Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Disciplina de Cálculo I APOSTILA TEÓRICA Algumas Aplicações de Derivadas [Custo Marginal] – Considere Ct a função custo total para produzir x unidades de um produto. Chama-se custo marginal a derivada de Ct em relação a x ( indica-se o custo marginal por Cmg ). Assim (x)C(x)C tmg O custo marginal e aproximadamente a variação de custo decorrente da produção de uma unidade adicional a partir de x unidades, ou seja, (x)C1)(xC(x)C ttmg [Receita Marginal] – Considere R a função receita total na venda de x unidades de um produto. Chama-se receita marginal a derivada de R em relação a x (indica-se receita marginal por Rmg). Assim (x)R(x)Rmg A receita marginal e aproximadamente a variação da receita decorrente da venda de uma unidade adicional, a partir de x unidades, ou seja, R(x)1)R(x(x)Rmg Exercícios sobre Custo e Receita Marginal 1 – Dada a função custo total 3 2( ) (0,3) (2,5) 20 200tC x x x x , obtenha: a) o custo marginal Cmg ; b) Cmg(5) e interprete o resultado. 2 – Repita o exercício 1 para as seguintes funções custo total :a) 30254)( xxCt ; b) 1 20( ) 100. x tC x e 3 – Dada a função receita total xxxR 5004)( 2 , obtenha : a) a receita marginal Rmg ; b) Rmg(10) e interprete o resultado. 4 – Considere a função de demanda xp 220 , obtenha a receita marginal para x=7 unidades. 5 – Repita o problema anterior com a seguinte função de demanda 10 3 500 x p . [ Propensão marginal a consumir e a poupar ] Chamando y a renda disponível e C, o consumo, temos que C e função de y e a função C(y) e chamada de função consumo. Denomina-se propensão marginal a consumir ( e indica-se por C mgp ) a derivada de C em relação a y . Isto é )()( yCypCmg Analogamente, temos que a poupança S é também função de y, e que a função S(y) é chamada função poupança. Denomina-se propensão marginal a poupar ( e indica-se por S mgp ) a derivada de S em relação a y . Ou seja, )()( ySypSmg [Elasticidade] – Dada uma função y=f(x) definida num intervalo [a,b]. Se y é derivável no ponto x, a expressão ( ) x E f xx y ou y x yEx . mede a elasticidade de y em relação a x no ponto (x,y). Pelo fato de ser um valor marginal, Ex mede a tendência da resposta de y a variações de x. Se 1xE , diz-se que a elasticidade de y em relação a x é unitária. Se 1xE , diz-se que a curva examinada e elástica em relação ao fator x. Se 1xE , diz-se que a curva é inelástica em relação ao fator x. Dizer que a curva é elástica em relação ao fator x significa dizer que, a um aumento percentual no fator x, corresponde uma variação percentual maior (positiva ou negativa) em y. De modo análogo, dizer que a curva examinada é inelástica em relação a x significa dizer que, a um aumento percentual no fator x, corresponde uma variação percentual menor (positiva ou negativa) em y. Exercícios sobre elasticidade 1 – A função 24 (0,2) 5y x x mede a produção em toneladas de um cereal por equitare, em função da quantidade de um fertilizante usado no plantio. Calcular e interpretar o valor da elasticidade da produção em relação ao uso do fertilizante, ao nível atual de 0,25 t/ha . 2 – A função pq 20010000 mede a procura de um bem. Calcular e interpretar o valor da elasticidade da procura ao nível de preço p=4,00. 3 – Determine a elasticidade de cada função no ponto dado: a) xey 2.2 em x=1,40 ; b) 4,0 8 p q em p=10 ; c) xC 25 em x=9. Exercícios aplicativos 1 – [Derivadas] – Obtenha a derivada de cada função dada: a) CT = 34Q 2 + 875Q + 35 b) CT = 0,08Q 3 + 875,45Q 2 + 43Q + 200 c) L = - 0,08Q 2 + 345Q d) P = 430Q 3 + 0,7Q 2 + 200 e) T = -33S 5 – 456S 3 – 22 2 – Obtenha o ponto de máximo (ou de mínimo) de cada função: a) CT = 34Q 2 + 875Q + 35 b) CT = - 875,45Q 2 + 43Q + 200 c) L = - 0,08Q 2 + 345Q d) P = 0,7Q 2 + 200 e) T = -33S 2 – 456S – 22 3 – Um fabricante produz objetos a R$ 20,00 cada. Estima-se que, se cada objeto for vendido por x reais os consumidores comprarão mensalmente (120 – x) objetos. Determine o preço com o qual o fabricante obterá maior lucro. Resp: x = 70 4 – A demanda de certo produto é D(p) = 160 - 2p, onde p é o preço de venda do produto. Qual o preço que torna maior a receita do consumidor, isto é, seu ganho? Resp: p = 40 5 – Suponha que o custo total (em reais), pela fabricação de q unidades de um certo produto, seja dado pela função C(q) = 3q 2 + q + 48: a) Expresse o custo médio de fabricação por unidade do produto como função de q. b) Para qual valor de q é menor o custo médio? Resp: a) C(q) = 3q + 1 + 48/q b) q = 4 6 – Suponha que a equação de demanda para uma certa mercadoria seja p = 4 - 0,0002x, onde x é o número de unidades produzidas semanalmente e p reais é o preço de cada unidade. O número do custo total da produção de x unidades é 800 + 3x. Se o lucro semanal deve ser o maior possível, encontre o número de unidades que serão produzidas por semana, o preço de cada unidade e o lucro semanal. Resp: x = 2500 p = R$ 3,50 L = R$ 450,00
Compartilhar