CALCULO APLICADO VARIAS VARIAVEIS

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 Revisar envio do teste: ATIVIDADE 4 (A4)
GRA1594 CÁLCULO APLICADO � VÁRIAS VARIÁVEIS GR0551211 - 202110.ead-
8212.11
Material de Aula Unidade 4
Revisar envio do teste: ATIVIDADE
4 (A4)
Usuário RENAN LOPES LIMA
Curso GRA1594 CÁLCULO APLICADO � VÁRIAS VARIÁVEIS GR0551211 -
202110.ead-8212.11
Teste ATIVIDADE 4 (A4)
Iniciado 07/03/21 16:24
Enviado 15/03/21 13:23
Status Completada
Resultado da
tentativa
10 em 10 pontos  
Tempo decorrido 188 horas, 58 minutos
Resultados
exibidos
Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários
Pergunta 1
Uma equação diferencial pode ser classificada de acordo com a sua linearidade
em equação diferencial linear e equação diferencial não linear . As equações
diferenciais lineares são caracterizadas por duas propriedades: Considere que
a variável independente é  e a variável dependente é , temos que: (i) A
variável dependente  e todas as suas derivadas são do primeiro grau, isto é,
possuem grau 1. (ii) Cada coeficiente depende apenas da variável
independente . 
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1 em 1 pontos
RENAN LOPES LIMA
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Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da
resposta:
  
Considere a variável  uma função da variável , isto é, . Analise as
afirmativas a seguir. 
  
I. A equação diferencial  é linear. 
II. A equação diferencial  é linear. 
III. A equação diferencial  é linear. 
IV. A equação diferencial  é linear. 
  
Assinale a alternativa correta. 
  
I, III e IV, apenas.
I, III e IV, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. De acordo com as condições de
linearidade de uma equação diferencial, temos que as a�rmativas I, III e IV
estão corretas, pois em todas elas temos que a variável dependente  e
todas as suas derivadas possuem grau 1, e cada coe�ciente depende
apenas da variável independente .
Pergunta 2
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da
resposta:
Em um circuito elétrico, tem-se que o gerador fornece uma voltagem constante
de  um capacitor com capacitância de  e um resistor com uma
resistência de . Sabe-se que esse circuito pode ser modelado
matematicamente por meio da seguinte equação diferencial: ,
onde  é a carga, medida em coulombs. 
  
Dado que , assinale a alternativa correta. 
  
  
A função corrente é expressa por .
A função corrente é expressa por .
Resposta correta. A alternativa está correta. A função corrente é a derivada
da função carga, isto é, . A EDO  é uma equação
linear de primeira ordem cuja solução pode ser expressa por
. Dada a EDO
, temos que  e .
1 em 1 pontos
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Portanto, sua solução geral é
. Como , segue que  e, assim, a função carga é expressa
por . Por �m, concluímos que a função corrente é
.
Pergunta 3
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da
resposta:
A lei de resfriamento de Newton nos permite calcular a taxa de variação da
temperatura de um corpo em resfriamento. Considere a seguinte situação: Um
cozinheiro fez um bolo de chocolate. Ao retirar do forno, o bolo apresentava
uma temperatura de 150°C. Passados quatro minutos, essa temperatura caiu
para 90 °C. Sabendo que a temperatura do ambiente é de 25°C, calcule quanto
tempo levará para que o bolo esfrie até a temperatura de 30 °C. 
  
Assinale a alternativa correta. 
  
  
20 minutos.
20 minutos.
Resposta correta. A alternativa está correta. A equação de resfriamento do
bolo pode ser descrita pela equação diferencial  onde
 e são fornecidas as seguintes informações:  e
. Nosso problema consiste em determinar o tempo , em
minutos, tal que . Resolvendo a equação diferencial, temos
, onde . Das condições
 e  vamos determinar as constantes  e . De
 temos . De , temos . Portanto, a
função temperatura do bolo é . Vamos determinar
agora o tempo para o qual a temperatura é 30ºC. De , temos
.
Pergunta 4
De acordo com Stewart (2016, p. 543), “a técnica para resolver as equações
diferenciais separáveis foi primeiro usada por James Bernoulli (em 1690) para
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
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Resposta Selecionada: 
Resposta Correta:
 
Comentário
da
resposta:
resolver um problema sobre pêndulos e por Leibniz (em uma carta para
Huygens em 1691). John Bernoulli explicou o método geral em um artigo
publicado em 1694”. 
  
STEWART, J. Cálculo . São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v. 
  
Sabe-se que o método de resolução de uma equação diferencial separável é a
integração de ambos os membros da igualdade, assim, assinale a alternativa
que corresponde à solução da equação diferencial . 
  
  
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta. A equação diferencial dada é
uma equação separável. Separando as variáveis  e , podemos reescrever
a equação como . Integrando ambos os lados da
igualdade, temos
.
Pergunta 5
Resposta
Selecionada:
Resposta
Correta:
Considere uma mola com uma massa de 3 kg e de comprimento natural 0,5 m.
Para esticá-la até um comprimento de 0,8 m, é necessária uma força de 22,5
N. Suponha que a mola seja esticada até o comprimento de 0,8 m e, em
seguida, seja liberada com velocidade inicial nula. O movimento realizado
obedece à equação diferencial: , onde  é uma função do tempo 
 que indica a posição da massa  e  é a constante elástica. 
  
Com base na situação descrita, assinale a alternativa correta. (Dica: Lei de
Hooke: ). 
  
  
A posição da massa em qualquer momento  é expressa por
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Comentário
da
resposta:
A posição da massa em qualquer momento  é expressa
por 
Resposta correta. A alternativa está correta. O enunciado fornece as
seguintes condições:  (a mola no tempo  está esticada em
0,8 m sendo seu comprimento natural de 0,5 m; portanto, está deformada
em 0,3 m) e  (a velocidade inicial da mola é nula; lembre que a
função velocidade é a derivada primeira da função posição). Pela lei de
Hooke, temos que o valor da constante elástica é:
. Tomando  e  na EDO
, obtemos a EDO . Resolvendo o PVI:
,  e  temos que a solução geral da EDO
é  , portanto, a solução do PVI é
. Portanto,
Pergunta 6
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da
resposta:
Problemas que envolvem crescimento ou decrescimentode alguma grandeza
podem ser modelados matematicamente por meio do seguinte problema de
valor inicial: 
 , 
onde  é uma constante de proporcionalidade que pode ser positiva ou
negativa. Considere a seguinte situação: 
  
Em uma cultura, há inicialmente 10 mil bactérias. Se a taxa de crescimento é
proporcional ao número de bactérias presentes, assinale a alternativa que
corresponde à expressão da função crescimento dessa população. 
  
  
  
  
Resposta correta. A alternativa está correta. O problema pode ser descrito
pela seguinte equação diferencial , onde  é a função quantidade
de bactérias que depende do tempo . Além disso, temos os seguintes
dados: para  temos . Resolvendo a equação
diferencial, temos 
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, onde  e  são constantes e . Como  temos
. Portanto, a função que
descreve o crescimento dessa população de bactérias é .
Pergunta 7
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da
resposta:
A meia-vida é o tempo gasto para metade dos átomos de uma quantidade
inicial  se desintegrar ou se transmutar em átomos de outro elemento. Uma
substância é dita mais estável quando a meia-vida possui um valor elevado.
Esse tipo de problema pode ser modelado pela seguinte equação diferencial:
 , onde  representa a quantidade de átomos presente na substância e
é uma função do tempo . Uma substância radioativa teve sua quantidade
inicial  reduzida em 0,043% após 15 anos. 
  
Com relação a essa informação, analise as afirmativas a seguir: 
  
I. O valor da constante de proporcionalidade é . 
II. A função que representa o problema descrito é . 
III. O tempo de meia-vida dessa substância é de 23.512 anos. 
IV. Após 15 anos, a quantidade de substância existente é de . 
  
É correto o que se afirma em: 
  
  
I e II, apenas.
I e II, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. Resolvendo a equação
diferencial separável , temos que as a�rmativas I e II estão
corretas, pois 
, onde . 
Para , concluímos que  e, para 
 concluímos . Portanto, a função que representa o
problema descrito é .
Pergunta 8
As equações diferenciais não possuem exatamente uma regra de resolução. O
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Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da
resposta:
método de resolução de uma equação diferencial depende de algumas
características apresentadas pela mesma. Por exemplo, equações diferenciais
escritas na forma  são ditas equações diferenciais
separáveis e resolvidas usando a integração em ambos os membros da
igualdade. 
  
Com base no método de resolução de equações diferenciais separáveis, analise
as afirmativas a seguir: 
  
I. A solução da equação  é . 
II. A solução da equação  é  . 
III. A solução da equação  é . 
IV. A solução da equação  é . 
  
É correto o que se afirma em: 
  
  
I e III, apenas.
I e III, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. Aplicando adequadamente o
método de solução nas equações diferenciais separáveis, temos que: 
A�rmativa I: correta. Separando as variáveis:
. Integrando a equação:
,
onde . 
A�rmativa III: correta. Separando as variáveis:
. Integrando a equação:
, onde
.
Pergunta 9
De acordo com Sodré (2003, p. 5), “se são conhecidas condições adicionais,
podemos obter soluções particulares para a equação diferencial e, se não são
conhecidas condições adicionais, poderemos obter a solução geral”. Uma
condição adicional que pode ser conhecida é o valor da função em um dado
ponto. Assim, uma equação diferencial mais essa condição adicional é
chamada de Problema de Valor Inicial (PVI) . 
  
SODRÉ, U. Notas de aula. Equações diferenciais ordinárias , 2003. 
1 em 1 pontos
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Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da
resposta:
Disponível em: http://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/pdfs/edo.pdf.
Acesso em: 20 dez. 2019. 
  
Assinale a alternativa que apresenta a solução do PVI: , . 
  
  
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta. A equação dada é separável,
assim, podemos resolvê-la separando as variáveis  e , integrando ambos
os lados da igualdade em seguida:
. 
Da condição inicial dada, temos que se  então . Trocando esses
valores na solução, obtemos: . Portanto, a
solução do PVI é .
Pergunta 10
Resposta
Selecionada:
 
Resposta Correta:
Comentário
da
resposta:
As equações diferenciais podem ser classificadas de acordo com alguns
critérios. Por exemplo, podemos classificar uma equação diferencial de acordo
com sua ordem e grau. No caso da classificação pela ordem, temos que esta é
definida pela ordem da mais alta derivada que aparece na equação, e a
classificação pelo grau é dada pelo expoente da derivada de maior ordem que
aparece na equação. 
  
De acordo com a classificação de ordem e grau, assinale a alternativa correta: 
  
  
A equação diferencial  é de ordem 1 e grau 1.
A equação diferencial  é de ordem 1 e grau
1.
Resposta correta. A alternativa está correta. De acordo com as de�nições
de classi�cação por ordem e grau, temos que a ordem da equação é
de�nida pela “maior derivada” da equação, no caso, a maior derivada é a de
1 em 1 pontos
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Terça-feira, 30 de Março de 2021 19h12min08s BRT
ordem 1, . Já a classi�cação pelo grau é dada pelo expoente da maior
derivada, nesse caso, grau 1, pois .
← OK
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