Aula de statatística para Dasonomia

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UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA 
FACULDADE DE TECNOLOGIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA FLORESTAL 
DISCIPLINA: DASONOMIA 
Aula do Professor ILDEU SOARES MARTINS 
 
 
REVISÃO DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL 
1 Alguns conceitos úteis: 
Hipótese científica: é formulada pelo estudioso (pesquisador ou outro) com base em interesses 
específicos. Por exemplo, se o interesse for comparar métodos de quebra de dormência de 
sementes de uma espécie do cerrado; a hipótese pode ser: “Entre os métodos concorrentes 
existem um ou mais que são superiores”. 
Na comparação de variedades em termos de produtividade, a hipótese científica pode ser: “Há 
variabilidade genética entre as variedades”. 
Hipótese estatística: é formulada com a ajuda de profissional especializado e está ligada ao 
método estatístico utilizado. Por exemplo, na Anova (análise de variância), a HO (hipótese de 
nulidade) diz que não há efeito de tratamento, ou seja, µ1 = µ2 =.....= µt = 0, onde µi = média do 
tratamento i (população), com i = 1, 2, 3,...t. Lembrando que qualquer teste é construído para o 
valor populacional. A Ha (hipótese alternativa) será “existe pelo menos um contraste entre 
médias significativo”. 
Na análise de regressão, a hipótese estatística é construída para os valores dos parâmetros de 
regressão. Exemplo, no modelo 𝑦𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥1𝑖 + 𝛽2𝑥2𝑖 + 𝜀𝑖, onde yi é a variável 
dependente, x1 e x2 são as variáveis explicativas e 𝜀𝑖 são os erros associados a cada um dos 
ajustes. A hipótese estatística é 𝛽0 = 𝛽1 = 𝛽2 = 𝑜 . A Ha será “existe pelo menos um parâmetro 
diferente de 0”. 
Nível de significância (α): também chamado de erro tipo 1, é a máxima probabilidade de erro 
ao rejeitar H0. Antes costumava-se escolher este erro a priori e comparar valores calculados e 
tabelados. Hoje, especialmente com o uso de computadores para análise de dados, estima-se o 
valor do erro e rejeita a hipótese quando o mesmo for baixo (abaixo de 5% é significativo a 5%; 
ou abaixo de 1% é significativo a 1%). 
Unidade experimental ou parcela: é a menor porção do experimento que vai receber os 
tratamentos, deve ser o mais homogênea possível, para que as diferenças observadas nas 
avaliações sejam devidas aos tratamentos. Em laboratórios, a parcela pode ser um recipiente 
com um certo número de sementes; no viveiro, um grupo de mudas; e, no campo, um grupo de 
árvores. Na determinação desses números, é preciso considerar a disponibilidade do material e 
lembrar que é melhor usar menos indivíduos por repetição e realizar mais repetições. 
Fontes de variação premeditadas: são aquela introduzidas pelo pesquisador, com a finalidade 
de fazer comparações. São os chamados tratamentos. Exemplos: métodos de quebra de 
dormência (laboratórios), níveis de adubação (viveiro ou campo), variedades (viveiro ou campo). 
Fontes de variação aleatórias: são aquela sobre as quais o pesquisador não tem controle. Essa 
fonte de variação é denominada de resíduo. 
2. Princípios básicos da experimentação 
a) Repetição: não existe experimentação sem repetição, pois é ela que permite a estimativa do 
erro experimental, o qual é fundamental para todas as inferências. 
b) Casualização: casualizar é garantir que nenhum tratamento seja favorecido ou desfavorecido 
na implantação do experimento. A casualização, então, dá validade à estimativa do erro 
experimental. 
Os dois primeiros princípios são obrigatórios no âmbito da experimentação, ao contrário do 
terceiro princípio, descrito a seguir. 
c) Controle local: quando o local de experimentação for heterogêneo, deve-se proceder a 
estratificação, formando os chamados blocos, na esperança de que dentro de cada um dos 
blocos a variação seja a mínima possível. O controle local tem a função de reduzir o erro 
experimental. 
3. Delineamentos experimentais 
São propostos em literatura três delineamentos experimentais básicos: DIC (delineamento 
inteiramente casualizado), DBC (delineamentos em blocos casualizado) e o QL (quadrado latino). 
Os outros são derivados desses três. 
3.1. Delineamento Inteiramente ao Acaso (DIC) 
a) Introdução 
É o mais simples de todos, envolve apenas os princípios de repetição e casualização e, como não 
requer restrição na casualização, o local de experimentação deve ser homogêneo. Exemplos: 
experimentos com sementes em laboratório, uso de vasos em estufas. No caso de viveiros 
florestais, é possível utilizar o DIC, pois as condições (irrigação, adubação, sombreamento e 
outras) podem ser controladas; entretanto, deve-se tomar cuidado com a disposição dos 
tratamentos. Lembrar sempre que é necessário variar apenas o que se quer testar. 
Em condições de campo, pode-se usar o DIC? A resposta vai depender do pesquisador. A 
topografia é favorável? As condições de solo são homogêneas? E outras indagações serão 
comuns. Entretanto, é preferível usar o DBC, como veremos mais tarde. 
b) Planejamento do experimento 
Supondo um experimento com 4 tratamentos (I = 4) e 5 repetições (J = 5), o que totaliza 20 UE 
(unidades experimentais). 
Dividir o local em 20 pequenas partes e, através de sorteio (papéis numerados, por exemplo) 
distribuir as unidades experimentais. Com árvores no campo, é importante plantar linhas de 
bordadura, visando igualdade na competição entre os tratamentos. No caso de viveiros, 
dependendo da idade, é preciso, também, considerar a bordadura. 
Um dado prático, proposto por Pimentel Gomes (1985), muito utilizado, é considerar um mínimo 
de 20 UE, ou como veremos um pouco adiante, no mínimo 12 graus de liberdade (GL) para o 
resíduo. 
c) Modelo estatístico 
Este modelo é uma expressão matemática com os efeitos existentes no delineamento. 
𝑦𝑖𝑗 = 𝑚 + 𝑡𝑖 + 𝑒𝑖𝑗 , em que, yij é a observação referente ao tratamento i, na repetição j; m é a 
média geral; ti é o efeito do tratamento i e eij é o efeito aleatório ou resíduo. 
Entendendo o modelo: cada vez que se faz uma avaliação ou medida (número de sementes 
germinadas, altura da muda ou da árvore, DAP ou outra qualquer), naquela medida tem o efeito 
do tratamento correspondente repetido j vezes e outro efeito não controlado; ambos os efeitos 
sobre uma média geral. Na realidade, m é uma constante qualquer (poderia ser 0, por exemplo); 
mas na prática se usa a média geral. 
d) Quadro com as avaliações 
 Repetições 
Tratamentos 1 2 . . j Totais (Ti) 
1 Y11 Y12 . . Y1j ∑ 𝑦1.
𝑗
 
2 Y21 Y22 . . Y2j ∑ 𝑦2.
𝑗
 
. . . . . . . 
. . . . . . . 
i Y1j Y2j . . yij ∑ 𝑦𝑖.
𝑗
 
 G = Σ𝑖Σ𝑗𝑦𝑖𝑗 
 
Onde: G é o total geral; Ti é o total do tratamento i; ti é o efeito do tratamento i, ou seja, 𝑡𝑖 =
 𝑇�̅� − 𝑥𝐺̅̅ ̅ , isto é, o efeito de um tratamento é a média dele menos a média geral. Lembrando: 
𝑇�̅� =
𝑇𝐼
𝐽
 𝑒 𝑥𝐺̅̅ ̅ =
𝐺
𝑁
, sendo N = I.J. Será verificado que, no estudo, ∑ti = 0. 
e) Análise de variância (ANOVA) 
A análise de variância consiste na decomposição da variação total nas partes controladas 
(tratamentos) e não controladas (resíduo). A razão entre estas variâncias tem distribuição de F 
e pode ser usada para inferência a respeito dos tratamentos. 
O quadro de ANOVA é o seguinte: 
FV GL SQ QM F 
Tratamentos I - 1 SQT QMT QMT/QMR 
Resíduo I(J – 1) SQR QMR 
Total IJ -1 SQTo 
H0=os tratamentos têm o mesmo efeito (não existem diferenças significativas entre os 
tratamentos) 
Cálculo das somas de quadrados: 
Por definição variância é a soma de quadrado dividido pelos GL: 
 𝑠𝑥
2 = 
Σ(𝑥𝑖−�̅�)
2
𝑛−1
, por desenvolvimento simples, 𝑠𝑥
2 =
 Σ𝑥𝑖
2−
(Σ𝑥𝑖)
2
𝑛
𝑛−1
 
Esta expressão vai ser usada para cálculo das somas de quadrados da ANOVA. Note que em 
todas elas haverá a correção (C). 
C = 
𝐺2
𝑁
, onde N é o total de parcelas (UE), ou seja, N = I.J 
A soma de quadrados total se refere às parcelas: 
SQTo = 𝑦11
2 + 𝑦12
2 + ⋯ + 𝑦𝑖𝑗
2 − 𝐶 
A soma de quadrados para tratamentos se refere aos totais de tratamentos: 
SQT =Σ𝑇𝑖
2
𝐽
 – C 
A soma de quadrados do resíduo é obtida por: SQR = SQTo – SQT 
Obtenção dos quadrados médios 
Os quadrados médios são as variâncias, ou seja, cada um deles é obtido pela sua soma de 
quadrado dividida pelos graus de liberdade associados. 
QMT = SQT/(I -1) e QMR = SQR/I(J – 1) 
O valor de F é obtido por: F = QMT/QMR 
Conforme dito anteriormente, o quociente entre duas variâncias apresenta distribuição de F. 
Assim, o F obtido na análise (F calculado, ou simplesmente Fc) é comparado com o F obtido em 
tabelas (Ft). A regra de decisão é a seguinte: se Fc ≥ Ft, o resultado é significativo e implica em 
rejeição da Ho; e se Fc < Ft, o resultado é não significativo e implica em não rejeição da Ho. 
Para usar a tabela, considerar o α (nível de significância); normalmente se usa 1% ou 5%. Na 
tabela, nas colunas estão os GL de tratamentos e nas linhas os GL do resíduo. 
Vários autores apresentam tabelas em vários níveis de α (10%, 5%, 2,5%, 1% e outros) e para 
interpolação, é preciso usar as recíprocas dos GL (serão resolvidos exemplos a este respeito). 
Exemplo: 
Considere um experimento de competição de cultivares de Eucalyptus sp., com 4 cultivares e 5 
repetições. Mediu-se as alturas das plantas (m), aos 60 meses de idade. A parcela foi constituída 
de 10 árvores e os dados referem-se às médias em cada parcela. 
 Repetições 
Cultivares 1 2 3 4 5 
1 20 18 17 21 22 
2 14 12 11 10 15 
3 18 22 21 20 19 
4 23 25 21 22 23 
 
Efetue a ANOVA, considerando α = 5% 
H0 = os tratamentos têm o mesmo efeito. Não existem diferenças significativas entre os 
tratamentos (cultivares) 
Ha = existe pelo menos um tratamento com efeito diferente 
A primeira providência é obter as somas de todos os tratamentos e a soma total (G). 
T1 = 98; T2 = 62; T3 = 100; T4 = 114; e, G = 374 
Correção: C = 3742/5.4 = 6993,8 
SQTo = 202 + 182 + ......+ 232 – C = 7342 - 6993,8 = 348,2 
SQT = 
982+ 622+ 1002+ 1142
5
 – C = 7288 – 6993,8 = 294,2 
SQR = 348,2 – 294,2 = 59 
Quadro de ANOVA: 
FV GL SQ QM F 
Tratamentos 3 294,2 98,07 26,69* 
Resíduo 16 59 3,6875 
Total 19 348,2 
*Significativo ao nível de 5% 
Na tabela F5% (3;16) = 3,24; Fc > Ft implica em rejeição de H0, ou seja, existe pelo menos um 
contraste entre medias significativo ao nível de 5%. 
Nota: recentemente, especialmente com o uso de programas de computadores para realização 
dos testes, passou a ser comum estimar o nível de significância ao invés de comparar os valores 
calculados e tabelados. Os aplicativos fornecem a estimativa após o valor do F. No caso, P = 
0,002. Assim, o valor de F é significativo a 0,2% (obviamente, o F é significativo a qualquer nível 
superior a este). 
Uma medida de controle experimental comumente utilizada é o coeficiente de variação 
experimental (CVe): 𝐶𝑉𝑒 = 
√𝑄𝑀𝑅
𝑥𝐺̅̅ ̅̅
𝑥100 = √
3,6875 
374
20⁄
 x 100 = 10,27%. 
Na classificação proposta por Pimentel Gomes; Garcia (2002), este valor pode ser considerado 
baixo, indicando alto controle experimental. 
Calculando, agora, os efeitos dos tratamentos: 𝑥𝑔 ̅̅̅̅ = 
374
20
= 18,7 t1 = 98/5 – 18,7 = 0,9; t2 = 62/5 
– 18,7 = -6,3; t3 = 100/5 – 18,7 = 1,3 e t4 = 114/5 – 18,7 = 4,1. 
Observa-se que a somatória dos efeitos dos tratamentos é nula (conceito de média). 
Como são 4 tratamentos, o próximo passo é verificar qual ou quais contrastes são significativos 
(que tratamentos diferem entre si). Para tanto, lança-se mão dos chamados procedimentos 
para comparações múltiplas ou testes de médias. O teste mais usado é o de Tukey. 
Teste de Tukey 
Esse teste compara todo e qualquer contraste entre duas médias. Para aplicar o teste (de uma 
forma bem simples): ∆ = 𝑞√
1
2
𝑠𝑦
2. onde Δ é o discriminante de Tukey, q é o valor tabelado para 
uso no teste; q é função de α, número de tratamentos e GLR e s2y é a variância (estimador) do 
contraste. O contraste é: y = m1 – m2; m1 e m2 são duas médias quaisquer. Demonstra-se 
facilmente que: ∆ = 𝑞√
1
2
(
1
𝑟1
+ 
1
𝑟2
)𝑄𝑀𝑅 e se r1 = r2 = 𝑟 ≫ ∆ = 𝑞√
𝑄𝑀𝑅
𝑟
, onde r é o número de 
repetições. 
Calcula-se o valor do discriminante e os valores de todos os contrastes, o contrates que tiver 
valor superior ou igual ao valor do discriminante é considerado significativo nos níveis utilizados. 
No exemplo: QMR = 3,6875, r = 5, m1 = 98/5 = 19,6; m2 = 62/5 = 12,4; m3 = 100/5 = 20 e m4 = 
114/5 = 22,8. Na tabela de Tukey (5%): nas colunas o número de tratamentos = 4 e nas linhas o 
GLR = 16. O valor de q = 4,05. 
∆ = 4,05√
3,6875
5
 = 4,478 
Coloca-se as médias ordenadas para facilitar a interpretação: 
M4 = 22,8 a m1 = 24 a 
M3 = 20,0 a m2 = 21 a b ∆ = 3,5 
M1 = 19,6 a m3 = 18 b 
M2 =12,4 b 
Médias seguidas pela mesma letra não diferem entre si, estatisticamente, pelo teste de Tukey 
ao nível de 5%. 
Notem que os tratamentos 4, 3 e1 não diferem entre si e todos eles são superiores ao 
tratamento 2. Cabe, agora, ao pesquisador decidir que tratamento usar, com base em aspectos 
econômicos e de praticabilidade. 
Uma propriedade importante do DIC reside na possibilidade de perda de parcelas. Diz-se que o 
DIC é robusto para a perda de parcelas, isto é, pode-se proceder a análise normalmente, 
tomando os devidos cuidados com os GL do resíduo. 
Será utilizado o mesmo exemplo anterior com a perda de duas parcelas. 
 Repetições 
Cultivares 1 2 3 4 5 
1 20 18 17 21 22 
2 14 12 -- 10 15 
3 18 22 21 20 -- 
4 23 25 21 22 23 
T1 = 98; T2 = 51, T3 = 81; T4 = 114 e G = 344 
C = 3442/18 = 6574,22 
SQTo = 202 + 182 + ......+ 232 – C = 6860 – 6574,22 = 285,78 
SQT = 
982
5
+ 
512
4
+ 
812
4
+ 
1142
5
 – C = 6810,5 – 6574,22 = 236,28 
SQR = 285,78 – 236,28 = 49,5 
Quadro de ANOVA 
FV GL SQ QM F 
Tratamentos 3 236,26 78,7533 23,61* 
Resíduo 14 49,5 3,5357 
Total 17 286,78 
*significativo ao nível de 5% 
Ft =F5% (3,14) = 3,34 
A H0 é a mesma e as interpretações são semelhantes. 
A estimativa do nível de significância é p = 0,0025. 
A média geral (𝑥𝐺̅̅ ̅) = 344/18 = 19,1111 
O CVe = √
3,5357
19,1111
 𝑥 100 = 9,84%. Indica alto controle experimental. 
Teste de Tukey para o DIC desbalanceado: 
QMR = 3,5337, GLR = 14, número de tratamentos = 4. Na tabela de Tukey (5%): q = 4,11. 
T1 = 98; T2 = 51, T3 = 81; T4 = 114 e G = 344 
M4 = 114/5 = 22,8 a 
M3 = 81/4 = 20,25 a 
M1 = 98/5 = 19,6 a 
M2 = 51/4 = 12,75 b 
Médias seguidas pela mesma letra não diferem entre si, estatisticamente, pelo teste de Tukey 
ao nível de 5%. 
É preciso calcular três discriminantes: (comparar médias com 5 repetições, médias com 4 
repetições e comparar médias com 4 e 5 repetições): 
1.∆1 = 𝑞√𝑄𝑀𝑅/5 = 4,11√3,5337/5 = 3,4552 
2. ∆2 = 𝑞√𝑄𝑀𝑅/4 = 4,11√3,5337/4 = 3,4552 = 3.863 
3. ∆3 = 𝑞√
1
2
(
1
5
+
1
4
)𝑄𝑀𝑅 = 4,11√
1
2
(
1
5
+
1
4
) 3,5337 = 3.6648 
A s interpretações não diferem do caso anterior. 
3.2 Delineamentos em Blocos Casualizado (DBC) 
a) Introdução 
Quando o local de experimentação não é homogêneo, procede-se a estratificação, formando os 
chamados blocos. Diz-se, então, que há uma restrição na casualização. Na estratificação, espera-
se que a variação entre blocos seja alta e a variação dentro dos blocos seja a mínima possível. 
Este delineamento, portanto, envolve os três princípios básicos. 
Por ser mais restritivo que o DIC e menos restritivo que o QL (veremos a seguir), é o 
delineamento mais utilizado na prática. 
b) Planejamento do experimento 
Supondo um experimento com 4 tratamentos (I = 4) e 5 repetições (J = 5), o que totaliza 20 UE 
(unidades experimentais). 
Formar 5 blocos (número de blocos = número de repetições) e, em cada um dos blocos, sortear 
ao acaso, os 4 tratamentos. São necessárias linhas de bordaduras em todo o experimento e, 
ainda,separando os blocos. A competição deve ser entre os tratamentos em cada um dos 
blocos. 
c) Modelo estatístico 
No DBC o modelo estatístico é o do DIC com a inclusão do efeito de blocos. 
𝑦𝑖𝑗 = 𝑚 + 𝑡𝑖 + 𝑏𝑗 + 𝑒𝑖𝑗 , em que, yij é a observação referente ao tratamento i, na repetição j; 
m é a média geral; ti é o efeito do tratamento i; bj é o efeito do bloco j e eij é o efeito aleatório 
ou resíduo. 
Entendendo o modelo: O efeito dos blocos é incluído na parte controlada pelo pesquisador, 
assim os graus de liberdade do resíduo são diminuídos em relação ao DIC. 
d) Quadro com as avaliações 
O quadro é semelhante ao do DIC, considerando que repetições são blocos. 
 Blocos 
Tratamentos 1 2 . . j Totais de 
tratamentos 
1 Y11 Y12 . . Y1j ∑ 𝑦1.
𝑗
 
2 Y21 Y22 . . Y2j ∑ 𝑦2.
𝑗
 
. . . . . . . 
. . . . . . . 
i Y1j Y2j . . yij ∑ 𝑦𝑖.
𝑗
 
 Totais de 
bloco 
∑ 𝑦.1
𝑖
 ∑ 𝑦.2
𝑖
 . . ∑ 𝑦.𝑗
𝑖
 G = Σ𝑖Σ𝑗𝑦𝑖𝑗
2 
 
Onde: G é o total geral; Ti é o total do tratamento i; ti é o efeito do tratamento i, ou seja, 𝑡𝑖 =
 𝑇�̅� − 𝑥𝐺̅̅ ̅ , isto é, o efeito de um tratamento é a média dele menos a média geral; Bj é o total do 
bloco j; bj é o efeito do bloco j, ou seja, 𝑏𝑗 = 𝐵�̅� − 𝑥𝐺̅̅ ̅ , isto é, o efeito de um bloco e a mpedia 
dele menos a média geral. 
 𝑇�̅� =
𝑇𝐼
𝐽
; 𝐵𝐽̅̅ ̅ = 
𝐵𝑗
𝐼
𝑒 𝑥𝐺̅̅ ̅ =
𝐺
𝑁
, sendo N = I.J. Será verificado que, no estudo, ∑ti = ∑bj = 0 
e) Análise de variância 
Em relação à ANOVA do DIC, incluir a fonte de variação blocos 
FV GL SQ QM F 
Tratamentos I - 1 SQT QMT QMT/QMR 
Blocos J - 1 SQB 
Resíduo (I -1)(J – 1) SQR QMR 
Total IJ -1 SQTo 
 
A soma de quadrado de blocos é obtida da seguinte forma: 
SQB = 
𝐵1
2+𝐵2
2+⋯+𝐵𝑗
2
𝐼
− 𝐶 
As outras somas de quadrados são exatamente iguais às do DIC. 
Todas as outras considerações (H0, teste de F, níveis de significância, estimativa dos níveis de 
significância, coeficiente de variação experimental) são válidas aqui também. 
Nota: normalmente, não se testa os blocos, exatamente porque eles foram utilizados devido às 
diferenças do ambiente de experimentação, mas em alguns casos específicos pode ser de 
interesse do pesquisador tal procedimento. 
Exemplo: Considerar-se-á o mesmo exemplo do DIC, mas agora as repetições serão definidas 
como blocos (controladas): 
 
 Blocos 
Cultivares 1 2 3 4 5 
1 20 18 17 21 22 
2 14 12 11 10 15 
3 18 22 21 20 19 
4 23 25 21 22 23 
 
Efetue a ANOVA, considerando α = 1% 
H0 = os tratamentos têm o mesmo efeito. 
Ha = existe pelo menos um tratamento com efeito diferente 
A primeira providência é obter as somas de todos os tratamentos, de todos os blocos e a soma 
total (G). 
T1 = 98; T2 = 62; T3 = 100; T4 = 114; B1 = 75; B2 = 77; B3 = 70; B4 = 73; B5 = 79 e G = 374 
C = 3742/20 = 6993,8 
SQTo = 348,2; SQT = 294,2 
SQB = (752 + 772 + 702 + 732 + 792) /4 – C = 7006 - 6993,8 = 12,2 
SQR = SQTo – SQT – SQB = 348,2 – 294,2 – 12,2 = 41,8 
Quadro de anova: 
FV GL SQ QM F 
Tratamentos 3 294,2 98,07 28,18* 
Blocos 4 12,2 
Resíduo 12 41,8 3,48 
Total 19 348,2 
*significativo ao nível de 1% 
O resultado é significativo, portanto, rejeita-se H0. Deve-se usar um teste de médias para 
especificação das diferenças significativas entre os tratamentos (da mesma forma que foi 
utilizado o Tukey no DIC). 
Cve = √
3,48
18,7
 x 100 = 9,98% 
Observa-se que o coeficiente de variação experimental para o DBC foi muito próximo daquele 
calculado para o DIC (10,27%), mas, na maioria das vezes, o que acontece é o DBC ser mais 
eficiente do que o DIC, pois a diminuição dos GL do resíduo é acompanhada, também, por uma 
diminuição da SQ do resíduo, resultando em coeficientes de variações menores. 
Nota: O DBC não é robusto para a perda de parcela; quando acontecer este imprevisto, deve-se 
estimar a(s) parcela(s) perdida(s) e existem critérios para tal procedimento. Pode-se, também, 
usar a teoria dos blocos incompletos. Estes temas não serão tratados aqui, pois a ideia é fornecer 
as bases do DBC. 
 
3.3. Delineamentos em quadrados latinos (QL) 
 
Os quadrados latinos formam blocos nas linhas e também nas colunas; é chamado delineamento 
com duas restrições na casualização. Desta forma, o número de tratamentos tem que ser igual 
ao número de repetições, daí o nome do delineamento. 
As fontes de variações são: tratamentos, linhas e colunas, todas essas com o mesmo número de 
GL, além dos resíduos. Desta forma: GL total = I2 – 1; GL tratamentos = GL linhas = GL colunas = 
I - 1, onde I é o número de tratamentos. O GLR = GL total - GL linhas - GL colunas. 
GLR = = I2 – 1 – (I -1) – (I -1) – (I-1) = = I2 – 1 – 3I + 3 = = I2 – 3I + 2 = (I -1)(I -2): GLR = (I -1)(I - 2) 
Este resultado implica em algumas limitações do QL: No mínimo 5 tratamentos ≫ GLR = 12 e 
no máximo 8 tratamentos ≫ 64 𝑈𝐸. 
Esta limitação superior poderia ser contornada se houver disponibilidade de recursos 
financeiros e operacionais, pois com o uso de aplicativos computacionais para análise dos dados 
facilita todo o trabalho de escritório. 
Os quadrados latinos não têm muita aplicação em Ciências Florestais, como um todo e 
Melhoramento Florestal, particularmente, assim não serão apresentados mais comentários a 
este respeito. Para interesses específicos ver Pimentel Gomes (2009). 
 
3.4 Experimento fatoriais 
a) Introdução 
Os delineamentos vistos até aqui são com apenas um fator a ser testado (tratamentos). 
Experimentos fatoriais são aqueles que incluem mais de um fator; não são delineamentos 
propriamente ditos e, sim, arranjos experimentais, com base nos três delineamentos 
fundamentais (DIC, DBC e QL). 
São muito úteis por permitir analisar mais de um fator simultaneamente, inclusive a interação 
entre os fatores e, portanto, fornecer mais respostas. Têm a limitação de aumentar muito o 
número de tratamentos com a inclusão de um novo fator. 
b) Planejamento do experimento 
Serão considerados apenas os experimentos com dois fatores. Experimentos mais complexos 
podem ser consultados em livros de estatística experimental (PIMENTEL GOMES, 2009). 
Supondo um experimento envolvendo 4 variedades (fator 1) e 3 espaçamentos (fator 2). Os 
tratamentos serão as combinações desses dois fatores, ou seja, serão 4 x 3 = 12 tratamentos. 
Considerando que serão adotadas 3 repetições, o número de unidades experimentais (UE) será 
igual a 36 (12 x 3). 
As 36 UE serão arranjadas segundo um dos delineamentos fundamentais. Por exemplo, se for 
em DIC, todas as 36 serão sorteadas aleatoriamente no local de experimentação. No caso de 
usar o DBC, serão formados 3 blocos e dentro de cada um deles serão sorteados os 12 
tratamentos. 
Em qualquer caso, deve-se plantar as linhas de bordadura conforme já explicado. 
c) Modelo estatístico (2 fatores) 
𝑦𝑖𝑗𝑘 = 𝑚 + 𝑎𝑖 + 𝑏𝑗 + 𝑎𝑥𝑏𝑖𝑗 + 𝑒𝑖𝑗𝑘. No modelo: yijk é a observação (medida) referente à 
repetição k do nível i do fator A no nível j do fator B; m é a constante inerente aos dados (na 
prática, é a média geral); ai é o efeito do fator A; bj é o efeito do fator B; abij é o efeito da 
interação A x B; e, eijk é o efeito do erro aleatório ou resíduo. 
Note que os fatores são representados por letras maiúsculas e os efeitos dos fatores por letras 
minúsculas. 
d) Quadro de observações ou medidas 
 
 
 Fator B 
Fator A 1 2 . . j Totais de A 
1 y111 
 y112 
. 
y11k 
y121 
y122 
. 
y12k 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
y1j1 
y1j2 
. 
y1jk 
TA1 
2 y211 
y212 
. 
Y21k 
y221 
y222 
. 
Y22k 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
y2j1 
y2j2 
. 
y2jk 
TA2 
. 
, 
. 
 
 
 
 
 . 
i yi11 
yi12 
. 
yi1k 
yi21 
yi22 
. 
yi2k 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
yij1 
yij2 
. 
yijlk 
TAi 
 
 
 
Totais de B TB1 TB2 TBj G 
 Nota: os níveis do fator A estão nas linhas, os do fator B estão nas colunas e dentro das “caselas” 
estão as k repetições. 
d) Análise de variância:O quadro de ANOVA, considerando o delineamento básico um DIC, com 
r repetições, é o seguinte: 
FV GL SQ QM F 
Fator A a- 1 SQA QMA QMA/QMR 
Fator B b - 1 SQB QMB QMB/QMR 
A x B (a -1)(b -1) SQAB QMAB QMAB/QMR 
Resíduo ab(r – 1) SQR QMR 
Total abr - 1 SQTo 
 
Considerando o delineamento básico um DBC, com r repetições (ou blocos), o quadro é o 
seguinte: 
FV GL SQ QM F 
Fator A a- 1 SQA QMA QMA/QMR 
Fator B b - 1 SQB QMB QMB/QMR 
A x B (a -1)(b -1) SQAB QMAB QMAB/QMR 
Blocos r- 1 
Resíduo (ab – 1)(r – 1) SQR QMR 
Total abr - 1 SQTo 
 
Nota: Todas as fórmulas para os GLR foram obtidas pela diferença entre o total e as outras (fator 
A, fator B e interação); portanto, não é necessário memorizá-las. 
Cálculo das somas de quadrados 
C = G2/abr 
A SQTo é calculada da mesma forma em qualquer delineamento: 
SQTo = 𝑦111
2 + 𝑦112
2 + ⋯+ 𝑦𝑖𝑗𝑟
2 − 𝐶 
SQA = 
𝑇𝐴1
2 + 𝑇𝐴2
2 +⋯.+𝑇𝐴𝑖
2
𝑏 𝑥 𝑟
− 𝐶 
SQB = 
𝑇𝐵1
2 + 𝑇𝐵2
2 +⋯+𝑇𝐵𝑗
2
𝑎 𝑥 𝑟
− 𝐶 
Note que cada total é dividido pelo número de observações que o originou. 
Para cálculo da SQ da interação A x B, inicialmente considerar a SQ dos valores de A e B 
combinados (referentes aos totais de cada uma das combinações): 
SQ (A, B) = 
𝑇𝐴1𝐵1
2 + 𝑇𝐴1𝐵2
2 …..+𝑇𝐴𝑖𝐵𝑗
2
𝑟
− 𝐶. Novamente, cada total é dividido pelo número de 
observações que o originou. 
Nesta última SQ estão a SQAxB, a SQA e a SQB. Assim: 
SQAxB = SQ(A,B) – SQA – SQB 
SQR = SQTo – SQA – SQB – SQAxB 
Os quadrados médios são calculados da mesma forma em qualquer experimento, ou seja, é 
sempre a SQ dividida pelo respectivo grau de liberdade. 
Em relação ao teste de F, neste caso são possíveis três comparações, ou seja, três hipóteses de 
nulidade: 
1. Hipótese relativa aos níveis do Fator A: 
H01: a1 = a2 =...=ai = 0 (todos os níveis do fator A têm o mesmo efeito) 
2. Hipótese relativa aos níveis do fator B; 
H02: b1 = b2 = ... =bj = 0 (todos os níveis do fator A têm o mesmo efeito) 
3. Hipótese relativa à interação: 
H03: axb = 0 (não existe efeito da interação) 
No fatorial deve-se, sempre, observar a hipótese relativa à interação em primeiro lugar. A 
explicação dessa necessidade é a seguinte: 
Interação é a influência de um fator sobre o efeito do outro fator. Por exemplo, no caso de 
variedades (fator 1) e espaçamentos (fator2), sendo a interação significativa, quer dizer que a 
melhor variedade em um espaçamento não é a melhor em outro espaçamento; e o melhor 
espaçamento para uma variedade não é o mesmo para outra variedade. 
Torna-se necessário mudar a ANOVA, realizando as análises de um fator dentro dos níveis do 
outro. Este procedimento é denominado de decomposição hierárquica ou aninhada. 
Conclui-se que se a interação for significativa, as hipóteses para os efeitos principais (fator A e 
fator B), naquele momento, não são válidas. Obviamente, se a interação for não significativa, 
analisa-se, normalmente, as hipóteses quanto aos efeitos principais. 
Alguns autores apresentam esta análise de uma forma ligeiramente diferente, como se segue: 
FV GL SQ QM F 
Fator A a- 1 SQA QMA QMA/QMR 
Fator B b - 1 SQB QMB QMB/1MR 
A x B (a -1)(b -1) SQAB QMAB QMAB/QMR 
(tratamentos) (ab – 1) (SQT) 
Resíduo (ab – 1)(r – 1) SQR QMR 
Total abr - 1 SQTo 
A FV tratamento está entre parênteses, significando que se trata da soma das anteriores. Não 
se apresenta QM para esta FV, pois é apenas um artifício para calcular a SQ da interação. Neste 
procedimento, constrói-se um quadro auxiliar com tratamento e repetições, onde os 
tratamentos são as combinações dos fatores e a SQAxB = SQ tratamentos – SQA – SQB. 
Para cálculos manuais, este método é considerado por aqueles autores mais prático. 
Será considerado um primeiro exemplo; espera-se que com os exemplos qualquer outra 
circunstância fique esclarecida. 
Exemplo 1: Fatorial 4 x 5 x 3 em DIC 
 Fator B 
Fator A 1 2 3 4 5 Totais A 
1 12; 14. 10 8; 10; 12 14; 16; 18 10; 11; 12 11; 12; 13 183 
2 10; 11; 13 9; 11; 13 12; 14; 15 11; 9; 9 10; 11; 12 170 
3 8; 6; 4 6; 8; 10 10; 11; 13 6; 7; 9 5; 6; 8 117 
4 16; 18; 15 14; 16; 17 18; 19; 21 12; 14; 15 13; 14; 15 237 
Totais B 137 134 181 125 130 G = 707 
 
No exemplo: a= 4; b = 5 e r = 3 ≫ 𝐶 = 
𝐺2
𝑎𝑥𝑏𝑥𝑟
= 
77072
60
= 8330,8167 
SQTo = 122 + 142 + ⋯+ 152 − 𝐶= 9121 – 8330,8167 = 790,1833 
SQA = 
1832+ 1702+ 1172+ 2372
5 𝑥 3
− 𝐶 = 8816,467 – 8330,8167 = 485,6503 
SQB = 
1372+1342+1812+1252+ 1302
4 𝑥 3
 – C = 8500.92 – 8330,8167 = 170,1083 
Para cálculo da SQ interação: 
Combinação A x B Total 
A1B1 36 
A1B2 30 
A1B3 48 
A1B4 33 
A1B5 36 
A2B1 34 
A2B2 33 
A2B3 41 
A2B4 29 
A2B5 33 
A3B1 18 
A3B2 24 
A3B3 34 
A3B4 22 
A3B5 19 
A4B1 49 
A4B2 47 
A4B3 58 
A4B4 41 
A4B5 42 
 
SQ(A,B) = 
332+362+ ..+422
𝑟
 – C = 9020,333 - 8330,8167 = 689,5163 
Observe, mais uma vez, que cada soma de quadrado é dividida pelo número que a originou. No 
caso, r = 3. 
SQAxB = SQ(A,B) – SQA – SQB = 689,5163 - 485,6503 - 170,1083 = 33,7577 
SQR = SQTo - SQA – SQB – SQAxB = 790,1833 - 485,6503 – 170,1083 – 33,7577 = 100.667, ou 
SQR = SQTo – SQ(A,B) = 100.667 
Quadro de ANOVA: 
FV GL SQ QM F P 
Fator A 3 485,6503 161,8834 64,3237 2,33 x 10-5 
Fator B 4 170,1083 42,5271 16,8980 3,45 x10-8 
A x B 12 33,7577 2,7965 1,1112ns 0,3782 
Resíduo 40 100,667 2,5167 
Total 59 790,1833 
 
 
ns = não significativo 
CV = √
1,1112
707 60⁄
 x 100 = 8.946% (alto controle experimental) 
F5% (12, 40) = 2 
H03 = não existe interação. 
Verifica-se que a probabilidade (erro tipo 1) é 37,82%, considerada muito alta; assim, não se 
rejeita a hipótese. 
Como a interação não existe, pode-se considerar as hipóteses sobre os efeitos principais. 
H01: não existe diferenças entre os níveis de A. 
A probabilidade é praticamente igual a 0; assim, rejeita-se a hipótese de nulidade e assume-se 
que há diferenças significativas entre os níveis de A. 
H02: não existe diferenças significativas entre os níveis de B. 
A probabilidade é praticamente igual a 0; assim rejeita-se a hipótese de nulidade e assume-se 
que há diferenças significativas entre os níveis de B. 
Pode-se, então, efetuar um teste de médias (Tukey, por exemplo) para os níveis de A, valendo 
para todos os níveis de B e vice-versa. Não esquecer que na expressão de qualquer teste o 
número de repetições é 15 para A e 12 para B. 
Exemplo 2: Fatorial 4 x 5 x 3 em DIC 
 Fator B 
Fator A 1 2 3 4 5 Totais A 
1 20; 18; 16 13; 14; 21 16; 15; 12 11; 17; 14 13; 10; 12 
2 21; 23; 20 19; 16; 21 18; 17; 14 15; 17; 16 13; 16; 21 
3 20; 18; 18 12; 11; 15 14; 18; 18 15; 13; 13 24; 23; 21 
4 22; 19; 12 15; 17; 21 22; 20; 16 19; 15; 17 18; 20; 21 
Totais B 
 
Os resultados da ANOVA são os seguintes: 
FV GL SQ QM F P 
Fator A 3 106,26667 35,4222 5,2477 
Fator B 4 97,56667 24,3917 3,6136 
A x B 12 239,9 19.9917 3,9618* 0,0049 
Resíduo 40 270,0 6,75 
Total 59 713,73333 
*significativo ao nível de 5% 
CVe = 15,343% (alto controle experimental) 
H03: não existe interação, 
A probabilidade (erro tipo 1) é aproximadamente 0,49%; muito baixa. Deve-se rejeitar a 
hipótese. 
Como a interação é significativa, o efeito de um fator depende dos níveis do outro. Os valores 
de F para os efeitos principais não têm sentido; deve-se proceder os desdobramentos, com 
classificação aninhada ou hierárquica. 
a) Estudo dos níveis de A dentro dos níveis de B 
O quadro de ANOVA fica assim: 
FV GL SQ QM F P 
Fator B 4 97,56667 
Fator A/B 
 A/B1 
 A/B2 
 A/B3 
 A/B4 
 A/B5 
15 
3 
3 
3 
3 
3 
 
24,9167 
62,25 
38 
23 
198 
 
8,3056 
20,75 
12,667 
7,6667 
66 
 
1,2305 
5,0741 
1,8765 
1,1358 
9,7778 
 
0.31125 
0,00045 
0,1491 
0,3462 
6,75 x 10-5 
Resíduo 40 270 6,75 
Total 59 713,7374 
 
 
A/B significa A “dentro” de B ou A aninhado em B.Em cada um dos níveis de B existem 3 GL para 
A (são 4 níveis de A). 
 
Calculando a SQ de A/B1 
 A B1 Totais 
1 20; 18; 16 54 
2 21; 23; 20 64 
3 20; 18; 18 56 
4 22; 19; 12 53 
 227 
 
SQA/B1 = (542 + 642 + 562 + 532)/3 - 2272/12 = 24,9167 
Notem que (mais uma vez) a soma de quadrados é dividia pelo número de observações que 
originou os dados. Neste caso a correção veio de 12 observações. 
Calculando a SQ de A/B2 
Fator A B2 Totais 
1 13; 14; 21 48 
2 19; 16; 21 56 
3 12; 11; 15 38 
4 15; 17; 21 53 
 195 
 
SQA/B2 = (482 + 562 + 392 + 532)/3 – 1952/12 = 3256,6667 - = 87,9167 
Da mesma forma: SQA/B3 = 38; SQA/B4 = 17,6667 e SQA/B5 = 108 
Nota: pode-se comprovar os cálculos das SQ, somando todas elas e obtendo o total, quando 
feitos manualmente. 
 
Interpretação dos valores de F e probabilidades (erro tipo 1): 
 
Observa-se que para B1, B3 e B4 não há diferenças significativas entre os níveis de A. Para B2 e 
B5 há diferenças significativas entre os níveis de A, devendo-se, então, usar um teste de médias 
(Tukey, por exemplo) para comparar os níveis de A nestes dois níveis de B. 
Exercício: Proceder o estudo de B dentro dos níveis de A; para facilitar, apresenta-se o quadro 
com as informações já conhecidas: 
 
FV GL SQ QM F 
Fator A 3 106,26667 
Fator B/A 
 B/A1 
 B/A2 
 B/A3 
 B/A4 
16 
4 
4 
4 
4 
 
Resíduo 40 270 6,75 
Total 59 713,7374 
 
Use a tabela de F de 5%. O valor do F tabelado é: F5%, 4, 40 = 2,808 
3.5 Experimentos em parcelas subdivididas 
Os experimentos em parcelas subdivididas são uma forma de alocar o fatorial. São feitas duas 
casualizações: a primeira é com o chamado fator da parcela, o qual é arranjado segundo um dos 
delineamentos fundamentais; a segunda é com o chamado fator da subparcela, o qual tem seus 
níveis casualizados nos níveis do fator da parcela. 
Neste tipo de delineamento, são gerados dois resíduos, a saber, um ao nível de parcela e outro 
ao nível de subparcela. Este delineamento é utilizado quando se tem um interesse maior por um 
dos fatores (disponibilidade de sementes, necessidade de maior precisão), uma vez que o fator 
da subparcela é testado com maior precisão. 
Para mais informações sobre este delineamento, consulte livros de estatística experimental, por 
exemplo, Pimentel Gomes (2009). 
3.6 Delineamentos em látices 
São também denominados de reticulados quadrados. São particularidades do delineamento em 
blocos incompletos, propostos para experimentos com uma grande quantidade de tratamentos, 
como é comum na área de melhoramento genético. 
A justificativa reside no fato de existir muita dificuldade, no caso de grande número de 
tratamentos, para conseguir a homogeneidade dentro dos blocos. 
Para estabelecimento do látice é necessário que o número de tratamentos seja um quadrado 
perfeito (25 ou mais). Diz-se, então, que é um delineamento com k2 tratamentos. São possíveis 
k + 1 repetições ortogonais e se forem adotadas todas as repetições, torna-se um delineamento 
chamado de BIB (blocos incompletos balanceados). 
O látice é classificado de acordo com o número de repetições (ortogonais) adotado e os mais 
utilizados são: 
 -Látice simples: somente as duas primeiras repetições; 
- Látice triplo: somente as três primeiras repetições; 
- Látice simples duplicado: totalizando quatro repetições; 
- Látice triplo duplicado: totalizando seis repetições. 
Cada repetição contem k blocos e cada bloco contem k tratamentos; diz, então, que os blocos 
são aninhados dentro das repetições. Observa-se, ainda, que o bloco não contém todos os 
tratamentos (característica fundamental dos blocos incompletos). Nestas condições, cada par 
de tratamentos ocorre apenas uma vez no mesmo bloco. 
O objetivo destas notas de aulas, quanto aos delineamentos em látice, é proporcionar algumas 
informações que possam auxiliar o estudante da disciplina de Genética e Melhoramento 
Florestal, da Universidade de Brasília, no planejamento de experimentos. Mais informações 
sobre este experimento, inclusive com os planos básicos dos experimentos, podem ser 
encontradas em Cochran; Cox (1981). 
Todos os procedimentos de análise aqui especificados podem ser processados usando o 
programa GENES (CRUZ, 2006; CRUZ, 2013). 
 
4. Um pouco de regressão linear 
a- Introdução 
O objetivo principal da análise de regressão é a obtenção de uma equação que explique o 
comportamento de uma variável Y, chamada variável dependente, em função de uma ou mais 
variáveis X´s, chamada variável(is) explicativa(s) e fazer inferências sobreo o ajuste. 
Regressão linear é quando o ajuste é feito através de uma reta e quando existe apenas uma 
variável explicativa a regressão é dita linear simples (RLS) e para mais de uma variável explicativa 
a regressão é dita linear múltipla (RLM); 
b- O modelo linear geral 
.𝑦𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥1𝑖 + 𝛽2𝑥2𝑖 + ⋯+ 𝛽𝑝𝑥𝑝𝑖 + 𝜖𝑖 , em que p é o número de variáveis explicativas. 
𝛽𝑖 são os parâmetros da equação e 𝜖𝑖 é o erro associado. 
Considerando que serão obtidos n valores das variáveis, têm-se n equações: 
. 𝑦1 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥1𝑖 + 𝛽2𝑥2𝑖 + ⋯+ 𝛽𝑝𝑥𝑝𝑖 + 𝜖1 
. 𝑦2 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥1𝑖 + 𝛽2𝑥2𝑖 + ⋯ + 𝛽𝑝𝑥𝑝𝑖 + 𝜖2 
 .. .. .. .. ... .. 
.𝑦𝑛 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥1𝑖 + 𝛽2𝑥2𝑖 + ⋯+ 𝛽𝑝𝑥𝑝𝑖 + 𝜖𝑛 
Escrevendo na forma matricial: y = X𝛽 + 𝜖 (se desenvolver este modelo serão reproduzidas as 
n equações. 
Onde y é um vetor n x n de observações; X é uma matriz n x p +1, chamada de matriz de 
incidência; β é um vetor p + 1 x 1 de parâmetros a estimar e 𝝐 é um vetor n x 1 de erros 
associados. 
O modelo estimado é: �̂�𝑖 = �̂�0 + �̂�1𝑥𝑖1 + �̂�2𝑥2𝑖 + … �̂�𝑝𝑥2𝑖 
Para facilitar a notação e o entendimento, será considerado um exemplo de aplicação, onde a 
construção das matrizes e vetores em questão ficará muito clara. 
y x1 x2 
10 4 10 
12 5 9 
14 7 8 
15 8 7 
17 9 6 
21 10 4 
22 11 2 
24 13 1 
 
No exemplo: n = 8. p = 2 
a) O modelo teórico: 𝑦𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥1𝑖 + 𝛽2𝑥2𝑖 + 𝜖𝑖 
 
b) O modelo estimado: �̂�𝑖 = �̂�0 + �̂�1𝑥𝑖1 + �̂�2𝑥2𝑖 
 
c) O vetor y = 
⌊
 
 
 
 
 
 
 
10
12
14
15
17
21
22
24⌋
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) A matriz X= 
⌊
 
 
 
 
 
 
 
1 4 10
1 5 9
1 7 8
1 8 7
1 9 6
1 10 4
1 11 3
1 13 1⌋
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) O vetor 𝛽 = ⌊
�̂�0
�̂�1
�̂�2
⌋ 
 
Na construção da matriz X, a primeira coluna é um vetor de 1´s porque o 𝛽0 é comum a todas 
as equações. 
f) Obtendo a equação de regressão: para calcular os β´s e, consequentemente, obter a 
equação de regressão, deve-se resolver o chamado sistema de equações normais (SEN): 𝑋`𝑋�̂� =
𝑋`𝑌 
Observando o SEN: �̂� = (X`X) -1X`Y 
X`X pode ser rapidamente obtida por: 𝑋`𝑋 = ⌊
𝑛 ∑𝑥1 ∑𝑥2
∑𝑥1 ∑𝑥1
2 ∑𝑥1𝑥2
∑𝑥2 ∑𝑥1𝑥2 ∑ 𝑥2
2
⌋ = ⌊
8 67 47
625 326
𝑆𝑖𝑚. 351
⌋ 
X`Y também pode ser obtida rapidamente: 𝑋`𝑌 = ⌊
∑𝑦
∑𝑥1𝑦
∑𝑥2𝑦
⌋ = ⌊
135
1235
679
⌋ 
�̂� = ⌊
�̂�0
�̂�1
�̂�2
⌋ = (X`X) -1X`Y = ⌊
19,4708
0,4648
−1,1044
⌋ 
Assim a equação é: y = 19.4708 + 0,4648x1 – 1.1044x2 
Para verificar se o ajuste está correto, obtenha todos os oitos valores de �̂� (estimado pela 
equação) e note que Σ𝑌 = Σ�̂� = 135 
Para a verificação da qualidade do ajuste: 
1 Efetuar a ANOVA da regressão: 
FV GL SQ QM F 
Repressão p = 2 SQReg QMReg QMReg/QMR 
Desvios da regressão 5 SQR QMR 
Total n – 1 = 7 SQTo 
 
C = G2/n = 1352/8 = 2278,125 
A SQTo = 102 + 122 + 142 + 152 + 172 + 212 + 222 + 242 – C = 2455 – 2278,125 = 176,875 
A SQReg = 𝐵`̂𝑋´𝑌 − 𝐶 = ⌊19,4708 0,4648 −1.1044⌋. ⌊
135
1235
679
⌋ – 2278,125 = 174,5734 
SQDesvios ou SQR = 176m875 – 174,5734 = 2.3016 
FV GL SQ QM F P 
Repressão 2 174,5734 87.2867 132,19** 4,79 x 10-5 
Desvios da regressão 5 3,3016 0,66032 
Total 7 176,875 
**significativo ao nível de 1% 
H0: 𝛽1 = 𝛽2 = 0 (nãoexiste regressão) 
A hipótese deve ser rejeitada, logo existe a regressão. Como são dois parâmetros de regressão, 
deve-se usar o teste de t para verificar para quem a regressão é significativa. 
A hipótese de nulidade é: H0: 𝛽𝑖 = 0 
A estatística t é obtida por: 𝑡 = 
�̂�𝑖
𝑠(�̂�𝑖 )
, onde 𝑠(�̂�𝑖) é o desvio padrão associado ao parâmetro. 
Para cálculo do desvio padrão usar a definição de variâncias e covariâncias dos parâmetros: 
𝑠2 = (𝑋`𝑋)−1𝑄𝑀𝑅 = 
No exemplo s2 = ⌊
67,48 −4,495 −4,89
0,3574 0,3298
0,3049
⌋. 0.66032 
 
Assim: 𝑠(�̂�𝑖) = √0,3574.0,66032 = 0,4858 e 𝑠(�̂�2) = √0,3049.0,6632 = 0.4497 
Aplicação do teste de t: 
Parâmetro valor Desvio padrão t (módulo) 
𝛽1 0.4648 0,4073 1,4112
ns 
𝛽2 -1.1044 0,3762 2,7357* 
 
*significativo ao nível de 5%, ns= não significativo. O valor de t tabelado é 2,57. 
A regressão é significativa apenas para a variável x2. Não se velicou efeito significativo para 
parâmetro associado ao x1. 
Outra medida muito usada é o coeficiente de determinação (R2): R2 = SQReg/SQTo. No 
exemplo: R2 = 174.5437/176,875 = 0.9868 ou 98,68%. Quer dizer que 98,68% da variação 
total dos dados foi “captada” pela regressão. 
Regressão linear simples 
No exemplo anterior considerar apenas y em função de x2. 
y x2 
10 10 
12 9 
14 8 
15 7 
17 6 
21 4 
22 2 
24 1 
 
A aplicação da técnica fica simplificada. O vetor y é o mesmo, a matriz X´X = ⌊
𝑛 ∑𝑥
∑𝑥 ∑𝑥2
⌋, o 
≫ (𝑋`𝑋)−1 = 
1
𝑛.∑𝑥2−(∑𝑥)2
 ⌊
∑ 𝑥2 −∑𝑥
−∑𝑥 𝑛
⌋, X`y= ⌊
∑𝑦
∑𝑥𝑦
⌋ = 
 
vetor �̂� = ⌊
�̂�0
�̂�1
⌋. 
 
X`X = ⌊
8 47
47 679
⌋ ≫ (𝑋`𝑋)−1 = 
1
8.625−(−67)2
 ⌊
351 −47
−47 8
⌋ = 
 X`y= ⌊
135
1235
⌋ 
 
 �̂� = (X`X) -1X`Y =
1
599
 ⌊
351 −47
−47 8
⌋. ⌊
135
679
⌋ =⌊
25,8297
−1,5242
⌋ 
 
A equação é: y = 25,8297 – 1,5242x2 
ANOVA da regressão: 
C = 2278,125 
 SQto = 176,875 
SQReg = ⌊25,8297 1,5242⌋. ⌊
135
679
⌋ – 2278,125 = 173,8527 
Coeficiente de determinação (r2): r2 = 173,8527/176,875 = 0,9829 = 98,29% 
Não considerando x1 o modelo apresenta r2 praticamente igual a quando se considera x1. 
Quadro de ANOVA 
FV GL SQ QM F P 
Repressão 1 173,8527 173,8527 345,15** 0.00 
Desvios da regressão 6 3,0223 0,5037 
Total 7 176,875 
**significativo ao nível de 1% 
H0: 𝛽1 = 0 (não existe regressão). Rejeita-se ho; A regressão é significativa. Pode-se estudar y 
através de x2. 
 
Gráfico da regressão 
 
Observações: 
1 No caso de regressão simples, como é só um parâmetro, não há necessidade de usar o teste 
de t. Mas, se calcular o t, observa-se que t2 = F. 
2 Ainda, no caso de RLS. por convenção, o coeficiente de determinação é representado por letra 
minúscula (r2) 
3 Todos estes procedimentos podem ser feitos usando um aplicativo computacional para auxílio. 
Recomenda=se o GENES (CRUZ, 2006; CRUZ, 2013). 
Na RLS os parâmetros podem ser calculados de forma ainda mais simples: 
.�̂�1= 
�̂�𝑋𝑌
�̂�𝑋
2 e �̂�0 = �̅� − �̂�1�̅� 
.�̂�
𝑥𝑦
=
∑𝑥𝑦− 
∑𝑥∑𝑦
𝑛
𝑛−1
 e �̂�𝑥
2 = 
∑𝑥2− 
(∑𝑥)2
𝑛
𝑛−1
 (pede-se aos estudantes que comparem estas duas 
expressões. Como conclusão: a variância é um caso particular da covariância). 
 
 
y x2 x22 xy y2 
10 10 100 100 100 
12 9 81 108 144 
14 8 64 112 196 
15 7 49 105 225 
17 6 36 102 289 
21 4 16 84 441 
22 2 4 44 484 
24 1 1 24 546 
Σ = 135 47 351 679 2455 
 
Variância: s2 = 
351− 
47.47
8
7
 = 10,6964; Covariância: sxy = 
679− 
135,47
8
7
 = -16,3036 
Parâmetro linear: �̂�1 = 
−16,3036
10,6964
 = - 1,5242 
Constante ou intercepto: �̂�0 = 
135
8
− (−1,5242.
47
8
) = 26,8297. 
Cálculo da correlação: 
.𝑠𝑦
2 = 
2455− 
1352
8
7
= 25.2679 
. 𝑟𝑥𝑦 = 
−16,3036
√10,6964.25,2679
= -0,9917 ≫ 𝑟2 = 0.9835 
SQReg = r2 . SQTo =0.9835.176,875 = 174,9509. Pode-se, então, montar o quadro de ANOVA. 
 
Bibliografia Citada (Revisão de Estatística Experimental) 
COCHRAN, W.; COX, G.M. – Diseños experimentales. 7.ed. México, Editorial Trillas, 1981. 661p. 
CRUZ, C. D. Programa GENES – Estatística experimental e matrizes. Viçosa, Editora UFV 
(Universidade Federal de Viçosa), 2006, 285 p. 
CRUZ, C, D. GENES: software para análise de dados em estatística experimental e em genética 
quantitativa. Acta Sci., Agron. [online]. 2013, vol.35, n.3, pp.271-276. 
PIMENTEL GOMES, F.; GARCIA. C; H. Estatística aplicada a experimentos agrícolas e florestais. 
Piracicaba, FEALQ, 2002, 309 p. 
PIMENTEL GOMES, F. Curso de estatística experimental. 15ª edição. Piracicaba, FEALQ, 2009, 
451 p.