Apx2- Métodos Determinísticos II - 2020 2

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
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APX2 - Métodos Determinísticos II (2020-2)
Código da disciplina EAD06077
GABARITO
Questão 1: [2,5 pts] Sejam 5 e limf e g funções contínuas em R, com f (3) =
x→3
[2 f (x x)− g ( )] = 4. Encontre
g (3).
Solução: Pelas propriedades de limites, temos:
4= lim
x→3
[2 f (x x)− g ( )]= 2 lim
x→3
f (x)− lim
x→3
g (x),
donde
lim
x→3
g (x)= 2 lim
x→3
f (x)−4. (1)
Como f é contínua, segue que lim
x→3
f (x)= f (3)= 5. Analogamente, como g é contínua, temos que lim
x→3
g (x)=
g (3). Substituindo esses dados em (1), obtemos:
lim
x→3
g (x)= 2 lim
x→3
f (x)−4⇔ g (3) 6.= 2×5−4=
Portanto, g (3) 6.=
Questão 2: [2,5 pts] Seja uma função diferenciável emf a, com a > 0. Calcule o limite abaixo, em termos
de ):f 0(a
lim
x→a
f f(x)− (a)
p p
x − a
.
Solução: Lembremos que se é diferenciável em , entãof a
f 0(a)= lim
4x→0
f f(a +4x)− (a)
4x
= lim
x→a
f f(x)− (a)
x −a
.
Assim,
lim
x→a
f f(x)− (a)
p p
x − a
= lim
x→a
f f(x)− (a)
p p
x − a
×
(
p
x +
p
a)
(
p
x +
p
a)
= lim
x→a
( f ( (x)− f a))( )
p
x +
p
a
x −a
=
·
lim
x→a
f f(x)− (a)
x −a
¸
×
h
lim
x→a
(
p
x +
p
a)
i
.
Como f 0(a)= lim
x→a
f (x)− f (a)
x −a
e lim
x→a
¡p
x +
p
a
¢
= 2
p
a, segue que
lim
x→a
f f(x)− (a)
p p
x − a
=
·
lim
x→a
f f(x)− (a)
x −a
¸
×
h
lim
x→a
( )
p
x +
p
a
i
= f 0(a)×2
p
a.
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Dessa forma, lim
x→a
f f(x)− (a)
p p
x − a
= 2
p
a f 0(a).
Questão 3: [2,5 pts] Seja a quantidade de produtos produzida por uma fábrica. Mostre que se a fábricax
obtém um lucro total máximo produzindo e o custo marginalx0 unidades, então a receita marginal em x0
em x0 em coincidem.
Solução:
Considere:
• R(x)→ função receita total;
• C (x)→ função custo total;
• L(x)→ função lucro total.
Assim, pelo que vimos na Aula 12, a função lucro total é descrita como sendo L( ( (x)= R x)−C x). Portanto,
derivando ambos os membros dessa igualdade em relação a , temos que ).x L0(x)= R 0( (x)−C 0 x
Como a fábrica atinge um lucro total máximo em , concluímos quex0 L
0(x0)= 0. Dessa forma,
0= L0( ( ( (x0)= R 0 x0)−C 0 x0)⇔ R 0 x0)=C 0(x0).
Portanto, a receita marginal em e o custo marginal em são iguais.x0 x0
Questão 4: [2,5 pts] Calcule
Z
xex
(x +1)2
d x.
Solução: Usando a integração por partes, faremos:



u = xex
d v =
1
(x +1)2
d x
⇒



du = (ex +xex)d x
v =−
1
x +1
.
Assim,
Z
xex
(x +1)2
d x = −
xex
x +1
−
Z −1
x +1
(ex +xex)d x
= −
xex
x +1
+
Z
1
x +1
ex(x +1)d x
= −
xex
x +1
+
Z
ex d x
= −
xex
x +1
+ex +C
=
−xe xex + x +ex
x +1
+C
=
ex
x +1
+C
Logo,
Z
xex
(x +1)2
d x =
ex
x +1
+C .
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