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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL - PUCRS
FACULDADE DE MATEMÁTICA – DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM MÉTODOS QUANTITATIVOS – 4ª EDIÇÃO
Matemática Discreta – Tarefa III
Rafael Aquini
29 de agosto de 2022
Problema 1: Dados dois números naturais (inteiros positivos), x e y, dizemos que x divide y, (x|y), se a
divisão de y por x for um número natural, ou seja, se y for múltiplo de x.
Seja o conjunto A = {1,2,4,8,12,16} e a relação R ⊆ Ax A, dada por xR y ⇔ x|y
a) Apresente a relação R por extenso;
b) Verifique se R é uma relação parcial, justificando tua resposta;
c) Verifique se R é uma relação total, justificando tua resposta;
d) Verifique se R é uma relação reflexiva, justificando tua resposta;
e) Verifique se R é uma relação simétrica, justificando tua resposta;
a)
R = {(1,1), (1,2), (1,4), (1,8), (1,12), (1,16),
(2,2), (2,4), (2,8), (2,12), (2,16),
(4,4), (4,8), (4,12), (4,16),
(8,8), (8,16),
(12,12),
(16,16)}
b) R não é uma relação parcial, ou funcional, uma vez que há elementos de A que se relacionam
com mais de um elemento distinto de A, através de R, ou matematicamente:
(∃x ∈ A)(∀y1, y2 ∈ A)(y1 6= y2)(xR y1 ∧xR y2)
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c) R é uma relação total, uma vez que todos os elementos do conjunto origem da relação
(A), são relacionados com pelo menos um elemento no conjunto destino (também A), ou
matematicamente:
(∀x ∈ A)(∃y ∈ A)(xR y)
d) R é uma relação reflexiva, uma vez que todo o elemento de A relaciona-se consigo mesmo,
satisfazendo a seguinte propriedade:
(∀x ∈ A)(xRx) ⇐⇒ (∀x ∈ A)((x, x) ∈ R)
e) R não é uma relação simétrica, uma vez que tomados dois elementos distintos, x e y ,
de A não encontraremos pares (x, y) e (y, x) que satisfaçam a relação simultaneamente.
Matematicamente podemos dizer que:
(Øx, y ∈ A)(x 6= y)(xR y ∧ yRx) ⇐⇒ (∃x, y ∈ A)((x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∉ R)
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	Problema 1