Questões módulo Lógica e Raciocínio - Perícias e avaliações de obras

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17/05/2022 08:30 Descomplica | Lógica E Raciocínio
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01
Observe as sentenças abaixo:
I. João e Maria. 
II. Um quadrado é um polígono de quatro lados. 
III. x+5=2. 
IV. 8 divide 72 (8 | 72).
As sentenças que são proposições são:
a
I e II
b
II e III
c
I e IV
II e IV
e
I e III
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02
Observe as proposições abaixo:
I. 5 é um número primo. 
II. 2+5=9. 
III. Todo quadrilátero é um paralelogramo ou 2 divide 8. 
IV. 10-3=6, se e somente se, Buenos Aires é a capital do Brasil.
Com relação aos seus valores lógicos, podemos classificá-las,
respectivamente, como:
Verdadeira, falsa, verdadeira, verdadeira
b
Verdadeira, verdadeira, falsa, verdadeira
c
Falsa, falsa, verdadeira, falsa
d
Verdadeira, falsa, verdadeira, falsa
e
Verdadeira, falsa, falsa, falsaVer solução da questão
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Proposições Matemáticas, Conectivos e Condicionais
03
Se a proposição p possui valor lógico verdadeiro e q o valor lógico falso,
assinale a alternativa cuja proposição tenha valor lógico verdadeiro.
a
~p
b
p ∧ q
p ∨ q
d
p → q
e
p ↔ q
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04
Sobre a proposição composta “1/2 é menor do que 3/4 ou 5 divide 11”,
podemos afirmar que:
a
A sentença é falsa, pois em uma disjunção basta que uma das sentenças
seja falsa para que a proposição composta seja falsa, o que ocorre neste
caso
b
A sentença é verdadeira, pois em uma conjunção é necessário que ambas
as sentenças sejam verdadeiras para que a proposição composta seja
verdadeira, o que ocorre neste caso
A sentença é verdadeira, pois em uma disjunção basta que uma sentença
seja verdadeira para que a proposição composta seja verdadeira, o que
ocorre neste caso
d
A sentença é falsa, pois em uma conjunção basta que pelo menos uma das
sentenças seja falsa para que a proposição composta seja falsa, o que
ocorre neste caso
e
Não é possível atribuir valor-lógico para esta sentença, pois ela é composta
por uma proposição de valor-lógico verdadeira e outra proposição de valor-
lógico falsa
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05
Na sentença “Todo retângulo é um paralelogramo se e somente se todo
número primo diferente de 2 é um número ímpar”, podemos afirmar que:
a
A sentença é falsa, pois em uma condicional “se, e somente se” os valores-
lógicos das sentenças envolvidas precisam ser iguais para que a proposição
composta seja verdadeira, o que não é o caso
A sentença é verdadeira, pois em uma condicional “se, e somente se” os
valores-lógicos das sentenças envolvidas precisam ser iguais para que a
proposição composta seja verdadeira, o que é o caso
c
A sentença é falsa, pois em uma condicional “se, e somente se” os valores-
lógicos das sentenças envolvidas precisam ser diferentes para que a
proposição composta seja verdadeira, o que não é o caso
d
A sentença é verdadeira, pois em uma condicional “se, e somente se” os
valores-lógicos das sentenças envolvidas precisam ser diferentes para que
a proposição composta seja verdadeira, o que é o caso
e
Não é possível atribuir valor-lógico para esta sentença, pois ela é composta
por uma proposição de valor-lógico verdadeira e outra proposição de valor-
lógico falsa
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06
Na sentença “dois que multiplica quatro é igual a vinte e um”, podemos afirmar
que:
a
A sentença possui valor-lógico falso, e a sua negação é “dois que multiplica
quatro é igual a vinte”, que possui valor-lógico verdadeiro
b
A sentença possui valor-lógico verdadeiro, e a sua negação é “dois que
multiplica quatro é diferente de vinte e um”, que possui valor-lógico falso
A sentença possui valor-lógico falso, e a sua negação é “dois que multiplica
quatro é diferente de vinte e um”, que possui valor-lógico verdadeiro
d
A sentença possui valor-lógico verdadeiro, e a sua negação é “dois que
multiplica quatro é igual a vinte”, que possui valor-lógico falso
e
A sentença possui valor-lógico falso, e a sua negação é “dois que multiplica
quatro é diferente de vinte e um”, que possui valor-lógico falso
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01
Observe as seguintes proposições:
I. p → (q → (q → p)) 
II. (p → q) → (p ∧ q) 
III. p → (~p → q) 
IV. (p ∨ ~q) ↔ (~p ∧ q)
Podemos afirmar que:
a
São tautologias as proposições I e IV, apenas
b
São contradições as proposições III e IV, apenas
São tautologias as proposições I e III, apenas
d
São contradições as proposições I e II, apenas
e
As proposições II e IV não são nem tautologias e nem contradições
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02
Observe a seguinte tabela-verdade:
A alternativa que preenche corretamente as lacunas (1), (2) e (3),
respectivamente, é:
a
Falso, Verdadeiro, Verdadeiro
b
Verdadeiro, Falso, Verdadeiro
c
Verdadeiro, Falso, Falso
d
Verdadeiro, Falso, Falso
Falso, Falso, Verdadeiro
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03
Observe as sentenças abaixo:
I. p ∧ q ⇔ p 
II. p ∧ (p ∨ q) ⇔ p 
III. ~(p ∧ q) ⇔ ~p ∨ ~q 
IV. ~(p ∨ q) ⇔ ~p ∧ ~q
Estão corretas as relações:
a
I e II, apenas
b
I, II e III, apenas
c
I e IV, apenas
II, III e IV, apenas
e
I, II e IV, apenas
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04
Considere as sentenças abaixo com valores-lógicos verdadeiros:
p: Roberto é advogado. 
q: Andreza é engenheira. 
r: Lucas é carpinteiro.
Então a proposição composta (p ∧ q) ⇔ r é lida como:
a
Roberto ser advogado ou Andreza ser engenheira é equivalente a Lucas ser
carpinteiro
b
Roberto ser advogado e ou Andreza ser engenheira implica em Lucas ser
carpinteiro
Roberto ser advogado e Andreza ser engenheira implica em Lucas ser
carpinteiro
Roberto ser advogado e Andreza ser engenheira equivale a Lucas ser
carpinteiro
e
Roberto é advogado e Andreza é engenheira se e somente se Lucas não é
carpinteiro
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05
Considere as sentenças abaixo com valores-lógicos verdadeiros:
p: Hoje está chovendo. 
q: Amanhã irei trabalhar. 
r: Comprei um café.
Então a proposição composta (p ∨ r) ⇒ q ∧ r é lida como:
Hoje está chovendo ou comprei um café implica em que amanhã irei
trabalhar e irei comprar um café
b
Hoje está chovendo e comprei um café implica em que amanhã irei trabalhar
ou irei comprar um café
c
Hoje está chovendo ou comprei um café é equivalente a amanhã irei
trabalhar e irei comprar um café
d
Hoje está chovendo e comprei um café é equivalente a amanhã irei
trabalhar ou irei comprar um café
e
Se hoje está chovendo e comprei um café então amanhã irei trabalhar e irei
comprar um café
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06
Considere as sentenças abaixo com valores-lógicos verdadeiros:
p: A seleção brasileira ganhou o último jogo amistoso. 
q: Neymar já jogou pela seleção brasileira.
Então a proposição composta ~(p ∨ q) ⇔ ~p ∧ ~q é lida como:
A negação de que a seleção brasileira ganhou o último jogo amistoso ou
que o Neymar já jogou pela seleção brasileira é equivalente a seleção
brasileira não ter ganho o último jogo amistoso e o Neymar nunca ter jogado
pela seleção brasileira
b
A negação de que a seleção brasileira ganhou o último jogo amistoso e que
o Neymar já jogou pela seleção brasileira é equivalente a seleção brasileira
não ter ganho o último jogo amistoso ou o Neymar nunca ter jogado pela
seleção brasileira
c
A negação de que a seleção brasileira ganhou o último jogo amistoso e que
o Neymar já jogou pela seleção brasileira é equivalente a seleção brasileira
não ter ganho o último jogo amistoso e o Neymar nunca ter jogado pela
seleção brasileira
d
A negação de que a seleção brasileira ganhou o último jogo amistoso ou
que o Neymar já jogou pela seleção brasileira é equivalente a seleção
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brasileira não ter ganho o último jogo amistoso ou o Neymar nunca ter
jogado pela seleção brasileira
e
A seleção brasileira ganhou o último jogo amistoso ou o Neymar já jogou
pela seleção brasileira é equivalente a seleção brasileira ter ganho o último
jogo amistoso e o Neymar já ter jogado pela seleção brasileira
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Sentenças Abertas e Quantificadores
Suas anotações
01
Qual das alternativas a seguir é uma sentença aberta?
Existem números reais que são soluções da equação x3-1=0
b
Vinte é máximo divisor comum de quarenta e sessenta
x2+1=0
d
Brasília é a capital do Brasil
e
x2+1=0, para x=1 e x=-1
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02
Considerando o conjunto dos números reais, observe as sentenças abertas
abaixo:
I. x2-1=0 
II. y<y+1 
III. √z2=z 
IV. x-1=0
Para transformá-las corretamente em proposições lógicas cujo valor-lógico é
verdadeiro, podemos usar, respectivamente, os seguintes quantificadores:
∃,∀,∀,∃
b
∃!,∃,∀,∃
c
∀,∃,∀,∀
∃,∀ ,∃,∃!
e
∃,∀,∃!,∀
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03
Observe as sentenças abaixo:
I. Existe pelo menos um professor de matemática na escola. 
II. Todo brasileiro tem direito à saúde pública de qualidade. 
III. Um único estudante irá passar em 1º lugar no vestibular de medicina. 
IV. Qualquer estudante pode participar da assembleia estudantil.
Foram empregadas nas sentenças acima, respectivamente, os seguintes
quantificadores:
a
Existencial, existencial, existencial, universal
b
Universal, existencial, universal, existencial
Existencial, universal, existencial, universal
d
Universal, Existencial, existencial, universal
e
Existencial, universal, existencial, existencialVer solução da questão
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04
Observe as sentenças quantificadas a seguir:
(∀ x ∈ R) (x2+7=56) 
Existe um único número real x tal que x+7=14. 
Todo retângulo é um paralelogramo. 
(∃ x∈ N ) (x2-x=0)
Podemos classificar o valor-lógico das sentenças como sendo,
respectivamente:
a
Verdadeiro, verdadeiro, falso, verdadeiro
b
Falso, verdadeiro, verdadeiro, falso
c
Falso, falso, verdadeiro, verdadeiro
d
Verdadeiro, falso, falso, verdadeiro
Falso, verdadeiro, verdadeiro,verdadeiro
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05
Observe as sentenças abertas a seguir, onde em todas elas x∈ R:
I. x2+1=7 
II. x<2 
III. x3=3x²
A única alternativa que possui os quantificadores necessários para
transformar as sentenças em proposições lógicas com valores-lógicos falsos
é:
a
Universal, existencial, existencial
b
Existencial, universal, universal
c
Existencial com unicidade, existencial, existencial
Universal, existencial com unicidade, universal
e
Universal, existencial, existencial com unicidade
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Sentenças Abertas e Quantificadores
06
A única sentença aberta que se torna uma proposição lógica com valor-lógico
verdadeiro através do quantificador existencial com unicidade (∃!) é:
a
2x2 - 10x + 8 = 0
b
18 < x < 21
c
6 n + 4 ≤ 34
d
(y-1) . (y+1) = y2 - 1
3z - 3 = 9
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Negação de Proposições Lógicas
Suas anotações
01
A negação de “Se m é ímpar e n é par, então m + n é par” é:
a
Se m é par e n é ímpar, então m + n é ímpar
b
Se m é ímpar e n é par, então m + n é ímpar
c
Se m + n é ímpar, então m é par ou n é par
m é ímpar, n é par e m + n é ímpar
e
m é par, n é ímpar e m + n é par
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Negação de Proposições Lógicas
02
A negação para a proposição “existe um losango que não é quadrado e todo
número primo é ímpar” é dada por:
a
“Todo losango é um quadrado e todo número primo é par”
b
“Todo losango não é um quadrado ou todo número par é par”
c
“Existe um único losango que não é um quadrado e existe um número primo
que é par”
“Todo losango é um quadrado ou existe um número primo que é par”
e
“Existe um losango que não é quadrado ou todo número primo é ímpar”
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03
Em uma vaga de emprego, as exigências mínimas eram que “o candidato
tivesse fluência em inglês ou espanhol, e além disto, também tivesse pelo
menos 5 anos de experiência na função”. Se um candidato foi descartado do
processo seletivo por não cumprir as exigências mínimas então podemos
afirmar com toda a certeza que:
a
O candidato tinha fluência em inglês e não tinha fluência em espanhol, ou
não tinha pelo menos 5 anos de experiência na função
b
O candidato tinha fluência em inglês e espanhol, e não tinha pelo menos 5
anos de experiência no cargo
c
O candidato não tinha fluência em inglês ou em espanhol, mas tinha pelo
menos 5 anos de experiência no cargo
d
O candidato tinha fluência em inglês e em espanhol, mas não tinha pelo
menos 5 anos de experiência no cargo
O candidato não tinha fluência em inglês e não tinha fluência em espanhol,
ou não tinha pelo menos 5 anos de experiência no cargoVer solução da questão
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04
A negação correta da sentença “existe apenas um único número real x tal que
x2-1=0”, assim como o valor-lógico desta negação, é:
a
Para todo número real x vale que x2-1≠0, com valor-lógico falso
b
Existem dois números reais x1 , x2 tais que x2-1=0, com valor-lógico verdadeiro
Para todo número real x vale que x2 - 1 ≠ 0 ou existem pelo menos dois números
reais x1, x2 tais que x2 - 1 = 0, com valor-lógico verdadeiro.
d
Para todo número real x vale que x2 - 1 ≠ 0 ou existem pelo menos dois números
reais x1, x2 tais que x2 - 1 = 0, com valor-falso.
e
Para todo número real x vale que x2 - 1 = 0 ou existem pelo menos dois números
reais x1, x2 tais que x2 - 1 ≠ 0, com valor-falso.
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17/05/2022 08:41 Descomplica | Lógica E Raciocínio
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05
A negação da sentença “existe um único gerente responsável por este
assunto, e nenhum outro funcionário pode resolver esta questão” é:
a
Existe pelo menos dois gerentes responsáveis por este assunto ou existe
um outro funcionário que pode resolver esta questão
b
Nenhum gerente é responsável por este assunto, mas outro funcionário
pode resolver esta questão
Nenhum gerente é responsável por este assunto, ou pelo menos existem
dois gerentes responsáveis por este assunto, ou existe um outro funcionário
que pode resolver esta questão
d
Nenhum gerente é responsável por este assunto, ou pelo menos existem
dois gerentes responsáveis por este assunto, e existe um outro funcionário
que pode resolver esta questão
e
Nenhum gerente é responsável por este assunto, ou pelo menos existem
dois gerentes responsáveis por este assunto, ou qualquer outro funcionário
que pode resolver esta questãoVer solução da questão
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Negação de Proposições Lógicas
Suas anotações
06
A negação da sentença lógica (p ∧ q) → (∀ x)(r(x)) é dada por:
a
(p ∨ q) → (∃ x)(~r(x))
b
(p ∨ q) → (∀ x)(~r(x))
(p ∧ q) ∧ (∃ x)(~r(x))
d
(p ∨ q) ∧ (∃ x)(~r(x))
e
(p ∨ q) ∨ (∀ x)(~r(x))
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17/05/2022 08:43 Descomplica | Lógica E Raciocínio
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01
É correto afirmar que:
Ao desenvolver uma teoria matemática, um pesquisador pode estabelecer
um postulado que é demonstrável, porém por sua complexidade ou
desconhecimento à priori de uma demonstração, faz parte do rol das
“regras iniciais” da teoria
b
Todo postulado é também um axioma, mas nem todo axioma é um
postulado
c
Uma definição pode serambígua, isto é, com a mesma redação podemos
definir duas classes de objetos diferentes, sem que tenham quaisquer
propriedades em comum
d
Uma hipótese que ainda não foi demonstrada pode ser considerada como
um escólio, até que se encontre um contraexemplo ou uma demonstração
válida, passando a ser chamada de conjectura
e
Lemas e proposições são resultados menores de uma teoria, e sempre
podem ser descartados, pois não são necessários para demonstrar nenhum
teorema ou outro resultado
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02
Um dos mais famosos teoremas matemáticos, o Último Teorema de Fermat é uma
generalização do Teorema de Pitágoras. Em seu teorema, escrito como uma nota
de canto em suas anotações, Fermat afirmava que não existia uma trinca de
números naturais tais que a equação an = bn + cn, para n > 2. 
Apesar de Fermat afirmar que possuía uma demonstração para tal resultado,
ele nunca a divulgou. Levaram-se 358 anos até que o matemático Andrew
Wiles em 1995 encontrasse uma demonstração válida, utilizando métodos
matemáticos extremamente modernos e complexos.
Com respeito ao Último Teorema de Fermat, podemos afirmar que:
a
Tal resultado sempre foi considerado um teorema, pois Fermat já havia
informado que tinha uma prova, apesar de nunca ter sido divulgada
Tal resultado é atualmente um teorema, porém durante 358 anos foi
considerado como uma conjectura, pois sua demonstração não havia sido
divulgada até 1995
c
Tal resultado é atualmente um teorema, porém durante 358 anos foi
considerado como um postulado, pois era uma sentença considerada válida
para o desenvolvimento da geometria, e não contradizia nenhum dos
demais postulados de Euclides
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17/05/2022 08:43 Descomplica | Lógica E Raciocínio
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d
Apesar do nome de teorema, tal resultado é na verdade um escólio do
Teorema de Pitágoras, pois é um resultado imediato do teorema pitagórico
e
Tal resultado é atualmente um teorema, porém durante 358 anos foi
considerado como um axioma, pois era uma sentença considerada válida
para o desenvolvimento da geometria, e é independente dos demais
postulados de Euclides
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17/05/2022 08:43 Descomplica | Lógica E Raciocínio
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03
O Teorema Fundamental do Cálculo estabelece condições para se calcular a
integral de uma função através da derivada de sua primitiva. Sobre tal
teorema, podemos afirmar que:
a
Apesar do nome de teorema, tal resultado é na verdade um postulado, pois
é fundamental nos estudos das funções, e não possui uma demonstração
comprovada
b
Por ser fundamental, tal sentença não é demonstrável, mas sim assumida
como verdade inicial, sendo assim um axioma
Apesar de ser um resultado fundamental, tal sentença é um teorema, logo
possui uma demonstração
d
Por ser fundamental, tal sentença é considerada uma definição matemática
e
Tal resultado não possui uma demonstração, e por conta disto, é uma
conjectura, e não possui aplicações na engenharia, medicina ou estatística
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17/05/2022 08:43 Descomplica | Lógica E Raciocínio
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17/05/2022 08:44 Descomplica | Lógica E Raciocínio
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04
Considere a seguinte questão matemática: Pedro comprou 5 bananas e 7
laranjas, onde o total da compra foi de R$ 8,90. Sabendo que o custo total
das bananas foi 3 reais a menos que o das laranjas, calcule o preço de cada
unidade de banana e cada unidade de laranja.
Para resolver tal questão, Pedro escreveu: Seja B o preço de uma banana e L
o preço de uma laranja, então:
Sobre as incógnitas B e L, podemos afirmar que:
a
Dizer que B é o preço de uma banana e L é o preço de uma laranja é definir
o que são as incógnitas B e L, isto é, são definições, que valem em qualquer
contexto, problema, teorema ou teoria matemática
Dizer que B é o preço de uma banana e L é o preço de uma laranja é definir
o que são as incógnitas B e L, porém é um tipo de definição restrita ao
problema proposto, isto é, em outro contexto uma incógnita B ou L
provavelmente terá outro significado
c
Como B e L são preços de frutas em uma situação-problema, não são
definições, pois suas propriedades e características se restringem somente
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17/05/2022 08:44 Descomplica | Lógica E Raciocínio
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a uma situação-problema em específico, não sendo uma característica geral
em uma teoria matemática
d
As incógnitas B e L foram definidas de modo inválido, pois obrigatoriamente
qualquer incógnita deve ser definida utilizando somente letras minúsculas
e
Como B e L são, ao final das contas, apenas números, B e L não são
definições, e sim apenas incógnitas de uma situação-problema
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17/05/2022 08:45 Descomplica | Lógica E Raciocínio
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05
A Hipótese de Goldbach (1742) estabelece que todo número par maior do
que 2 pode ser escrito como a soma de dois números primos. Em 1995 o
matemático Ramaré demonstrou que todo número par maior do que 2 pode
escrito como a soma de no máximo seis números primos. Com isto, podemos
afirmar que:
a
A Hipótese de Goldbach foi refutada por Ramaré, pois o resultado de
Ramaré estabelece uma quantidade de números primos maior do que a
conjecturada por Goldbach
b
Apesar do resultado de Ramaré, em nada ele contribui para a Hipótese de
Goldbach, pois é um resultado menos preciso que o de Goldbach, logo
descartável e sem valor na matemática
Apesar do resultado de Ramaré não demonstrar a Hipótese de Goldbach,
ela embasa intuitivamente que a Conjectura de Goldbach deve ser
verdadeira, porém ainda precisa de uma demonstração formal
d
O resultado de Ramaré prova parcialmente a Hipótese de Goldbach, logo
intuitivamente podemos considerar a Hipótese de Goldbach válida, logo
sendo um teorema fundamental para a Teoria dos NúmerosVer solução da questão
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17/05/2022 08:45 Descomplica | Lógica E Raciocínio
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e O resultado de Ramaré e a Hipótese de Goldbach não possuem nenhuma
relação em comum, se tratando de áreas completamente distintas da
matemática
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17/05/2022 08:47 Descomplica | Lógica E Raciocínio
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06
Uma proposição é estruturada em uma hipótese (ou pré-requisitos) que resultam
em uma tese (ou resultado da proposição). Apesar de, ao utilizarmos uma
proposição, estarmos mais interessados em sua tese, é importante verificar se os
pré-requisitos são todos satisfeitos.Por exemplo, na proposição “Se n é um número
natural, então n2 ≥ n” é válida, porém se tentarmos utilizar esta proposição em um
número que não é natural, ela pode não ser válida (para q sendo um número
racional entre 0 e 1, temos que q2 < q). 
Tendo em vista a importância da hipótese e da tese de uma proposição (ou
teorema, lema...), podemos afirmar que:
Um teorema só é válido, a princípio, quando todas as condições de sua
hipótese são verificadas. Caso alguma delas não seja verificada, a tese
pode ser válida ou não
b
Ao modificarmos a hipótese de um teorema, temos um novo resultado, que
é automaticamente válido, pois se trata de uma pequena modificação de
um teorema de já demonstrado, portanto matematicamente validado
c
Se uma proposição é válida para um conjunto numérico, podemos sempre
considerar que ela é válida para um conjunto numérico maior (isto é, que
contém o conjunto numérico original)Ver solução da questão
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17/05/2022 08:47 Descomplica | Lógica E Raciocínio
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d
Se uma proposição é válida para um conjunto numérico, e restringimos para
um conjunto de números menor (isto é, contido no conjunto numérico
original), a proposição automaticamente se torna inválida, por modificarmos
suas hipóteses
e
Existe um nível de tolerância na matemática para que um resultado seja
considerado automaticamente válido, caso ele seja uma variação de um
resultado previamente demonstrado e validado
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17/05/2022 08:50 Descomplica | Lógica E Raciocínio
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01
Sobre demonstrações matemáticas, podemos afirmar que:
a
Uma demonstração pode ser feita testando casos particulares até um
número satisfatório e, se não encontrarmos nenhuma contradição, o
resultado é considerado válido. Esta é a prova intuitiva
b
Uma demonstração por indução pode ser feita verificando o resultado para
os primeiros 100 casos, e sendo válida nestes casos, estende-se a validade
para todos os números naturais
Uma demonstração não pode ser pautada somente em testes de casos
particulares, porém um caso particular pode verificar que a implicação
hipótese-tese é falsa, como é o caso da Conjectura de Euler
d
Em uma prova direta, supomos a hipótese e negamos a tese, a fim de
encontrar uma falha lógica
e
Em uma demonstração indireta, utilizamos a relação lógica “p ⇨ q"
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17/05/2022 08:50 Descomplica | Lógica E Raciocínio
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02
Sobre demonstrações matemáticas, podemos afirmar que:
a
Em uma prova por indução não é necessário verificar a base da indução,
pois ele serve apenas de intuição para o argumento de indução, e não
possui importância no argumento lógico-matemático
b
Uma prova direta consiste em duas etapas: a base da prova e o passo
indutivo
c
A prova indireta é pouco utilizada pois não possui base lógica para validar
teoremas e proposições
Em uma prova por indução é necessário verificar a base de indução, pois
sem ela não é possível garantir que o resultado é válido
e
Uma prova indireta consiste em duas etapas: a base da prova e o passo
dedutivo, porém este tipo de prova só funciona para demonstrações
geométricas
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17/05/2022 08:50 Descomplica | Lógica E Raciocínio
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03
Um matemático adota a seguinte estratégia para demonstrar um teorema:
partindo da hipótese inicial, demonstra para um caso particular inicial
indexado pelos Naturais, e supondo válido para algum número natural
genérico, verifica que a tese é válida para o sucessor deste número.
A estratégia de demonstração utilizada por este matemático é:
a
Prova direta
b
Prova indireta
c
Prova por contradição
Prova por indução
e
Prova por dedução finita
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04
Uma demonstração matemática pode envolver diversas técnicas já
conhecidas (de fato, esta é uma prática muito comum). Suponha que um
matemático adota a seguinte estratégia para demonstrar um lema técnico:
partindo da hipótese inicial, demonstra através da estrutura de implicações “p
⇨ q” um resultado particular, e indexado pelos números naturais, demonstra
que se o resultado é válido para um número natural genérico, que a tese é
válida para o sucessor deste número, utilizando nesta etapa da
demonstração um argumento via contradição, chegando ao resultado inicial
desejado, e finalizando a demonstração.
Podemos dizer que o matemático adotou as seguintes técnicas:
a
Prova por indução, utilizando dentro da indução a prova direta e a prova
intuitiva
b
Prova direta, utilizando a prova por indução e prova inversa
c
Prova por indução, utilizando dentro da indução a prova indireta e a prova
por contradição
Prova por indução, utilizando dentro da indução a prova direta e a prova
indireta
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17/05/2022 08:51 Descomplica | Lógica E Raciocínio
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e
Prova indireta, utilizando dentro da contradição um argumento de indução e
de contradição
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17/05/2022 08:51 Descomplica | Lógica E Raciocínio
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05
Um estudante de matemática adotou a seguinte estratégia para demonstrar
um teorema: indexando pelos números inteiros, demonstrou que se o
resultado é válido para os números 1, 2 e 3, concluindo diretamente que ele
seria válido para todos os números naturais. A demonstração para o número 1
foi via prova direta, e dos casos 2 e 3, utilizando a argumento da contradição.
A demonstração apresentada pelo estudante possui erros, que são:
O estudante tentou aplicar o conceito da demonstração por indução, porém
provou apenas a base da indução, não demonstrando o passo indutivo.
Além disto, ele indexou a indução nos números inteiros ao invés dos
naturais
b
O estudante tentou aplicar o conceito da demonstração por indução, porém
provou apenas o passo indutivo, não demonstrando a base da indução
c
A demonstração por indução, utilizada pelo estudante, não pode ser usada
junto da técnica da demonstração por contradição, pois invalida o resultado
demonstrado
d
O estudante tentou aplicar o conceito da demonstração por dedução,
deduzindo que se o resultado é válido para os primeiros casos, então
automaticamente ele é válido para qualquer número inteiro. O erro consiste
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17/05/2022 08:51Descomplica | Lógica E Raciocínio
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que para isto ele deveria ter demonstrado todos os casos utilizando
somente a prova direta
e
O estudante tentou aplicar o conceito da demonstração por dedução,
porém esqueceu de fazer o passo dedutivo
Ver solução da questão
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17/05/2022 08:51 Descomplica | Lógica E Raciocínio
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06
Uma das fórmulas mais famosas do ensino básico é a Fórmula Resolutiva da
Equação Quadrática (conhecida no Brasil como “Fórmula de Bhaskara”). Dada
uma equação do segundo grau na forma
temos que a fórmula resolutiva é dada por:
Sua demonstração consiste na seguinte manipulação algébrica:
Este tipo de demonstração pode ser classificado como:Ver solução da questão
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17/05/2022 08:51 Descomplica | Lógica E Raciocínio
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Prova direta
b
Prova indireta
c
Prova por contradição
d
Prova por indução
e
Prova por dedução finita
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17/05/2022 09:27 Descomplica | Lógica E Raciocínio
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01
Sobre demonstrações matemáticas, podemos afirmar que:
a
As demonstrações por contradição e por contraposição são o mesmo
método e não possuem qualquer distinção entre elas
b
Apesar de semelhantes, as demonstrações por contraposição e
contradição se diferem no fato da segunda se basear na negação da
hipótese, enquanto a primeira, a negação da tese
c
O método da demonstração por construção só pode ser utilizado no
contexto da geometria, pois é pautada essencialmente nas técnicas de
construções geométricas
d
Se quisermos demonstrar uma hipótese para um número infinito de
possibilidades divididas em uma quantidade finita de casos, devemos usar
obrigatoriamente o método da força-bruta
O método da demonstração por exaustão só pode usar utilizada se
tivermos uma quantidade finita de casos, mesmo que a quantidade de
possibilidades seja infinita Ver solução da questão
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17/05/2022 09:27 Descomplica | Lógica E Raciocínio
https://aulas.descomplica.com.br/pos/pos-graduacao-em-orcamentacao-planejamento-e-controle-na-construcao-civil/turma/logica-e-raciocinio-fb… 2/2
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17/05/2022 09:30 Descomplica | Lógica E Raciocínio
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02
É comum que em demonstrações mais elaboradas um matemático utilize
diversas técnicas ao longo da demonstração, dividindo-a em etapas. Para a
demonstração do teorema de existência e unicidade de soluções das
equações ordinárias lineares de primeira ordem, utiliza-se a seguinte
estratégia:
i. A partir de uma função inicial, inicia-se um processo de iteração, a fim de
construir uma função específica que satisfaz a hipótese e a tese do teorema,
provando a sua existência; 
ii. Para provar a unicidade, supõe-se que existem duas funções que
satisfazem a hipótese e a tese do teorema, a fim de encontrar uma falha
lógica nesta suposição.
Dentre as técnicas de demonstração estudadas, podemos afirmar que:
a
A primeira etapa (existência) utiliza a prova por construção, e a segunda
etapa (unicidade), a prova por exaustão.
b
A primeira etapa (existência) utiliza a prova por contraposição, e a segunda
etapa (unicidade), a prova indireta
c
A primeira etapa (existência) utiliza a prova direta, e a segunda etapa
(unicidade), a prova por força brutaVer solução da questão
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17/05/2022 09:30 Descomplica | Lógica E Raciocínio
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A primeira etapa (existência) utiliza a prova por construção, e a segunda
etapa (unicidade), a prova por absurdo
e
A primeira etapa (existência) utiliza a prova por contraposição, e a segunda
etapa (unicidade), a prova por construção
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17/05/2022 09:30 Descomplica | Lógica E Raciocínio
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03
Observe a seguinte proposição e a sua demonstração:
Proposição: Se n∈ N é tal que n!>(n+1), então n>2.
Prova: Provaremos que n ≤ 2 ⇒ n!≤ n + 1. De fato, se n=1 então 1! = 1 ≤ 1 + 1 =
2, e se n = 2 então 2! = 2 ≤ 2 + 1 = 3. Logo n! > (n + 1) implica em n > 2. ∎
Podemos afirmar que:
a
A demonstração utilizou o método da prova direta
A demonstração utilizou o método da contraposição e da força-bruta
c
A demonstração utilizou o método da contradição e da exaustão
d
A demonstração utilizou o método da indução e da força-bruta
e
A demonstração utilizou o método da contraposição e da indução
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04
Para demonstrar uma proposição, um estudante de matemática fez a
seguinte argumentação:
Proposição: Se x é um número inteiro e par, então x+5 é um número ímpar.
Prova: Suponha que (x+5) é um número par, isto é, (x+5)=2k para algum k∈ Z.
Logo temos que:
 ⇒ ⇒ x=2$(k-2)-1
Isto é, x é um número ímpar, e a proposição é válida. 
C.Q.D. 
A demonstração feita pelo estudante pode ser classificada como:
x+5 = 2k⇒ x = 2k−5 x = 2k−2 ⋅ 2− 1
a
Prova direta
b
Prova indireta
Prova por contraposição
d
Prova por construçãoVer solução da questão
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e
Prova por exaustão
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05
Em um exercício sobre demonstrações matemáticas, um estudante deveria
provar, via contraposição, a seguinte proposição: se x e y são dois inteiros
cujo produto é par, então pelo menos um deles precisa ser um número par.
O estudante deu a seguinte argumentação: “Suponha que x e y são ambos
números inteiros e ímpares, então temos que:
x ⋅ y = (2k + 1) ⋅ (2p + 1) = 4k ⋅ p +2k + 2p + 1 = 2 (2k ⋅ p +k + p) +1
Como por hipótese x⋅y é um número par, temos então um erro lógico, e sendo
assim, a proposição não é válida, e existem inteiros pares tal que o produto
entre eles é um número ímpar.”
Sobre a argumentação do estudante, podemos dizer que:
a
O estudante está correto, pois sua demonstração por contraposição foi
feita corretamente
b
Apesar da demonstração por contraposição estar correta, o estudante
estava equivocado em sua conclusão final, pois a proposição é de fato
válida
O estudante não fez a demonstração utilizando o método de modo
correto, pois ele partiu da negação da tese, mas supôs a hipótese, o que
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seria uma demonstração indireta. Além disto, a sua conclusão final estava
equivocada, pois a proposição é de fato válida
d
O estudante não fez a demonstração utilizando o método solicitado, pois
ele realizou uma demonstração indireta. Todavia, a sua conclusão final
está correta, pois a proposição de fato possui exceções
e
Uma vez que a demonstração foi realizada com incógnitas x e y
representando números, não podemos afirmar nada sobre a paridade dos
mesmos ou do produto entre eles, e por conta exclusivamente deste fato,
a demonstração para tal proposição não é válida
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06
Em todo triângulo temos que a soma dos ângulos internos é igual a 180º.
Observe a seguir a demonstração deste fato da geometria euclidiana:
“Seja ABC um triângulo qualquer. Prolongando os lados B e C pelo vértice A, e
traçando uma reta r paralela ao lado BC passando por A. Pelo postulado das
retas paralelas, temos que os ângulos transportados em B ̂ e C ̂ formam, junto
de A ̂, um ângulo raso, logo a soma dos ângulos internos do triângulo é igual a
180º. C.Q.D.”
Temos que esta demonstração utiliza a técnica de:
a
Prova indireta
Prova por construção
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c
Prova por contraposição
d
Prova por força-bruta
e
Prova por exaustão
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01
Observe a falácia matemática abaixo: 
 
 
 
 
2(a-b)=a-b$
 
Temos que o erro está:
a = b
a + a = a + b
2a = a + b
2a − 2b = a + b − 2b
 =
a − b
2. a − b( )
 
a − b
a − b
2 = 1
a
Na primeira linha, pois não sabemos quais são os valores de a e b para
poder validar ou não as linhas seguintes
b
Na segunda linha, pois adicionamos a do lado esquerdo e b do lado direito,
perdendo a relação de igualdade entre o 1º e 2º membro da equação
c
Na quarta linha, pois não podemos subtrair 2b dos dois lados de uma
equação sem saber o valor de b
d
Na quinta linha, pois não podemos colocar (a-b) em evidência, uma vez que
a=b
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Na sexta linha, pois não podemos dividir ambos os lados da equação por
(a-b), uma vez que a=b
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02
Observe a falácia matemática abaixo:
 
 ⋅ =-
 
Temos que o erro está:
x = −2
x x 2x
x =2 −2x
=x2 −2x
x = −2x
x = )(−2).(−2
x = 4
x = 2
−2 = 2
a
Na terceira linha, pois para escrever que x⋅x=x², estamos assumindo que x é
positivo
b
Na quarta linha, pois não podemos extrair a raiz quadrada do número
negativo √(-2x)
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Na quinta linha, pois para escrever que √(x^2 )=x, estamos assumindo que x
é não-negativo
d
Na sexta linha, pois para substituir x=-2, obrigatoriamente devemos
substituir todos os x’, incluindo o do 1º membro da equação
e
Na oitava linha, pois ao extrair a raiz quadrada √4, não consideramos o caso
√4=-2
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03
Está correto afirmar que:
a
Paradoxos e sofismas têm como objetivo ludibriar o interlocutor, fazendo-o
acreditar em argumentos com falhas lógicas
b
Um argumento matemático pautado em paradoxos sempre possui um valor
lógico falso
Paradoxos falsídicos e sofismas possuem a característica comum de
trazerem um argumento com uma ou mais falhas lógicas, porém com a
diferença de que o primeiro tem como objetivo expor a falha, enquanto o
segundo, escondê-la
d
Antinomias e falácias possuem a característica comum de trazerem um
argumento com falhas lógicas, porém com a diferença de que o primeiro
tem o objetivo de esconder a falha, enquanto o segundo, exibi-la
e
Paradoxos e sofismas sempre possuem valores-lógicos falsos
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04
Uma argumentação pode ser analisada segundo a lógica matemática, a fim
de se verificar se é um silogismo (argumento válido) ou um sofisma. Observe
as seguintes sentenças:
I. Se o jardineiro cometeu o crime, suas mãos terão resquícios de sangue.
Todavia, as mãos do jardineiro não contém nenhum traço de sangue, logo
conclui-se que o jardineiro não cometeu o crime. 
II. Se o jardineiro cometeu o crime, então ele fornecerá detalhes que somente
o próprio assassino saberia. O jardineiro não forneceu detalhes que somente
o próprio assassino saberia durante o interrogatório, logo ele não cometeu o
crime.
Com relação às sentenças I e II, podemos afirmar que:
Ambas as sentenças são silogismos.
b
Ambos as sentenças são sofismas.
A sentença (I) é um silogismo e a sentença (II) um sofisma.
d
A sentença (II) é um sofisma e a sentença (II) é um silogismo.
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e
Ambas as sentenças são falácias.
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05
Observe as seguintes sentenças:
I. Se o funcionário for eficiente, ele receberá uma promoção. O funcionário
não é competente, logo não será promovido. 
II. Se o funcionário receber uma promoção, então alguém terá de ser
demitido. O funcionário foi promovido, logo alguém foi demitido.
a
Ambas as sentenças são silogismos
b
Ambos as sentenças são sofismas
A sentença (I) é um silogismo e a sentença (II) um sofisma
A sentença (II) é um sofisma e a sentença (II) é um silogismo
e
Ambas as sentenças não são silogismos
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06
Observe as seguintes sentenças:
I. Se os acionistas aceitarem a oferta da direção, a empresa não irá à falência.
Os acionistas não aceitaram a oferta da direção,logo a empresa foi à falência. 
II. Se a direção da empresa fizer uma boa proposta, os acionistas irão aprová-
la. A direção da empresa não fez uma boa proposta, logo os acionistas
reprovaram-na.
a
Ambas as sentenças são silogismos.
Ambas as sentenças são sofismas.
c
A sentença (I) é um silogismo e a sentença (II) um sofisma.
d
A sentença (II) é um sofisma e a sentença (II) é um silogismo.
e
Ambas as sentenças são falácias.
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