdades. 
A dislexia é uma combinação de 
habilidades e di� culdades que afetam 
o processo de aprendizagem exibindo 
uma vasta gama de di� culdades. 
A dislexia é uma combinação de 
habilidades e di� culdades que afetam 
o processo de aprendizagem exibindo 
uma vasta gama de di� culdades. 
A dislexia é uma combinação de 
habilidades e di� culdades que afetam 
o processo de aprendizagem exibindo 
uma vasta gama de di� culdades. 
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tock.com
O que é?
Visão do 
daltônico
O daltonismo é uma limitação visual no 
indivíduo caracterizada pela incapacidade de 
identi� car/diferenciar todas ou algumas cores.
SISTEMA DE CÓDIGOS DE 
COR PARA DALTÔNICOS
Desenvolvido por Miguel Neiva
coloradd@gmail.com / info@coloradd.net
Daltonismo
O Código ColorADD assenta num processo 
de associação lógica e de fácil memorização 
permitindo ao daltônico, através do 
conceito de adição das cores, relacionar os 
símbolos e facilmente identi� car todas as 
cores. O branco e o preto orientam para as 
tonalidades claras e escuras.
Cada implementação do Código é planejada para 
todos e não especi� camente para o universo dos 
daltônicos – incluir sem discriminar. O ColorADD é 
um código de fácil implementação com Inovação, 
Valor, Utilidade e Responsabilidade Social.
O Daltonismo afeta aproximadamente 10% dos homens e 
0,5% das mulheres – cerca de 350 milhões em todo o mundo. 
No entanto, apesar deste número impressionante, não 
existiam respostas socialmente efetivas visando a inclusão 
desta “grande minoria” da população mundial.
O Código ColorADD é um sistema de identi� cação de cores 
universal e transversal, cuja missão é facilitar a integração dos 
indivíduos daltônicos numa sociedade global na qual 90% da 
comunicação é efetuada através da cor. Portanto, o Código 
ColorADD tem como objetivo promover a compreensão da cor 
para todos, sempre que a cor for utilizada como fator de 
identi� cação, orientação ou escolha. 
O sistema ColorADD se encontra implementado em 
diversas áreas e em diversos países. Por exemplo, em hospitais, 
transportes, material escolar e didático, vestuário, tecnologias 
de informação, sinalização e orientação, entre outros. Neste 
projeto desenvolvido pelo SME, o ColorADD é utilizado para 
auxiliar na identi� cação de séries e disciplinas nas capas dos 
livros de Ensino Médio, estando em consonância com o 
projeto de acessibilidade proposto pelos materiais didáticos 
do Mackenzie, o que ajuda a garantir um mundo 
mais acessível e igualitário para todos!
Miguel Neiva
CORES | SÍMBOLOS 
BRANCO | PRETO | CINZENTO
Azul Verde Amarelo Laranja Vermelho Roxo Castanho
PrataDouradoBranco Preto Cinza Claro Cinza Esc.
TONS METALIZADOS
TONS CLAROS
TONS ESCUROS
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Matemática
Português
Física
História
Geogra� a
Sociologia
Química
Espanhol
Inglês
Biologia
Desenvolvido com base nas três cores primárias, 
sendo cada uma representada através de um 
símbolo grá� co monocromático.
AZUL AMARELO VERMELHO BRANCO PRETO
M2_EM_U3_BOOK_Professor.indb 9 05/07/16 13:53
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Um livro tem 
uma forma de ser 
organizado. Conhecer essa 
organização lhe ajudará a 
utilizá-lo melhor. Apresentamos 
a seguir, comentários sobre 
cada uma das partes que você 
encontrará nas páginas do 
seu livro didático.
ABERTURA DE UNIDADE
Uma unidade, em nossos livros, reúne 
três capítulos. A Abertura de unidade, que 
trabalha sobre um pequeno texto, imagens, 
questões e trechos bíblicos, é uma 
apresentação dos assuntos contidos nesses 
capítulos. Ela se relaciona diretamente com 
outra seção, a Re� etindo ideias e atitudes.
ABERTURA DE CAPÍTULO
A Abertura de capítulo trabalha sobre imagens (artes plásticas, cinema, 
literatura etc.) e um texto introdutório ao assunto principal que será desenvolvido.
REFLETINDO IDEIAS E ATITUDES
Seção que encerra três capítulos, ligando-se à 
Abertura de unidade. Seu objetivo é trazer 
re� exões sobre alguns dos conceitos e temas 
estudados na unidade, associando-os a 
situações do cotidiano, por meio de um texto, 
porções da Bíblia, questões e comentários 
relacionados à cosmovisão cristã. 
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 dia a 
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Em 1938, britânicos e aliados sofriam consecutivas e importantes der-
rotas nas batalhas da Segunda Guerra Mundial. Os alemães 
planejavam e executavam ataques de maneira engenhosa e precisa. 
Antes mesmo de se recuperar de um ataque, os britânicos sofriam ou-
tro golpe que lhes custava vidas e posições importantes no conflito. 
O Quartel General de Comunicações Governamentais 
(Government Communications Headquarters - GCHQ em inglês), um 
braço do Serviço de Inteligência Britânica (Secret Intelligence Service 
ou MI6), era capaz de interceptar as mensagens trocadas pelos ale-
mães. Na realidade, interceptá-las era relativamente simples, já que 
as comunicações eram feitas via rádio; o grande desafio, porém, era 
compreender o que diziam. A dificuldade não era o idioma, mas o 
fato de os alemães possuírem uma máquina chamada enigma. 
Alguns historiadores atribuem decisiva impor-
tância à equipe de Turing pela vitória sobre a 
Alemanha nazista em 1945. Turing, por sua vez, 
era um matemático e usou a matemática para de-
terminar as regras de funcionamento de sua 
máquina, que foi capaz de analisar milhares de 
possíveis combinações de caracteres até encon-
trar aquela que continha a mensagem procurada. 
Alguns estudiosos entendem a Máquina de 
Turing e seus desenvolvimentos matemáticos co-
mo precursores do computador moderno, a 
exemplo do tablet, celular e softwares que depen-
dem de senhas e códigos de segurança. 
Nesta unidade, estudaremos a Análise 
Combinatória, desenvolvendo ferramentas para 
efetuar a contagem de grandes quantidades de 
combinações e a Teoria das Probabilidades, rela-
cionada diretamente com a análise formal 
acerca de chances, o que nos auxiliará para a to-
mada de decisões. 
Máquina 
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igma, exp
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15.
consideradas impossíveis de decifrar. Contudo, 
o que reforçava a crença nessa impossibilidade 
era a quantidade de códigos que a enigma po-
dia gerar.
Com inúmeras mensagens em mãos, mas in-
capazes de compreendê-las, os britânicos 
assistiam, impotentes, a guerra tomar rumos que 
poderiam mudar drasticamente o mundo como 
conhecemos hoje.
Mas, em 1939, uma equipe formada por jovens 
matemáticos e cientistas foi enviada, sob disfarce e 
em segredo, para uma base da GCHQ, em Bletchley 
Park, cerca de 80 km a noroeste de Londres. Um dos 
integrantes da equipe era Alan Turing (1912-1954), 
brilhante matemático da Universidade de 
Cambridge, especializado em códigos e criptogra-
fia. Foram as ideias de Turing, desenvolvidas com a 
ajuda de seus companheiros de equipe, que permi-
tiram a construção de uma máquina - que ficou 
conhecida posteriormente como Máquina de 
Turing - capaz de decifrar o código da enigma. Esse 
feito histórico permitiu ao Exército britânico e aos 
Aliados não só interceptar, mas interpretar as men-
sagens alemãs, possibilitando que estes se 
preparassem para os ataques do inimigo. 
Enigma era uma máquina capaz 
de criar códigos complexos para 
mensagens cifradas – processo 
conhecido como criptografia – 
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MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 3 | CAPÍTULO 7 | 17
CAPÍT
ULO 7
Certamente, quando você era criança, ouviu al-
gum professor dizer que a Matemática surgiu da 
necessidade, por exemplo, de pastores contaremsuas ovelhas. O fato é que estamos tão acostuma-
dos a contar e enumerar coisas em nosso dia a dia 
que nem prestamos mais atenção nisso. Pense, por 
exemplo, em uma pessoa que mora em um apar-
tamento e vai para seu trabalho de ônibus. Seu 
despertador contou quantas horas e minutos se 
passaram desde o momento em que ela dormiu. 
Essa pessoa acordou, checou quantas mensagens 
havia em seu celular, preparou seu café, contando 
quantas colheres de pó e de açúcar deveria usar, 
verificou quantos minutos faltavam até que ela 
tivesse de sair de casa. Arrumou-se, entrou no 
elevador, que indicava quantos andares ela esta-
va distante do térreo. Saiu, tomou seu ônibus, 
separou seu dinheiro para dar ao cobrador e ve-
rificou o troco (ou usou seu cartão de passagens 
e verificou o saldo restante), desceu no ponto e 
chegou ao seu trabalho. As contagens aparece-
ram inúmeras vezes em seu dia – que, nesse 
ponto, mal começou.
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m Para as atividades no início de seu dia, a pes-soa do exemplo nem precisou pensar muito, mas 
imaginemos que ela trabalha em uma corretora 
de seguros e sua tarefa é medir os riscos que um 
novo cliente tem de correr para utilizar sua apó-
lice (esses riscos vão determinar o preço que será 
cobrado do cliente). Para realizar seu trabalho, 
inúmeras contagens terão de ser feitas e, para 
realizá-las, serão necessários cálculos e estudos. 
Técnicas mais refinadas de contagem, desen-
volvidas ao longo dos séculos, são utilizadas 
em seu trabalho. 
O fato é que sabemos contar coisas de imedia-
to, mas não tudo. Algumas contagens podem 
levar anos se forem feitas apenas através da enu-
meração. Ao final desse capítulo, esperamos que 
você seja capaz de, em minutos, ou mesmo em se-
gundos, obter resultados de contagens bem mais 
complexas que o de colheres de açúcar. A análise 
combinatória é o nome da parte da matemática 
que estuda as técnicas de contagem, e é isso que 
estudaremos nesse capítulo.
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MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 3 | CAPÍTULO 8 | 53
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Para compreendermos uma nova lei matemática, é necessá-
rio um pouco de solidão e dedicação, exatamente como fazem 
os artistas ao criarem um trabalho novo. Mas o mais interessan-
te é que sentimos alegria, mesmo que não tenhamos criado 
algo que ninguém havia feito antes; basta termos compreendi-
do, ainda que se trate de uma lei descoberta há séculos. Essa 
compreensão é uma tarefa intransferível, ou seja, ninguém con-
segue entender no lugar de outra pessoa. Muitas vezes, essa é 
uma tarefa difícil, mas arriscamo-nos a dizer que, quanto maior 
o grau de dificuldade para se chegar a um resultado, maior é o 
prazer advindo da conquista.
1 SCHEINERMAN, 2011, p. 2.
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136 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 3
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A habilidade matemática e a engenhosidade de 
Alan Turing permitiram que ele e sua equipe des-
vendassem o código da Enigma. O reconhecimento 
do matemático aconteceu, posteriormente, em li-
vros e filmes, como na recente produção 
cinematográfica, O jogo da imitação, um filme em 
que a ficção se mistura com a realidade. Na cena em 
que o código da Enigma é finalmente decifrado, é 
perceptível para o espectador que Turing considera-
va ter vencido o grande desafio, quando, na verdade, 
o desafio estava apenas começando. Tudo porque a 
cada nova informação interceptada e decifrada, ele e 
sua equipe precisavam decidir o que fazer. Não bas-
tava apenas obter as informações e decifrar o 
código: para acabar com a guerra era preciso fazer 
escolhas e, principalmente, saber agir; mesmo que, 
muitas vezes, fossem decisões difíceis de tomar. 
É provável que ontem, antes de dormir, você te-
nha programado o seu despertador e tenha 
deixado separado roupas e sapato, a fim de chegar 
a tempo ao primeiro compromisso do dia. Hoje, 
talvez, você tenha decidido comer ovos com ba-
con no café da manhã, ir de ônibus para a escola, 
fazer o trabalho de Matemática, e, no final do dia, 
assistir àquele filme de aventura no cinema. E o 
que dizer do futuro? Talvez você se pergunte:
M2_EM_U3_BOOK_Professor.indb 10 05/07/16 13:53
Em várias páginas, você encontrará ícones e termos como Conceito e Glossário que 
representam complementos ao tema e assuntos abordados, seja na forma de textos, 
de atividades, em sugestões de sites, � lmes e livros ou em chamadas à re� exão. 
Recursos
Conceito
Traz a sistematização de 
um conceito-chave que 
merece destaque em 
meio à explicação de 
determinado assunto.
Glossário
Um pequeno dicionário 
com termos técnicos 
presentes no texto.
Sugestões 
bibliográ� cas
Sequencia de livros, sites, 
� lmes e outras fontes de 
informação para sua 
pesquisa extra livro.
Código QR 
É um código de resposta 
(ou leitura) rápida (do 
inglês, Quick Response 
Code), indicado junto 
ao recurso Para acessar. 
A partir de um aplicativo 
de celular (que tenha 
câmera) ou tablet, o 
código QR pode identi� car 
rapidamente o site/blog. 
Na impossibilidade de 
usar o celular/tablet, você 
pode digitar o endereço 
virtual indicado.
INTEGRANDO CONHECIMENTOS
Tem como objetivo a integração do conteúdo com a cosmovisão 
cristã através da re� exão sobre uma referência bíblica.
PARA ACESSAR
Indicação de links, vídeos, � lmes, bibliogra� as, dicas culturais 
e literárias, dentre outras, para auxiliar na compreensão do 
tema abordado.
PARA REFLETIR
No Para re� etir, as perguntas surgem do próprio conteúdo ministrado, 
sem uma integração explícita com textos bíblicos. No entanto, parte da 
ideia de que toda verdade tem em Deus sua fonte e origem, onde quer 
que ela possa ser encontrada. 
PRODUÇÃO DE PESQUISA
Propostas de incentivo à busca de informações em outras fontes 
(algumas não escritas, como no caso de música ou de monumentos), para 
ampliação do conhecimento em determinado tema abordado no capítulo 
e iniciação ao processo de produção cientí� ca (individual ou coletiva).
VALE LEMBRAR
Resgate de conteúdos trabalhados anteriormente que 
servem no momento como pré-requisito para o novo saber.
VOCÊ SABIA?
Apresenta informações complementares e 
suplementares ao conteúdo abordado no capítulo.
CADERNO DE ATIVIDADES
Ícone que faz referência ao Caderno de Atividades, onde 
o aluno encontrará uma lista de exercícios, originais, do 
Enem e de vestibulares.
MATEMÁTICA, TECNOLOGIA, 
SOCIEDADE E AMBIENTE
Relaciona a matemática com as Ciências Humanas e da Natureza, 
mostrando pontos de conexão entre elas, como também o contexto 
histórico e/ou sociocultural que levaram aodesenvolvimento de um 
assunto do capítulo em questão. Ou ainda, conecta o saber 
matemático, desenvolvido no capítulo, a uma tecnologia.
VAMOS PRATICAR
Exercícios e/ou atividades de indução para sistematizar/
analisar o conteúdo apresentado e indicação de outros 
exercícios no caderno de atividades.
PENSANDO MATEMÁTICA
Apresentação de desa� os matemáticos contemporâneos ou não, 
relacionados ao mundo da matemática, que necessariamente, 
não precisam ter aplicação prática atualmente.
MTSA
Matemática Tecnologia
Sociedade e Ambiente
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CAPÍTULO 7
Análise combinatória:
as técnicas de contagem
Princípios de contagem
Princípio aditivo da contagem
Princípio multiplicativo da contagem
Princípio da casa dos pombos
Princípio generalizado da casa dos pombos
Permutações simples
Arranjos simples 
Combinações simples
Permutações com repetição
Arranjos com repetição
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CAPÍTULO 9
Probabilidade: as 
chances em números
Fenômeno aleatório
Probabilidade
Condições para os valores de probabilidades
Eventos complementares
Probabilidade da união de eventos
Probabilidade condicional
Árvore de probabilidades
Lei binomial da probabilidade
92
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124
128
Capítulo 9
Probabilidade: as
chances em números 
Primeiras Ideias
Pensando Enem
Por dentro do vestibular
181
189
197
Caderno de
Atividades
Capítulo 8
Agrupamento de 
forma organizada
Primeiras Ideias
Pensando Enem
Por dentro do vestibular
163
168
169
Capítulo 7
Análise combinatória: as 
técnicas de contagem
Primeiras Ideias
Pensando Enem
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Em 1938, britânicos e aliados sofriam consecutivas e importantes der-
rotas nas batalhas da Segunda Guerra Mundial. Os alemães 
planejavam e executavam ataques de maneira engenhosa e precisa. 
Antes mesmo de se recuperar de um ataque, os britânicos sofriam ou-
tro golpe que lhes custava vidas e posições importantes no con� ito. 
O Quartel General de Comunicações Governamentais 
(Government Communications Headquarters - GCHQ em inglês), um 
braço do Serviço de Inteligência Britânica (Secret Intelligence Service 
ou MI6), era capaz de interceptar as mensagens trocadas pelos ale-
mães. Na realidade, interceptá-las era relativamente simples, já que 
as comunicações eram feitas via rádio; o grande desa� o, porém, era 
compreender o que diziam. A di� culdade não era o idioma, mas o 
fato de os alemães possuírem uma máquina chamada enigma. 
“O ent
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 Alguns historiadores atribuem decisiva impor-
tância à equipe de Turing pela vitória sobre a 
Alemanha nazista em 1945. Turing, por sua vez, 
era um matemático e usou a matemática para de-
terminar as regras de funcionamento de sua 
máquina, que foi capaz de analisar milhares de 
possíveis combinações de caracteres até encon-
trar aquela que continha a mensagem procurada. 
Alguns estudiosos entendem a Máquina de 
Turing e seus desenvolvimentos matemáticos co-
mo precursores do computador moderno, a 
exemplo do tablet, celular e softwares que depen-
dem de senhas e códigos de segurança. 
Nesta unidade, estudaremos a Análise 
Combinatória, desenvolvendo ferramentas para 
efetuar a contagem de grandes quantidades de 
combinações e a Teoria das Probabilidades, rela-
cionada diretamente com a análise formal 
acerca de chances, o que nos auxiliará para a to-
mada de decisões. 
Máquina 
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bril de 20
15.
consideradas impossíveis de decifrar. Contudo, 
o que reforçava a crença nessa impossibilidade 
era a quantidade de códigos que a enigma po-
dia gerar.
Com inúmeras mensagens em mãos, mas in-
capazes de compreendê-las, os britânicos 
assistiam, impotentes, a guerra tomar rumos que 
poderiam mudar drasticamente o mundo como 
conhecemos hoje.
Mas, em 1939, uma equipe formada por jovens 
matemáticos e cientistas foi enviada, sob disfarce e 
em segredo, para uma base da GCHQ, em Bletchley 
Park, cerca de 80 km a noroeste de Londres. Um dos 
integrantes da equipe era Alan Turing (1912-1954), 
brilhante matemático da Universidade de 
Cambridge, especializado em códigos e criptogra-
� a. Foram as ideias de Turing, desenvolvidas com a 
ajuda de seus companheiros de equipe, que permi-
tiram a construção de uma máquina - que � cou 
conhecida posteriormente como Máquina de 
Turing - capaz de decifrar o código da enigma. Esse 
feito histórico permitiu ao Exército britânico e aos 
Aliados não só interceptar, mas interpretar as men-
sagens alemãs, possibilitando que estes se 
preparassem para os ataques do inimigo. 
Enigma era uma máquina capaz 
de criar códigos complexos para 
mensagens cifradas – processo 
conhecido como criptografia – 
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MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 3 | CAPÍTULO 7 | 17
Certamente, quando você era criança, ouviu al-
gum professor dizer que a Matemática surgiu da 
necessidade, por exemplo, de pastores contarem 
suas ovelhas. O fato é que estamos tão acostuma-
dos a contar e enumerar coisas em nosso dia a dia 
que nem prestamos mais atenção nisso. Pense, por 
exemplo, em uma pessoa que mora em um apar-
tamento e vai para seu trabalho de ônibus. Seu 
despertador contou quantas horas e minutos se 
passaram desde o momento em que ela dormiu. 
Essa pessoa acordou, checou quantas mensagens 
havia em seu celular, preparou seu café, contando 
quantas colheres de pó e de açúcar deveria usar, 
verifi cou quantos minutos faltavam até que ela 
tivesse de sair de casa. Arrumou-se, entrou no 
elevador, que indicava quantos andares ela esta-
va distante do térreo. Saiu, tomou seu ônibus, 
separou seu dinheiro para dar ao cobrador e ve-
rifi cou o troco (ou usou seu cartão de passagens 
e verifi cou o saldo restante), desceu no ponto e 
chegou ao seu trabalho. As contagens aparece-
ram inúmeras vezes em seu dia – que, nesse 
ponto, mal começou.
Para as atividades no início de seu dia, a pes-
soa do exemplo nem precisou pensar muito, mas 
imaginemos que ela trabalha em uma corretora 
de seguros e sua tarefa é medir os riscos que um 
novo cliente tem de correr para utilizar sua apó-
lice (esses riscos vão determinar o preço que será 
cobrado do cliente). Para realizar seu trabalho, 
inúmeras contagens terão de ser feitas e, para 
realizá-las, serão necessários cálculos e estudos. 
Técnicas mais refinadas de contagem, desen-
volvidas ao longo dos séculos, são utilizadas 
em seu trabalho. 
O fato é que sabemos contar coisas de imedia-
to, mas não tudo. Algumas contagens podem 
levar anos se forem feitas apenas através da enu-
meração. Ao fi nal desse capítulo, esperamos que 
você seja capaz de, em minutos, ou mesmo em se-
gundos, obter resultados de contagens bem maiscomplexas que o de colheres de açúcar. A análise 
combinatória é o nome da parte da matemática 
que estuda as técnicas de contagem, e é isso que 
estudaremos nesse capítulo.
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7.
18 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 3 | CAPÍTULO 7
Um poema, datado de aproximadamente 1730, 
é tido como um dos problemas mais antigos de 
contagem. Leia-o a seguir:
Princípios
de contagem
Quando eu estava indo para St. Ives, 
Eu encontrei um homem com sete mulheres, 
Cada mulher tem sete sacos, 
Cada saco tem sete gatos, 
Cada gato tem sete caixas, 
Caixas, gatos, sacos e mulheres, 
Quantos estavam indo para St. Ives?
VASQUEZ, Cristiane Maria Roque; NOGUTI, Fabiane Cristina 
Höpner. Análise Combinatória: alguns aspectos históricos e 
uma abordagem pedagógica. Disponível em: <www.sbem.
com.br/� les/viii/pdf/05/1MC17572744800.pdf>. 
Acesso em: jan. 2016.
As técnicas de contagem, porém, desenvolveram-
se bastante por causa dos cálculos de probabilidade 
– que serão introduzidos no capítulo 9 – inicialmente 
usados para jogos, mas, atualmente, indispensáveis 
em áreas como economia, sociologia, agronomia e 
medicina entre outras. 
O jogo de azar mais antigo que se conhece data de 
aproximadamente 3500 a. C.; foi descoberto em esca-
vações arqueológicas e retratado em pinturas egípcias 
e gregas. Era um jogo feito com uma espécie de dado, 
feito com um osso retirado de carneiro ou veado.
M2_EM_U3_BOOK_Professor.indb 18 05/07/16 13:54
MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 3 | CAPÍTULO 7 | 19
Segundo Peter L. Bernstein, autor do livro Desafio aos deuses, 
“com a passagem dos anos, os matemáticos transformaram a teoria 
das probabilidades de um brinquedo de apostadores em um instru-
mento poderoso de organização, interpretação e aplicação das 
informações”. Vamos, agora, começar a ter contato com as técnicas 
de contagem que foram úteis no desenvolvimento desse instrumen-
to. Considere a situação a seguir para iniciarmos os estudos acerca 
dos princípios de contagem.
Uma pessoa foi sacar R$ 100,00 em um caixa eletrônico que possui 
apenas notas de R$10,00, R$20,00, R$50,00 e R$100,00. De quantas 
maneiras esse saque pode ser dispensado pela máquina?
Para resolver tal questão, vamos enumerar as opções que podem ser 
selecionadas pela máquina. Faremos isso através da seguinte tabela:
Cada linha do corpo da tabela apresenta uma opção 
de saque. Como o saque só pode ser feito de uma das 
maneiras listadas, vemos que o total de maneiras de 
serem selecionados R$100,00 pela máquina é 11.
Valor das notas – R$
100,00 50,00 20,00 10,00
Quantidade de notas
1 0 0 0
0 2 0 0
0 1 2 1
0 1 1 3
0 1 0 5
0 0 5 0
0 0 4 2
0 0 3 4
0 0 2 6
0 0 1 8
0 0 0 10
M2_EM_U3_BOOK_Professor.indb 19 05/07/16 13:54
Rido/Shutterstock.com
20 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 3 | CAPÍTULO 7
Veja que, na situação apresentada, os saques poderiam ocorrer so-
mente com uma nota de R$100,00 (uma maneira), ou apenas com notas 
de R$50,00 (uma maneira), ou com notas de R$50,00, R$20,00 e R$10,00 
(2 maneiras), ou apenas com notas de R$50,00 e R$10,00 (uma maneira), 
ou apenas com notas de R$20,00 (uma maneira), ou apenas com notas 
de R$20,00 e R$10,00 (4 maneiras), ou apenas com notas de R$10,00 
(uma maneira).
O que utilizamos no exemplo dado foi o chamado princípio aditi-
vo da contagem ou regra da soma. Vejamos, a seguir, como esse 
princípio de contagem é enunciado, além de conhecer outros, como: 
princípio multiplicativo da contagem, princípio da casa dos pombos 
e princípio generalizado da casa dos pombos.
Princípio aditivo da contagem
Sejam A e B dois eventos que não podem ocorrer simultaneamente, 
sendo que A pode ocorrer de maneiras diferentes e B pode ocorrer 
de maneiras diferentes. O total de maneiras que A ou B podem 
ocorrer é igual a .
EXERCÍCIO RESOLVIDO 
Um grupo de trabalho da segunda série é compos-
to por 3 moças e 2 rapazes. De quantas maneiras 
pode ser escolhido um representante do grupo?
Resolução
Pelo princípio aditivo da contagem, o representante 
do grupo pode ser escolhido de 3 + 2 = 5 maneiras.
Princípio multiplicativo 
da contagem
Vamos, agora, supor que, no exercício resolvido que 
acabamos de ver, fosse obrigatório escolher uma 
moça e um rapaz para serem representantes do gru-
po. De quantos modos tal escolha poderia ser feita?
Podemos representar as possibilidades dessa nova 
situação através do que é denominado de diagrama 
em árvore. Para isso, vamos denominar as moças A, B 
e C e os rapazes D e E. Veja como fica o diagrama na 
ilustração a seguir:
M2_EM_U3_BOOK_Professor.indb 20 05/07/16 13:54
MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 3 | CAPÍTULO 7 | 21
Seguindo-se pelos “galhos” da árvore, obtemos os seguintes 
pares de alunos: (A;D), (A;E), (B;D), (B;E), (C;D) e (C;E). Logo, são 
possíveis 6 resultados diferentes para a eleição de uma mo-
ça e um rapaz como representantes do grupo. Podemos, 
também, chegar a esse resultado com o seguinte raciocínio: 
Para cada uma das 3 moças, há duas possibilidades de um ra-
paz como parceiro na representação do grupo. Assim, o total 
de escolhas de representantes possível é .
O que utilizamos foi o chamado princípio multiplicativo 
da contagem ou princípio fundamental da contagem, que 
é enunciado do seguinte modo:
Sejam A e B dois eventos que ocorrem 
de maneira independente, sendo que A 
pode ocorrer de maneiras diferentes e B 
pode ocorrer de maneiras diferentes. 
O total de maneiras que A e B podem 
ocorrer é igual a .
EXERCÍCIO RESOLVIDO 1
Um estudante de teatro estava escolhendo o 
figurino que iria utilizar em sua próxima peça. 
Ele tinha 3 opções de calça, 4 opções de cami-
sa, 2 opções de meias e 2 opções de par de 
sapatos. De quantas maneiras diferentes, con-
siderando-se apenas essas opções, ele pode 
montar seu figurino completo (calça, camisa, 
meias e par de sapatos)?
Resolução
Pelo princípio fundamental 
da contagem, o número de 
opções do estudante é igual 
a .
A
D D DE E E
B C
M2_EM_U3_BOOK_Professor.indb 21 05/07/16 13:54
Se casas são ocupadas por ou mais 
pombos, então pelo menos uma casa é 
ocupada por mais de um pombo.
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EXERCÍCIO RESOLVIDO 2
Com o entendimento do princípio fun-
damental da contagem, podemos, agora, 
resolver o problema do poema citado no 
início desse capítulo:
Quando eu estava indo para St. Ives, 
Eu encontrei um homem com sete mulheres, 
Cada mulher tem sete sacos, 
Cada saco tem sete gatos, 
Cada gato tem sete caixas, 
Caixas, gatos, sacos e mulheres, 
Quantos estavam indo para St. Ives?
VASQUEZ, Cristiane Maria Roque; NOGUTI, Fabiane Cristina 
Höpner. Análise Combinatória: alguns aspectos históricos e 
uma abordagem pedagógica. Disponível em: <www.sbem.
com.br/� les/viii/pdf/05/1MC17572744800.pdf>. 
Acesso em: jan. 2016.
Resolução
Total de mulheres: 
Total de sacos: 
Total de gatos: 
Total de caixas: 1
Princípio da casa dos pombos
Vejamos outro princípio de contagem chamado princípio da casa dos pombos, 
que é enunciado por uma afi rmação que parece quase óbvia:
7
7.
7.
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MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 3 | CAPÍTULO 7 | 23
EXERCÍCIO RESOLVIDO 
Uma escola tem 13 professores. Qual é o número 
mínimo de professores que fazem aniversário no 
mesmo mês?
Resolução
No problema apresentado, temos 12 meses no 
ano que vão conter as datas de aniversário de 
13 professores. Logo, pelo menos um mês será 
o mês de aniversário de mais de um professor.
Princípio generalizado 
da casa dos pombos
Ainda considerando o problema do último exercício 
resolvido,poderíamos, agora, nos perguntar quantos 
professores, no mínimo, a escola deveria ter se quisés-
semos garantir que 3 ou mais professores fizessem 
aniversário no mesmo mês. Para isso, vamos genera-
lizar o princípio da casa dos pombos com o 
enunciado do princípio da casa dos pombos:
Se casas são ocupadas por ou mais 
pombos, onde é um número natural dife-
rente de zero, então pelo menos uma casa é 
ocupada por pombos.
Vamos, então, responder à questão feita. Nela:
 (número de meses)
 (pois queremos 
professores em um mesmo mês)
Logo, . Assim, se a 
escola tiver pelo menos 25 professores, 3 ou mais 
desses professores aniversariam no mesmo mês.
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24 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 3 | CAPÍTULO 7
EXERCÍCIO RESOLVIDO 
Uma urna possui 4 bolas brancas e 5 bolas pretas. 
Quantas bolas precisam ser retiradas dessa urna, 
sem reposição, para termos certeza de que foram 
retiradas 3 bolas da mesma cor?
Resolução
Podemos considerar as cores como sendo as “casas 
dos pombos”. Queremos que 3 pombos (bolas) 
estejam na mesma casa. Logo, e , 
pois . Assim . 
Precisamos retirar 5 bolas para termos certeza 
de que 3 são da mesma cor.
1. Há 3 linhas de ônibus que vão de São Paulo a Belo Horizonte, 2 linhas de ônibus que vão 
de Belo Horizonte ao Rio de Janeiro e 5 que 
vão de São Paulo ao Rio de Janeiro.
a. De quantas maneiras diferentes uma 
pessoa pode comprar sua passagem 
em São Paulo e ir até Belo Horizonte 
ou até o Rio de Janeiro?
b. De quantas maneiras uma pessoa pode 
comprar sua passagem em São Paulo, 
com destino ao Rio de Janeiro, pas-
sando por Belo Horizonte?
8
6
M2_EM_U3_BOOK_Professor.indb 24 05/07/16 13:54
222222222
33
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k.c
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Uma família, pai, mãe e 3 fi lhos, vai fazer uma 
viagem de carro. Somente o pai, a mãe e um 
dos fi lhos possuem habilitação para dirigir. De 
quantos modos eles podem se acomodar no 
carro, que tem 5 lugares, para a viagem?
2. Um estudante do primeiro semestre do curso de Matemática Aplicada da Universidade de São Paulo deve cursar, entre ou-
tras, a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I. O aluno 
do período diurno se matricula nas disciplinas que irá cursar 
e o sistema defi ne em qual das 4 turmas disponíveis ele es-
tará matriculado. Carlos é um aluno do segundo semestre do 
período diurno, mas não foi aprovado nessa disciplina no se-
mestre anterior e, portanto, terá de cursá-la novamente. Ele 
sabe que alguns de seus amigos que ingressaram com ele 
na faculdade também não foram aprovados e gostaria de es-
tar na mesma turma que pelo menos um deles, assim teria 
uma pessoa conhecida com quem estudar. Qual é o número 
mínimo de amigos de Carlos que devem ter sido reprovados 
em Cálculo Diferencial e Integral I no primeiro semestre para 
que o desejo de Carlos seja, necessariamente, realizado? 
Resolva as questões 346 a 
348, 356 a 358 e 362 a 367 
do Caderno de Atividades.
Permutações
simples
4
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26 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 3 | CAPÍTULO 7
Observe que a pergunta pode ser 
respondida utilizando-se o princípio 
multiplicativo da contagem:
• Há 3 opções para o lugar do motorista. 
• Uma vez escolhido o motorista, há 4 op-
ções para se ocupar o banco da frente.
• Escolhidas as pessoas que viajarão nos 
bancos da frente, há 3 opções para alguém 
ocupar o lugar atrás do motorista.
• Feita a escolha anterior, há 2 opções para 
se ocupar o lugar central no banco de trás.
• Após todas as escolhas anteriores, 
apenas uma pessoa pode sentar-se 
no lugar restante.
Assim, o total de maneiras possíveis para 
essa família se acomodar no carro para a via-
gem é .
Vamos, agora, imaginar outra situação. 
Para isso, vamos definir o que é um anagrama.
Um anagrama de uma palavra é qualquer 
outra palavra, com significado ou não, que po-
de ser obtida trocando-se de lugar entre si as 
letras da palavra original.
• BIO
• BOI
• IBO
• IOB
• OBI
• OIB
Observe que não seria necessário escrever 
todos os anagramas da palavra BOI para saber 
que são 6 no total. Bastaria utilizarmos o princí-
pio fundamental da contagem. 
• Há 3 possibilidades para a escolha 
da primeira letra.
• Escolhida a primeira letra, sobram 
2 possibilidades para a segunda.
Assim, o total de anagramas da palavra 
BOI é 
Você deve ter observado, nos dois 
exemplos anteriores, uma conta em que se 
multiplicava um número natural por todos 
os seus antecessores naturais não nulos 
( e ). Tal conta aparece inú-
meras vezes quando utilizamos o princípio 
fundamental da contagem e é denominada 
de o fatorial de um número. A definição de 
fatorial é uma definição recursiva, ou seja, pa-
ra se ter o resultado de um dos termos, é 
necessário ter o resultado do termo anterior:
CONCEITO
Dado um número natural , denota-se por 
 e denomina-se fatorial, o seguinte:
Vamos, então, usar a definição para 
calcular 4! (lê-se “quatro fatorial”):
Na prática, como a definição sempre leva 
ao cálculo de como último termo 
da multiplicação, pode-se dizer que o 
fatorial de um número natural diferente 
de zero é igual ao produto desse número 
por todos os seus antecessores naturais 
não nulos.
• Escolhidas as duas primeiras letras, 
há apenas uma possibilidade para 
a terceira letra.
Assim, por exemplo, os anagramas 
da palavra BOI são:
M2_EM_U3_BOOK_Professor.indb 26 05/07/16 13:54
MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 3 | CAPÍTULO 7 | 27
EXERCÍCIO RESOLVIDO 1
Calcule ou simplifique as seguintes expressões:
Resolução
Observe que , pois 
Observe que . 
Observe também que, como , não foi 
necessário escrever todas as multiplicações en-
volvidas no cálculo de . Bastou chegar a um 
fator comum com o denominador da fração e 
simplificar a expressão antes de calculá-la.
Com os exemplos vistos, podemos ve-
rificar que quando queremos permutar 
elementos distintos, ou seja, trocá-los de 
lugar entre si, o número de permutações 
possíveis é o fatorial da quantidade de 
elementos a serem permutados. 
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A
B
CD
E A
BC
D
E
28 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 3 | CAPÍTULO 7
CONCEITO
Dados elementos distintos, o total de 
ordenações possíveis desses elementos, 
denotado por e denominado 
permutação simples de elementos, 
é dado pela fórmula: .
EXERCÍCIO RESOLVIDO 2
Cinco estudantes chegaram atrasados a uma 
aula e deverão ocupar as cinco carteiras ainda 
vagas. De quantas maneiras diferentes eles 
podem fazer isso?
Resolução
Ainda considerando o enunciado do exercício resolvido 
anterior, vamos, agora, supor que esses cinco estudan-
tes devem sentar-se em uma mesa circular com 5 
lugares. De quantos modos isso poderá ser feito se 
não há nenhuma diferenciação entre os lugares?
Observe que, agora, o que interessa é apenas saber 
quem fi ca ao lado de quem, pois, caso denominemos 
os estudantes de A, B, C, D e E, as duas posições a seguir 
são equivalentes:
Nesse caso, basta um dos estudantes escolher um 
lugar qualquer e vamos permutar os demais estudan-
tes nos lugares restantes. Logo, o total de maneiras 
possíveis é .
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MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 3 | CAPÍTULO 7 | 29
CONCEITO
Dados elementos distintos, o total de ordenações 
circulares possíveis entre esses elementos, denotado por 
 e denominado permutação circular de elementos 
distintos, é dado pela fórmula: .
EXERCÍCIO RESOLVIDO 3
Uma roda-gigante possui 15 cadeiras 
de um lugar. Indique, sem calcular, de 
quantas maneiras 15 pessoas podem 
se sentar nessas cadeiras.
Resolução
Fatores são os componentes da 
multiplicação. Assim, por exemplo, em 
2 · 5 = 10, os fatores são 2 e 5. A palavra 
fatorial, que deriva da palavra fator, 
nos lembra que tal operação é sempre 
uma multiplicação.
1. Determine o número de anagramasda palavra VERDUGO
a. que começam com a letra V;
b. que começam com consoante;
720
2 880
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30 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 3 | CAPÍTULO 7
c. que começam e terminam com consoante;
d. que começam ou terminam com consoante;
e. que começam com vogal e terminam com consoante;
f. sem nenhuma restrição.
2. Quantas senhas de 5 algarismos distintos, escolhidos do conjunto 
{1,3,5,7,9}, podem ser formadas?
3. Indique de quantas maneiras um carrossel de 20 lugares pode ter seus lugares ocupa-
dos por 20 alunos de uma turma de 4º ano.
Resolva as 
questões 349, 
350, 359, 368 e 
369 do Caderno 
de Atividades.
1 440
4 320
1 440
5 040
120
19!
M2_EM_U3_BOOK_Professor.indb 30 05/07/16 13:54
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MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 3 | CAPÍTULO 7 | 31
Um professor ganhou 3 livros diferentes de uma edi-
tora e decidiu doá-los a seus alunos. Para não haver 
nenhum favorecimento, o professor decidiu sortear 
os 3 livros para 3 de seus 20 alunos. De quantas ma-
neiras distintas os alunos podem ser presenteados?
Arranjos
simples
Mais uma vez, podemos utilizar o princípio fundamental da contagem para obter a 
resposta desse problema. Há 20 possibilidades para o resultado do primeiro sorteio, 19 
possibilidades para o resultado do segundo sorteio e 18 possibilidades para o resultado 
do terceiro sorteio. Sendo assim, o total de maneiras possíveis para se presentear os alu-
nos é .
Poderíamos, nesse caso, utilizar , mas como não serão 20 os alunos sorteados, 
teríamos que dividir o resultado obtido pela permutação dos alunos que não serão 
sorteados: . Assim, a conta feita, utilizando-se apenas a fórmula das 
permutações, é . Esse modo de resolução nos 
conduz a mais uma fórmula da análise combinatória, a fórmula dos arranjos simples.
M2_EM_U3_BOOK_Professor.indb 31 05/07/16 13:54
32 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 3 | CAPÍTULO 7
A diferença entre uma permutação simples e um arranjo simples é 
que, na permutação, são ordenados todos os elementos disponíveis 
( ) e, no arranjo, há uma escolha (de elementos) que precede a or-
denação dos elementos escolhidos.
Tanto os casos de arranjos simples como os de permutações sim-
ples são apenas aplicações do princípio fundamental da contagem.
Também podemos observar que , ou seja, a per-
mutação simples de elementos é igual ao arranjo simples de 
elementos, tomados a .
CONCEITO
O número total de maneiras de se escolher e ordenar 
 elementos distintos dentre elementos distintos 
é dado por . Tal fórmula é denominada 
arranjo simples de elementos, tomados a .
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Sete candidatos concorrem a duas vagas de pro-
fessor em uma universidade. Um dos professores 
selecionados será o chefe da cadeira e o outro se-
rá seu adjunto. De quantas maneiras diferentes 
pode sair o resultado desse concurso, supondo 
que todos os candidatos estão qualificados para 
ambas as vagas?
Resolução
1. Calcule:
a. 
720
M2_EM_U3_BOOK_Professor.indb 32 05/07/16 13:54
MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 3 | CAPÍTULO 7 | 33
b. 
c. 
d. 
2. Quantos números de 4 algarismos distintos podem ser formados com os algarismos do 
conjunto ?
3. Quantos números pares de 4 algarismos distintos podem ser formados com os al-
garismos do conjunto ?
4. Quantos números de 4 algarismos distintos podem ser formados utilizando-se o sistema 
decimal de numeração?
20
6
1
840
4 536
360
M2_EM_U3_BOOK_Professor.indb 33 05/07/16 13:54
an
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iva
no
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k.c
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34 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 3 | CAPÍTULO 7
Um cientista está estudando a contamina-
ção de um grupo de 30 ratos com um vírus. 
Quantas amostras distintas de 3 ratos po-
dem ser retiradas de seu grupo de cobaias?
5. Quantos números múltiplos de 5, de 4 algarismos distintos, podem ser 
formados utilizando-se o sistema 
decimal de numeração?
Resolva a questão 351 do 
Caderno de Atividades.
Combinações
simples
952
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MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 3 | CAPÍTULO 7 | 35
No problema apresentado, a ordem de retirada 
dos ratos escolhidos não interfere na amostra, ou se-
ja, se forem escolhidos os ratos A, B e C, as seguintes 
amostras são equivalentes:
ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA
Para chegar a essa conclusão, foi feita uma rela-
ção de todas as permutações possíveis entre as 
letras A, B e C. Nesse caso, como a ordem dos ele-
mentos escolhidos não interfere no resultado, 
devemos dividir o resultado do arranjo de 30 ele-
mentos, tomados 3 a 3, pela permutação dos 3 
elementos escolhidos. Para isso, vamos definir mais 
uma importante fórmula da análise combinatória:
Observe que , ou seja, a combinação simples de 
elementos tomados a , é igual à divisão entre o arranjo sim-
ples de elementos tomados a e a permutação simples de 
 elementos. Tal divisão é feita pelo fato de que a ordem dos 
elementos escolhidos em uma combinação simples não inter-
fere no resultado final.
CONCEITO
O número total de maneiras de se escolher 
 elementos distintos dentre elementos 
distintos, sem importância da ordem, é dado 
por . Tal fórmula é denominada 
combinação simples de elementos, 
tomados a .
Usando-se a fórmula da combinação simples para se de-
terminar o total de amostras possíveis do exemplo, temos:
Logo, há 4 060 amostras 
distintas de cobaias que o 
cientista poderá escolher.
EXERCÍCIO RESOLVIDO 1
Sobre uma circunferência, são marcados 7 
pontos distintos.
• Qual é o número de segmentos de reta com 
extremidades nesses pontos?
• Qual é o número de triângulos com vértices 
nesses pontos?
• Qual é o número de heptágonos convexos 
com vértices nesses pontos?
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36 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 3 | CAPÍTULO 7
Resolução
EXERCÍCIO RESOLVIDO 2
Uma professora tem uma turma de 20 alunos e decidiu sor-
tear presentes entre eles. De quantas maneiras é possível 
sair o resultado do sorteio se
a. a professora dispõe de apenas 3 presentes diferentes?
b. a professora dispõe de apenas 3 presentes iguais?
c. a professora dispõe de 20 presentes diferentes?
Observe que todas as fórmulas apresentadas nesse 
capítulo são decorrência do princípio fundamental 
da contagem. Elas são apresentadas porque podem 
tornar o cálculo de diversas situações mais imediato. 
Para isso, vamos relembrar que:
• Nas permutações simples, não há escolha a ser 
feita, só nos interessa de quantas maneiras vamos 
colocar em ordem os elementos.
• Nos arranjos simples, há escolhas a serem feitas 
e, além disso, a ordem dos elementos escolhidos 
é importante.
• Nas combinações simples, há escolhas a serem 
feitas, mas a ordem dos elementos escolhidos 
não é importante.
a. Nesse caso, vão ser escolhidos 3 alunos a serem premia-
dos e, além disso, como os presentes são diferentes, a 
ordem dos presentes dados a cada aluno sorteado in-
terfere no resultado. Temos, então, um caso de arranjo 
simples e o total de resultados possíveis do sorteio é:
Resolução
M2_EM_U3_BOOK_Professor.indb 36 05/07/16 13:54
MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 3 | CAPÍTULO 7 | 37
b. Agora, serão escolhidos 3 alunos, mas como os presentes 
são iguais, a ordem dos alunos escolhidos não interfere 
no resultado. Assim, temos um caso de combinação sim-
ples e o total de resultados possíveis do sorteio é:
c. Por fim, todos os alunos serão escolhidos e só 
interessa a ordem em que serão presenteados. 
Assim, temos uma permutação simples: 
.
1. Juliana saiu para fazer compras com sua mãe e sele-cionou 10 peças de roupa que gostaria de adquirir. 
Sua mãe, porém, só lhe permitiu levar 3 peças. Qual 
é o total de escolhas possíveis para Juliana?
2. Um professor montou uma prova com 13 questões, mas disse aos seus alunos que deveriam escolher 10 dessas 
questões para resolverna prova. Qual é o número de tipos 
diferentes de prova que pode ser gerado seguindo-se o 
critério dado pelo professor?
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286
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38 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 3 | CAPÍTULO 7
3. Uma criança se esqueceu de levar seu material de pintura para a aula de Artes e, para que ela pudesse realizar suas 
tarefas, a professora lhe emprestou 3 potes de tinta guache, 
com as três cores primárias. Com quantas cores diferentes 
essa criança poderá realizar seu trabalho?
4. Juliana decidiu pintar o rodapé de seu quarto, formado por 30 ladrilhos, inician-do a pintura do lado direito da porta e pintando sempre no mesmo sentido. Ela 
tem cinco cores e quer utilizá-las da seguinte maneira: os 5 primeiros ladrilhos 
serão pintados com cores diferentes e os ladrilhos que se seguem repetirão, de 
5 em 5, a mesma ordem de cores dos ladrilhos iniciais. Calcule o total de manei-
ras que Juliana pode pintar o rodapé de seu quarto.
5. Um grupo de 10 pessoas precisa eleger, entre si, um presidente, um secretário e 
três conselheiros. Quantos são todos os 
resultados possíveis dessa eleição?
Resolva as questões 352, 360, 370 
a 377 do Caderno de Atividades.
No livro Uma senhora toma chá, de David Salsburg, o autor nos conta que, 
quando os primeiros astrônomos começaram a estudar os movimentos 
dos corpos celestes, sabiam que seus cálculos de funções continham 
imprecisões e atribuíam isso a erros de observação. Acreditava-se que, 
com instrumentos mais precisos, tais erros diminuiriam. No final do século 
XIX, no entanto, com o avanço da tecnologia dos instrumentos de 
medição, foi observado que os erros eram maiores ainda do que se tinha 
imaginado e que o que as leis que Newton e Laplace descobriram eram 
apenas aproximações da realidade. Isso levou os cientistas a adotarem um 
modelo probabilístico para o universo, ou seja, não há a certeza de que os 
planetas se comportam de determinada maneira, apenas uma grande 
chance de que isso ocorra. 
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MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 3 | CAPÍTULO 7 | 39
Sobre esse fato, o cientista e ganhador de um prêmio Nobel Kenneth 
Arrow afirmou que “nosso conhecimento do funcionamento das coisas, na 
sociedade ou na natureza, vem a reboque de nuvens de imprecisão”. 
O fato é que vivemos uma época em que muitos depositam sua fé e 
esperança no progresso da ciência e do conhecimento científico, que são 
coisas boas em si, mas o que conhecemos é infinitamente menor do que 
aquilo que ignoramos. Tomamos muitas de nossas decisões cotidianas 
baseando-nos, por vezes, em probabilidades e cálculos, feitos por nós 
mesmos ou por máquinas, mas nem por isso estamos significativamente 
mais seguros que os primeiros seres humanos que habitaram a Terra. 
Curiosamente, enquanto complexos cálculos matemáticos revelam 
grande imprecisão, há algumas certezas cuja realidade é difícil de duvidar. 
Por exemplo, a de que, de fato, existimos como pessoas pensantes e de 
que a realidade existe de fato. Você já havia pensado nisso? Que 
argumento você usaria para justificar que podemos ter certeza de algumas 
coisas?
Sabemos que Deus age em todas as coisas para o bem daqueles que 
o amam, dos que foram chamados de acordo com o seu propósito. 
Pois aqueles que de antemão conheceu, também os predestinou 
para serem conformes à imagem do seu Filho, a fim de que ele seja o 
primogênito entre muitos irmãos. E aos que predestinou, também 
chamou; aos que chamou, também justificou; aos que justificou, 
também glorificou. Que diremos, pois, diante dessas coisas? Se Deus 
é por nós, quem será contra nós? 
Romanos 8.28-31 (NVI)
Em uma época em que muitos depositam sua esperança no progresso do 
conhecimento científico, é comum vermos a Ciência ser associada à 
certeza da verdade. Entretanto, um estudo mais detalhado da natureza 
nos leva a perceber que vivemos em um mundo repleto de fenômenos de 
previsão incerta. A incerteza faz parte do universo criado, porém isto não 
significa que não haja nele regularidades. Ao lançarmos uma moeda não 
viciada, por exemplo, podemos não saber com certeza o resultado do 
lance, mas podemos afirmar que a probabilidade de sair cara ou coroa será 
sempre de 50%. A regularidade existente no mundo é um reflexo da 
imutabilidade e sabedoria do Criador no controle e manutenção do 
universo. Mas o que dizer quando a regularidade da vida é interrompida, 
por exemplo, por eventos trágicos? Como o conhecimento que temos de 
Deus nos ajuda a retomar a regularidade?
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O L
S
N
A
C
B
40 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 3 | CAPÍTULO 7
No bairro representado a seguir, as ruas são segmentos de re-
tas, o ponto A é onde mora Cláudia, o ponto B é um banco e o 
ponto C é um supermercado, todos localizados em esquinas. 
Cláudia precisa ir ao supermercado, mas, antes, deve passar 
no banco. De quantas maneiras Cláudia pode fazer isso, utili-
zando sempre um dos menores caminhos possíveis?
Permutações
com repetição
Na situação apresentada, vemos que, para se percorrer as ruas do 
ponto A ao ponto B, sem percorrer quarteirões desnecessários, é pre-
ciso percorrer 5 quarteirões no sentido norte e dois quarteirões no 
sentido leste. Para se chegar do ponto B ao ponto C, economizando-
se percurso, é necessário andar 2 quarteirões para o leste e 3 
quarteirões para o sul. 
O problema apresentado é um problema de contagem, com cami-
nhos geométricos, mas que pode ser transformado em um problema 
puramente algébrico se aplicarmos o seguinte raciocínio: denomina-
mos cada quarteirão percorrido nos sentidos leste, norte e sul, 
respectivamente, pelas letras L, N e S.
Alguns dos menores caminhos possíveis para se ir de A a B são:
Podemos observar, então, que os menores caminhos podem 
ser representados pelas permutações de 5 letras N e duas letras L, 
totalizando 7 letras. 
N N N L L N N N N L N L N N L N N N N N L N N L L N N N
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MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 3 | CAPÍTULO 7 | 41
Estamos, então, em uma situação em que as 
permutações não são mais simples, pois há ele-
mentos repetidos. Devemos, então, permutar as 7 
letras, o que resultaria em . Porém 
muitas dessas permutações conterão resultados 
iguais, uma vez que quando permutamos Ns ou Ls 
entre si, obtemos resultados sem variação. Para 
obter o número correto, devemos, então, dividir o 
resultado pelas permutações dos Ns e Ls entre si. 
Assim, o total de menores caminhos para ir de 
A a B é:
Com raciocínio análogo, podemos concluir 
que os menores caminhos para se percorrer de 
B a C podem ser representados por permutações 
de 5 letras, sendo 2 letras L e 3 letras S, e que o 
total de menores caminhos é:
Usando-se o princípio fundamental da con-
tagem, concluímos que Cláudia pode ir ao 
banco e depois ao supermercado, sempre uti-
lizando um dos menores caminhos possíveis, 
de maneiras diferentes.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Determine o número de anagramas 
da palavra MACACADA.
CONCEITO
Dados elementos distintos, sendo que 
 dentre esses elementos são 
repetidos, o total de ordenações possíveis 
desses elementos, denotado por 
e denominado permutação de elementos 
com repetição de , é dado 
pela fórmula:
Resolução
Como a palavra dada possui 8 letras, com 
repetição de quatro As e dois Cs, o total de 
anagramas é a permutação de 8 elementos, 
com repetição de 4 e 2 elementos:
O que utilizamos na situação descrita 
chama-se permutação com repetição, 
que é definida a seguir:
1. Encontre o número de anagramas que podem ser formados com as letras da 
palavra ASSASSINATO.
277 200
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42 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 3 | CAPÍTULO 7
Se você perguntar a seus pais ou seus avós sobre quantos dígitos formavam 
os números de telefone brasileiros,sem contar o DDD, quando eles tinham 
sua idade, talvez eles respondam 7 dígitos, 6 dígitos ou até mesmo 5 dígitos. 
Atualmente, os telefones fi xos de boa parte das cidades brasileiras possuem 
8 dígitos. Quantos números de telefone, excluindo-se o DDD, podem ser cria-
dos com 7 dígitos? E com 8 dígitos?
Observe que estamos calculando quantos números podem existir, e não 
aqueles que, de fato, existem. Por exemplo, ninguém, no Brasil, tem o número 
de telefone 0000-0000 (talvez porque, caso alguém possuísse esse número, 
receberia muitas ligações falsas!), mas esse seria um possível número.
Então, devemos utilizar o princípio fundamental da contagem para calcular 
o número de possíveis linhas telefônicas com 7 e com 8 algarismos. Para cada 
um dos algarismos, há 10 possibilidades (os algarismos de 0 a 9).
2. Cinco amigos, sendo dois brasileiros e três italianos, fi zeram um grupo no Facebook e querem colocar como foto de capa uma re-
presentação deles com bonequinhos, parecida com a ilustração 
que se segue, mas querem que os brasileiros fi quem representa-
dos pela cor amarela e os italianos pela cor vermelha. De quantos 
modos pode ser feita a ilustração seguindo-se esses parâmetros?
Resolva as questões 353, 378 e 
379 do Caderno de Atividades.
Arranjos 
com repetição
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MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 3 | CAPÍTULO 7 | 43
Logo, para linhas de telefone com 7 algaris-
mos, teremos 107 possibilidades, e para linhas 
com 8 algarismos, teremos 108 possibilidades. 
Assim, o acréscimo de um algarismo nos nú-
meros telefônicos permite que se criem 10 
vezes mais linhas telefônicas.
Ao resolvermos a questão apresentada, o 
que fizemos foi escolher 7 ou 8 algarismos de 
um total de 10 possibilidades, podendo repetir 
uma escolha já feita. Além disso, a ordem dos 
elementos escolhidos interfere no resultado fi-
nal, uma vez que o número 8822-1335 é 
diferente do número 8821-2335. Você deve se 
lembrar que a fórmula que nos permitia contar 
número de escolhas e ordenações de elemen-
tos era a fórmula do arranjo simples. Desta vez, 
porém, temos um arranjo com repetição, pois 
os elementos escolhidos podem se repetir. A se-
guir, definimos o que é arranjo com repetição:
EXERCÍCIO RESOLVIDO
No banco em que tenho conta, é necessário escolher uma senha 
de 6 dígitos, usando-se quaisquer algarismos do sistema decimal 
de numeração. Há, porém, dois tipos de restrição, que são basea-
dos em escolhas muito comuns feitas pelos clientes: a senha não 
pode ter todos os algarismos iguais e não pode se iniciar com zero. 
Quantas são as opções de senha que tenho à minha escolha?
Resolução
Vamos calcular todas as senhas que não se iniciam com zero 
e retirar aquelas que são formadas por todos os algarismos iguais. 
Total de senhas possíveis que não se iniciam com zero: 
. (Observe que o primeiro algarismo 
só tem 9 opções, por não poder utilizar o zero, mas cada um dos 
demais algarismos tem 10 opções de escolha.)
Total de senhas que têm todos os algarismos iguais: 9 (as senhas 
111 111, 222 222, 333 333,..., 999 999).
CONCEITO
O número total de maneiras de se escolher 
e ordenar elementos dentre 
elementos, podendo haver repetição nas 
escolhas feitas, é dado por . Tal 
fórmula é denominada arranjo com 
repetição de elementos, tomados a .
Total de opções à minha disposição: 900 000 – 9 = 899 991.
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44 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 3 | CAPÍTULO 7
MTSA
Matemática, Tecnologia,
Sociedade e Ambiente
UM POUCO DA HISTÓRIA DOS NÚMEROS DE TELEFONE
Quando os telefones surgiram, havia poucas linhas disponíveis. Para se 
ligar para uma pessoa qualquer, fazia-se uma ligação para a telefonista, 
que fazia as ligações diretamente de uma pessoa para outra, conectando 
cabos. Isso gerava um problema: caso a telefonista, que conhecia os 
nomes de todos os possuidores de telefone, precisasse ser substituída por 
outra, quem a substituísse levaria algum tempo para memorizar tudo o 
que fosse necessário para repassar as ligações corretamente. Alexander 
Graham Bell, considerado o inventor do telefone, por sugestão de um 
amigo, implementou, então, a utilização de códigos numéricos, o que 
resolveria o problema.
A quantidade de algarismos dos códigos numéricos foi aumentando 
com a popularização das linhas telefônicas. Para se ter uma ideia, na 
cidade de São Paulo, no início da década de 1990, havia telefones com 6, 7 
ou 8 algarismos, dependendo da região. Isso ocorria porque os primeiros 
algarismos de cada telefone identificavam a região à qual o número 
pertencia. Inicialmente, os dígitos que identificavam a região da cidade 
possuíam apenas 2 algarismos, mas logo surgiram regiões identificadas 
por 3 e, depois, por 4 algarismos. Por exemplo, os moradores do bairro do 
Ipiranga, em São Paulo, que tinham números com 6 dígitos, iniciados por 
63, passaram a ter números de 7 dígitos, iniciados por 263. No ano 2000, 
todas as linhas da cidade de São Paulo passaram a ter 8 dígitos.
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MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 3 | CAPÍTULO 7 | 45
1. Um hacker está tentando descobrir uma senha para acessar um sistema. Qual é o máximo de tentativas que ele deve fazer? 
(não é necessário fazer os cálculos, apenas indicá-los)
a. cada senha tem 6 algarismos?
b. cada senha possui 6 letras?
c. cada senha possui 6 letras, 
mas diferencia maiúsculas 
de minúsculas?
d. cada senha possui 6 dígitos, 
podendo ser algarismos ou 
letras, com diferenciação de 
maiúsculas e minúsculas?
e. cada senha possui 6 dígitos, podendo 
ser algarismos ou letras (com diferen-
ciação entre maiúsculas e minúsculas) 
e também os seguintes caracteres es-
peciais @, #, $, %, &, *, − e +?
2. Suponha que o hacker, tentando decifrar a senha descrita no item “e” do exercício anterior, leve 15 
segundos para testar cada senha. Quantos anos, 
aproximadamente, seriam necessários para ele 
testar todas as senhas possíveis?
Resolva as questões 
354, 361, 380 e 381 do 
Caderno de Atividades.
55 959 anos
106
266
526
626
706
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46 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 3 | CAPÍTULO 7
COMO A MATEMÁTICA AJUDOU NA ANTECIPAÇÃO 
DO TÉRMINO DA SEGUNDA GUERRA MUNDIAL
No livro O livro dos códigos, de Simon Singh, temos a narrativa 
da história da criptografia desde os primórdios até as tentativas 
de criptografia quântica. Um fato curioso relatado nessa obra 
é o da quebra das mensagens criptografadas alemãs, feita por 
uma equipe de ingleses, durante a Segunda Guerra Mundial. Tal 
fato é representado, também, no filme O jogo da imitação, cuja 
direção é de Morten Tyldum.
Os alemães tinham criado uma máquina refinada de códigos criptográficos, 
que dependia de uma chave que relacionava cada letra a uma outra e, em 
seguida, determinava a posição que alguns cabos deveriam ser conectados 
para que as mensagens pudessem ser decifradas. A chave de criptografia era 
modificada a cada dia, então, mesmo que uma equipe de espiões 
conseguisse decifrar os códigos das mensagens de um dia, deveria retomar 
tudo novamente no dia seguinte. Os ingleses conseguiram, através de uma 
equipe de espiões internacionais, acesso a uma das máquinas alemãs, mas, como 
o sistema era, de fato, bem feito, eles, ainda assim, não conseguiriam testar todas 
as combinações possíveis até o fim de suas vidas. Foi então que Alan Turing, que 
trabalhava no King’s College, em Cambridge, juntou-se à equipe de decifradores e 
começou a criar uma máquina que seria capaz de testar as cifras com velocidade 
bem mais alta que os seres humanos. Era o início dos computadores.
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MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 3 | CAPÍTULO 7 | 47
Uma oficina recebeu 4 carros iguais