GEOMETRIA ESPACIAL EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

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M17Sólidos Geométricos
Matemática41
35 (Fuvest-SP) Um cilindro oblíquo tem raio das ba-
ses igual a 1, altura 2 3 , e está inclinado de um ângulo
de 60) (ver figura). O plano ψ é perpendicular às bases do
cilindro, passando por seus centros. Se P e A são os pon-
tos representados na figura, calcule PA.
 
sen
AR
AR60
2 3
4) = =→
O triângulo OPQ é retângulo em O e o triângulo QPA é retângulo em Q, pois
AQ é perpendicular ao plano ε que contém a base superior do cilindro.
Assim:
(QP)2 = (QO)2 0 (OP)2 Θ (QP)2 = 12 0 12 Θ (QP)2 = 2
(PA)2 = (QA)2 0 (QP)2
No #ABR, temos:
 
tg
AB
AB60
2 3
2) = =→
 
Logo, (PA) (PA) PA2 2= 0 = =2 3 2 14 14
2( ) → → .
36 (UFMT) Na revista Química nova na escola, no 9,
de maio de 1999, foi publicado um artigo sobre determi-
nação de raios atômicos. Uma partícula de sólido cristali-
no é representada na figura.
Essa partícula é formada por oito esferas idênticas de raio
igual a 1 unidade de comprimento (que representam áto-
mos) que se tangenciam, dispostas na forma de um cubo.
O cubo menor representado na figura possui seus vértices
nos centros das esferas e o maior circunscreve o bloco de
esferas. A partir dessas informações, julgue os itens:
a) O volume do cubo maior é igual a 8 vezes o volume do
cubo menor.
b) O volume do cubo menor é igual ao volume de uma das
esferas.
c) A razão entre a diagonal do cubo maior e a do menor
 é 2 3 .
a) Verdadeiro
Vmaior = 4
3 = 64
V
menor
 = 23 = 8
c) Falso
b) Falso
1
2
3
 
64
8
8 8= = 9→ V V
maior menor
 
V
esfera
= π = π Λ 9 Λ ,
4
3
1
4
3
4
3
3 14 4 18 83 , ,
 
D e d= =4 3 2 3
 
D
d
= =
4 3
2 3
2
Os volumes das figuras apresentadas serão:
Fig. 1: Cone Θ 
 
V r h
1
21
3
= π
Fig. 2: Semi-esfera Θ 
 
V
r
r r h
2
3
3 2
4
3
2
2
3
2
3
=
π
= π = π 9 (o raio é igual
às alturas das outras figuras)
Fig. 3: Cilindro: V
3
 = πr2h
Portanto: V
3
 = 3 9 V
1
 e 
 
V V
3 2
2
3
= 9 → V1 = 1 σ; V2 = 2 σ e V3 = 3 σ.
a) 1 litro 2 litros 3 litros
b) 1 litro 2,5 litros 3 litros
c) 1 litro 2 litros 4 litros
d) 2 litros 3 litros 4 litros
e) 2 litros 3 litros 6 litros
37 (ESPM-SP) Assinale a alternativa que apresenta
coerência entre as formas das taças e seus respectivos vo-
lumes em litros:
X
60)
P
A
1 ψ
2 3
60)
P
Q
A B21
1
1
4
4
ψ
ε
Oδ
RO
2 32 3
Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3
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