CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS ATIVIDADE 4 (A4)

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Pergunta 1
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Comentário
da
Uma equação diferencial pode ser classificada de acordo com a sua linearidade em
equação diferencial linear e equação diferencial não linear . As equações diferenciais
lineares são caracterizadas por duas propriedades: Considere que a variável
independente é  e a variável dependente é , temos que: (i) A variável dependente 
 e todas as suas derivadas são do primeiro grau, isto é, possuem grau 1. (ii) Cada
coeficiente depende apenas da variável independente . 
  
Considere a variável  uma função da variável , isto é, . Analise as
afirmativas a seguir. 
  
I. A equação diferencial  é linear. 
II. A equação diferencial  é linear. 
III. A equação diferencial  é linear. 
IV. A equação diferencial  é linear. 
  
Assinale a alternativa correta. 
  
I, III e IV, apenas.
I, III e IV, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. De acordo com as condições de
linearidade de uma equação diferencial, temos que as a�rmativas I, III e IV estão
1 em 1 pontos
resposta: corretas, pois em todas elas temos que a variável dependente  e todas as suas
derivadas possuem grau 1, e cada coe�ciente depende apenas da variável
independente .
Pergunta 2
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Comentário
da
resposta:
As equações diferenciais não possuem exatamente uma regra de resolução. O método
de resolução de uma equação diferencial depende de algumas características
apresentadas pela mesma. Por exemplo, equações diferenciais escritas na forma
  são ditas equações diferenciais separáveis e resolvidas usando a
integração em ambos os membros da igualdade. 
  
Com base no método de resolução de equações diferenciais separáveis, analise as
afirmativas a seguir: 
  
I. A solução da equação  é . 
II. A solução da equação  é  . 
III. A solução da equação  é . 
IV. A solução da equação  é . 
  
É correto o que se afirma em: 
  
  
I e III, apenas.
I e III, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. Aplicando adequadamente o método
de solução nas equações diferenciais separáveis, temos que: 
A�rmativa I: correta. Separando as variáveis:
. Integrando a equação:
, onde
. 
A�rmativa III: correta. Separando as variáveis: .
Integrando a equação:
, onde .
1 em 1 pontos
Pergunta 3
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Comentário
da
resposta:
Um circuito elétrico simples composto por um resistor , um indutor  e uma força
eletromotriz  (proporcionada por uma pilha ou gerador) pode ser modelado
matematicamente por meio da seguinte equação diferencial: . Sabendo
que essa equação é do tipo linear de primeira ordem, considere um resistor de ,
uma indutância de  e uma voltagem constante de . 
  
Assinale a alternativa que corresponde ao fator integrante da EDO dada. 
  
  
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta. O fator integrante de uma EDO linear
de primeira ordem  é expresso por . Dada a
EDO , temos que  e, portanto, o fator
integrante é .
Pergunta 4
Resposta
Selecionada:
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“Uma equação diferencial linear de segunda ordem tem a forma
 , onde  e  são funções contínuas” (STEWART,
2016, p. 1028). Se , a equação é dita linear homogênea, caso contrário, se
  a equação é dita linear não homogênea. 
  
STEWART, J. Cálculo . 
São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v. 
  
Com relação às equações homogêneas, assinale a alternativa correta: 
  
  
A equação diferencial  tem solução .
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
Comentário
da
resposta:
A equação diferencial  tem solução 
.
Resposta correta. A alternativa está correta. Dada a equação diferencial
, escrevemos sua equação auxiliar . Resolvendo
essa equação de segundo grau, obtemos os seguintes valores para .
Como as raízes são distintas, podemos escrever a solução geral da equação
diferencial dada como .
Pergunta 5
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Comentário
da
resposta:
Leia o excerto a seguir: 
  
“A Lei de Ohm diz que a queda na voltagem por causa do resistor é . A queda de
voltagem por causa do indutor é . Uma das Leis de Kirchhoff diz que a soma das
quedas de voltagem é igual à voltagem fornecida . Então. temos ,
que é uma equação diferencial de primeira ordem que modela a corrente no instante 
” (STEWART, 2016, p. 537). 
  
STEWART, J. Cálculo . São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v. 
  
Considerando uma resistência de , uma indutância de  e uma voltagem
constante de , assinale a alternativa que corresponde à expressão da corrente do
circuito  quando o interruptor é ligado em . 
  
  
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta. A partir da equação diferencial
fornecida no enunciado, , e dos valores fornecidos,
 e , temos que . Arrumando a
expressão da equação diferencial, temos
. 
Tomando  temos . Para ,
1 em 1 pontos
temos que , portanto a
expressão da corrente é .
Pergunta 6
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Comentário
da
resposta:
Em um circuito elétrico, tem-se que o gerador fornece uma voltagem constante de
  um capacitor com capacitância de  e um resistor com uma resistência
de . Sabe-se que esse circuito pode ser modelado matematicamente por meio da
seguinte equação diferencial: , onde  é a carga, medida em coulombs. 
  
Dado que , assinale a alternativa correta. 
  
  
A função corrente é expressa por .
A função corrente é expressa por .
Resposta correta. A alternativa está correta. A função corrente é a derivada da
função carga, isto é, . A EDO  é uma equação linear de
primeira ordem cuja solução pode ser expressa por
. Dada a EDO
, temos que  e . Portanto, sua
solução geral é
. Como , segue que  e, assim, a função carga é expressa por
. Por �m, concluímos que a função corrente é 
.
Pergunta 7
As equações diferenciais podem ser classificadas de acordo com alguns critérios. Por
exemplo, podemos classificar uma equação diferencial de acordo com sua ordem e
grau. No caso da classificação pela ordem, temos que esta é definida pela ordem da
mais alta derivada que aparece na equação, e a classificação pelo grau é dada pelo
expoente da derivada de maior ordem que aparece na equação. 
  
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
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Resposta Correta:
 
Comentário
da
resposta:
De acordo com a classificação de ordem e grau, assinale a alternativa correta: 
  
  
A equação diferencial  é de ordem 1 e grau 1.
A equação diferencial  é de ordem 1 e grau 1.
Resposta correta. A alternativa está correta. De acordo com as de�nições de
classi�cação por ordem e grau, temos que a ordem da equação é de�nida pela
“maior derivada” da equação, no caso, a maior derivada é a de ordem 1, . Já a
classi�cação pelo grau é dada pelo expoente da maior derivada, nesse caso, grau 1,
pois .
Pergunta 8
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Comentário
As equações diferenciais lineares e homogêneas de segunda ordem podem ser
expressas por meio da seguinte forma: , onde  e 
 são funções contínuas. Para resolvermos equações desse tipo, precisamos escrever
uma equação auxiliar, a qual é uma equação de segundo grau. 
  
Com relação à solução de equações diferenciais lineares e homogêneas de segunda
ordem, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s)
Falsa(s). 
  
I. (   ) A equação auxiliar pode apresentar duas raízes reais distintas. 
II. (   ) A equação auxiliar sempre apresenta raízes reais. 
III. (  ) A equação auxiliar da EDO homogênea de segunda ordem  é
expressa por . 
IV. (  ) A equação auxiliar de raízes complexas  e  apresenta como solução a
função . 
  
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
  
  
V, F, F, F.
V, F, F, F.
Resposta correta. A alternativa está correta. Com base na teoria das equações
diferenciais lineares e homogêneas de segunda ordem, temos que, entre as
1 em 1 pontos
da
resposta:
a�rmativas apresentadas, apenas a a�rmativa I é verdadeira, sendo todas as outras
falsas. Portanto, asequência correta é V, F, F, F.
Pergunta 9
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Comentário
da
resposta:
A lei de resfriamento de Newton nos permite calcular a taxa de variação da
temperatura de um corpo em resfriamento. Considere a seguinte situação: Um
cozinheiro fez um bolo de chocolate. Ao retirar do forno, o bolo apresentava uma
temperatura de 150°C. Passados quatro minutos, essa temperatura caiu para 90 °C.
Sabendo que a temperatura do ambiente é de 25°C, calcule quanto tempo levará para
que o bolo esfrie até a temperatura de 30 °C. 
  
Assinale a alternativa correta. 
  
  
20 minutos.
20 minutos.
Resposta correta. A alternativa está correta. A equação de resfriamento do bolo
pode ser descrita pela equação diferencial  onde  e são
fornecidas as seguintes informações:  e . Nosso
problema consiste em determinar o tempo , em minutos, tal que .
Resolvendo a equação diferencial, temos
, onde . Das condições
 e  vamos determinar as constantes  e . De
 temos . De , temos . Portanto, a função
temperatura do bolo é . Vamos determinar agora o tempo
para o qual a temperatura é 30ºC. De , temos .
Pergunta 10
Problemas que envolvem crescimento ou decrescimento de alguma grandeza podem
ser modelados matematicamente por meio do seguinte problema de valor inicial: 
 , 
onde  é uma constante de proporcionalidade que pode ser positiva ou negativa.
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
Segunda-feira, 15 de Fevereiro de 2021 14h32min56s BRT
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Comentário
da
resposta:
Considere a seguinte situação: 
  
Em uma cultura, há inicialmente 10 mil bactérias. Se a taxa de crescimento é
proporcional ao número de bactérias presentes, assinale a alternativa que
corresponde à expressão da função crescimento dessa população. 
  
  
  
  
Resposta correta. A alternativa está correta. O problema pode ser descrito pela
seguinte equação diferencial , onde  é a função quantidade de bactérias
que depende do tempo . Além disso, temos os seguintes dados: para  temos
. Resolvendo a equação diferencial, temos 
, onde  e  são constantes e . Como  temos
. Portanto, a função que descreve
o crescimento dessa população de bactérias é .