Inteiros Algébricos

Prévia do material em texto

Os Inteiros Alge´bricos
Diego Lu´ıs de Arruda Santos
Definic¸a˜o 1 (por Djairo) Qualquer soluc¸a˜o de uma equac¸a˜o polinomial da forma xn +
an−1xn−1+ ...+a1x+a0, Onde os coeficientes a0, ..., an−1 sa˜o nu´meros inteiros, e´ chamada
de um inteiro alge´brico. Assim, qualquer nu´mero inteiro b e´ inteiro alge´brico pois a
equac¸a˜o x− b = 0 tem b por soluc¸a˜o.
Definic¸a˜o 1 (por Elon) Um nu´mero real r chama-se alge´brico quando existe um po-
linoˆmio f(x) = a0 + a1x+ ...+ anx
n na˜o identicamente nulo com coeficientes inteiros,tal
que f(r) = 0. OBS:O conjunto dos nu´meros alge´bricos e´ enumera´vel e denso em R.
Teorema 1 um inteiro alge´brico (real) e´ inteiro ou irracional.
Definic¸a˜o 2 Dados a, b ∈ Z, dizemos que a divide b, e escrevemos a|b, se existir q ∈ Z
tal que b = aq.
Definic¸a˜o 3 p ∈ N e´ primo se, para todo b ∈ N tal que b/p, segue-se que b=p ou b=1.
Definic¸a˜o 4 p ∈ Z, p 6= 0 e´ primo se os u´nicos nu´meros b ∈ N. que o dividem sa˜o |p| e
1.
Definic¸a˜o 5 Dado a ∈ Z, um nu´mero b ∈ Z e´ chamado um mu´ltiplo de a se b = aq para
algum q ∈ Z.
Definic¸a˜o 6 Dados a, b ∈ Z, um nu´mero m ∈ N e´ chamado ma´ximo divisor comum de a
e b, representamos por mdc(a,b), se:
(i) m|a e m|b;
(ii) Se r ∈ N, r|a e r|b, enta˜o r|m.
Definic¸a˜o 7 Dados a, b ∈ Z, dizemos que eles sa˜o primos entre si se o mdc(a, b) = 1.
Teorema 2 (Algor´ıtmo da divisa˜o) Se a, b ∈ Z, com b 6= 0, enta˜o existem (e sa˜o
u´nicos) q, r ∈ Z, com 0 ≤ r < |b|, tais que a = qb + r.
Teorema 3 Dados a, b ∈ Z (pelo menos um deles na˜o nulo), existem x0 e y0 ∈ Z tais
que ax0 + by0 = mdc(a, b).
Exercicio 1 Sejam a, d ∈ Z. Mostre que se d||a| enta˜o d|a.
Refereˆncias
[1] DE FIGUEIREDO, D. G. Nu´meros inteiros e transcedentes. Colec¸a˜o Fundamentos
da Matema´tica Elementar. Sociedade Brasileira de Matema´tica, 1985.
[2] LIMA, E. L. Curso de ana´lise. 10. ed. IMPA, 2002. v. 1 of Colec¸a˜o Projeto Euclides.
[3] DOMINGUES, H. H. Fundamentos de aritme´tica. 10. ed. Atual, 1991. v. 1.
[1] [2] [3]