PONTOS, SEGMENTOS E RETAS

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ms  mr 
1  ms.mr 
axo  byo  c 
a 
2
  b
2
 
c  c
,
 
a
2
  b
2
 
D 
a 
2
  b 
2
 1 1 a2
2 
 b2
2
 
B 

o o 
 
 
PONTOS, SEGMENTOS E RETAS 
I.1. Distância entre dois pontos: d = x 2  y 2 . 
 
2. Razão de secção do segmento AB pelo ponto C: r = 
AC 
 
C  A 
, isto é, r = 
 
 
xC  xA 



yC  yA 
.
 
 
CB B  C x  x C yB  yC 
3. Ponto divisor: C = 
A  r.B 
. (O ponto C é média ponderada de A e B (pesos 1 e r, respectivamente)). 
1  r 
4. Baricentro do triângulo ABC: G = 
A  B  C 
. (G é média aritmética de A, B e C). 
3 
x1 
5. (*)Alinhamento de três pontos: D = x2 
x3 
y1 1 
y 2 1  0. 
y3 1 
II.6. Equação geral da reta: ax + by + c = 0. 
p 
7. O quociente 
q 
: a) p  0 e q  0  determinado b) p = 0 e q  0  0 c) p = 0 e q = 0  indeterminado 
r  a1x  b1 y  c1  0 
8. Posições relativas de duas retas: (S) s  a x  b y  c  0
 
 2 2 2 
r e s são concorrentes  r X s  
a1 
 
b1
  S é possível e determinado. 
a2 b2 
r e s são paralelas e distintas  r  s    
a1 
 
b1 
 
c1
  S é impossível. 
a2 b2 c2 
r e s são paralelas e coincidentes  r  s  
a1 
 
b1 
 
c1 
 S é possível e indeterminado. 
aa b2 c2 
9. Feixe de retas concorrentes com r e s: k1(a1x + b1y + c1) + k2(a2x + b2y + c2) = 0, k1 e k2 reais e diferentes de zero. 
10. Feixe de retas paralelas a (r) ax + by + c = 0: (r’) ax + by + c’ = 0. 
11. Formas da equação da reta: 
 Geral: ax + by +c = 0 Reduzida: y = mx + q Segmentária: 
x 
 
y 
 1 
 
 
 x  f1t Paramétrica: 
p q 
 
y  f  t 
2 
III.12. Coeficiente angular: a) Dados dois pontos: m = tg = 
y
 
x 
b) Dada a equação geral: m = tg = – 
a 
. 
b 
13. Equação de uma reta passando por P(xo, yo): y – yo = m(x – xo), mR. 
14. a) Condição de paralelismo: r // s  m = m b) Condição de perpendicularismo: r s  m   
1 
. 
 
r s 
s 
15. Feixe de retas perpendiculares a (r) ax + by + c = 0: (r’) bx – ay + c’ = 0 ou – bx + ay + c’ = 0. 
 
16. Ângulo de duas retas: tg  . 
 
IV.17. Translação de sistema. (Leitura) 
 
18. Distância do ponto P(x , y ) à reta (r) ax + by + c = 0: d = . 
 
 
19. Distância entre as retas paralelas ax + by + c = 0 e ax + by + c’ = 0: d = . 
 
20. (*)Área do triângulo ABC: S = . 
2 
21. Sinal da função E(x, y) = ax + by + c. Inequações do 1o grau. 
A reta (r) ax + by + c = 0 divide o plano em dois semiplanos. Consideremos o ponto P(xo, yo). 
1) E(P) = E(xo, yo) = axo + byo + c = 0  Pr . 
2) E(P) = E(xo, yo) = axo + byo + c > 0  P pl(P, r). Inequação do pl(P, r): ax + by + c  0 (incluindo r). 
3) E(P) = E(xo, yo) = axo + byo + c < 0  P pl(P, r). Inequação do pl((P, r): ax + by + c  0 (incluindo r). 
 
22. Bissetrizes dos ângulos das retas a1x + b1y + c1 = 0 e a2x + b2y+ c2 
 
= 0: 
a1x  b1 y  c1 
 
a2  b2 y  c2 
 0 . 1
 
***************************************************************************************** 
r 
m 
 D 
2 
 E 
2
 
       
F 
 2 A   2 A  A 
(a1  a2 )
2
  (b1  b2 )
2
 


2 22 
Cs 
Cs Ct 
Cs Ct Cu 
CCo 
CCo 
CCo 
2 2 2 
Cs 
CIRCUNFERÊNCIAS 
1. Equação reduzida: (x – a)2 + (y – b)2 = r2, onde C = (a,b) e raio = r. (*) 
2. Equação normal (ou geral): x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0. (*) 
3. Reconhecimento: Ax2 + By2 + C’xy + Dx + Ey + F = 0, A = B  0, C’= 0, D2 + E2 – 4AF > 0, 
 
 
D E 

 
D 
2
  E
2
  4 AF 
C = 

,  = (A, B) e r = 
2 A 2 A 
 
2. A 
4. Ponto (P(xo, yo)) e circunferência   : 
a) (xo – a)
2
 + (yo – b)
2
 – r
2
 < 0  P é interior a  , 
b) (xo – a)
2
 + (yo – b)
2
 – r
2
 = 0  P   e 
c) (xo – a)
2
 + (yo – b)
2
 – r
2
 > 0  P é exterior a  . 
5. Inequações do 29 grau: aplicação imediata do item anterior. 
(s) Ax  By  c  0   0  dCs  r  sec antes  S temduassoluções 
6. Reta e circunferência: S 


( ) (x  a)
2 
 ( y  b)
2 
 r
2 

  0  d  r  tan gentes  Stemumaúnica solução 
  0  dCs  r  exteriores  S nãotemsolução 
 (1) ( x  a1)
2
  ( y  b1 )
2
  r1
2
 
7. Duas circunferências: S 
 ( ) (x  a )  ( y  b )  r 
, d = C1C2 = . 
1
o
) d > r1 + r2  exteriores  S não tem solução 4
o
) d = r1  r2 
 tangs. inters.  S tem uma ún. sol. 
2
o
) d = r1 + r2  tangs. exters.  S tem uma ún. sol. 5
o
) 0  d < r1  r2  uma é int. à outra  S não tem sol. 
 
3
o
) 
r1  r2 < d < r1 + r2 
 sécs.  S tem duas sols. 6
o
) d = 0  concêntricas  S não tem sol. (caso part. do 5
o
) 
PROBLEMAS SOBRE CIRCUNFERÊNCIAS 
Dados: (  ) (x – a)
2
 + (y – b)
2
 = r
2
 , P(xo, yo), (s) Ax + By + C = 0, o , 1, 2, P1, P2, P3, t e u. 
1. Tangência 
1
o
) Conduzir t, tangente à  , paralela à s. 
Sol.: (t) Ax + By + k = 0 , dCt = r  k1 e k2  (t1) Ax + By + k1 = 0 e (t2) Ax + By + k2 = 0 
2
o
) Conduzir t por P, tangente à  . 
Sol.: 1
o
 caso: dCP < r  impossível 
2
o
 caso: dCP = r  há três possibilidades: 
1
a
) xo = a  (t) y = yo 
2
a
) xo = b  (t) x = xo 
3
a
) x 
 
 
 a e y  b: m  
yo  b 
 m   
1
 
 
 
a  xo 
, Logo: (t) y  y 
 
 
a  xo 
(x  x ) 
 
o o PC 
xo  a 
m
PC yo  b yo  b 
3
o
 caso: dCP > r: (t) y – yo = m(x – xo)  mx – y + (yo – mxo) = o 
d = r  m 
e m  
 (t1) y  yo  m1( x  xo ) e 
Ct 1 
2
 
 
(t ) y  y  m (x  x ) 
2. Determinação de circunferências 
Determinar  : 
 2 o 2 o 
1
o
) que passa por P1, P2 e P3.  Sol.: Sistema: P1, P2 e P3 pertencem à  . 
2
o
) que passa por P1 e P2 e tem raio r (dado).  Sol.: Sistema: P1 e P2 pertencem à  . 
3
o
) de centro C(a, b) dado, tangente à s.  Sol.: Sistema: s e   r ou dCs = r  r. 
4
o
) que passa por P1 e P2 e é tangente à s.  Sol.: Sistema: P1 e P2 pertencem à  e d 
2
  r
2 . 
5o) que passa por P e é tangente às retas s e t.  Sol.: Sistema: P  , d 
2
  r 
2
 e d 
2
  r 
2
 . 
6o) tangentes às retas s, t e u.  Sol.: Sistema: d 
2
  r 
2
, d 
2
  r 
2
 e d 
2
  r 
2
 . 
7
o
) de centro C(a, b) dado e é tangente à o dada.  Sol.: d 
2
  (r  ro )
2
  r . 
8
o
) de raio r dado que tangencia o dada no ponto P dado.  Sol.: 
CoC 
 
ro  r  C 
 
 
e 
CoC ' 
 
ro  r  C '
 
 
CP r C ' P  r 
9
o
) que passa por P1 e P2 e é tangente à o .  Sol.: Sistema: P1 e P2 pertencem à  e d 
2  (r  ro )
2 . 
10
o
) que passa por P1 e é tangente à o e 1 .  Sol.: Sistema: P1   , d 
2
  (r  ro )
2
 
2 
CC1 
 (r  r1)
2 . 
3. Complemento 
Potência de P em relação à  : k = (xo – a)
2
 + (yo – b)
2
 – r
2
. (P int. à  , k < 0; P  , k = 0 e P ext. à  , k > 0) 
Eixo radical: conjunto de pontos do plano cartesiano que são equipotentes em relação à 1 e 2 (k1 = k2). 
*****************************************************************************J.B./15/04/07*********** 
2 
a 
2
  b 
2
  
F
 
A 

e d 
2 
t o o 
o 
o o o 
CÔNICAS 
1. Elipse 
Elementos: Vértices: A1, A2, B1 e b2; Focos: F1 e F2 e Centro: O(xo, yo). 
Eixo maior: A A = 2a, eixo menor: B B = 2b, dist. focal: F F = 2c, relação: a
2
 = b
2
 + c
2
, excentricidade: e = 
c 
. 
1 2 1 2 1 2 
Def.: Pelipse  PF1 + PF2 = 2a. 
Eq. red.: (x  xo )
2
 
 
( y  yo )
2
 



 
 A A // e B B // 
 , 
(x  xo )
2
 
 
( y  yo )
2
 



 
 A A // e B B // 
 
a2 
2. Hipérbole 
1 1 2 Ox 
b2 
1 2 Oy 
b2 
1 1 2 Oy 
a 2 
1 2 Ox 
Elementos: Vértices: A1, A2, B1 e b2; Focos: F1 e F2 e Centro: O(xo, yo). 
Eixo real: A A = 2a, eixo imaginário: B B = 2b, dist. focal: F F = 2c, relação: c
2
 = a
2
 + b
2
, excentricidade: e = 
c 
. 
1 2 1 2 1 2 
Def.: P hipérbole  |PF1 – PF2| = 2a. 
Eq. red.: (x  xo )
2
 
 
( y  yo )
2
 



 
 A A // e B B // 
 ,  
(x  xo )
2
 
 
( y  yo )
2
 



 
 A A // e B B // 
 
1 
a2 b2 
1 2 Ox 1 2 Oy b2 
1 1 2 Oy 
a 2 
1 2 Ox 
Obs.: na dedução da eq. red. o denominador a
2
 – c2
 foi substituído por – b
2
, por isso que o “ – ” acompanha o b
2
. 
3. Parábola 
Elementos: Vértice: V(xo, yo); Foco: F; Diretriz: d e Parâmetro: p (>0). 
Eixo de simetria: reta VF; relação: VF = 
p 
. 
2 
Def.: Pparábola  PF = Pd. 
Eq. red.: 
  concavidade p / a direita 
(y – yo)
2
 =  2p(x – xo) 
 

  concavidade p / cima 
, (x – xo)
2
 =  2p(y – yo) 

Eq. normal (ou geral): 
" " " " esquerda   " " " baixo 

 a 


1 
 concavidade p / adireita 
2 
p 
1 

 a 


1 
 concavidade p / cima 
2 p 
1 
x = ay
2
 + by + c  a    " 
 2 p 
" " " esquerda , y = ax2 + bx + c  a    " 
 2 p 
"" baixo 
   b    b  V   ,    (xo , yo ) V   ,    (xo , yo ) 
  4a 2a    2a 4a 
4. Reconhecimento de uma cônica: Está incluído em cada um dos itens anteriores. 
5. Interseções de cônicas: Sistema. 
6. Tangentes a uma cônica: Sistema. 
É interessante ressaltar as tangentes aos dois ramos de uma hipérbole passando pelo seu centro O(xo, yo), que recebem o 
nome de assíntotas da hipérbole. Suas equações são: (s) y – y =  
b 
(x – x ) quando o eixo real é horizontal e (s) x – x = 
a 
 
b 
(y – y ) quando o eixo real é vertical. 
a 
LUGAR GEOMÉTRICO 
Um lugar geométrico importante é dado pela equação (reduzida): (a1x + b1y + c1)(a2x + b2y + c2) = 0, que representa a 
reunião das duas retas: a1x + b1y + c1 = 0 e a2x + b2y + c2 = 0. 
QUADRADO PERFEITO 
Exemplos: Completar o quadrado perfeito de: 
1o) x2  6x 
Sol.: x2  6x + p
2 = (x  p)
2
 
3o) 3x2  5x 
 
 
 5x 
2xp = 6x  p = 3 
x2  6x = x
2  6x + 9 – 9 
Sol.: 3x2  5x = 3  x 
2 
 
 3 
x2  6x = (x  3)
2 – 9 x2  
5x 
 
+ p2 = (x  p)
2  2xp = 5x  p  
5 
 
2o) 5x2  20x 
Sol.: 5x2  20x = 5(x
2  4x) 
3 
5x 5x 
 
 
3 6 
25 25  5 
2 
25 
 x2  4x + p
2 = (x  p)
2  2xp = 4x  p = 2 
x
2
  = x
2
  +  =  x    
x2  4x = x
2  4x + 4 – 4 
x2  4x = (x  2)
2 – 4 
3 3 36 36 
 2  5 
2 25 
 
 
6  36 
 5x2  20x = 5(x  2)
2 – 20 3x  5x = 3 x   6 12 
******************************************* 
 

***************************J.B./07/05/06*********** 
3 
a 
a