Apostila Algumas aplicações de derivadas,

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Disciplina de Cálculo I 
 APOSTILA TEÓRICA 
 
Algumas Aplicações de Derivadas 
 
[Custo Marginal] – Considere Ct a função custo total para produzir x unidades de um produto. Chama-se custo marginal 
a derivada de Ct em relação a x ( indica-se o custo marginal por Cmg ). Assim 
(x)C(x)C tmg 
 
 
O custo marginal e aproximadamente a variação de custo decorrente da produção de uma unidade adicional a partir de x 
unidades, ou seja, 
(x)C1)(xC(x)C ttmg 
 
 
[Receita Marginal] – Considere R a função receita total na venda de x unidades de um produto. Chama-se receita 
marginal a derivada de R em relação a x (indica-se receita marginal por Rmg). Assim 
(x)R(x)Rmg 
 
 
A receita marginal e aproximadamente a variação da receita decorrente da venda de uma unidade adicional, a partir de x 
unidades, ou seja, 
R(x)1)R(x(x)Rmg 
 
Exercícios sobre Custo e Receita Marginal 
 
1 – Dada a função custo total 
3 2( ) (0,3) (2,5) 20 200tC x x x x   
 , obtenha: 
a) o custo marginal Cmg ; b) Cmg(5) e interprete o resultado. 
2 – Repita o exercício 1 para as seguintes funções custo total :a) 
30254)(  xxCt
 ; b) 1
20( ) 100.
x
tC x e
 
 
3 – Dada a função receita total 
xxxR 5004)( 2 
, obtenha : 
a) a receita marginal Rmg ; b) Rmg(10) e interprete o resultado. 
 
4 – Considere a função de demanda 
xp 220
 , obtenha a receita marginal para x=7 unidades. 
 
5 – Repita o problema anterior com a seguinte função de demanda 
10
3
500



x
p
. 
 
[ Propensão marginal a consumir e a poupar ] 
 
Chamando y a renda disponível e C, o consumo, temos que C e função de y e a função C(y) e chamada de 
função consumo. Denomina-se propensão marginal a consumir ( e indica-se por 
C
mgp
 ) a derivada de C em relação a 
y . Isto é 
)()( yCypCmg 
 
 
Analogamente, temos que a poupança S é também função de y, e que a função S(y) é chamada função poupança. 
Denomina-se propensão marginal a poupar ( e indica-se por 
S
mgp
 ) a derivada de S em relação a y . Ou seja, 
)()( ySypSmg 
 
 
[Elasticidade] – Dada uma função y=f(x) definida num intervalo [a,b]. Se y é derivável no ponto x, a expressão 
( )
x
E f xx
y
 
 ou 
y
x
yEx .
 
mede a elasticidade de y em relação a x no ponto (x,y). Pelo fato de ser um valor marginal, Ex mede a tendência da 
resposta de y a variações de x. 
 
Se 
1xE
, diz-se que a elasticidade de y em relação a x é unitária. 
Se 
1xE
, diz-se que a curva examinada e elástica em relação ao fator x. 
Se 
1xE
, diz-se que a curva é inelástica em relação ao fator x. 
 
Dizer que a curva é elástica em relação ao fator x significa dizer que, a um aumento percentual no fator x, corresponde 
uma variação percentual maior (positiva ou negativa) em y. 
 
De modo análogo, dizer que a curva examinada é inelástica em relação a x significa dizer que, a um aumento percentual 
no fator x, corresponde uma variação percentual menor (positiva ou negativa) em y. 
 
Exercícios sobre elasticidade 
 
1 – A função 
24 (0,2) 5y x x  
 mede a produção em toneladas de um cereal por equitare, em função da 
quantidade de um fertilizante usado no plantio. 
Calcular e interpretar o valor da elasticidade da produção em relação ao uso do fertilizante, ao nível atual de 0,25 t/ha . 
 
2 – A função 
pq 20010000
 mede a procura de um bem. Calcular e interpretar o valor da elasticidade da procura ao 
nível de preço p=4,00. 
 
3 – Determine a elasticidade de cada função no ponto dado: 
a) 
xey 2.2 
 em x=1,40 ; b) 
4,0
8
p
q 
 em p=10 ; c) 
xC  25
 em x=9. 
 
Exercícios aplicativos 
 
1 – [Derivadas] – Obtenha a derivada de cada função dada: 
a) CT = 34Q
2
 + 875Q + 35 b) CT = 0,08Q
3
 + 875,45Q
2
 + 43Q + 200 
 
c) L = - 0,08Q
2
 + 345Q d) P = 430Q
3
 + 0,7Q
2
 + 200 e) T = -33S
5
 – 456S
3
 – 22 
 
2 – Obtenha o ponto de máximo (ou de mínimo) de cada função: 
a) CT = 34Q
2
 + 875Q + 35 b) CT = - 875,45Q
2
 + 43Q + 200 c) L = - 0,08Q
2
 + 345Q 
 
d) P = 0,7Q
2
 + 200 e) T = -33S
2
 – 456S – 22 
 
 
3 – Um fabricante produz objetos a R$ 20,00 cada. Estima-se que, se cada objeto for vendido por x reais os 
consumidores comprarão mensalmente (120 – x) objetos. Determine o preço com o qual o fabricante obterá maior lucro. 
 Resp: x = 70 
 
4 – A demanda de certo produto é D(p) = 160 - 2p, onde p é o preço de venda do produto. Qual o preço que torna 
maior a receita do consumidor, isto é, seu ganho? 
 Resp: p = 40 
 
5 – Suponha que o custo total (em reais), pela fabricação de q unidades de um certo produto, seja dado pela função 
C(q) = 3q
2
 + q + 48: 
a) Expresse o custo médio de fabricação por unidade do produto como função de q. 
b) Para qual valor de q é menor o custo médio? 
 Resp: a) C(q) = 3q + 1 + 48/q b) q = 4 
 
 
6 – Suponha que a equação de demanda para uma certa mercadoria seja p = 4 - 0,0002x, onde x é o número de 
unidades produzidas semanalmente e p reais é o preço de cada unidade. O número do custo total da produção de x 
unidades é 800 + 3x. Se o lucro semanal deve ser o maior possível, encontre o número de unidades que serão 
produzidas por semana, o preço de cada unidade e o lucro semanal. 
 
Resp: x = 2500 p = R$ 3,50 L = R$ 450,00