Lista de Exercicios - Probabilidade e estatistica - Variaveis Discretas

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Exercícios Profª Josefa A . Alvarez 1 
Exercícios de Variáveis Aleatórias Discretas 
 
Valor esperado esperança matemática 
)()( xpxXE  
 
Variância 
   )(22 xpx 
 
 222 )()( XEXE  
)()( xpxXE  
 
)()( 22 xpxXE  
 
Desvio Padrão 
2 
 
Exercícios de Variáveis Aleatórias Discretas 
1. A probabilidade de que a economia experimente recessão é 0,2, crescimento moderado é 0,6 e 
expansão rápida 0,2 com retornos de 5%, 8% e 15% respectivamente. Determine: 
O retorno médio esperado. b) Desvio padrão da taxa de retorno. Resp. E(X)= 8,8 
3,3106X 
 
Solução 
x 5 8 15 Total 
p(x) 0,2 0,6 0,2 1 
E(X) 1 4,8 3 8,8 
E(X2) 5 38,4 45 88,4 
  0,2.5 0,6.8 0,2.15E X   =8,8 
Desvio padrão da taxa de retorno. 
 
22 2( ) ( )X E X E X  
=88,4-8,82=10,96 
3,3106X 
 
2. O valor do seguro de um automóvel é 4.000 u.m. A companhia de seguros estima que uma perda 
total pode ocorrer com probabilidade 0,003; uma perda de 50% com probabilidade 0,15 e uma perda 
de 25% com probabilidade 0,02. Ignorando as demais perdas, qual deve ser o preço do seguro se a 
companhia quer ter um lucro de 400 u.m. Resp. 732$ 
Solução: 
 Perda total 50% perda 25% perda Outras Total 
Perda 4.000 2.000 1.000 0 - 
p(x) 0,003 0,150 0,020 0,827 1 
 
( )i iP x p x  
 
4000.0,003 2000.0,15 1000.0,02 0.0,827 332$P      
3. As probabilidades de que haja em cada carro que vá a Região dos Lagos num fim de semana, 1, 2, 3, 
4, 5 ou 6 pessoas, são respectivamente 1/20, 1/5, 2/5 , 3/20, 3/25, 2/25. Qual o número médio de 
pessoas por carro? Se chegam a Região dos Lagos 5000 carros por hora, qual o número esperado de 
pessoas na região, em 5 horas de contagem? E(x) =  xipi = 3,33 pessoas p/ carro (número médio de 
pessoas por carro) 5.000 carros p/hora x 3,33 pessoas p/carro x 5 horas = 83.250 pessoas 
Total = 83.250 pessoas 
Solução 
E(x) =  xipi = 3,33 pessoas p/ carro (número médio de pessoas por carro) 
5.000 carros p/hora x 3,33 pessoas p/carro x 5 horas = 83.250 pessoas 
Total = 83.250 pessoas 
Exercícios Profª Josefa A . Alvarez 2 
 
x(i) p(i) x(i).p(i) 
1 1/20 1/20 
2 1/5 2/5 
3 2/5 6/5 
4 3/20 12/20 
5 3/25 15/25 
6 2/25 12/25 
E(x) =  xipi = 3,33 pessoas p/ carro (número médio de pessoas por carro) 
5.000 carros p/hora x 3,33 pessoas p/carro x 5 horas = 83.250 pessoas 
Total = 83.250 pessoas 
4. Uma máquina de apostas tem dois discos que funcionam independentemente um do outro. Cada 
disco tem 10 figuras: 4 maças, 3 bananas, 2 peras e 1 laranja. Uma pessoa paga R$ 50,00 e aciona a 
máquina. Se aparecem 2 maças, ganha R$ 25,00. Se aparecerem 2 bananas, ganha R$ 50,00, R$ 90,00 
se aparecerem 2 peras e ganha R$ 120,00 se aparecerem 2 laranjas. Seja X o lucro em uma única 
jogada. Encontre a distribuição de probabilidade de X. Calcular a esperança e a variância 
E(x) =  xipi = - 36,7 Var(x) = 616,11 
Solução: 
Para Eventos independentes: P(AB) = P(A) * P(B), então : 
P(MM) = 4/10 * 4/10 = 16/100 = 0,16 
P(BB) = 3/10 * 3/10 = 9/100 = 0,09 
P(PP) = 2/10 * 2/10 = 4/100 = 0,04 
P(LL) = 1/10 * 1/10 = 1/100 = 0,01 
 
 p(x) X(Lucro) xipi 
X=0 {LL} 0,01 120 - 50 = 70 0,7 
X=1 {PP} 0,04 90 - 50 = 40 1,6 
X=2 {BB} 0,09 50 - 50 = 0 0,0 
X=3 {MM} 0,16 25 - 50 = -25 -4,0 
X=4 {PL, LP,....,PM} 0,70 0 - 50 = -50 -35,0 
Calcular a esperança e a variância das distribuições dos exercício anterior. 
E(x) =  xipi = - 36,7 
Var(x) = [xi - E(x)]² . pi = [70 - (-36,7)]².0,01 + .....+ [-50 - (-36,7)]².0,70 = 616,11 
5. Se X é uma variável com variância igual a 2, calcule a variância da variável Y 
a) Y=(X+3)/2 b) Y=3X+5 Resp.a) V(Y)=1/2 b) V(Y)=18 
Solução 
a) V(Y)=(1/2)2V(X) =1/2 
b) V(Y)=32V(X) =9.2=18 
6. Uma variável x tem média igual a 5 e desvio padrão igual a 3. Calcule o coeficiente de variação da 
variável 
44  xy
. Resp.0,5=50% 
7. Um processo de fabricação produz peças com peso médio de 20g e desvio padrão de 0,5g. Estas 
peças são condicionadas em pacotes de uma dúzia cada. A caixa vazia pesa em média 30g, com desvio 
padrão de 1,2g. Qual a média e o desvio padrão do peso total do pacote? 
Resp. T= 270g T=2,1g 
Solução: T=X1+X2+X3+...........+X12+CV 
T=n+CV= 12.20+30=270g 
Exercícios Profª Josefa A . Alvarez 3 
T
2
=n2+
CV
2
 =12.0,52+1,22=4,44g2  T=2,1g 
8. Determinar a média e o desvio padrão do peso líquido de um produto sabendo-se que a média do 
peso bruto é 800g, com desvio padrão de 20g e o peso da embalagem tem peso médio de 50g com 
desvio padrão de 4g. média=750 desvio padrão=20,3961 
9. A variável aleatória V tem função de distribuição de probabilidades: 
a) encontre o valor da constante c. b) Encontre P[V>2]. c) Calcule o coeficiente de variação. 
Resp. a) c=1/30 b) P(V>2)= 0,8333 c)CV=0,249 
10. Dados E(X2) = 10,6 E(X) = 1 E(Y2) = 2,2 E(Y) = 1,4 E(XY)=0,9 
a) Calcule o coeficiente de correlação b) E(2X-3Y) e V(2X-3Y) 
Resp. (X;Y)=-0,33 
11. Calcule a covariância de X e Y 
y 
x 0 1 
0 0,3 0,4 
1 0,2 0,1 
Resp. -0,05 
12. Considere a seguinte distribuição conjunta de X e Y: 
 X 
Y -2 -1 4 5 
1 0,1 0,2 0 0,3 
2 0,2 0,1 0,1 0 
 
a) Achar as distribuições marginais de X e Y; 
b) Calcular E(X), E(Y) e E(X.Y); 
c) Calcular a covariância entre X e Y; 
d) Calcular X e Y; 
e) Calcular (X;Y); 
f) As variáveis são independentes? Por quê? 
Resp.: 
 a) X -2 -1 4 5  
P(X) 0,3 0,3 0,1 0,3 1 
 
Y 1 2  
P(Y) 0,6 0,4 1 
 
b) E(X) = 1 ; E(Y) = 1,4 ; E(X.Y) = 0,9 c) Cov (x; y) = -0,5 
d) X = 3,098 e Y = 0,49 e) (X;Y) = -0,33 
f) Não são independentes. Porque, ex: P(x=-2; y=1)  P(x=-2) . P(y=1) 
 
x p(x) xp(x) x2p(x) P X Y xyp(x,y) 
-2 0,3 -0,6 1,2 0,1 -2 1 -0,2 
-1 0,3 -0,3 0,3 0,2 -1 1 -0,2 
4 0,1 0,4 1,6 0 4 1 0 
5 0,3 1,5 7,5 0,3 5 1 1,5 
soma 1 E(X)=1 E(X2)=10,6 0,2 -2 2 -0,8 
 0,1 -1 2 -0,2 
y p(y) yp(y) y2p(y) 0,1 4 2 0,8 
1 0,6 0,6 0,6 0 5 2 0 
2 0,4 0,8 1,6 E(XY)=0,9 
 1 E(Y)=1,4 E(Y2)=2,2 
COV(X,Y)=E(XY)-E(X).E(Y)=0,9-1.1,4=-0,5 V(X)=E(X2)-[E(X)]2=10,6-12=9,6 
 V(Y)=E(Y2)-[E(Y)]2=2,2-1,42=0,24 X = 3,098 e Y = 0,49 
 


 
 contrariocaso
vcvvPV 0
4,3,2,12
Exercícios Profª Josefa A . Alvarez 4 
YX
YXVCO

 ),((
 (X;Y) =COV(X,Y)/[ X . Y]=-0,33 
13. Considere a seguinte distribuição conjunta de X e Y: 
 Y 
X -4 2 7 
1 
8
1
 
4
1
 
8
1
 
5 
4
1
 
8
1
 
8
1
 
a) E(X) e E(Y); 
b) Calcular a covariância entre X e Y; 
c) Calcular X , Y e (X;Y). 
Resp.: 
 a) E(X) = 3 e E(Y) = 1 
b) Cov (x; y) = -1,5 
c) X = 2 ; Y = 4,33 e (X;Y) = -0,17 
 
y p(y) yp(y) y2p(y) P X Y xyp(x,y) 
-4 0,375 -1,5 6 0,125 1 -4 -0,5 
2 0,375 0,75 1,5 0,25 5 -4 -5 
7 0,25 1,75 12,25 0,25 1 2 0,5 
soma 1 E(Y)=1 E(Y2)=19,75 0,125 5 2 1,25 
x p(x) xp(x) x2p(x) 0,125 1 7 0,875 
1 0,5 0,5 0,5 0,125 5 7 4,375 
5 0,5 2,5 12,5 E(XY)=1,5 
soma 1 E(X)=3 E(X2)=13 
COV(X,Y)=E(XY)-E(X).E(Y)=1,5-3.1=-1,5 V(X)=E(X2)-[E(X)]2=13-32=4 
V(Y)=E(Y2)-[E(Y)]2=19,75-12=18,75 
X = 2 e Y = 4,33 (X;Y) =COV(X,Y)/[ X . Y]=-1,5/(2.4,33)=-0,173 
 14. O tempo T em minutos, necessário para um operário atender um cliente é uma variável aleatória
com a seguinte distribuição de probabilidade: 
 
Tempo (x) 2 3 4 5 6 7 
P(x) 0,1 0,1 0,3 0,2 0,2 0,1 
a) Calcule o tempo médio de atendimento; b) Para cada cliente atendido o operário ganha um fixo de 2 
u.m.; mas se ele atender o cliente em menos de 6 minutos ganha 0,5 por cada minuto economizado. 
Calcule o ganho médio. 
Solução: 
Tempo 2 3 4 5 6 7 
P(x) 0,1 0,1 0,3 0,2 0,2 0,1 
Ganho 4 3,5 3,0 2,5 2 2 
a) E(X)= xp(x)=2.0,1+3.0,1+4.0,3+5.0,2+6.0,2+7.0,1=4,6 
b) E(G)= g p(g)= 4.0,1+3,5.0,1+3.0,3+2,5.0,2+2.0,2+2.0,1=2,75 
15. Suponha que a demanda diária D , de um produto é uma variável aleatória com a seguinte 
distribuição de probabilidades 
 P ( D = d ) = ( c 2d ) / d ! ; d = 0 ,1 ,2 ,3 ,4 
Determine: a ) a constante c b ) média c ) variância 
Exercícios Profª Josefa A . Alvarez 5 
 
d 0 1 2 3 4 TOTAL 
p(d) C 2c 
2
4c
 
6
8c
 
24
16c
 
1 
dp(d) 0 2c 
2
8c
 
6
24c
 
24
64c
 
3
38c
 
d2 p(d) 0 122C 
2
4.22 c 
6
8.32 c 
24
16.42 c 
3
98c
 
C+ 2C+ 4/2 C+ 8/6 C+16/24 C=1 C=1/7 
E(D)=d p(d)=(38/3 )(1/7)= 1,8095 
E(D 2)=d2 p(d)= (98/3 )(1/7)=4,6667 
V(D)= E(D 2) - E(D)  2 =4,6667-1,80952= 1,39238 
D
 =1,17999 
16. Uma empresa produz três unidades por dia de um determinado produto. O produto tem validade 
de um dia. O custo total de produção de cada unidade é de R$15,00 e o preço unitário de venda é de 
R$25,00 A tabela fornece a probabilidade de vender x unidades em um dia. 
x 0 1 2 3 
P(X=x) 0,2 0,3 0,4 0,1 
Determine o lucro médio e o desvio padrão. 
X 0 1 2 3 
P(X=x) 0,2 0,3 0,4 0,1 
V 0 25 50 75 
L=Lucro liquido -45 25-45=-20 50-45=5 75-45=30 
E(L)=-45.0,2+(-20).0,3+5 0,4+30.0,1=-10 E(L)= - 10 
E(L2)= (-45)2 0,2+ (-20)2 0,3+ (-5)2 0,4+ 302 0,1 = 625 
2 =625-(-10)2 =625-100=525 =22,9129 
17. Uma variável X tendo valores 1 ,0 e -1 com probabilidades 0,4 ; 0,3 e 0,3 
respectivamente e uma variável Y tendo valores : -2 ; 0 e 2 com probabilidades 0,4; 0,4 e 0,2 
respectivamente. As variáveis X e Y são independentes. 
Se Z= X + Y. Calcular E(Z) e V(Z). 
x 1 0 -1 
p(x) 0,4 0,3 0,3 1 
xp(x) 0,4 0 -0,3 0,1 
x2 p(x) 0,4 0 0,3 0,7 
E(X)=x p(x)= 0,1 
E(X 2)=x2 p(x)= 0,7 
V(X)= E(X 2) - E(X)  2 =0,7-0,12= 0,69 
y -2 0 2 
p(y) 0,4 0,4 0,2 1 
yp(y) -0,8 0 0,4 -0,4 
y2p (y) 1,6 0 0,8 2,4 
E(Y)=y p(y)= -0,4 
E(Y 2)=y2 p(y)=2,4 
V(Y)= E(Y 2) - E(Y)  2 =2,4-(-0,4)2= 2,24 
E(Z)=-0,3 V(Z)=0,69+2,24=2,93 
 
 
Exercícios Profª Josefa A . Alvarez 6 
18) Considere a função de probabilidade, p(x) da v.a X, que indica o número de chamadas recebidas 
num quartel de bombeiros por dia. 
x 0 1 2 3 4 
p(x) 0,05 a b 0,1 0,15 
a) Determine a e b sabendo que, em 75% dos dias, são recebidas pelo menos duas chamadas. b) 
Calcule 
 XE
 e 
 XVar
 
19) Se V(X)=0,35 ; V(Y)=0,85 e COV(X,Y)=0,35. Calcule V(4X+2Y) 
Solução: V(4X+2Y) =42V(X)+ 22V(Y)+2.4.2COV(X,Y)=16.0,35+4.0,85+16.0,35=14,6 
 
20) A v.a X (discreta) apresenta a seguinte função de distribuição 
x 1 2 3 4 
P(x) 0,1 0,3 0,5 k 
Calcule a) k de modo que p(x) seja função de probabilidade b) Determine 
)12(  XXP
. c) E(2X+7) 
V(2x+7) 
 
21) A expressão da remuneração mensal do vendedor de estações gráficas é: 
T = $5.000 + $10.000 x, sendo x a variável aleatória quantidade de estações gráficas vendidas. 
E(x)=0,8 σ(x)=0,5 Calcule E(T) e σ(T) 
Resposta: O vendedor recebe $13.000 por mês com desvio padrão de $5.000, resultados obtidos das 
seguintes fórmulas: 
Solução: T =$5.000+$10.000x0,8=$13.000 
2
T
 = $10.0002 x 0,25 = 25.000.000  T = $5.000 
22) Considere a seguinte função: 
 









valores restantes 0
4,3,2,1 se 
30
2
xx
xp 
Determine a) 
 2/1  XXP
 b) E(2X+7) V(2x+7) 
23) O preço de venda unitário do produto é P=$1.250 e seus custos são: custo unitário C=$500 e custo 
fixo mensal CF=$120.000. Se o número de produtos vendidos por mês n tem média 200 unidades e 
desvio padrão de 35 unidades, qual a média e o desvio padrão do lucro L medido com pela expressão: 
 L = -CF + (P - C) x n ? Determine a média e o desvio padrão do lucro da empresa ? 
Solução:  L -$120.000+($1.250 -$500)x200 =$30000 
2
L
 = ($1.250 -$500)2 x 352 = 689062500L = 26250