ATIVIDADE 4 - CÁLCULO APLICADO - VÁRIAS VARIÁVEIS

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ATIVIDADE 4 - CÁLCULO APLICADO - VÁRIAS VARIÁVEIS
1 - De acordo com Stewart (2016, p. 543), “a técnica para resolver as equações diferenciais separáveis foi primeiro usada por James Bernoulli (em 1690) para resolver um problema sobre pêndulos e por Leibniz (em uma carta para Huygens em 1691). John Bernoulli explicou o método geral em um artigo publicado em 1694”.
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v.
Sabe-se que o método de resolução de uma equação diferencial separável é a integração de ambos os membros da igualdade, assim, assinale a alternativa que corresponde à solução da equação diferencial .
2 - Um problema de valor inicial (PVI), para equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem, consiste em determinar uma solução  que satisfaça às condições iniciais da forma  e . Por meio dessas condições, é possível determinar o valor das constantes obtidas na solução geral.
Considere o seguinte PVI: ,  e . Analise as afirmativas a seguir:
I. A equação auxiliar apresenta duas raízes reais e distintas.
II. A solução do PVI é .
III. O valor de umas das constantes da solução geral é .
IV. A EDO dada não é homogênea.
É correto o que se afirma em:
3 - Uma equação diferencial de variáveis separáveis é toda equação diferencial de primeira ordem e primeiro grau que pode ser escrita na forma . O nome separável vem do fato de que a equação pode ser separada em uma função de  e uma função de . A solução de tal equação é obtida ao integrarmos ambos os lados da igualdade.
Dado que  é uma constante real, assinale a alternativa abaixo que corresponde à solução da equação diferencial separável .
4 - A meia-vida é o tempo gasto para metade dos átomos de uma quantidade inicial  se desintegrar ou se transmutar em átomos de outro elemento. Uma substância é dita mais estável quando a meia-vida possui um valor elevado. Esse tipo de problema pode ser modelado pela seguinte equação diferencial: , onde  representa a quantidade de átomos presente na substância e é uma função do tempo . Uma substância radioativa teve sua quantidade inicial  reduzida em 0,043% após 15 anos.
Com relação a essa informação, analise as afirmativas a seguir:
I. O valor da constante de proporcionalidade é .
II. A função que representa o problema descrito é .
III. O tempo de meia-vida dessa substância é de 23.512 anos.
IV. Após 15 anos, a quantidade de substância existente é de .
 
É correto o que se afirma em:
5 - Uma equação diferencial pode ser classificada de acordo com a sua linearidade em equação diferencial linear e equação diferencial não linear. As equações diferenciais lineares são caracterizadas por duas propriedades: Considere que a variável independente é  e a variável dependente é , temos que: (i) A variável dependente  e todas as suas derivadas são do primeiro grau, isto é, possuem grau 1. (ii) Cada coeficiente depende apenas da variável independente .
Considere a variável  uma função da variável , isto é, . Analise as afirmativas a seguir.
I. A equação diferencial  é linear.
II. A equação diferencial  é linear.
III. A equação diferencial  é linear.
IV. A equação diferencial  é linear.
Assinale a alternativa correta.
6 - As equações diferenciais não possuem exatamente uma regra de resolução. O método de resolução de uma equação diferencial depende de algumas características apresentadas pela mesma. Por exemplo, equações diferenciais escritas na forma  são ditas equações diferenciais separáveis e resolvidas usando a integração em ambos os membros da igualdade.
Com base no método de resolução de equações diferenciais separáveis, analise as afirmativas a seguir:
I. A solução da equação  é .
II. A solução da equação  é  .
III. A solução da equação  é .
IV. A solução da equação  é .
É correto o que se afirma em:
7 - A oscilação de uma mola pode ser chamada de movimento harmônico simples, o qual pode ser descrito pela equação , onde  é uma função do tempo  que indica a posição da massa,  é a massa da mola e  é a constante elástica. Para uma mola de comprimento natural de 0,75 m e 5 kg de massa, é necessária uma força de 25 N para mantê-la esticada até um comprimento de 1 m. Se a mola for solta com velocidade nula ao ser esticada em um comprimento de 1,1 m, qual é a posição da massa após  segundos?
Assinale a alternativa correta. (Dica: Lei de Hooke: )
8 - Leia o excerto a seguir:
“A Lei de Ohm diz que a queda na voltagem por causa do resistor é . A queda de voltagem por causa do indutor é . Uma das Leis de Kirchhoff diz que a soma das quedas de voltagem é igual à voltagem fornecida . Então. temos , que é uma equação diferencial de primeira ordem que modela a corrente no instante ” (STEWART, 2016, p. 537).
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v.
Considerando uma resistência de , uma indutância de  e uma voltagem constante de , assinale a alternativa que corresponde à expressão da corrente do circuito  quando o interruptor é ligado em .
9 - A lei de resfriamento de Newton nos permite calcular a taxa de variação da temperatura de um corpo em resfriamento. Considere a seguinte situação: Um cozinheiro fez um bolo de chocolate. Ao retirar do forno, o bolo apresentava uma temperatura de 150°C. Passados quatro minutos, essa temperatura caiu para 90 °C. Sabendo que a temperatura do ambiente é de 25°C, calcule quanto tempo levará para que o bolo esfrie até a temperatura de 30 °C
Assinale a alternativa correta. 
10 - Uma equação diferencial linear de primeira ordem pode ser expressa na forma , onde  e  são funções contínuas em um dado intervalo. A solução geral para equações diferenciais lineares de primeira ordem é dada pela expressão .
Com base nessa informação, analise as afirmativas a seguir e, na sequência, assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s):
I. A solução geral da equação  é .
II. A solução geral da equação  é .
III. A solução geral da equação  é .
IV. IV. A solução geral da equação  é .
É correto o que se afirma em: