Calculo Aplicado Varias Variaveis - A4 Atividade 4

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GRA1594 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS GR0551211 - 202110.ead-
14901.01
Material de Aula Unidade 4
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4 (A4)
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Curso GRA1594 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS GR0551211 -
202110.ead-14901.01
Teste ATIVIDADE 4 (A4)
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Pergunta 1
A lei de resfriamento de Newton nos permite calcular a taxa de variação da
temperatura de um corpo em resfriamento. Considere a seguinte situação:
Um cozinheiro fez um bolo de chocolate. Ao retirar do forno, o bolo
apresentava uma temperatura de 150°C. Passados quatro minutos, essa
temperatura caiu para 90 °C. Sabendo que a temperatura do ambiente é de
25°C, calcule quanto tempo levará para que o bolo esfrie até a temperatura
de 30 °C.
Assinale a alternativa correta.
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Comentário
da resposta:
20 minutos.
20 minutos.
Resposta correta. A alternativa está correta. A equação de
resfriamento do bolo pode ser descrita pela equação diferencial
 onde  e são fornecidas as seguintes
informações:  e . Nosso problema consiste
em determinar o tempo , em minutos, tal que .
Resolvendo a equação diferencial, temos
, onde . Das condições
 e  vamos determinar as constantes  e
. De  temos . De , temos .
Portanto, a função temperatura do bolo é .
Vamos determinar agora o tempo para o qual a temperatura é 30ºC.
De , temos .
Pergunta 2
As equações diferenciais lineares e homogêneas de segunda ordem podem
ser expressas por meio da seguinte forma: ,
onde  e  são funções contínuas. Para resolvermos equações desse
tipo, precisamos escrever uma equação auxiliar, a qual é uma equação de
segundo grau.
Com relação à solução de equações diferenciais lineares e homogêneas de
segunda ordem, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s)
Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s).
I. (   ) A equação auxiliar pode apresentar duas raízes reais distintas.
II. (   ) A equação auxiliar sempre apresenta raízes reais.
III. (  ) A equação auxiliar da EDO homogênea de segunda ordem
 é expressa por .
IV. (  ) A equação auxiliar de raízes complexas  e  apresenta como
solução a função .
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
1 em 1 pontos
Resposta Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário
da resposta:
V, F, F, F.
V, F, F, F.
Resposta correta. A alternativa está correta. Com base na teoria das
equações diferenciais lineares e homogêneas de segunda ordem,
temos que, entre as a�rmativas apresentadas, apenas a a�rmativa I é
verdadeira, sendo todas as outras falsas. Portanto, a sequência
correta é V, F, F, F.
Pergunta 3
Resposta Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário da
resposta:
Um problema de valor inicial (PVI), para equações diferenciais lineares
homogêneas de segunda ordem, consiste em determinar uma solução 
 que satisfaça às condições iniciais da forma  e . Por
meio dessas condições, é possível determinar o valor das constantes
obtidas na solução geral.
Considere o seguinte PVI: ,  e . Analise as
afirmativas a seguir:
I. A equação auxiliar apresenta duas raízes reais e distintas.
II. A solução do PVI é .
III. O valor de umas das constantes da solução geral é .
IV. A EDO dada não é homogênea.
É correto o que se afirma em:
I e II, apenas.
I e II, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. São verdadeiras as
a�rmativas I e II, pois:
A�rmativa I: Correta. A equação auxiliar é expressa por
, cujas raízes são  (duas raízes reais e
distintas).
A�rmativa II: correta. Como a equação auxiliar possui raízes reais e
distintas, a saber , a solução geral é expressa por
. A partir das condições iniciais, obtemos o
1 em 1 pontos
seguinte sistema:
(i) 
(ii) 
Resolvendo o sistema, obtemos  e . Portanto, a solução
do PVI é .
Pergunta 4
Resposta
Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário
da resposta:
“Uma equação diferencial linear de segunda ordem tem a forma
, onde  e  são funções contínuas”
(STEWART, 2016, p. 1028). Se , a equação é dita linear
homogênea, caso contrário, se  a equação é dita linear não
homogênea.
STEWART, J. Cálculo .
São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v.
Com relação às equações homogêneas, assinale a alternativa correta:
A equação diferencial  tem solução
.
A equação diferencial  tem solução
.
Resposta correta. A alternativa está correta. Dada a equação
diferencial , escrevemos sua equação auxiliar
. Resolvendo essa equação de segundo grau, obtemos
os seguintes valores para . Como as raízes são distintas,
podemos escrever a solução geral da equação diferencial dada como
.
Pergunta 5
A oscilação de uma mola pode ser chamada de movimento harmônico
simples , o qual pode ser descrito pela equação , onde  é uma
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
Resposta Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário
da resposta:
função do tempo  que indica a posição da massa,  é a massa da mola e 
 é a constante elástica. Para uma mola de comprimento natural de 0,75 m e
5 kg de massa, é necessária uma força de 25 N para mantê-la esticada até
um comprimento de 1 m. Se a mola for solta com velocidade nula ao ser
esticada em um comprimento de 1,1 m, qual é a posição da massa após 
 segundos?
Assinale a alternativa correta. (Dica: Lei de Hooke: ).
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta. O enunciado fornece as
seguintes condições:  (a mola no tempo  está
esticada em 1,1 m sendo seu comprimento natural de 0,75 m;
portanto, está deformada em 0,35 m) e  (a velocidade inicial
da mola é nula; lembre que a função velocidade é a derivada primeira
da função posição). Pela lei de Hooke, temos que o valor da constante
elástica é: . Tomando  e
 na EDO , obtemos a EDO .
Resolvendo o PVI: ,  e , temos
que a solução geral da EDO é  e,
portanto, a solução do PVI é 
Pergunta 6
Resposta
Selecionada:
As equações diferenciais podem ser classificadas de acordo com alguns
critérios. Por exemplo, podemos classificar uma equação diferencial de
acordo com sua ordem e grau. No caso da classificação pela ordem, temos
que esta é definida pela ordem da mais alta derivada que aparece na
equação, e a classificação pelo grau é dada pelo expoente da derivada de
maior ordem que aparece na equação.
De acordo com a classificação de ordem e grau, assinale a alternativa
correta:
1 em 1 pontos
Resposta Correta:
Comentário
da resposta:
A equação diferencial  é de ordem 1 e grau 1.
A equação diferencial  é de ordem 1 e
grau 1.
Resposta correta. A alternativa está correta. De acordo com as
de�nições de classi�cação por ordem e grau, temos que a ordem da
equação é de�nida pela “maior derivada” da equação, no caso, a
maior derivada é a de ordem 1, . Já a classi�cação pelo grau é dada
pelo expoente da maior derivada, nesse caso, grau 1, pois .
Pergunta 7
Resposta Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário
da resposta:
Um circuito elétrico simples composto por um resistor , um indutor  e
uma força eletromotriz  (proporcionada por uma pilha ou gerador) pode
ser modelado matematicamente por meio da seguinte equação diferencial:
. Sabendo que essa equação é do tipo linear de primeira
ordem, considere um resistor de , uma indutância de  e uma
voltagem constante de .
Assinale a alternativa que corresponde ao fator integrante da EDO dada.
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta. O fator integrante de
uma EDO linear de primeira ordem  é expresso
por . Dada a EDO
, temos que  e, portanto,
o fator integrante é .
Pergunta 8
Uma equação diferencial pode ser classificada de acordo com a sua
linearidade em equação diferencial linear e equação diferencial não linear .
As equações diferenciais lineares são caracterizadas por duas propriedades:
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
Resposta Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário
da resposta:Considere que a variável independente é  e a variável dependente é ,
temos que: (i) A variável dependente  e todas as suas derivadas são do
primeiro grau, isto é, possuem grau 1. (ii) Cada coeficiente depende apenas
da variável independente .
Considere a variável  uma função da variável , isto é, . Analise as
afirmativas a seguir.
I. A equação diferencial  é linear.
II. A equação diferencial  é linear.
III. A equação diferencial  é linear.
IV. A equação diferencial  é linear.
Assinale a alternativa correta.
I, III e IV, apenas.
I, III e IV, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. De acordo com as
condições de linearidade de uma equação diferencial, temos que as
a�rmativas I, III e IV estão corretas, pois em todas elas temos que a
variável dependente  e todas as suas derivadas possuem grau 1, e
cada coe�ciente depende apenas da variável independente .
Pergunta 9
De acordo com Stewart (2016, p. 543), “a técnica para resolver as equações
diferenciais separáveis foi primeiro usada por James Bernoulli (em 1690)
para resolver um problema sobre pêndulos e por Leibniz (em uma carta para
Huygens em 1691). John Bernoulli explicou o método geral em um artigo
publicado em 1694”.
STEWART, J. Cálculo . São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v.
Sabe-se que o método de resolução de uma equação diferencial separável é
a integração de ambos os membros da igualdade, assim, assinale a
alternativa que corresponde à solução da equação diferencial .
1 em 1 pontos
Resposta Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário
da resposta:
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta. A equação diferencial
dada é uma equação separável. Separando as variáveis  e ,
podemos reescrever a equação como .
Integrando ambos os lados da igualdade, temos
.
Pergunta 10
Resposta Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário da
resposta:
As equações diferenciais não possuem exatamente uma regra de resolução.
O método de resolução de uma equação diferencial depende de algumas
características apresentadas pela mesma. Por exemplo, equações
diferenciais escritas na forma  são ditas equações
diferenciais separáveis e resolvidas usando a integração em ambos os
membros da igualdade.
Com base no método de resolução de equações diferenciais separáveis,
analise as afirmativas a seguir:
I. A solução da equação  é .
II. A solução da equação  é  .
III. A solução da equação  é .
IV. A solução da equação  é .
É correto o que se afirma em:
I e III, apenas.
I e III, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. Aplicando
adequadamente o método de solução nas equações diferenciais
separáveis, temos que:
A�rmativa I: correta. Separando as variáveis:
. Integrando a
equação:
1 em 1 pontos
, onde .
A�rmativa III: correta. Separando as variáveis:
. Integrando a equação:
,
onde .