Fenda_Tripla_ITA (2)

Prévia do material em texto

Fenda Tripla para o ITA
(Gagá Insano F́ısica)
1 Técnica dos Fasores
Vamos pensar num problema de trigonometria, inicialmente, sem nenhuma relação com f́ısica:
qual o valor máximo de 3 sin θ + 4 cos θ? A abordagem mais direta seria tratar a expressão
como uma função de x e encontrar seus pontos de máximo por meio de suas derivadas ou de
desigualdades. No entanto, vamos olhar para ela de forma diferente. E se pensarmos em cada
termo como a projeção de um vetor?
Se temos um vetor v⃗, de módulo ∥v⃗∥ = A e que faz um ângulo θ com a horizontal, então
A cos (θ) representa a ”sombra” do vetor V⃗ — projeção ortogonal sobre Ox.
Voltando ao nosso problema original, podemos imaginar dois vetores a⃗ e b⃗, com módulos
∥a⃗∥ = 3 e
∥∥∥⃗b∥∥∥ = 4 e ângulos α = 0 e β = π2 . Visualmente, um vetor em pé e outro deitado.
Fazendo a soma vetorial, temos um vetor v⃗ de módulo∥v⃗∥2 =∥a⃗∥2+
∥∥∥⃗b∥∥∥2 ⇒∥v⃗∥ = 5. Variando-
se θ, o vetor gira em torno da origem no sentido anti-horário. Então, é fácil perceber que o
maior valor de sua sombra — esta quantidade equivale a nossa expressão original — é máximo
para quando o vetor está deitado sobre Ox, logo o máximo de 3 sin θ + 4 cos θ é 5.
No mundo da f́ısica, esse vetor girante recebe o nome de fasor. Para fenômenos ondulatórios, é
extremamente útil interpretar funções periódicas como fasores, pois o tratamento vetorial nos
permite resolver os problemas de maneira muito simples. Em especial, analisaremos aqui o
caso do fasor para interferência. Sabemos que seu comportamento é modelado por uma função
periódica:
E = Eo.cos(Ω.t + Φ)
1
logo, podemos representar o Campo Elétrico como um vetor girante (um fasor):
Para analisarmos os padrões de Interfereência , devemos estabelecer um Diagrama de Fasores ,
onde os efeitos de vários Campos Elétricos podem ser vistos como a soma de seus vetores. Na
fenda tripla , devemos considerar uma fase espećıfica para cada fenda , podemos considerar que
a primeira tem fase inicial nula , a segunda fase inicialΦ e a terceira 2Φ (devido os espaçamentos
iguais ) .
A Fase inicial corresponde a diferença de fases causada pelo comprimento a mais que uma onda
percorre em relação à outra:
Φ =
2πd sin θ
λ
2 Funções de Campo Elétrico
Vamos estabelecer três vetores Campo Elétrico ( um para cada fenda ) com suas respectivas
fases: 
Eα = E0 cos (Ωt)
Eβ = E0 cos (Ωt+ Φ)
Eγ = E0 cos (Ωt+ 2Φ)
3 Efeito das Três Fendas
{
Ex = Eo + E0 cos (Φ) + Eo cos (2Φ)
Ey = E0 sin (Φ) + Eo sin (2Φ)
E2res = E
2
x + E
2
y
2
E2x = E
2
o [1 + cos (Φ) + 2 cos
2 (Φ)− 1]2 = E2o cos2 (Φ)[1 + 4 cos (Φ) + 4 cos2 (Φ)]
E2y = E
2
o [sin (Φ) + 2 sin (Φ) cos (Φ)]
2 = E2o sin
2 (Φ)[1 + 4 cos (Φ) + 4 cos2 (Φ)]
Logo: ∥∥∥E⃗R∥∥∥ = E20(1 + 4 cos (Φ)) + 4 cos2 (Φ))
1 + 4 cos (Φ) + 4 cos2 (Φ) = 0 ⇒
cos (Φ) = −1
2
=
{
Φ = 2π
3
+ kπ
Φ = 4π
3
+ kπ
(k ∈ Z)
Para franjas escuras:
{
θ1 = arcsin (
λ
3d
+ kλ
2d
)
θ1 = arcsin (
2λ
3d
+ kλ
2d
)
3