Mackenzie EM 2 Série - Matemática (Caderno de Atividades) - Livro do Professor - Livro 2 - Capítulo 6

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Sistema linear: 
5
3
conjunto de 
equações que 
facilitam 
nossa vida
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PRIMEIRAS IDEIAS
285. Nas equações a seguir, indique:
a. os coeficientes;
b. o termo independente; 
c. o número de variáveis.
286. Quais das equações a seguir apresentam o par ordenado como solução?
a. 
a) Coeficientes: −1; 4
b) Termo independente: 5
c) Número de variáveis: apenas uma ( )
a) Coeficientes: 3; 8
b) Termo independente: −10
c) Número de variáveis: apenas uma ( )
a) Coeficientes: −2; 6; −8
b) Termo independente: 4
c) Número de variáveis: 3 ( , e )
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b. 
c. 
287. Quais das equações a seguir apresentam o par ordenado como solução?
a. 
b. 
c. 
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288. Quais das equações a seguir são lineares?
a. 
a. 
b. 
b. 
c. 
d. 
e. 
f. 
g. 
h. 
289. Determine as matrizes completa e incompleta dos sistemas a seguir:
Os itens b; c e h.
Matriz incompleta: ; matriz completa: 
Matriz incompleta: ; matriz completa: 
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c. 
d. 
290. Verifique se a solução satisfaz o sistema a seguir:
Matriz incompleta: ; matriz completa: 
Matriz incompleta: ; matriz completa: 
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291. Considere o sistema homogêneo a seguir:
Agora, determine uma solução diferente da trivial, 
 , que satisfaça esse sistema. Haveria 
outras soluções além dessa que você encontrou?
292. Determine os valores de e no sistema a seguir usando o escalonamento:
Não satisfaz a última equação, portanto, não satisfaz o sistema.
(1; 1; –1). Sim, por exemplo, (2; 2; –2).
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293. Determine os valores de e no sistema a seguir usando o escalonamento:
294. Determine os valores de e no sistema a seguir usando o escalonamento:
295. Determine os valores de e no sistema, utilizando a regra de Cramer:
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296. Determine os valores de e no sistema, utilizan-
do a regra de Cramer:
297. Determine os valores de e no sistema, utilizan-
do a regra de Cramer:
298. Resolva o sistema a seguir:
Indeterminado
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299. Determine os valores de e no sistema a seguir usando o escalonamento:
300. Discuta e resolva o sistema a seguir considerando que é um parâmetro real.
301. Qual a condição necessária e suficiente para que três retas de equações 
sejam concorrentes?
Impossível.
 = 2: sistema impossível
 = 1: sistema indeterminado do 2º grau: 
 ≠ 1 e ≠ 2: sistema determinado 
 e que as retas não sejam paralelas.
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302. Calcule o valor real de para que o sistema a seguir tenha solução diferente da trivial.
303. Calcule o valor do parâmetro de modo que o sistema a seguir seja possível.
304. Discuta o sistema a seguir em função do parâmetro :
 ou Impossível
 Indeterminado
 ≠ 1 ou ≠ 1 ou Determinado
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305. Discuta o sistema a seguir em função dos valores de e :
306. Discuta o sistema a seguir:
307. Discuta o sistema a seguir, utilizando o teorema de 
Rouché-Capelli:
 e ou 
e Determinado 
 e Impossível
 Impossível
 Indeterminado
 e Determinado
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308. Discuta o sistema a seguir, utilizando o teorema de Rouché-Capelli:
309. (Enem 2011) O prefeito de uma cidade deseja cons-truir uma rodovia para dar acesso a outro município. 
Para isso, foi aberta uma licitação na qual concorre-
ram duas empresas. A primeira cobrou R$ 100.000,00 
por km construído acrescidos de um valor fixo de 
R$ 350.000,00, enquanto a segunda cobrou R$ 
120.000,00 por km construído acrescidos de um 
valor fixo de R$ 150.000,00. As duas empresas apre-
sentam o mesmo padrão de qualidade dos serviços 
prestados, mas apenas uma delas poderá ser contra-
tada. Do ponto de vista econômico, qual a equação 
possibilitaria encontrar a extensão da rodovia que 
tornaria indiferente para a prefeitura escolher qual-
quer uma das propostas apresentadas?
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
 Indeterminado
 Determinado
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310. (Enem 2000) Uma companhia de seguros levantou dados sobre os carros de determinada cidade e constatou que 
são roubados, em média, 150 carros por ano. O número 
de carros roubados da marca X é o dobro do número de 
carros roubados da marca Y, e as marcas X e Y juntas res-
pondem por cerca de 60% dos carros roubados. 
O número esperado de carros roubados da marca Y é:
a. 20.
b. 30.
c. 40.
d. 50.
e. 60.
311. (Enem 2009) Um grupo de 50 pessoas fez um orçamento inicial para organizar uma festa, que seria dividido entre elas em cotas 
iguais. Verificou-se ao final que, para arcar com todas as despesas, 
faltavam R$ 510,00, e que 5 novas pessoas haviam ingressado no 
grupo. No acerto foi decidido que a despesa total seria dividida 
em partes iguais pelas 55 pessoas. Quem não havia ainda contri-
buído pagaria a sua parte, e cada uma das 50 pessoas do grupo 
inicial deveria contribuir com mais R$ 7,00.
De acordo com essas informações, qual foi o valor da cota calcu-
lada no acerto final para cada uma das 55 pessoas?
a. R$ 14,00.
b. R$ 17,00.
c. R$ 22,00.
d. R$ 32,00.
e. R$ 57,00.
312. (Enem 2010)
Algumas pesquisas estão sendo desenvolvidas para se obter arroz 
e feijão com maiores teores de ferro e zinco e tolerantes à seca. 
Em média, para cada 100 g de arroz cozido, o teor de ferro é de 
1,5 mg e o de zinco é de 2,0 mg. Para 100 g de feijão, é de 7 mg o 
teor de ferro e de 3 mg o de zinco. Sabe-se que as necessidades 
diárias dos dois micronutrientes para uma pessoa adulta é de 
aproximadamente 12,25 mg de ferro e 10 mg de zinco.
Disponível em: http://www.embrapa.br. Acesso em: 29 abr. 2010 (adaptado).
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Considere que uma pessoa adulta deseja satisfazer suas ne-
cessidades diárias de ferro e zinco ingerindo apenas arroz e 
feijão. Suponha que seu organismo absorva completamente 
todos os micronutrientes oriundos desses alimentos.
Na situação descrita, que quantidade a pessoa deveria co-
mer diariamente de arroz e feijão, respectivamente?
a. 58 g e 456 g
b. 200 g e 200 g
c. 350 g e 100 g
d. 375 g e 500 g
e. 400 g e 89 g
313. (Comvest/Vestibular Unicamp 2012) Um supermercado vende dois tipos de cebola, conforme se descreve na tabela abaixo:Tipo de cebola
Peso unitário 
aproximado (g) Raio médio (cm)
Pequena 25 2
Grande 200 4
a. Uma consumidora selecionou cebolas pe-
quenas e grandes, somando 40 unidades, 
que pesaram 1 700 g. Formule um sistema 
linear que permita encontrar a quantidade 
de cebolas de cada tipo escolhidas pela 
consumidora e resolva-o para determinar 
esses valores.
b. Geralmente, as cebolas são consumidas sem 
casca. Determine a área de casca correspon-
dente a 600 g de cebolas pequenas, supondo 
que elas sejam esféricas. Sabendo que 600 g 
de cebolas grandes possuem 192π cm² de 
área de casca, indique que tipo de cebola for-
nece o menor desperdício com cascas. 
384π cm². Usando as cebolas grandes, o desperdício 
com as cascas é menor.
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314. (Fuvest 2013) Um empreiteiro contratou um serviço com um grupo de trabalhadores pelo valor de R$ 10.800,00 a serem igual-
mente divididos entre eles. Como três desistiram do trabalho, o 
valor contratado foi dividido igualmente entre os demais. Assim, o 
empreiteiro pagou, a cada um dos trabalhadores que realizaram o 
serviço, R$ 600,00 além do combinado no acordo original. 
a. Quantos trabalhadores realizaram o serviço? 
b. Quanto recebeu cada um deles?
315. (VUNESP 2013) Uma coleção de artrópodes é formada por 36 exemplares, todos eles íntegros e que somam, no total 
da coleção, 113 pares de patas articuladas. Na coleção não 
há exemplares das classes às quais pertencem o carangue-
jo, a centopeia e o piolho-de-cobra.
Sobre essa coleção, é correto dizer que é composta por 
exemplares das classes Insecta e
a. Arachnida, com maior número de exemplares da classe Arachnida. 
b. Diplopoda, com maior número de exemplares da classe Diplopoda. 
c. Chilopoda, com igual número de exemplares de cada uma dessas classes. 
d. Arachnida, com maior número de exemplares da classe Insecta. 
e. Chilopoda, com maior número de exemplares da classe Chilopoda.
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 R$ 1.800,00
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316. (AFA 2016) O dono de uma loja de produtos seminovos adquiriu, parceladamente, dois eletrodomésticos.
Após pagar 2/5 do valor dessa compra, quando ainda 
devia R$ 600,00, resolveu revendê-los.
Com a venda de um dos eletrodomésticos, ele conse-
guiu um lucro de 20% sobre o custo, mas a venda do 
outro eletrodoméstico representou um prejuízo de 
10% sobre o custo. Com o valor total apurado na re-
venda, ele pôde liquidar seu débito existente e ainda 
lhe sobrou a quantia de R$ 525,00.
A razão entre o preço de custo do eletrodoméstico 
mais caro e o preço de custo do eletrodoméstico mais 
barato, nessa ordem, é equivalente a
a. 5
b. 4
c. 3
d. 2
317. (AFA 2015) Alex possui apenas moedas de 25 centavos, de 50 centavos e de 1 real, totalizando 36 moedas.
Sabe-se que a soma do número de moedas de 25 centa-
vos com o dobro do número de moedas de 50 centavos 
é igual à diferença entre 82 e 5 vezes o número de moe-
das de 1 real. Nessas condições é correto afirmar que
a. esse problema possui no máximo 7 soluções. 
b. o número de moedas de 25 centavos nunca será 
igual ao número de moedas de 50 centavos. 
c. o número de moedas de 50 centavos poderá ser 
igual à soma do número de moedas de 25 centa-
vos com as de 1 real. 
d. o número de moedas de 1 real pode ser 3. 
318. (Mackenzie 2015) Um teste de matemá-tica tem questões valendo 1 ponto, 2 
pontos e 3 pontos. Se um estudante ob-
teve 55 pontos em 30 questões desse 
teste e acertou 5 questões de 2 pontos a 
mais do que o número de questões de 1 
ponto que ele acertou, o número de 
questões de 3 pontos, respondidas cor-
retamente por ele, foi
a. 1 
b. 2 
c. 3 
d. 4 
e. 5 
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R$ 12,90
1 4
R$ 14,60
3
R$ 12,10
2
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319. (VUNESP 2015) Em uma fl oricultura, os preços dos buquês de fl ores se diferenciam pelo tipo e pela quanti-
dade de fl ores usadas em sua montagem. Quatro desses 
buquês estão representados na fi gura a seguir, sendo 
que três deles estão com os respectivos preços.
De acordo com a representação, nessa fl oricultura, 
o buquê 4, sem preço indicado, custa 
a. R$ 15,30.
b. R$ 16,20.
c. R$ 14,80.
d. R$ 17,00.
e. R$ 15,50.
320. (UPE 2015) No quadro abaixo, observa-se o balanço de vendas das três vendedoras da Perfumaria Soxeiro para 
os três perfumes mais vendidos no último sábado.
Vendedora Perfumes (nº de vidros)
Faturamento 
(R$ )
Alfa Beta Gama
Amanda 7 3 4 1.950
Bruna 5 10 8 3.600
Carol 4 5 6 2.350
Total 16 18 18 7.900
De acordo com esses dados, quanto custa um vidro do perfume Beta? 
a. R$ 100,00
b. R$ 150,00
c. R$ 160,00
d. R$ 180,00 
e. R$ 200,00
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MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 6 | 271
321. (Fuvest 2015) Em uma transformação química, há conservação de massa e dos elementos químicos envolvidos, o que pode ser expresso 
em termos dos coeficientes e índices nas equações químicas. 
a. Escreva um sistema linear que represente as relações 
entre os coeficientes e na equação química 
 
b. Encontre todas as soluções do sistema em que 
 e são inteiros positivos. 
322. (Comvest/Vestibular Unicamp 2012) As com-panhias aéreas costumam estabelecer um 
limite de peso para a bagagem de cada passa-
geiro, cobrando uma taxa por quilograma de 
excesso de peso. Quando dois passageiros 
compartilham a bagagem, seus limites são 
considerados em conjunto. 
Em um determinado voo, tanto um casal como 
um senhor que viajava sozinho transportaram 
60 kg de bagagem e foram obrigados a pagar 
pelo excesso de peso. O valor que o senhor pa-
gou correspondeu a 3,5 vezes o valor pago 
pelo casal. Para determinar o peso excedente 
das bagagens do casal ( ) e do senhor que via-
java sozinho ( ), bem como o limite de peso 
que um passageiro pode transportar sem pa-
gar qualquer taxa ( ), pode-se resolver o 
seguinte sistema linear:
a. 
b. 
c. 
d. 
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323. (Comvest/Vestibular Unicamp 2013) Na formulação de fertilizantes, os te-ores percentuais dos macronutrientes N, P e K, associados respectivamente 
a nitrogênio, fósforo e potássio, são representados por , e .
a. Os teores de certo fertilizante satisfazem 
o seguinte sistema de equações lineares:
b. Suponha que para outro fertilizante valem as relações 
, , e . 
Indique no plano cartesiano a região de teores ( , ) admissí-
veis para tal fertilizante.
Calcule e nesse caso.
Substituindo o valor de , temos , que define 
uma região entre duas retas. As outras duas retas paralelas aos eixos,
, estabelecem a fronteira esquerda e a fronteira inferior 
da região, respectivamente.
50%
y
40%
30%
20% (10,20)
(24,20)
(10,34)
10%
30% 40% 50% x10% 20%0%
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MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 6 | 273
324. (UERN 2014) Considere o seguinte sistema de equações lineares:
Sabendo-se que , e , nessa ordem, formam uma progressão 
aritmética de razão , com , então, é correto afirmar que
a. .
b. 
c. 
d. 
325. (UERN 2013) Em uma cidade litorânea, a fiscalização apreendeu carros, motos e jet skis devido às irregula-
ridades nas documentações, totalizando 21 veículos. 
Se, nesse conjunto, o número total de rodas é 54 e o 
número de carros é o quádruplo do número de jet 
skis, então, os números de motos e jet skis apreendi-
dos são, respectivamente,
a. 8 e 2.
b. 8 e 11.
c. 10 e 4.
d. 11 e 2.
326.(UFPel 2012) Sendo , 
 
o valor de é igual a
a.  . 
b. 3.
c. 1. 
d.  . 
e.  . 
f. I.R. 
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274 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 6
327. (ACAFE Medicina 2016) Um designer de joias utiliza três tipos de pedras preciosas (rubis, safiras e esmeraldas) na criação de três modelos diferentes 
de colares (A, B e C). Na criação dessas peças ele verificou que:
Para cada colar do tipo A usaria 4 rubis, 1 safira e 3 esmeraldas.
Para cada colar do tipo B usaria 3 rubis, 1 safira e 2 esmeraldas.
Para cada colar do tipo C usaria 2 rubis, 3 safiras e 2 esmeraldas.
Se ele dispõe de 54 rubis, 36 safiras e 42 esmeraldas para a execução 
dessas peças, então, a relação entre o número de peças A, B e C é:
a. C = A + B.
b. B = A + C.
c. A = C – B.
d. C = 2B – 8A.
328. (EFE 1957) Calcule os valores de e que tornam o sistema possível e determinado:
e calcular os valores de e de .
329. (EESC 1959) Estudar o sistema, no qual é um parâmetro:
Para quais valores de a o sistema é determina-
do, impossível ou indeterminado?
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MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 6 | 275
Dica: Observe que é raiz de .
330. (EFE 1959) Calcule o valor real de para que o sistema:
Tenha solução diferente de zero.
331.
(ITA 1948) Discutir e 
resolver, com emprego de 
determinantes, o sistema:
 = 1: Impossível
 = -2: Impossível 
 ≠ 1, ≠ 2: Determinado
Nunca será indeterminado.
Indeterminado
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276 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 6
332. (UPE 2016) Um PA mais dois PE mais um PI vale 15. Quatro PA mais cinco PE mais sete PI 
vale 63. Seis PA mais oito PE mais nove PI va-
le 89. Nessas condições, quanto vale um PA 
mais um PE mais um PI?
a. 11
b. 12
c. 15
d. 25
e. 28
333. (ITA 2014) Considere o sistema linear nas incógnitas , e .
a. Determine � tal que o sistema tenha infinitas soluções.
b. Para � encontrado em (a), determine o conjunto-solução do sistema. 
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MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 6 | 277
334. (ITA 2016) Se o sistema de equações 
é impossível, então os valores de e são tais que 
a. e .
b. e .
c. e .
d. e .
e. é arbitrário e .
335. (ITA 2013) Considere o sistema nas variáveis reais e :
com e . Analise para que valores e 
 
 o sistema é (i) possível determinado, (ii) possível indetermina-
do ou (iii) impossível, respectivamente. Nos casos (i) e (ii), 
encontre o respectivo conjunto-solução. 
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278 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 6
336. (ITA 2015) Sejam e números reais não nulos. Determine os valores de bem como a relação entre 
 e para que ambos os sistemas lineares e a seguir 
sejam compatíveis indeterminados.
337. (Escola Naval 1959)
a. Num plano estão localizados pontos, dos quais r sobre 
uma mesma reta. Quantos triângulos podem ser construí-
dos ligando-se três quaisquer desses pontos?
b. Discuta e resolva o sistema: .
ou
: Impossível
: Indeterminado
 e : Determinado
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MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 6 | 279
338. (Comvest/Vestibular Unicamp 2015) Considere o sistema linear nas variáveis , e 
onde é um número real. Sejam núme-
ros inteiros consecutivos tais que 
é uma solução desse sistema. O valor de é igual a
a. 3.
b. 2.
c. 1.
d. 0.
339. (Escola Naval 1956) Empregando o Teorema de Rouché-Capelli, discutir o sistema:
em que é um parâmetro.
340. (Fuvest 2015) No sistema linear , 
nas variáveis , e , e são constantes reais. 
É correto afirmar:
a. No caso em que , o sistema tem so-
lução se, e somente se, .
b. O sistema tem solução, quaisquer que se-
jam os valores de e de .
c. No caso em que , o sistema tem so-
lução se, e somente se, .
d. O sistema só tem solução se .
e. O sistema não tem solução, quaisquer que 
sejam os valores de e de .
: Impossível
: Indeterminado
 e : Determinado
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280 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 6
341. (IME 2013) Considere o sistema de equações , 
 com , , , , e reais, . Sabe-
se que o sistema é indeterminado. O valor de é:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
342. (AFA 2014) O sistema linear nas incógnitas , e abaixo possui uma infinidade de soluções.
Sobre o parâmetro , , pode-se afirmar que
a. 
b. 
c. 
d. 
343. (ACAFE 2016) Seja o sistema S de equações lineares nas incógnitas , e e e números reais, dado por
I. A matriz dos coeficientes associada ao sistema S tem 
determinante igual a .
II. O sistema S é impossível para .
III. Se � = –1 e para algum valor real de , a tripla ordenada
 é solução do sistema S. 
IV. O sistema S possui infinitas soluções para e 
qualquer .
analise as informações:
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MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 6 | 281
Todas as afirmações corretas estão em:
a. I – II
b. I – IV
c. I – II – III
d. II – III – IV
a. 
b. .
c. 
d. 
e. 
344. (ESPM 2013) O sistema , em e , 
é possível e indeterminado se, e somente se: 
345. (CPACN 2015) Dado o sistema 
nas variáveis e , pode-se afirmar que 
a. existe tal que o sistema não admite 
 
 solução para qualquer número real . 
b. existe tal que o sistema não admite 
 
 solução para qualquer número real . 
c. se e , o sistema não admite solução. 
d. se e , o sistema admite infinitas soluções. 
e. se e , o sistema admite infinitas soluções.
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