AD1 2017 2 IMQ

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AD1 – Introdução à Mecânica Quântica – 2017/2 
Instituto de Física da UFRJ 
Curso de Licenciatura em Física - CEDERJ 
 
1. A função de onda de um elétron livre em t = 0 é dada por Ψ (x,0) = Acos(kx), onde 
k = π × 1010 m-1. 
(a) Qual a energia do elétron, em eV? 
(b) Encontre Ψ (x,t) para qualquer t. 
(c) Esta função de onda é uma autofunção do momento linear? Explique por quê. 
(d) Calcule o valor esperado do momento do elétron. 
 
2. Uma partícula de massa m tem uma função de onda dada pela equação axAxex −=)(ψ 
para x > 0 e ψ (x) = 0 para x < 0. 
 (a) Encontre o valor de A que normaliza ψ(x). 
 (b) Após realizarmos várias medidas da posição da partícula, calculamos o valor médio. 
Qual valor esperamos encontrar? 
 (c) Qual a incerteza (desvio padrão) na medida da posição da partícula? 
 (d) Qual o valor esperado do momento linear? 
 (e) Qual o valor esperado da energia cinética? 
 (f) Qual a incerteza (desvio padrão) na medida do momento linear? 
 (g) Verifique se o Princípio da Incerteza é satisfeito. 
 
3. Uma partícula quântica de massa m, vindo da esquerda (região x < 0), incide sobre um degrau 
de potencial de altura V0 localizado em x = 0. A energia da partícula é E = 4V0/3. 
(a) Escreva a expressão geral para as funções de onda nas regiões x < 0 e x > 0. 
(b) Usando as condições de contorno apropriadas, obtenha relações entre os coeficientes das 
funções de onda. 
(c) Calcule a densidade de corrente de probabilidade nas regiões x < 0 e x > 0. Lembre-se: 
*
*( ) ( )( ) ( ) ( )
2
i d x d xj x x x
m dx dx
ψ ψ
ψ ψ
⎡ ⎤
= −⎢ ⎥
⎣ ⎦
h . 
 
(d) Qual a probabilidade de que a partícula quântica ultrapasse a barreira? 
 
4. Um feixe de partículas quânticas de massa m, deslocando-se da esquerda para a direita, incide 
sobre o degrau de potencial mostrada na figura abaixo. A energia de cada partícula é igual à altura 
do degrau, ou seja, E = V0. 
(a) Escreva as equações de Schrödinger independente do tempo nas regiões I (x < 0) e II (x > a). 
(b) Quais as soluções das equações do item anterior nas regiões I e II? 
(c) Calule a densidade de corrente de probabilidade associada às ondas incidente e refletida. 
(d) Quais as probabilidades de reflexão e transmissão neste caso? 
(e) Mostre que o resultado obtido no item anterior está de acordo com o que foi calculado na 
Aula 9, tomando o limite E → V0. 
 
V 
x 
V0 
m 
E = V0 
0