AD1 2012 1 IMQ Gab

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Gabarito - AD1 – Introdução à Mecânica Quântica – 2012/1 
Instituto de Física da UFRJ 
Curso de Licenciatura em Física - CEDERJ 
 
 
1. Considere a função de onda btaxAetx  ),( , onde a e b são constantes complexas. 
(a) Qual a relação entre a e b para que esta função seja solução da equação de Schrödinger 
dependente do tempo para uma partícula livre com massa m deslocando-se para a direita? 
(b) Satisfeita a condição do item (a), podemos dizer que Ψ é autofunção do operador energia? 
Nesse caso, qual seria o autovalor? 
(c) Repita o item (b) para o caso do operador momento linear. 
(d) Idem para o caso do operador energia cinética. 
 
Gabarito: 
(2,5 pontos) 
(a) (1,0 pontos) Sabemos que a solução da equação de Schrödinger dependente do tempo para 
uma partícula livre com massa m deslocando-se para a direita é 
)(),( tkxiAetx  , com 
m
k
2
2
 . Assim, podemos identificar ika  e ib  , com m
ai
b
2
2
 . 
(b) (0,5 pontos) Verificando:   




     )()( tkxitkxi AeAe
t
i
t
i . Sim, é 
autofunção com autovalor  . 
(c) (0,5 pontos) Verificando:   





  kkAeAe
x
i
x
i tkxitkxi  )()(  . Sim, é 
autofunção com autovalor k . 
(d) (0,5 pontos) Verificando: 
   





 
m
k
Ae
m
k
Ae
xmxm
tkxitkxi
2222
22
)(
22
)(
2
22
2
22   . Sim, é autofunção 
com autovalor 
m
k
2
22
. 
 
2.Uma partícula de massa m tem uma função de onda que pode ser aproximada por 
ax
Aex

)( , em que a é uma constante com dimensões de comprimento. 
(a) Encontre o valor de A que normaliza (x). 
(b) Após realizarmos várias medidas da posição da partícula, calculamos o valor médio. 
Qual valor esperamos encontrar? 
(c) Qual a incerteza (desvio padrão) na medida da posição da partícula? 
(d) Qual o valor esperado do momento linear? 
(e) Qual a probabilidade de encontrarmos a partícula a uma distância maior que a a partir 
da origem? 
 
Gabarito: 
(2,5 pontos) 
(a) (0,5 pontos) Impondo a condição de normalização: 
22
0
2
0
222
22
1)( Aa
aa
AdxedxeAdxx axax 









  





 
aA 1 
(b) (0,5 pontos) 0x (por simetria, ou resolvendo a integral 


dxxx
2
)( ). 
(c) (0,5 pontos) 
22 xxx  . Calculando: 
488
1
)(
233
0
/22
0
/222222 aaa
a
dxexdxexAdxxxx axax 









  





 
Assim: 
2
a
x  . 
(d) (0,5 pontos) 0p (por simetria, ou resolvendo a integral 









 dxx
dx
d
ix )()(*   , ou ainda por ser um estado ligado). 
(e) (0,5 pontos) Temos considerar as regiões ax  e ax  : 
135,0
22
1 222222 









  



  ee
a
e
a
a
dxedxeAP
a
ax
a
ax . 
 
 
3. Ainda com relação à função de onda do problema anterior, calcule o valor esperado da 
energia cinética. Este problema é desafiador, pois você terá que perceber que a função de 
onda tem uma descontinuidade em sua derivada na origem, ou seja, a derivada segunda 
tem módulo infinito neste ponto. No entanto, ainda assim a energia cinética será finita. 
Mas você deverá tomar um cuidado especial com o ponto x = 0 ao realizar a integração 
para o cálculo do valor esperado. 
 
Gabarito: 
(2,5 pontos) 
O valor esperado da energia cinética é dx
dx
d
x
m
Ec 2
2
*
2
)(
2






. Vamos dividir a 
integração em três regiões:   00 e 0,0 xxx , onde  0 e 0 são, 
respectivamente, coordenadas negativas e positivas que estão infinitesimalmente próximas 
a 0x , ou seja, 00 e 00    , onde  é um infinitésimo matemático. 
Inicialmente vamos calcular as derivadas: 
Em axaxax e
adx
d
e
adx
d
e
a
xx
2/52
2
2/3
111
)(:0  

 . 
Em axaxax e
adx
d
e
adx
d
e
a
xx  
2/52
2
2/3
111
)(:0

 . 
Assim, calculando o valor esperado: 








 


 




dx
dx
d
xdxe
a
dxe
am
dx
dx
d
x
m
E axaxc 2
20
0
*
0
/2
3
0
/2
3
2
2
2
*
2
)(
11
2
)(
2





 























0
0
2
20
0
2
2
*
22
2 11
2
)0(
2
1
2
1
2 dx
d
aam
dx
dx
d
aam



 
2
2
2/32/32
2
2
1111
2 maaaaam













 
 
 
4. Uma partícula quântica de massa m, vindo da esquerda (região x < 0) , incide sobre um degrau 
de potencial de altura V0 localizado em x = 0. A energia da partícula é E = 4V0/3. 
(a) Escreva a expressão geral para as funções de onda nas regiões x < 0 e x > 0. 
(b) Usando as condições de contorno apropriadas, obtenha relações entre os coeficientes das 
funções de onda. 
(c) Calcule a densidade de corrente de probabilidade nas regiões x < 0 e x > 0. Lembre-se: 
*
*( ) ( )( ) ( ) ( )
2
i d x d x
j x x x
m dx dx
 
 
 
  
 
. 
 
(d) Qual a probabilidade de que a partícula quântica ultrapasse a barreira? 
 
Gabarito: 
(2,5 pontos) 
(a) (0,5 pontos) 









0,
0,
)(
xCe
xBeAe
x
xki
ikxikx
 , onde 

3/8 0mV
k  e 

3/2 0mV
k  . 
(b) (0,5 pontos) 
3
4

A
C
, 
3
1

A
B
. 
(c) (1,0 ponto) Em ambas as regiões, 
m
Ak
j
9
8
2

 . 
(d) (0,5 ponto) 9/8T