AD1 2009 2 IMQ

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AD1 – Introdução à Mecânica Quântica – 2009/2 
Instituto de Física da UFRJ 
Curso de Licenciatura em Física - CEDERJ 
 
1. Uma partícula de massa m tem uma função de onda dada pela equação 




=
a
xAsenx πψ )( para 
–a < x < a e ψ (x) = 0 para |x| > a. 
(a) Encontre o valor de A que normaliza ψ(x). 
(b) Realizamos uma única medida da posição da partícula. Quais os valores que podemos 
encontrar nesta medida, e com quais probabilidades? 
(c) Após realizarmos várias medidas da posição da partícula, calculamos o valor médio. Qual valor 
esperamos encontrar? 
(d) Qual a incerteza (desvio padrão) na medida da posição da partícula? 
(e) Qual o valor esperado do momento linear? 
(f) Qual o valor esperado da energia cinética? 
(g) Qual a incerteza (desvio padrão) na medida do momento linear? 
(h) Verifique se o Princípio da Incerteza é satisfeito. 
 
2. Em todos os problemas envolvendo degraus de potencial que resolvemos até agora, 
sempre consideramos que a função de onda e sua derivada eram contínuas no ponto de 
descontinuidade de potencial. Porém, se houver uma descontinuidade infinita no potencial, 
a derivada da função de onda não será contínua. Suponha que haja uma descontinuidade 
infinita no potencial V(x) em x = 0. Integrando a equação de Schrödinger entre os pontos x 
= -a e x = a, e tomando o limite 0→a , mostre que a descontinuidade da derivada da 
função de onda em x = 0 é dada pela seguinte expressão: 
∫
−−==
=−
a
aaxax
dxxxVm
dx
d
dx
d )()(2 2 ψ
ψψ

 
 
 
3. A barreira delta de potencial – Iremos estudar as barreiras de potencial a partir da 
próxima aula, mas o que aprendemos sobre os degraus de potencial é suficiente para 
resolvermos este problema. Uma barreira de potencial que seja muito estreita e muito alta 
pode ser tratada, aproximadamente, como uma função delta de Dirac. A função delta de 
Dirac é definida por 



≠
=∞
=
0,0
0,
)(
x
x
xδ . Ou seja, pode ser pensada como uma barreira 
quadrada no limite em que sua espessura vai a zero e sua altura vai a infinito. Mas a 
integral da função delta não diverge: de fato, ela obedece a seguinte relação: 1)( =∫
−
a
a
dxxδ , 
onde a é qualquer número real positivo. Outra relação importante obedecida pela função 
delta é )0()()( fdxxxf
a
a
=∫
−
δ , para uma função f qualquer. Neste problema, estamos 
interessados em saber: será que uma partícula quântica consegue atravessar uma barreira 
delta de potencial, ou seja, uma barreira infinitamente alta, porém infinitesimalmente 
estreita? Vamos considerar que a barreira é descrita pela função )(xλδ , em que λ é uma 
constante que determina magnitude da barreira. O perfil de potencial está mostrado na 
figura abaixo. A seta apontando para cima na origem é a representação usual da função 
delta. Vamos supor que uma partícula de massa m e energia E incide sobre a barreira, 
vindo da esquerda. 
(a) Escreva a forma geral para função de onda nas regiões x > 0 e x < 0. 
(b) Usando o resultado do problema anterior e as propriedades da função delta, 
mostre que a descontinuidade da derivada da função de onda na origem 
vale )0(2 2 λψ
m . 
(c) Usando o resultado do item anterior e a continuidade da função de onda na 
origem, obtenha o coeficiente de transmissão da barreira delta. 
 
 
4. Um canhão de partículas quânticas dispara 1000 partículas por segundo a uma 
velocidade de 6 × 105 m/s (velocidade de grupo) em direção a um degrau de potencial. 
Todas as partículas têm a mesma energia, maior que a altura do degrau que vale V0 = 1 
x 
V 
λδ(x) 
E 
0 
eV. Do outro lado do degrau, um detetor mede as partículas transmitidas a uma taxa média 
de 500 partículas por segundo. 
(a) Qual a energia das partículas? 
(b) Qual a velocidade das partículas transmitidas? E refletidas? 
(c) Qual a densidade de partículas (número de partículas por unidade de comprimento) em 
cada lado do degrau? 
(d) Qual a massa de cada partícula?