Trabalho 01 - Apresentação do Problema 1 10 - Mecânica Analitica - Nivaldo Lemos

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Apresentação do Problema 1.10 do livro de mecânica analítica do Nivaldo.
LEONARDO CARNEIRO QUARESMA - 201708140055
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS 
FACULDADE DE FÍSICA
Para que seja obtido a Lagrangiana e as equações de Lagrande, é preciso verificar o esquema do pêndulo elástico na Fig. 01: 
Onde: 
 – Comprimento natural
r – deformação da mola 
 – Constante Elástica da Mola 
 – Massa 
Definindo os eixos de coordenadas na Fig. 02 temos: 
Dessa forma, é possível que seja feita a decomposição das coordenadas e usando o triângulo retângulo na Fig. 03:
Com isso, teremos:
Fig. 02
Fig. 03
Com isso, utilizando os valores de e . Na qual vai ser derivado para que sejam encontrados e . Dessa forma, é obtido:
 
 
Com os valores de e determinados, vai ser encontrada a energia cinética do sistema, onde a energia cinética é considerada: 
Dessa forma, teremos:
Dessa forma, a Energia Cinética é:
Calculando os Produtos Notáveis e . Obtemos:
[
Desse modo, temos que:
Colocando em evidência e eliminando os pares simétricos, temos:
Utilizando a relação trigonométrica: 
Teremos:
Para encontramos a Energia Potencial precisamos observar a Fig. 04. 
Onde:
 é a deformação da mola 
 é o comprimento Natural
Observamos que no sistema, é envolvido Energia Potencial Gravitacional () por conta de que a massa é colocada em uma determinada altura y, e Energia Potencial Elástica () por causa da Mola que existe no sistema que faz um deformação. Dessa forma, a Energia Potencial Total () é dada pela:
Onde:
Considerando , e como já temos o valor de y, obtemos: 
  
  
Obs.: Tomando como referencial a origem do sistema, temos que a Energia Potencial Gravitacional é negativa.
Dessa forma, a Energia Potencial Total fica:
  
Lagrangiana é dada por: 
Onde é Energia Cinética e é a Energia Potencial. Desse modo, utilizando a energia cinética e a energia potencial do sistema, teremos: 
Com isso encontramos a equação de Lagrange do sistema.
Para seja encontrada as equações de movimento teremos que usar a equação de Euler-Lagrange que é dada por:
Onde e são coordenadas generalizadas. 
Utilizando , , e como coordenadas generalizadas, a equação de Euler-Lagrange fica: 
Para e , teremos: 
Para e , teremos: 
Com isso podemos encontrar as equações de movimento para ambas coordenadas generalizadas.
Utilizando:
 e 
Teremos: 
Como a derivada parcial só é derivável em relação a r. Simplificaremos a expressão e teremos:
Derivando em relação a r, teremos:
 
Simplificando a expressão teremos:
 
Agora, vai ser demonstrado:
= 
Como a derivada parcial só é derivável em relação a , simplificaremos a expressão e vai ser obtidos: 
= 
Dessa forma teremos: 
=  = 
Agora usaremos:
= ) 
Derivando:
= 
E dessa forma, a equação de movimento para r é:
Simplificamos a equação de movimento para r, teremos: 
 
Agora encontraremos a equação de movimento para utilizando:
 e 
Teremos: 
 
Como a derivada parcial só é derivável em relação a . Simplificaremos a expressão e teremos:
Derivando em relação a , teremos:
 
Agora, vai ser demonstrado:
 
Como a derivada parcial só é derivável em relação a , simplificaremos a expressão e vai ser obtidos: 
 
Dessa forma, teremos:
  
Com isso vamos fazer:
Teremos: 
Como r e θ dependem de t, derivando teremos:
Logo a equação do movimento para é: 
Dessa forma a equação de movimento para :
Com isso a Lagrangiana do problema proposto é: 
Com isso, as equações do de movimento são: 
Para θ, temos: 
Para r, temos: 
Para esse problema a definição de coordenada generalizado tem com o objetivo de determinar a configuração do estado mecânico do Pêndulo Elástico e representar a posição e o seu movimento do determinado sistema na qual estamos falando do Pêndulo Elástico.
Com a utilização das Coordenadas Generalizadas, é possível que o problema do pêndulo elástico que é um problema elegantemente complexo, fosse resolvido de forma não muito complicado. E por causa disso, é possível determinar as equações de movimento de cada coordenada do pêndulo. 
Desse modo, com a utilização da Mecânica Lagrangiana é possível que seja determinada a trajeto do sistema do pêndulo elástico resolvendo as Equações de Lagrange que foram determinadas nesse problema. 
Um caso especial que é interessante e bem conhecido é o caso do Pêndulo Simples, a onde o sistema do Pêndulo Elástico se transforma no Pêndulo Simples de acordo com as manipulações matemáticas e conceitos Físicos já conhecidos para a elaboração desse caso, dessa forma, temos que o caso do Pêndulo Simples é: 
Caso do Pendulo Simples:
Utilizando a equação de movimento de r, para o caso de uma mola muito rígida, a equação de movimento de r será: 
, fazendo e 
Dessa forma, considerando , teremos: 
Dessa maneira, é observado que equação de movimento para r nesse caso se transformar na equação do pêndulo simples, a onde é a frequência de oscilações para pequena amplitude.