lista de exerc limites

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C U R S O D E E N G E N H A R I A Q U I M I C A 
LISTA DE EXERCÍCIOS II UNIDADE 
Disciplina: Cálculo II Professor(a): Andréa Lacerda 
Aluno(a): Data: Turma: 1º SEM 
 
"O pessimista queixa-se do vento. O otimista espera que ele mude. O realista ajusta as velas". 
Willian George Ward (1812-1992) - Teólogo inglês 
 
1– De acordo com fontes industriais, o faturamento de vendas por telefone ao longo dos anos desde sua criação pode ser 
aproximado pela função 3 20,03 0, 25 0,12 se 0 3
( )
0,57 0,63 se 3 11
t t t t
R t
t t
 
Onde R(t) mede o faturamento em milhões de reais e t é medido em anos, com t=0 correspondendo ao início de 1984. 
 
a) Calcule o faturamento nos anos de 1986, 1990 e 1994; 
 
b) Utilizando a função R(t), determine os limites: 
3
lim ( )
t
R t
, 
3
lim ( )
t
R t
, 
0
lim ( )
t
R t
 e 
11
lim ( )
t
R t
. 
 
Resp: a) Basta ver que o ano de 1986 corresponde ao valor t=2 e calculamos R(2) (faça as contas), onde 
3 2( ) 0,03 0,25 0,12 R t t t t
, logo, R(2)=0,52 milhões (ou seja, R$ 520.000,00). Assim, temos que (faça as contas) em 
1990 (t=6) o faturamento foi de R$ 2.790.000,00 e em 1994 (t=10) foi de R$ 5.070.000,00. 
 
 b) 1,08 ; 1,08 ; 0 ; 5,64. 
 
2– A função que fornece o custo de um certo bem é definida por 
2
3
5 1 0 10
( ) 40 3 10 30
7 200 100 30
p se p
C p p se p
p p se p
 
 
 
 
onde p é o peso total em quilogramas do bem vendido e C(p) é medido em reais. 
 
a) Quanto custa um objeto que tem 21 kg ? e um objeto de exatamente 10 kg ? 
 
b) Calcule os limites: 
10
lim ( )
p
C p
, 
10
lim ( )
p
C p
, 
30
lim ( )
p
C p
, 
lim ( )
p
C p
. 
 
3– A percentagem de lares, P(t), assistindo à televisão entre 4 horas da tarde e 4 horas da madrugada é dada por 
4 3 2
2
0,01354 0,49375 2,58333 3,8 31,60704 se 0 8
( )
1,35 33,05 208 se 8 12
t t t t t
P t
t t t
 
 
Onde t é medido em horas, com t=0 correspondendo a 4 horas da tarde. 
 
a) Determine a percentagem de pessoas assistindo TV nos horários de: 17:00 hs, 20:00 hs e às 2:00 hs da madrugada; 
 
b) Calcule os limites (aproximando os resultados): 
0
lim ( )
t
P t
, 
8
lim ( )
t
P t
, 
8
lim ( )
t
P t
 e 
12
lim ( )
t
P t
. 
Resp: b) 31,61% ; 30% ; 30% ; 5,8%. 
 
4– Uma empresa fabrica uma linha de mesas para executivos. Estima-se que o custo total da fabricação de x mesas de um 
certo modelo é de 
( ) 100 200000C x x
 reais por ano, de modo que o custo médio da fabricação de x mesas é dado 
por ( ) 100 200000 200000
( ) 100
C x x
C x
x x x
 reais por mesa. Calcule 
lim ( )
x
C x
 e interprete seus resultados. 
 
Resp: O resultado do limite é 100. Isto significa que, à medida que o nível de produção cresce, o custo médio se aproxima de 
R$ 100,00. 
5– Uma cadeia de lojas de roupas femininas encontrou que após t dias do final da promoção, o volume de vendas (em reais) 
era dado por 
0,5( ) 20000(1 ) (0 5)tS t e t
 
 
a) Obtenha o valor de S para t = 1, 2, 3, 4 ; b) Calcule 
5
lim ( )
t
S t
. 
 
Resp: a) R$ 32.130,61 ; R$ 27.357,59 ; R$ 24.462,60 ; R$ 22.706,71. b) R$ 21.641,70. 
 
6– Numa certa cidade, descobriu-se que seu principal reservatório de água foi contaminado com tricloroetileno, um composto 
químico cancerígeno, em razão de um vazamento ocorrido num depósito de lixo químico abandonado. Uma proposta 
submetida aos membros do conselho da cidade indica que o custo C (em milhões de reais), da remoção de x por cento do 
poluente tóxico é dado por 
0,5
( ) (0 100)
100
x
C x x
x
 
 
a) Determine o custo da remoção de 70%, 80%, 90% , 95%, 99% e 99,99% do poluente. 
 
b) Observando os resultados do item a), calcule 
100
lim ( )
x
C x
 e interprete o resultado obtido. 
Resp: a) os resultados desse exercício podem ser vistos na tabela abaixo 
 
x (%) 70 80 90 95 99 99,99 
C 1.166.666,67 2.000.000,00 4.500.000,00 9.500.000,00 49.500.000,00 4.999.500.000,00 
 
b) Portanto, o limite tem resultado . A cidade precisará de um recurso infinito de dinheiro para ter 100% do reservatório 
limpo (será impossível pagar 100% da limpeza). 
 
 
7– A arrecadação mundial total pela exibição de um filme de grande sucesso de bilheteria é aproximada pela função 
2
2
120
( )
4
x
T x
x
 
 
Onde T(x) é medido em milhões de dólares e x é o número de meses do filme em cartaz. 
 
a) Qual a arrecadação de bilheteria após o 1º mês de lançamento ? E após o 2º mês ? E após o 3º mês ? 
 
b) Qual será a arrecadação do filme a longo prazo ? [Sugestão: Calcule 
lim ( )
x
T x
] 
Resp: a) 24 milhões; 60 milhões e R$ 83.076.923,08. b) 120 milhões. 
 
[LIMITES DO TIPO 
0
0
 ENVOLVENDO FATORAÇÃO] 
 
Exemplos: Elimine a indeterminação para resolver o limite. 
 
a) 2
23 3 3
9 ( 3)( 3) 3
lim lim lim 3
( 3)3x x x
x x x x
 
x x xx x
 
 
b) 2
3 2 2 21 1 1
6 7 ( 7)( 1) 7 1 7 8
lim lim lim
31 ( 1)( 1) 1 ( 1) ( 1) 1p p p
p p p p p
 
p p p p p p
 
 
c) 2
22 2 2
4 ( 2)( 2) 2 4 1
lim lim lim
2 2 83 4 4 2
3 ( 2) 3
3 3
x x x
x x x x
 
x x
x x x
 
 
 
8– Utilize fatoração para obter o resultado de cada limite dado: 
a) 2
22
4
lim
2x
x
 
x x
 b) 2
23
4 36
lim
12k
k
 
k k
 c) 2
27
49
lim
7p
p
p p
 
 d) 3
2
8
lim
2x
x
x
 e) 3 2
1
lim
1y
y y
y
 f) 2
35
9 20
lim
125h
h h
h
 
g) 2
22
2 8
lim
3 4 4x
x
 
x x
 h) 
1
32
lim
3
2
1 x
xx
 
x
 i) 3
2
8
lim
2x
x
 
x
 
j) 2
22
4
lim
3 4 4x
x
 
x x
 k) 2
33
4 3
lim 
27x
x x
x
 l) 3
6
2
3 24
lim og
2x
x
l
x
 
 
Resp) a) 2 b) 1 c) 2 d) 12 e) 1 f) 
27
2
 g) 1 h) 
3
4
 i)12 j) 
2
1
 k) 
27
2
 l) 2 
 
9– Considere 
( ) 3 5f x x
, determine o valor do seguinte limite 
1
( ) ( 1)
lim
1x
f x f
x
. 
 
10– Calcular o valor de 
4
( ) (4)
lim
4t
g t g
t
 sabendo que 
2( ) 3g t t t
. 
 
[LIMITES INFINITOS E LIMITES NO INFINITO] 
 
Considere os polinômios 
01
2
2
1
1 ...)( axaxaxaxaxP
n
n
n
n
 e 
01
2
2
1
1 ...)( bxbxbxbxbxQ
m
m
m
m
 . 
 
Então: (i) 
][lim]...lim[)](lim[ 01
2
2
1
1
n
n
x
n
n
n
n
xx
xaaxaxaxaxaxP
 
 
 (ii) 
m
m
n
n
xm
m
m
m
n
n
n
n
xx xb
xa
bxbxbxbxb
axaxaxaxa
xQ
xP
lim
...
...
lim
)(
)(
lim
01
2
2
1
1
01
2
2
1
1
 
 
Exemplos: 
a)) 3 2 3
2
- - -
4 2 9 4
lim lim 2 lim 2( )
2 8 2x x x
x x x
x
x x
 
 
b) 3 3 3
5 3 5 5 2
2 1 2 2 2 1 2
lim lim lim lim 0 0
3 2 3 3 3 3q q q x
q q q q
q q q q q x
 
 
c) 2 2
2 2
5 3 1 5 5
4 2 4 4
lim lim
t t
t t t
t t
 
11– Calcular os limites: 
 
a) 
4(2 3 ) lim
x
x x
 b) 
2( 3 5 1) lim
p
p p
 c) 
2(5 2 ) lim
x
x x
 
d) 5 3
5lim
4 2 1
2 2r
r r
r
 e) 4
2
2 1
1
lim
x
x
x
 f) 2
5
3 1
lim
2a
a
a
 
g) 3 2
x -
4 2 9
lim 
2 8
x x
x
 h) 3
5 3x +
2 1
lim 
3 2
x x
x x x
 i) 2
2
5 3 1
 
5x 2
lim
x
x x
 
Resp: a)b) c) d) 2 e) f) 0 g) h) 0 i) 5
5