AD1 2009 2 IMQ Gab

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GABARITO 
AD1 – Introdução à Mecânica Quântica – 2009/2 
Instituto de Física da UFRJ 
Curso de Licenciatura em Física - CEDERJ 
 
1. (3,0 pontos) 
(a) (0,4 pontos) Impondo-se a condição de normalização, ∫
∞
∞−
=1)( 2 dxxψ , obtém-se aA 1= (a menos de um fator de 
fase arbitrário). 
(b) (0,4 pontos) Podemos encontrar a partícula entre –a e a, com densidade de probabilidade 





==
a
xsen
a
xxp πψ 22 1)()( . 
(c) (0,3 pontos) 0)()(*∫
∞
∞−
== dxxxxx ψψ . 
(d) (0,4 pontos) 
( )
6
32 222 −=−=∆ π
π
axxx . 
(e) (0,4 pontos) ∫
∞
∞−
=





∂
∂
−= 0)()(* dxx
x
ixp ψψ  . 
(f) (0,3 pontos) 2
222
22 mam
p
Ec
π
== . 
(g) (0,4 pontos) 
a
ppp π=−=∆ 22 . 
(h) (0,4 pontos) 
26
32 2 
 >
−
=∆∆
πpx . 
 
2. (1,0 ponto) Integra-se a equação de Schroedinger independente do tempo entre –a e a, fazendo depois a tender a zero. O 
termo da energia cinética dá origem ao lado direito da equação a ser demonstrada e o termo envolvendo a energia potencial 
dá origem ao lado direito. O termo envolvendo o produto Eψ vai a zero no limite a→0. 
 
3. (3,0 pontos) 
(a) (0,5 pontos) 




>
<+
=
−
0,
0,
)(
xCe
xBeAe
x
ikx
ikxikx
ψ , onde 

mEk 2= . 
 
(b) (0,5 pontos) 
(c) (2,0 pontos) 
2
2
2
2
1
1
E
mA
CT
λ
+
== 
 
 
4. (3,0 pontos) 
(a) (1,5 pontos) E = 1,03 eV. 
(b) (0,5 pontos) Refletidas: vg = 6 × 105 m/s. Transmitidas: vg = 1,04 × 105 m/s. 
(c) (0,5 pontos) Antes da barreira: ρ = 2,5 × 10-3 m-1. Depois da barreira: ρ=4,8 × 10-3 m-1 
(d) (0,5 pontos) m = 9,1 × 10-31 kg (elétrons).