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ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DETALHAMENTO Cap.6-Dimensionamento da armadura longitudinal no estado limite último de colapso ROBERTO CHUST CARVALHO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 131 6-Dimensionamento da armadura longitudinal de flexão no estado limite último de colapso 6.1 – Introdução O dimensionamento da armadura longitudinal de flexão em concreto armado e protendido deve ser atendendo as condições dos estados limites últimos e de serviço. No concreto armado, de uma maneira geral, é usual dimensionar-se a armadura de flexão no estádio limite último de esgotamento da capacidade resistente devido às solicitações normais sob solicitações normais daqui para frente chamada apenas de colapso na flexão e verificar as demais condições. No concreto protendido alem desta hipótese é também usual fazer-se o inverso dimensionar a armadura para condições de serviço (estado limite de fissuração) e verificá-la na ruptura. Em relação a flexão e a sua correspondente deformação pode-se considerar as verificações contidas no quadro 6.1. Quadro 6.1 Verificações para a determinação da quantidade da armadura longitudinal TEMPO ZERO- VERIFICAÇÃO EM VAZIO ELU DE RUPTURA TEMPO INFINITO VERIFICAÇÕES QUE A QUANTIDADE DE ARMADURA LONGIRUDINAL AFETA DIRETAMENTE FISSURAÇÃO ELS DEFORMAÇÃO EXCESSIVA Neste capítulo são trados apenas os problemas de dimensionamento da armadura longitudinal no estado limite último de flexão. O dimensionamento no estádio limite último de colapso em concreto protendido pouco difere do efetuado em peças de concreto armado. As hipóteses que uma seção transversal deve obedecer tanto em concreto armado quanto em protendido estão descritas na NBR6118:2003 no item 17.2. No item 17.4 estabelece que na protensão além dos esforços atuantes devem ser considerados os esforços hiperestáticos de protensão cuja determinação em vigas é estudada no segundo volume deste trabalho. Os momentos isostáticos (produto da força de protensão pela excentricidade não devem ser usados) e para determinação da tensão na armadura deve-se levar em conta os pré- alongamentos descontadas as perdas para o tempo t em que é feita a verificação. Já na norma anterior de protendido a redação já conduzia a este fato como podia ser visto no item 9.1.2: “Na verificação da segurança das peças de concreto protendido devem ser obedecidas as mesmas condições específicas de segurança estabelecidas ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DETALHAMENTO Cap.6-Dimensionamento da armadura longitudinal no estado limite último de colapso ROBERTO CHUST CARVALHO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 132 pela NBR 6118 para as peças de concreto armado comum, ressalvadas as exigências feitas por esta Norma e consideradas a influência da protensão”. Algumas exigências específicas eram feitas pela antiga norma de protendido que passam a ser resumidas: a) em peças isostáticas deve-se considerar, além das solicitações que a peça teria se não fosse protendida, o efeito das ancoragens, mudanças de direção dos cabos de protensão e os valores destas considerados com suas perdas; b) nas estruturas hiperestáticas além das solicitações citadas anteriormente os efeitos hiperstáticos de protensão; c) As seções transversais resistentes são compostas pelas seções de concreto, da armadura de protensão e de eventual armadura passiva existente e não é necessário reduzir, no cálculo dos esforços normais, a área dos furos correspondentes às bainhas dos cabos de protensão, se esta área não ultrapassa 2% da área da seção transversal geométrica da peça; d) As resistências de cálculo no escoamento e na ruptura da armadura são dadas por fpyd= fpyk/1,15 e fptd= fptk/1,15 respectivamente. Neste capítulo é estudado o dimensionamento da armadura ativa para a protensão com aderência e sem aderência (cordoalhas engraxadas). 6.2 AS PRINCIPAIS FASES ATÉ O COLAPSO A seção transversal central da viga de concreto armado ou protendido, neste caso retangular, como a mostrada na figura 6.1, e submetida ao momento fletor M crescente, passa por três níveis de deformação, denominados de ESTÁDIOS, que determinam o comportamento da peça até à sua ruína. Na figura 6.1 estão representadas as deformações e tensões no aço e no concreto e as resultantes dessas tensões. Pode-se caracterizar agora os três estádios de deformação de uma viga de concreto na flexão normal simples: ESTÁDIO I (estado elástico) − sob a ação de um momento fletor MI de pequena intensidade, a tensão de tração no concreto não ultrapassa sua resistência característica à tração (ftk): • o diagrama de tensão normal ao longo da seção é linear; • as tensões nas fibras mais comprimidas são proporcionais às deformações, correspondendo ao trecho linear do diagrama tensão-deformação do concreto; • não há fissuras visíveis. ESTÁDIO II (estado de fissuração) − aumentado-se o valor do momento fletor para MII, as tensões de tração na maioria dos pontos abaixo da linha neutra (LN) terão valores superiores ao da resistência característica do concreto à tração (ftk): • Considera-se que apenas o aço passa a resistir aos esforços de tração; • Admite-se que a tensão de compressão no concreto continue linear (embora no desenho da fig. 6.1 esteja representado curvo); • As fissuras de tração na flexão no concreto podem estar visíveis. ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DETALHAMENTO Cap.6-Dimensionamento da armadura longitudinal no estado limite último de colapso ROBERTO CHUST CARVALHO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 133 cc Rc RcRc z z Rp Rp Rp ESTÁDIO I ESTÁDIO II ESTÁDIO III Rc,t M M>M Mr b d c u zAp II I III FIGURA 6.1. Comportamento das tensões no concreto e as resultantes na da seção transversal deformada de uma viga de concreto protendido na flexão normal simples. Com Rc resultante de compressão no concreto, Rc,t resultante de tração no concreto, Rp –resultante de tração na armadura de protensão. ESTÁDIO III − aumenta-se o momento fletor até a um valor próximo ao de ruína (Mu): • A fibra mais comprimida do concreto começa a escoar, podendo atingir a deformação específica de 0,35% (3,5‰); • O diagrama de tensões tende a ficar vertical (uniforme), com quase todas as fibras trabalhando com sua tensão máxima, ou seja, praticamente todas as fibras atingiram deformações superiores a 2‰ . • A peça está bastante fissurada, com as fissuras atingindo o início da zona comprimida; • Supõe-se que a distribuição de tensões no concreto ocorra segundo um diagrama parábola-retângulo (figura 6.2). Pode-se dizer, simplificadamente, que: Estádios I e II → correspondem às situações de serviço (quando atuam as ações reais); Estádio III → corresponde ao estado limite último (ações majoradas, resistências minoradas), que só ocorreria em situações extremas. Tanto a seção transversal, indicada n figura 6.1, quanto nas análises feitas até então referem-se principalmente às seções submetidos à flexão simples, porem o procedimento com a armadura ativa de protensão pouco mudará como era visto adiante. Fica claro que o efeito da protensão, que é o de criar um estado de tensões de compressão na peça fará com que o valor de MII (será chamado posteriormente de MR- momento de fissuração) aumente significativamente o seu valor. 6.3 HIPÓTESES BÁSICAS PARA O CÁLCULO O texto dos dois próximos itens foi adaptado do capítulo 3 do livro “Cálculo e detalhamento de estruturas usuais deconcreto armado” de CARVALHO e ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DETALHAMENTO Cap.6-Dimensionamento da armadura longitudinal no estado limite último de colapso ROBERTO CHUST CARVALHO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 134 FIGUEIREDO FILHO [2007]. Historicamente esse texto foi escrito primeiro que a obra de concreto armadura e portanto já se destinava ao concreto protendido. As hipóteses para o cálculo no estado limite último de seções submetidas a ações normais podem ser encontradas no item 17.2.2 da NBR6118:2003 (engloba também as referentes às estruturas em concreto protendido): a) As seções transversais permanecem planas após o início da deformação e até o estado limite último; as deformações são, em cada ponto, proporcionais à sua distância à linha neutra da seção (hipótese de Bernoulli). b) Solidariedade dos materiais: admite-se solidariedade perfeita entre o concreto e a armadura; dessa forma a deformação específica de uma barra da armadura, em tração ou compressão, é igual à deformação específica do concreto adjacente. Na verdade o texto definitivo ficou com a seguinte forma “A deformação das barras passivas aderentes ou o acréscimo de deformação das barras ativas aderentes em tração ou compressão, devem ser o mesmo que do concreto em seu entorno”. c) Armaduras não aderentes: Para armaduras ativas não aderentes, na falta de valores experimentais e de análises não lineares adequadas, os valores de acréscimo das tensões para estruturas de edifícios estão apresentadas a seguir devendo ainda ser divididas pelos devidos coeficientes de ponderação: para elementos com relação vão útil /altura menor ou igual que 35 Δσp= 70 + fck/(100ρp) (6.1) não podendo ultrapassar 420 MPa para elementos com relação vão útil /altura maior que 35 Δσp = 70 + fck/(300ρp) (6.2) não podendo ultrapassar de 210 MPa onde: ρp= ..db A pc p onde: Δσp e fck são dados em Mega Pascal ρp é a taxa geométrica da armadura ativa bc é a largura da mesa de compressão dp altura útil referida à armadura ativa d) As tensões de tração no concreto, normais à seção transversal, podem ser desprezadas. e) Admite-se que a distribuição de tensões no concreto seja feita de acordo com o diagrama parábola-retângulo da figura 6.2 (já vista no capítulo 3), com base no diagrama tensão-deformação simplificado do concreto com tensão de pico igual a cdf85,0 ⋅ ; o diagrama parábola-retângulo é composto por uma parábola do 2o grau, com vértice na fibra correspondente à deformação de compressão de 2,0‰ e um ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DETALHAMENTO Cap.6-Dimensionamento da armadura longitudinal no estado limite último de colapso ROBERTO CHUST CARVALHO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 135 trecho reto entre as deformações 2,0‰ e 3,5‰; permite-se a substituição do diagrama parábola-retângulo por um retângulo de altura 0,8⋅x, onde x é a profundidade da linha neutra, com a seguinte tensão: • c ck cd f85,0 f85,0 γ ⋅=⋅ → zonas comprimidas de largura constante, ou crescente no sentido das fibras mais comprimidas, a partir da linha neutra; • c ck cd f80,0 f80,0 γ ⋅=⋅ → zonas comprimidas de largura decrescente no sentido das fibras mais comprimidas, a partir da linha neutra. No trecho de altura 0,2⋅x, a partir da linha neutra, no diagrama retangular, as tensões de compressão no concreto são desprezadas; no trecho restante (0,8⋅x) a distribuição de tensões é uniforme. c c Rc z Rp M b d d Ap s x y=0,8x fcd c fcd c fcdou h deformações tensão no concreto diagrama parábola-retângulo tensão no concreto diagrama simplificado retangularespecíficas seção transversal FIGURA 6.2 Diagramas de tensões no concreto no estado limite último (domínio 2 se 035,0≤cε e 10,0≤sε ; domínio 3 e 4 se 035,0=cε e 10,00 ≤≤ sε ;) Os valores de 0,8 ou 0,85 de fcd considerados se devem ao produto de três fatores. No caso do valor 0,85 os fatores são (FUSCO (1994)): 1) O fator 0,75 que leva em conta a menor resistência que o concreto apresenta submetido às cargas de longa duração (efeito Rüsche) enquanto o ensaio realizado com o corpo de prova é feito com um ensaio rápido; 2) O fator 0,95 para levar em que a forma do corpo de prova não impede totalmente um estado transversal de coação de deformação surgindo assim um estado triaxial de tensão; 3) Finalmente 0 valor médio de 1,2 paea considerar o aumento de resistência do concreto com o tempo. Desta forma o produto desses três fatores resulta em aproximadamente 0,85 ( na verdade resulta em 0,855). f) Tensão na armadura – A tensão nas armaduras deve ser obtida a partir dos diagramas tensão-deformação, com valores de cálculo, definidos no capítulo 3 (ver ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DETALHAMENTO Cap.6-Dimensionamento da armadura longitudinal no estado limite último de colapso ROBERTO CHUST CARVALHO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 136 item 3.3.1). e também a tabela 6.1 dada mais adiante (também repetida do capítulo 3). g) O estado limite último fica caracterizada pelas deformações específicas de cálculo do concreto (εc) e do aço (εs), que atingem (uma delas ou ambas) os valores últimos (máximos) das deformações específicas desses materiais; os diversos casos possíveis de distribuição das deformações do concreto e do aço na seção transversal definem os domínios de deformação, indicados na figura 6.3. FIGURA 6.3 Domínios de deformação no estado limite último em uma seção transversal (adaptado da figura 29 da NB1/2001) Conforme já explicitado, a ruína da seção transversal para qualquer tipo de flexão no estado limite último fica caracterizada pelas deformações específicas de cálculo do concreto e do aço, que atingem (uma delas ou ambas) os valores últimos (máximos) das deformações específicas desses materiais. Os conjuntos de deformações específicas do concreto e do aço ao longo de uma seção transversal retangular com armadura simples (só tracionada) submetida à ações normais, definem seis (6) domínios de deformação esquematizados na figura 6.3. Os domínios representam as diversas possibilidades de ruína da seção; a cada par de deformações específicas de cálculo εc e εs correspondem um esforço normal, se existir, e um momento fletor atuantes na seção. 6.4 Tensão na armadura ativa Como já enunciado no capítulo 1 toda estrutura, inclusive as de concreto protendido, precisam além de ser garantidas ao colapso por uma margem de segurança, funcionarem adequadamente em serviço (estados limites em serviço). Assim, para as peças fletidas em protendido é sempre possível resolver o problema de estados limites de duas maneiras. A primeira pressupõe que a condição de colapso é a que conduz à maior quantidade de armadura longitudinal e, desta forma, dimensiona-se, a armadura no estádio III e verifica-se a condição de fissuração com o número de cabos já determinado. No segundo raciocínio considera-se que a condição de utilização de fissuração é a mais desfavorável e, como já foi visto em diversos exemplos de ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DETALHAMENTO Cap.6-Dimensionamento da armadura longitudinal no estado limite último de colapso ROBERTO CHUST CARVALHO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 137 introdução no capítulo 1, através da limitaçãodas tensões normais na seção transversal, determina-se o número de cabos necessários em serviço verificando-se, em seguida o estado limite último. Considerando o primeiro caso, o problema que se deve resolver é o seguinte: Dada a seção transversal, a posição do centro de gravidade da armadura de protensão (quando não conhecido será arbitrado), as características dos materiais (aço e concreto), momentos atuantes qual deve ser a seção de armadura longitudinal de protensão que satisfaça à ruptura? Considerando o esforço de protensão como interno, a questão pode ser tratada como de flexão simples e o efeito de protensão entra só no equilíbrio do momento fletor. Trata-se de um procedimento aproximado porem adotado largamente na prática, principalmente quando se projeto vigas submetidas a momentos fletores de grande intensidade como pode ser visto, por exemplo, em VASCONCELOS (1980). Para utilizar este procedimento é necessário conhecer o valor da tensão na armadura (σ pd) na configuração do estado limite último sendo necessário fazer uma análise cuidadosa do que ocorre, por exemplo, quando há protensão com aderência posterior. Imaginando uma seção transversal retangular como a apresentada na figura 6.10 e considerando inicialmente o efeito apenas da força de protensão Np. Nesta situação a seção transversal sofre dois efeitos: um encurtamento Δ1 devido o efeito do normal Np e uma rotação α, devido força de protensão atuando com uma excentricidade de ep que causará as deformações Δ2 e Δ3 (fibra superior e junto a armadura de protensão) (fig. 6.10.a). Devido a ação do peso próprio (fig. 6.10.a) haverá uma rotação β (contrária ao efeito da protensão) causando os deslocamentos Δ4 e Δ5. Na figura 6.10.c os dois efeitos são considerados resultando nos deslocamentos Δ6 e Δ7 que corresponderão as deformações específicos εc e εc,p,,p+g1. Na figura em questão considerou-se que as deformações específicas são de encurtamentos, mas poderiam por exemplo na fibra superior ocorrer um pequeno alongamento sem que houvesse fissurae no concreto. Após a execução da protensão pode-se promover a aderência da armadura ativa com o concreto através da injeção da calda de cimento que transcorrido alguns dias já permite a consideração da igualdade entre deformação específica do concreto com o da armadura. Com a aderência estabelecida e considerando a atuação do momento último, a seção se deforma até encontrar uma situação de equilíbrio passando pelo o estado limite de descompressão definido no item 3.2.5 como sendo aquele em que um ou mais pontos a tensão no concreto é nula e no restante da seção não haverá tensão de tração. ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DETALHAMENTO Cap.6-Dimensionamento da armadura longitudinal no estado limite último de colapso ROBERTO CHUST CARVALHO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 138 Fig.6.10- Deformação da seção transversal após a atuação da protensão e peso próprio. Assim a deformação que armadura sofrerá até chegar no estado limite último em equilíbrio será, neste caso, composta de três parcelas: a) a distensão provocado pelo macaco já descontadas todas as perdas ou não (o que for mais desfavorável), b) a movimentação do concreto (já aderente a armadura) até que a tensão na fibra inferior, próxima a armadura ativa (a menos da distância d’ no mesmo nível da armadura) seja nula ε7 e 3) a deformação correspondente a εs necessária para haver equilíbrio. Fig. 6.11- Seção transversal no estados limites de descompressão e limite último ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DETALHAMENTO Cap.6-Dimensionamento da armadura longitudinal no estado limite último de colapso ROBERTO CHUST CARVALHO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 139 Finalmente pode-se dizer que a tensão na armadura de protensão depende da efetivação da protensão (pré-alongamento) εp, a deformação para chegar-se ao estado de descompressão ε7 (εc,p,,p+g1) e a deformação que ocorre depois desta que é designada aqui simplesmente por εs, que deve ser menor que 1% (evitar a deformação excessiva da armadura depois de estar em contato com o concreto ou aberturas de fissuras muito grandes). O valor de ε7 pode ser obtido pela expressão: ε7 = εcp,p+g1 = cc pg1 c 2 pp c p E 1. I e.M I e.N A N ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+ (6.3) onde Np é o esforço normal de protensão na seção Mg1 – momento devido a ação do peso próprio na seção Ep – excentricidade da armadura ativa Ic, Ec – momentos de inércia da seção e módulo de elasticidade do concreto respectivamente. Esta parcela de deformação será diferente se a protensão não for suficiente para mobilizar toda o peso próprio da viga mas sendo pequena costuma ser desprezada nos cálculos usuais. Para trabalhar com os aços de protensão vamos usar os resultados da publicação de VASCONCELOS (1980) dada na tabela 6.1 (repetida do capítulo 3). Cabe ainda ressaltar que a segurança à ruína deve existir mesmo na consideração mais desfavorável e portanto é preciso analisar a seção sob a ação do maior dos esforços atuantes e com a menor força de protensão, ou seja, após todas as perdas (no tempo “infinito”), não se esquecendo, porém, de verificar outras situações que não esta. TABELA 6.1 - TENSÃO NO AÇO σsd (MPa) ε(%o) 5,25 6,794 7,438 8,167 9,000 9,962 10,00 12,50 15,00 17,5 CP175 1025 1264 1316 1344 1365 1368 1368 1378 1388 1397 CP190 1025 1314 1411 1459 1482 1486 1486 1496 1507 1517 ε(%o) 20,00 22,50 25,00 27,5 30,00 32,50 35,00 37,50 40,00 CP175 1407 1416 1426 1436 1445 1455 1464 14,74 1484 CP190 1527 1538 15,48 1559 1569 1579 1590 1600 1611 6.5 Cálculo da armadura longitudinal em vigas sob flexão normal O cálculo da quantidade de armadura longitudinal, para seções transversais retangulares, conhecidos a resistência do concreto (fck), largura da seção (bw), altura útil (d) e tipo de aço (fyd e εyd) é feito, de maneira simples, a partir do equilíbrio das forças ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DETALHAMENTO Cap.6-Dimensionamento da armadura longitudinal no estado limite último de colapso ROBERTO CHUST CARVALHO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 140 atuantes na seção. Será estudada inicialmente a flexão normal pura e simples, que é representada pelos domínios 2, 3, 4 e 4a. 6.5. Equacionamento para a determinação da armadura longitudinal Ap Seja o seguinte problema: conhecidos fck, bw, d, tipo de aço (fyd e εyd) e Md (quando não for uma situação especial Md = 1,4⋅M), determinar a área da armadura longitudinal necessária (As) para que uma viga de concreto armado e seção transversal retangular resista ao momento de cálculo (figura 6.11). c Fc z Fp Md d Ap s x y=0,8x c fcd h domínios tensão no concreto diagrama simplificado retangular vista lateral 2 3 4 yd Ap b w seção transversal FIGURA 6.11. Viga de seção retangular e diagramas de deformações e tensões na seção solicitada pelo momento de cálculo Md. (para o protendido ovalor de ydε não alcançado e portanto não há porque distinguir domínio 3 e 4) a) Equilíbrio da seção (figura 6.11) Equilíbrio das forças atuantes normais à seção transversal: como não há força normal externa, a força atuante no concreto (Fc) deve ser igual à força atuante na armadura (Fs): ∑ F = 0 → 0=− cp FF → cp FF = (6.4) Equilíbrio dos momentos: o momento das forças internas em relação a qualquer ponto (no caso, em relação ao C.G. daarmadura) deve ser igual ao momento externo de cálculo: ∑ = dMM → zFM cd ⋅= (6.5) de (6.1) e (6.2) zFM pd ⋅= (6.6) b) Posição da linha neutra (x) ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DETALHAMENTO Cap.6-Dimensionamento da armadura longitudinal no estado limite último de colapso ROBERTO CHUST CARVALHO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 141 Conhecendo-se a posição da linha neutra é possível saber o domínio em que a peça está trabalhando e calcular a resultante das tensões de compressão no concreto (Fc) e o braço de alavanca (z). ( ) ( ) ( )x8,0bf85,0F wcdc ⋅⋅⋅⋅= x4,0dz ⋅−= (braço de alavanca) colocando Fc e z na equação 6.5 tem-se: ( ) ( ) ( )x4,0dx68,0fbx4,0dx8,0bf85,0zFM cdwwcdcd ⋅−⋅⋅⋅⋅=⋅−⋅⋅⋅⋅⋅=⋅= ou, ainda, ( ) cdw2d fbx272,0dx68,0M ⋅⋅⋅−⋅⋅= (6.7) Resolvendo a equação (6.4) obtém-se x, o qual define a posição da linha neutra, que é fundamental para a solução do problema proposto. Nota-se que a variação de x não é linear com o esforço solicitante Md, mas segue um polinômio do segundo grau. c) Cálculo da área necessária de armadura (Ap). Com o valor de x determinado acima é possível encontrar Ap. A força na armadura (Fp) vem do produto da área de aço (Ap) pela tensão atuante no aço (σ pd). Da equação (6.6) tem-se ppdpd AFz M ⋅== σ resultando pd d p z MA σ⋅= (6.8) O valor de fpd é obtido a partir de εt com εt = εp + εs. O valor de εp a ser empregado deverá ser o correspondente ao tempo infinito quando se tratar de combinação de todas as ações e no tempo zero quando se verificar o estado limite último logo após a protensão.. d) Verificação do domínio em que a peça atingirá o estado limite último Obtido o valor de x que define a posição (altura) da linha neutra, é possível verificar em que domínio a peça atingirá o estado limite último que é muito importante para o caso de concreto armado e o caso de peças em concreto protendido interessa apensa para o cálculo do valor de εs deformação que ocorre no aço de protensão ap’s a neutralização. Na flexão simples, que é o que está aqui sendo considerado, os domínios possíveis são o 2, o 3 e o 4. No início do domínio 2 tem-se εc = 0, e no final do ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DETALHAMENTO Cap.6-Dimensionamento da armadura longitudinal no estado limite último de colapso ROBERTO CHUST CARVALHO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 142 domínio 4 tem-se εs = 0, que são as piores situações que podem ocorrer. No primeiro caso o concreto não contribui na resistência e no segundo o aço de protensão trabalha apenas com o pré-alongamento.. • Relação entre deformações: como as seções permanecem planas após a deformação, por semelhança dos triângulos ABC e ADE do diagrama de deformações (figura 6.12) é possível obter a relação entre a posição da linha neutra (x) e a altura útil (d): x d x dc c s c c sε ε ε ε ε ε= + → = + (6.9) FIGURA 6.12 Relação entre a posição da linha neutra e a altura útil • Posição da linha neutra: no limite do domínio 2 e em todo o 3 tem-se a deformação específica do concreto εc = 3,5‰ (0,0035); colocando esse valor na equação 6.9 resulta: x d s = + 0 0035 0 0035 , , ε (6.10) concluindo-se que para uma seção conhecida a posição da linha neutra depende apenas do tipo de aço. 6.6. Fórmulas adimensionais e tabela para dimensionamento de seções retangulares Sempre que possível é conveniente trabalhar com fórmulas adimensionais, pois isto facilita o emprego de diversos sistemas de unidades e permite a utilização de tabelas e gráficos de modo mais racional. Na forma adimensional, as equações ficam: a) Equação de Md (equação 3.4) • dividindo ambos os membros da equação de Md (equação 3.4) por cd2w fdb tem-se: ( ) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅−⋅=⋅⋅ ⋅⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅ 2 2 cd 2 w cdw 2 cd 2 w d d x272,0 d x68,0 fdb fbx272,0dx68,0 fdb M ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DETALHAMENTO Cap.6-Dimensionamento da armadura longitudinal no estado limite último de colapso ROBERTO CHUST CARVALHO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 143 • chamando cd 2 d fdb MKMD ⋅⋅= (6.11) d xKX = (6.12) a equação acima fica: 2)KX(272,0)KX(68,0KMD ⋅−⋅= (6.13) • a equação 3.8 contém apenas termos adimensionais, e KX só pode variar de 0 a 1 (x = 0 e x = d): x = 0 (início do domínio 2) → KX x d KMD= = → =0 0 x = d (fim do domínio 4) → KX x d KMD= = → =1 0 408, b) Expressão que fornece o braço de alavanca )x4,0dz( z ⋅−= • dividindo os dois termos por d resulta: d x4,01 d x4,0d d z ⋅−=⋅−= • chamando z d KZ= e lembrando que KX x d = , da equação anterior obtém-se KZ: KX4,01KZ ⋅−= (6.14) c) Expressão para o cálculo da armadura dKZz z MA pd d p ⋅=⋅= )( como e, σ , resulta: pd d p σd(KZ) MA ⋅⋅= (6.15) d) Equação que relaciona as deformações com a altura da linha neutra (equação 3.6) x d c c s = + ε ε ε e, como x d KX= resulta KX c c s = + ε ε ε (6.16) ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DETALHAMENTO Cap.6-Dimensionamento da armadura longitudinal no estado limite último de colapso ROBERTO CHUST CARVALHO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 144 Assim é possível construir a tabela 6.2 que pode ajudar no cálculo da armadura longitudinal de protensão de seções transversais retangulares no ELU. TABELA 6.2. Valores para cálculo de armadura longitudinal de seções retangulares KMD KX KZ EC ES KMD KX KZ EC ES 0,0100 0,0148 0,9941 0,1502 10,000 0,2050 0,3506 0,8597 3,5000 6,4814 0,0200 0,0298 0,9881 0,3068 10,000 0,2100 0,3609 0,8556 3,5000 6,1971 0,0300 0,0449 0,9820 0,4704 10,000 0,2150 0,3714 0,8515 3,5000 5,9255 0,0400 0,0603 0,9759 0,6414 10,000 0,2200 0,3819 0,8473 3,5000 5,6658 0,0500 0,0758 0,9697 0,8205 10,000 0,2250 0,3925 0,8430 3,5000 5,4170 0,0550 0,0836 0,9665 0,9133 10,000 0,2300 0,4033 0,8387 3,5000 5,1785 0,0600 0,0916 0,9634 1,0083 10,000 0,2350 0,4143 0,8343 3,5000 4,9496 0,0650 0,0995 0,9602 1,1056 10,000 0,2400 0,4253 0,8299 3,5000 4,7297 0,0700 0,1076 0,9570 1,2054 10,000 0,2450 0,4365 0,8254 3,5000 4,5181 0,0750 0,1156 0,9537 1,3077 10,000 0,2500 0,4479 0,8208 3,5000 4,3144 0,0800 0,1238 0,9505 1,4126 10,000 0,2550 0,4594 0,8162 3,5000 4,1181 0,0850 0,1320 0,9472 1,5203 10,000 0,2600 0,4711 0,8115 3,5000 3,9287 0,0900 0,1403 0,9439 1,6308 10,000 0,2650 0,4830 0,8068 3,5000 3,7459 0,0950 0,1485 0,9406 1,7444 10,000 0,2700 0,4951 0,8020 3,5000 3,5691 0,1000 0,1569 0,9372 1,8611 10,000 0,2750 0,5074 0,7970 3,5000 3,3981 0,1050 0,1654 0,9339 1,9810 10,000 0,2800 0,5199 0,7921 3,5000 3,2324 0,1100 0,1739 0,9305 2,1044 10,0000,2850 0,5326 0,7870 3,5000 3,0719 0,1150 0,1824 0,9270 2,2314 10,000 0,2900 0,5455 0,7818 3,5000 2,9162 0,1200 0,1911 0,9236 2,3621 10,000 0,2950 0,5586 0,7765 3,5000 2,7649 0,1250 0,1998 0,9201 2,4967 10,000 0,3000 0,5721 0,7712 3,5000 2,6179 0,1300 0,2086 0,9166 2,6355 10,000 0,3050 0,5858 0,7657 3,5000 2,4748 0,1350 0,2175 0,9130 2,7786 10,000 0,3100 0,5998 0,7601 3,5000 2,3355 0,1400 0,2264 0,9094 2,9263 10,000 0,3150 0,6141 0,7544 3,5000 2,1997 0,1450 0,2354 0,9058 3,0787 10,000 0,3200 0,6287 0,7485 3,5000 2,0672 0,1500 0,2445 0,9022 3,2363 10,000 0,3300 0,6590 0,7364 3,5000 1,8100 0,1550 0,2536 0,8985 3,3391 10,000 0,3400 0,6910 0,7236 3,5000 1,5652 0,1600 0,2630 0,8948 3,5000 9,8104 0,3500 0,7249 0,7100 3,5000 1,3283 0,1650 0,2723 0,8911 3,5000 9,3531 0,3600 0,7612 0,6955 3,5000 1,0983 0,1700 0,2818 0,8873 3,5000 8,9222 0,3700 0,8003 0,6799 3,5000 0,8732 0,1750 0,2913 0,8835 3,5000 8,5154 0,3800 0,8433 0,6627 3,5000 0,6506 0,1800 0,3009 0,8796 3,5000 8,3106 0,1850 0,3106 0,8757 3,5000 7,7662 0,1900 0,3205 0,8718 3,5000 7,4204 0,1950 0,3305 0,8678 3,5000 7,0919 0,2000 0,3405 0,8638 3,5000 6,7793 Como KX só admite valores de 0 a 1, pode-se construir uma tabela (tabela 6.2) em que a cada KX arbitrado entre 0 e 1 corresponde: um valor de KMD, calculado pela equação 6.11; um valor de KZ calculado pela equação 6.12; obtem-se εc (EC), o valor de εs (ES) pela equação 6.10. É importante ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DETALHAMENTO Cap.6-Dimensionamento da armadura longitudinal no estado limite último de colapso ROBERTO CHUST CARVALHO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 145 destacar que conhecido o par de deformações (εc ; εs) conhece-se o domínio em que a peça está trabalhando. Na tabela 6.2, por praticidade, foram dados valores a KMD e calculados os demais, mantidos os limites de validade para KX. EXEMPLO NUMÉRICO 6.1 Determinar a armadura de protensão de uma seção retangular quando submetida aos momentos Mg1=3540 kN.m Mq=1910 kN.m, considerando que bw=0,7, d=1,45 m, fck=26 MPa, aço CP175 e σp∞ = 1000 MPa. Considerar coeficiente de majoração de carga de 1,4. Resolução: Usando as fórmulas adimensionais : KMD = cd 2 fdb M1,4 ⋅⋅ ⋅ = 4,1 2600045,17,0 )19103540(4,1 2 ⋅⋅ +⋅ = 0,279 Com o valor de KMD na tabela 6.2 Æ KX=0,517, KZ= 0,7932 e εs = 0,3267 %. Assim, desprezando a deformação para se obter o estado de descompressão usa-se εt = εp + εs e com a tabela 6.2 e o valor de σp∞ = 1000 MPa obtêm-se εp = 0,512 % . Finalmente com εt = εp + εs = 0,3267+0,512= 0,8387 % e portanto (de novo com a tabela 6.2) fsd = 1334,96 MPa chega-se a: Ap = pdσdKZ M1,4 ⋅⋅ ⋅ = 96,13445,17932,0 )19103540(4,1 ⋅⋅ +⋅ = 49,15 cm2 EXEMPLO NUMÉRICO 6.2 Determinar a armadura de protensão para o problema anterior considerado a deformação da armadura no estado de descompressão. Considerar h=1,6 m. Considerando já conhecidos do exemplo anterior εp = 0,3267 εs =0,512 fica para ser definido εcp,p+g1 dado por εcp,p+g1 = cc pg1 c 2 pp c p E 1. I e.M I e.N A N ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+ usando Ec = 0,85 x 5600 26 = 24271 Ic = = 12 6,17,0 3x 0,239 m4 A força de protensão a ser considerada deverá ser empregada sem as perdas (considerada como 20%) e com o valor da armadura encontrada no problema anterior: Np= 1,2 x 100x49,15= 5898 kN e o valor de ep =0,8-0,15=0,65m ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DETALHAMENTO Cap.6-Dimensionamento da armadura longitudinal no estado limite último de colapso ROBERTO CHUST CARVALHO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 146 εcp,p+g1 = 7 2 2,4x10 1. 0,239 65,03541x 0,239 65,0x5898 0,7x1,6 5898 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+ =0,0252% desta forma εt = εp +εcp,p+g1+ εs = 0,512+0,0252+0,3267= 0,864 % e portanto (de novo com a tabela 6.2) fsd = 1356 MPa chega-se a: Ap = pdσdKZ M1,4 ⋅⋅ ⋅ = 6,13545,17932,0 )19103540(4,1 ⋅⋅ +⋅ = 48,92 cm2 É importante notar que só é possível levar em conta o efeito de descompressão conhecendo-se já o efeito da protensão e, portanto tecnicamente estaria se fazendo uma verificação e não um dimensionamento. Notar também que a defirença~de armadura do exemplo 6.1 e 6.2 é insignificante fazendo com que daqui para frente, para efeito de simplificação e a favor da segurança a descompressão será desprezada. EXEMPLO NUMÉRICO 6.3 Determinar a armadura de protensão para o problema anterior considerado que a armadura é constituída por cordoalhas engraxadas. Resolução: Usando as fórmulas adimensionais: KMD = cd 2 fdb M1,4 ⋅⋅ ⋅ = 4,1 2600045,17,0 )19103540(4,1 2 ⋅⋅ +⋅ = 0,279 Com o valor de KMD na tabela 6.2 Æ KX=0,517, KZ= 0,7932 e εs = 0,3267 % Assim se houvesse aderência a deformação específica no aço seria igual a εt = εp + εs = 0,512+0,3267= 0,8387 % e portanto (de novo com a tabela 6.2) fsd = 1334,9 MPa. Mas se tratando de armadura não aderente deve-se usar o valor previsto na norma Imaginando como uma primeira tentativa o valor encontrado anteriormente acrescido de 10% tem-se As=54,06 cm2 ρp= ..db A pc p = .70.145 54,06 = 0,00532 Δσp = 70 Mpa + fck/(100ρp) = 70 + 00532,0100 26 x =118,8 MPa e obtendo-se fpd= 1000+118,8= 1118,8 MPa Ap = pdσdKZ M1,4 ⋅⋅ ⋅ = 8,11845,17932,0 )19103540(4,1 ⋅⋅ +⋅ = 59,29 cm2 Como o valor de área encontrada (59,29 cm2) difere do inicialmente suposto (54,06 cm2) será necessário continuar o procedimento considerando agora a nova ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DETALHAMENTO Cap.6-Dimensionamento da armadura longitudinal no estado limite último de colapso ROBERTO CHUST CARVALHO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 147 armadura como sendo a obtida nesta etapa acrescida de 10%, ou seja Ap=65,21 cm2 chegando a uma tensão fpd=1110,5 MPa e para a armadura Ap= 11145,17932,0 )19103540(4,1 ⋅⋅ +⋅ =59,76 cm2 que pode ser considerado como valor final. 6.7. Cálculo de armadura em vigas de seção transversal em forma de “T” Em um piso (laje) de concreto armado apoiado no contorno em vigas, as lajes e vigas não são independentes umas das outras; pelo fato de as estruturas de concreto serem monolíticas (a não ser que construtivamente sejam tomadas medidas para que isso não ocorra), seus elementos, lajes e vigas, trabalham em conjunto. Daqui para frente não será feita distinção entre armadura passiva e ativa pois como foi visto anteriormente o raciocínio é praticamente o mesmo havendo distinção apena na tensão da armadura de protensão. Quando a viga sofre uma deformação, parte da laje adjacente a ela (em um ou em dois lados) também se deforma, comportando-se como se fosse parte da viga, colaborando na sua resistência. Dessa forma, a viga incorpora parte da laje, e sua seção deixa de ser retangular, passando a ter a forma de um “T” (ou de um “L” invertido). Ao se fazer um corte transversal em um piso composto por lajes e vigas (figura 6.13), observa-se que o piso se compõe, na verdade, de um conjunto de vigas com a forma de um “T” trabalhando lado a lado. FIGURA 6.13. Piso com vigas de seção transversal “T” 6.7. 1. Considerações de cálculo a) A parte mais estreita da viga que fica na vertical é chamada de alma (nervura), e a parte horizontal de mesa, que é composta de duas abas (partes salientes) com a seguinte notação indicada na figura 6.14. FIGURA 6.14. Seção transversal de viga com formato em “T” ESTRUTURASEM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DETALHAMENTO Cap.6-Dimensionamento da armadura longitudinal no estado limite último de colapso ROBERTO CHUST CARVALHO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 148 b) Uma viga de concreto armado, composta por uma nervura e duas abas, só será considerada como de seção “T” quando a mesa e parte da alma estiverem comprimidas (figura 6.15 a); caso contrário, dependendo do sentido de atuação do momento fletor, apenas a parte superior da mesa ou inferior da alma estarão comprimidas (essas partes têm a forma retangular), e como as regiões tracionadas de concreto não trabalham, ou seja não colaboram na resistência, a viga será calculada como tendo seção retangular (figura 6.15 b). a) T (mesa e parte superior da alma comprimidas) b) retangular (parte inferior da alma comprimida) FIGURA 6.15. Viga de seção T e retangular. • Como conseqüência, nos trechos de momentos negativos junto aos apoios (vigas contínuas), provavelmente a seção da viga será retangular (caso de viga abaixo da laje), pois apenas parte da alma estará comprimida. • Outra conseqüência é que, no caso dos momentos positivos, a viga só será considerada de seção “T” se a linha neutra estiver passando pela alma; caso contrário, a região de concreto comprimida será retangular, com largura igual a bf, e não haverá colaboração da alma e de parte da mesa, que estarão tracionadas (figura 6.16). Seção “T” - L N passa pela alma Seção retangular - L N passa pela mesa FIGURA 6.16. Viga de seção “T” ou retangular de acordo com a posição da L.N. c) Nas situações em que a L.N. passa pela alma da seção (x>hf), é possível usar as tabelas para seções retangulares, fazendo o cálculo em duas etapas (figura 6.17): • calcula-se inicialmente o momento resistido pelas abas; ( ) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −⋅−⋅⋅⋅=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −⋅= 2 85,0 211 f wffcd f c h dbbhf h dFM (6.17) ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DETALHAMENTO Cap.6-Dimensionamento da armadura longitudinal no estado limite último de colapso ROBERTO CHUST CARVALHO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 149 • o momento restante M2 é absorvido por um elemento retangular (nervura). M2= Md –M1 (6.18) FIGURA 6.17. Seção “T” dividida em duas seções, uma das abas e outra retangular em que para cálculo se aplica a tabela 6.2. E finalmente a armadura fica dada por: pd 2 pd f 1 p d(KZ) M 2 hd MA σσ ⋅⋅ + ⋅⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − = (6.19) d) Não é toda a largura da laje adjacente que colabora com a viga; por absurdo, imagina-se que uma viga central estivesse distante quilômetros das vigas laterais: é evidente que entre uma viga lateral e a central existiria uma parte da laje que não ajudaria na resistência nem de uma viga nem de outra, ou seja, estaria trabalhando realmente apenas como elemento para transferir cargas às vigas. Conclui-se que apenas uma parte da laje, mais próxima à viga, colabora com ela. A distribuição de tensões de compressão na parte superior da viga (mesa) não é uniforme: há uma concentração de valores junto à parte central da viga (alma), como esquematizado na figura 6.18. FIGURA 6.18. Distribuição das tensões de compressão na mesa de uma viga “T” A determinação da largura da laje que colabora com a viga (largura colaborante ou efetiva - bf), é feita integrando-se a distribuição de tensões na altura h, e em uma largura até onde as tensões tendem a zero, para encontrar a resultante; essa resultante ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DETALHAMENTO Cap.6-Dimensionamento da armadura longitudinal no estado limite último de colapso ROBERTO CHUST CARVALHO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 150 é igualada a uma outra, obtida considerando-se distribuição uniforme de tensões, com valor igual a 0,85fcd atuando na altura hf e largura bf ( cdffc f85,0hbF ⋅⋅⋅= ). e) O procedimento acima resulta em um cálculo complexo, e por essa razão existem soluções simplificadas a favor da segurança, mas baseadas nos mesmos princípios; uma delas é a que propõe pela NB6118:2003 (item 14.6.2.2): 6.7. 2. Largura colaborante segundo a NBR6118:2003 O valor da largura colaborante (bf) é dado por (figura 6.19): bf = ba + b1 + b3 (6.20) onde: ba = bw + e1 + e2 (largura fictícia da alma ou nervura) bw − largura da alma na viga e1, e2 − menor cateto do triângulo de cada uma das mísulas b1 − menor valor entre: 0,10⋅a ; 0,5⋅b2 b2 − distância entre as faces das nervuras fictícias sucessivas b3 − menor valor entre: 0,10⋅a ; Os valores de a são dados por (l é o vão da viga, tramo ou balanço): a = l (viga simplesmente apoiada) l⋅= 75,0a (tramo com momento em uma só extremidade) l⋅= 60,0a (tramo com momentos nas duas extremidades) l⋅= 2a (viga em balanço) FIGURA 6.19. Largura colaborante de viga “T” (NBR6118;2003, figura 14.2) EXEMPLO 6.4 Calcular a armadura para a viga simplesmente apoiada, de vão l igual 8m, cuja seção é a da figura 6.20 e está submetida a um momento Md = 6770 kN.m. Considerar aço CP-175 , fck = 26 MPa e ∞=tp,σ =1365 Mpa.. ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DETALHAMENTO Cap.6-Dimensionamento da armadura longitudinal no estado limite último de colapso ROBERTO CHUST CARVALHO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 151 FIGURA 6.20- Geometria da seção transversal do exercício 6.3 a) Supondo a linha neutra na mesa da viga: seção retangular 07,0 4,1 000.261,757,1 770.6 fdb MKMD 2cd 2 w d = ×× =⋅⋅= 0,1076=KX 2.6 tabela07,0 →→=KMD m0,15=1,750,10768,0d)KX(8,0x8,0y ××=⋅⋅=⋅= < hf = 0,20 m A hipótese adotada é válida, ou seja, a linha neutra está na mesa e a seção é retangular. b) Cálculo da armadura KMD = 0,07 → tabela 6.2 → KZ = 0,957 e εs = 10‰ Para o pré-alongamento com ∞=tp,σ =1365 Mpa e da tabela 6.1 tem-se εp =0,9% → εt = εp+εs = 0,9+1= 1,9% que através da tabela 6.1 conduz a σ pd=1400 MPa ou 140 kN/cm2. 1401,750,957 6.770 σd(KZ) M pd d p ××=⋅⋅=A → Ap = 28,8 cm 2 EXEMPLO 6.5 Calcular a armadura necessária para a seção do exemplo anterior supondo agora que o momento é dado por Md = 10.000 kN.m, a) Supondo a linha neutra na mesa: seção retangular 103,0 1,4 26.0001,757,1 000.10 fdb MKMD 2cd 2 w d = ×× =⋅⋅= KMD = 0,103 → tabela 6.2 (interpolando) → KX = 0,162 m0,23=1,75,16208,0d)KX(8,0x8,0y ××=⋅⋅=⋅= > hf = 0,20 m Portanto a hipótese inicial não é válida, pois a linha neutra está fora da mesa, tratando-se de seção “T”. Inicialmente deve-se verificar se toda a largura bf = 170 cm pode ser considerada como colaborante, e em seguida determinar a parcela do momento resistido pelas abas e pela alma da seção (figura 6.21) e a armadura total necessária. b) Determinação da largura colaborante bf (NB1/2002) 3af b2bb ⋅+≤ (a viga é isolada – não há b2) 21wa eebb ++= (a viga não tem mísulas – não há e1 nem e2) → cm18bb wa == ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DETALHAMENTO Cap.6-Dimensionamento da armadura longitudinal no estado limite último de colapso ROBERTO CHUST CARVALHO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 152 b3= ),.(8080010,010,010,0 ll ==×=⋅=⋅ aapoiadasimplvigacma → cm80b3 = cm17880218b2bb 3wf ≤×+≤⋅+≤ Como a largura total da mesaé 170 cm < 178 cm → bf = 170 cm FIGURA 6.21. Momento resistido pelas abas e pela alma de uma viga “T” c) Momento resistido pelas abas (M1) ( ) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −⋅−⋅⋅⋅=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −⋅= 2 hdbbhf0,85 2 hdFM fwffcdfc11 1,7918 2 2,075,1)18,070,1(20,0 4,1 2600085,01 =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −×−×××=M kN.m d) Momento resistido pela alma (M2) M2 = Md - M1 = 10000 – 7918,1 = 2081,9 kN.m e) Cálculo de As (M1 + M2) pd 2 pd f 1 p d(KZ) M 2 hd MA σσ ⋅⋅ + ⋅⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − = 2033,0 4,1 260001,750,18 2081,9=KMD 2 = ×× Pela tabela 6.2 (interpolando): KMD KZ εC εS 0,2033 0,8610 3,5‰ 6,6‰ εs =6,6‰ tem-se εt = 6,6 +9,0‰ =15,65 ‰ na tabaela 6.1→ fpd = 1390 MPa ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DETALHAMENTO Cap.6-Dimensionamento da armadura longitudinal no estado limite último de colapso ROBERTO CHUST CARVALHO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 153 98,95,34 1391,75861,0 9,2081 139 2 20,075,1 1,7918 +=××+×⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − =pA → Ap = 44,5 cm2 6.8 Verificação no estado limite último Em algumas situações ao invés de dimensionar é preciso saber responder se em uma seção transversal há segurança à ruptura conhecidos os esforços internos, a quantidade de armadura de protensão, valor do pré-alongamento, momentos atuantes, características do concreto e aço. Este tipo de problema é chamado simplesmente de verificação e consiste determinar uma posição de linha neutra que leve ao equilíbrio entres a resultante de compressão existente no concreto com a resultante de tração na armadura de protensão e verificar se o momento máximo resistido, nesta situação, é superior ao momento atuante de calculo. A solução deste problema, via de regra, se faz por tentativas. Uma situação comum que se deve fazer isto é quando se têm a chamada “verificação em vazio”, quando após dimensionar a armadura de seção verifica-se para a mesma se há segurança quando atuar a protensão no tempo ”zero” (sem perdas) e apenas os esforços de carga permanente. EXEMPLO NUMÉRICO 6.6 Para a seção do problema 6.1 verificar a ruptura para a seção na situação em vazio. Momento atuante Mg1=3540 kN.m , bw=0,7 , d=1.45 m, fck=26 MPa, aço CP175 e σp∞ = 126,4 MPa, fck=26 MPa, aço CP175 e As = 49,67 cm2. Resolução: Imaginando inicialmente a linha x= d= 1,45 m. Desta forma, com o valor de σp∞ = 126,4 MPa chega-se a εp = 0,679 % que já é o valor de εt e portanto: Fp= 49,67 x 126,4 = 6278 kN A força no concreto é dada por: Fc = 0,85 fcd 0,8 x bw = 8840 x e com x=1,45 m obtêm-se: Fc = 12810 kN Como as forças no concreto e armadura não são iguais deve ser feita outra tentativa para a linha neutra x Considerando agora a linha neutra correspondente ao valor εs = 0,8206 % e εc =0,35% (domínio 3) tem-se: εt = εp + εs = 0,8206+0,512= 1,500 % e portanto σsd = 1388 MPa. Fp= 49,67 x 138,8 = 6894 kN A força no concreto é dada por: x =0,35 ·1,45 / (0,35+0,8206) = 0,4335 m e Fc = = 8840 x = 3832 kN Ainda não foi possível a igualdade entre as forças (Fp= Fc) porém pode-se fazer uma interpolação linear que deve resultar, de maneira aproximada, em uma solução. ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DETALHAMENTO Cap.6-Dimensionamento da armadura longitudinal no estado limite último de colapso ROBERTO CHUST CARVALHO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 154 Fig. 6.22 - Interpolação para a determinação da linha neutra de equilíbrio Pela figura 6.22 pode-se tirar a relação entre os segmentos dos triangulos semelhantes: AB/CD= k/l e como k+l =(1,45-0,4435) chega-se a: x=0,7623 o que leva a: Fc=8840 · 0,7623 = 6738,8 kN O valor de εs é dado por εs = (0,35/0,7626)-0,35= 0,1091 e portanto εt = εp + εs = 0,6794+0,1091= 0,7885 % e portanto σsd = 133,3 MPa. Fp= 49,67 x 133,3 = 6622 kN ≅ Fc =6738 (êrro de 1,75%) O momento fletor resistido para esta situação é: M = 6738 ( 1,45 - 0,5 · 0,7623) = 7202,8 kN.m e portanto a segurança é dada por γ = 7202 3540 = 2,034 > 1,4 satisfaz 6.9 - Estado Limite Último no ato da Protensão Segundo a norma Brasileira a segurança, em relação à ruptura, no ato da protensão, é verificada conforme hipóteses do item 6.3. em relação ao estado limite último, respeitadas as seguintes hipóteses suplementares: a) Considera-se como resistência característica do concreto fck,j aquela correspondente à idade fictícia j , em dias, do material no ato da protensão. A resistência de fck,j deve ser claramente especificada no projeto. b) Para esta verificação, admitem-se os seguintes valores para os coeficientes de ponderação: γc = 1,2; γs = 1,15; γp = 1,0 na pré-tração e γp = 1,1 na pós-tração; ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DETALHAMENTO Cap.6-Dimensionamento da armadura longitudinal no estado limite último de colapso ROBERTO CHUST CARVALHO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 155 γf = 1,0 para as ações desfavoráveis e γf = 0,9 para as ações favoráveis. Apenas as cargas que efetivamente atuarem na ocasião da protensão deverão ser consideradas. Como verificação simplificada a norma prescreve no item 17.2.6.3.2 o seguinte: “Admite-se que a segurança em relação ao estado limite último no ato de protensão seja verificada no Estádio I (concreto não fissurado e comportamento elástico linear dos materiais), desde que as seguintes condições fiquem satisfeitas: a) A tensão máxima de compressão na seção de concreto, obtida através das solicitações ponderadas de γp = 1,1 e γf = 1,0 não ultrapasse 70% da resistência característica fck,j prevista para a idade de aplicação da protensão. b) A tensão máxima de tração do concreto não ultrapasse 1,2 vezes a resistência à tração fctk correspondente ao valor fck,j especificado. c) Quando nas seções transversais existirem tensões de tração, deverá haver armadura de tração calculada no Estádio II, permitindo-se admitir que a força nesta armadura, nessa fase da construção, seja igual à resultante das tensões de tração no concreto no Estádio I. Essa força não deve provocar, na armadura correspondente, acréscimos de tensão superiores a 150 MPa no caso de fios ou barras lisas e a 250 MPa em barras nervuradas com ηb ≥ 1 5, EXEMPLO NUMÉRICO 6.7 Verificar o estado limite último para uma seção retangular quando no ato da protensão (pós tração) sabendo que Mg1=3540 kN.m, considerando que bw=0,7, d=1,45 m, fck=26 MPa, aço CP175 e σp0 = 126,4 Mpa e As= 49,15 cm2 Resolução: Wi = 6 6,07,0 2x =0,299 m3 Ac= 0,7x0,6=0,42 m2 Np= 49,15x126,4=6212,5 kN Finamente com εt = εp + εs = 0,3267+0,512= 0,8387 % e portanto (de novo com a tabela 6.2) σ pd = 1334,96 MPa chega-se a: σs = 299,0 3540 0,299 x0,656212 42,0 6212 +− = 14790-13504+11839=13125 σi = 299,0 3540 0,299 x0,656212 42,0 6212 −+ = 14790+13504-11839=16455 tanto na borda superior quanto na inferior quando da protensão só há tensão de compressão e são inferiores a 0,7 x 26000 =18200 estando portanto verificado a condição de estado limite último. ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DETALHAMENTO Cap.6-Dimensionamento da armadura longitudinal no estado limite último de colapso ROBERTO CHUST CARVALHO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 156 6.9 Cálculo da altura mínima necessária com armadura simples (sem armadura de compressão). Diferentemente do concreto armado nas peças de concreto protendidonão é possível definir os limites dos domínios 3 e 4 pois não se tem um valor de εyd definido para o aço de protensão, como é o caso dos aços comuns (corresponde ao valor de εyd na figura 3.3). Por outro lado, diferentemente que nas peças de concreto armado é possível dimensionar na flexão simples seções com armadura simples (na região tracionada) no início do domíniso 4, pois apesar de εs =0 o aço de protensão é pré-alongado e portanto ainda apresenta um valor de tensão que conduz a uma armadura finita (ver item CARVALHO E FIGUEIREDO FILHO). Esta é a prova inequívoca que as peças de concreto protendido podem ser dimensionadas, à flexão, com menores alturas que as correspondetes em concreto armado. É claro que quanto maior a altura da peça menor será a aramadura necessária, porém é bom lembrar que os custos mais altos, quando se analisa um m3 de estrutura, costuma ser o das formas e portanto nem sempre é vantagem trocar uma diminuição de armadura por um acréscimo de altura. Assim como no concreto armado para um certo momento a menor altura correspondente é a aquela que se otem com a maior linha neutra possível (no caso x=d) e uma vez estipulado o valor de KX=x/d que se quer empregar pode-se determinar a altura necessária pelo que se segue: equação de equilíbrio: 0,272 (KX)2 - 0,68 KX +KMD = 0 considerando KX=1 e levando na equação anterior têm-se: KMD = M b d f d cd⋅ ⋅2 = 0,408 e finalmente dnec = 1,567 · cd d fb M ⋅ (6.21) De outra forma usando Equação 6.7: ( ) cdw2d fbx272,0dx68,0M ⋅⋅⋅−⋅⋅= e a equação 6.9 : sc c d x ε+ε ε= Fazendo sc c ε+ε ε=ξ obtém-se, da equação 6.9, x = ξ⋅d, que colocado na equação 6.7, resulta: ( ) cdw222d fbd272,0d68,0M ⋅⋅⋅ξ⋅−⋅ξ⋅= ⇒ ( )2cdw d 272,068,0fb Md ξ⋅−ξ⋅⋅⋅= ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DETALHAMENTO Cap.6-Dimensionamento da armadura longitudinal no estado limite último de colapso ROBERTO CHUST CARVALHO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 157 ( )2272,068,0 KXKXfb Md cdw d ⋅−⋅⋅⋅= (6.22) com KX=1 resulta novamente dnec = 1,567 · cd d fb M ⋅ (6.21) É importante frisar que a norma NBR6118:2003 no item 16.6.4.3 dispõe: “Para melhorar a dutilidade das estruturas nas regiões de apoio de vigas ou de ligações com outros elementos estruturais, mesmo quando não se fizerem redistribuições de esforços solicitantes, deve-se garantir a posição da linha neutra no ELU, os seguintes limites: para fck≤ 35 MPa x/d≤ 0,50 para fck>35 MPa x/d≤ 0,40 Estes limites podem ser alterados se forem utilizados detalhes especiais de armadura, como por exemplo os que produzem confinamento”. A expressão anterior para seções no apoio (submetidas a momento fletor negativo) ficam: para fck≤ 35 MPa dnec = 1,91· cd d fb M ⋅ (6.23) para fck>35 MPa dnec = 2,09 · cd d fb M ⋅ (6.24) EXEMPLO NUMÉRICO 6.8 Determinar para uma seção retangular (situada no meio do vão) de bw=0,7 m, submetida a um momento total de 5450 kN.m (de serviço), de fck=26 MPa e aço CP175 com σp∞ = 1024 MPa a menor altura possível e a armadura necessária correspondente. Determinar em seguida para outras alturas maiores que a mínima os valores de armaduras correspondentes. Resolução: A menor altura necessária será obtida com x=d o que leva a : dnec = 1,567 · cd d fb M ⋅ = 1,20 m - KX=1 e KZ=0,6 o valor de εt = εp pois εs = 0 e portanto σsd = 1024 MPa (correspondente a 0,512% de deformação) e portanto As = 1 4, ⋅ ⋅ ⋅ M KZ d sdσ = 4,10220,16,0 54504,1 ⋅⋅ ⋅ = 103,5 cm2 ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DETALHAMENTO Cap.6-Dimensionamento da armadura longitudinal no estado limite último de colapso ROBERTO CHUST CARVALHO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 158 Para resolver a segunda parte do problema procede-se analogamente ao que foi feito aqui e os valores encontrados estão na tabela 6.3 Tabela 6.3 - Valores de seção de armadura para diferentes alturas KX h (m) KZ εs (‰) εt (‰) σsdkN/cm2 AS (cm2) 1,00 1,20 0,60 0,00 5,12 102,40 103,54 0,50 1,47 0,80 3,50 8,62 147,20 44,11 0,40 1,60 0,84 5,25 10,37 148,80 38,09 0,259 1,93 0,89 10,00 15,12 150,70 29,29 0,10 3,00 0,96 10,00 15,12 150,70 17,59 Como se vê também, como no concreto armado, não há muita vantagem dimensionar a seção para que trabalhe no início do domínio 4 pois a quantidade de armadura é bem grande, de qualquer maneira a menor altura encontrada é dada por esta situação. Armadura (cm2) x altura útil (m) 0 20 40 60 80 100 120 1 1,5 2 2,5 3 3,5 d(m) A p (c m 2) Fig. 6.23 - Fig. 6.22 – Variação de armadura ativa Ap em função da altura escolhida da seção do exemplo 6.7 6.10 Dimensionamento da armadura longitudinal considerando composta por armadura ativa e passiva. Uma situação comum em projetos de protendido é misturar armadura ativa com passiva. A consideração deste tipo de detalhamento conduz ao conceito de grau de protensão de uma seção transversal. No capítulo 7 serão vistas as intensidades de protensão necessárias para garantir (com os conhecimentos atuais) a durabilidade das peças de concreto protendido. No ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DETALHAMENTO Cap.6-Dimensionamento da armadura longitudinal no estado limite último de colapso ROBERTO CHUST CARVALHO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 159 caso de se projetar uma estrutura para a condição de agressividade ambiental (CAA) I, ou seja, um ambiente com pequena agressividade considera-se as verificações de fissuração (abertura de fissuras) similares as do concreto armado (ver capítulo 4 de CARVALHO e FIGUEIREDI FILHO (2007)). Nesta situação a condição predominante de determinação da armadura longitudinal é, provavelmente, a do estado limite último. Assim, quando a condição determinante é a do estado limite último passa-se a ter o seguinte problema : Para uma seção transversal conhecidos os esforços solicitantes (momento fletores), a geometria da mesma, os tipos de aço a se empregar (ativo e passivo), resistência a compressão do concreto, o pré-alongamento da armadura ativa, as distâncias do cg de cada armadura (ativa e passiva) qual é a quantidade necessária de aço de cada armadura (Ap e As)? c Rc Rs M b d d Ap s x y=0,8x c fcd h tensão no concreto diagrama simplificado retangular seção transversal As s p d w fb p Rp Rt z Força no concreto e nas armaduras h f Fig. 6.23 – Seção transversal submetida a flexão e trabalhando no ELU com armadura ativa (Ap) e passiva (As) Verificando o que já foi exposto fica claro que se trata de um problema com inúmeras soluções, mesmo porque o número de equações de equilíbrio é insuficiente para atribuir um valor para As e Ap e de uma maneira o problema é resolvido por tentativas ou mesmo pela consideração da fixação de uma das duas armaduras. Mesmo que sejam conhecidas as duas alturas úteis ds e dp (ver figura 6.23) ainda assim o centro de suas forças (ponto de passagem de Rt =Rs+Rp na figura 6.23) fica indeterminado pelo não conhecimento prévio das armaduras. Uma das maneiras de resolver o problema é considerar ds = dp e depois considerar o valor de uma das armaduras conhecido. Imaginando que em uma certa seção par um tipo de solicitação se deseje apenas armadura ativa a rmadura será constituída por Ap1. Se esta mesma seção sob as mesmas condições (geometria, resistênciado concreto, altura útil e momentos atuantes) for dimensionada apenas para armadura passiva resulta em uma área de aço de As1. Assim é de se esperar que em situações intermediária, ou seja, em que se deseja usar as duas armaduras tenha-se como solução final kpi . Ap1 + ksi . As1 onde os valores de kpi e ksi variam de 0 a 1. No caso de se ter só armadura protendida kpi=1 e ksi=0, no caso de haver só armadura passiva (concreto armado) kpi=0 e ksi=1. Desta forma pode-se definir o grau de protensão pelo valor de kpi . Se kpi=1 diz-se que a peça está com 100% de ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DETALHAMENTO Cap.6-Dimensionamento da armadura longitudinal no estado limite último de colapso ROBERTO CHUST CARVALHO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 160 protensão (não confundir com protensão completa que será definida no próximo capírulo) e assim por diante. EXEMPLO NUMÉRICO 6.9 (Adaptado de FRANÇA et Alli (2004)). Determinar a armadura passiva de uma seção transversal retangular com b=40 cm e dp=ds=110 cm, considerando os seguintes dados : Md =2032 kN.m; Ap=11,8 cm2, =∞=ptσ 990 MPa; Aço da armadura ativa CP190RB; aço passivo CA50; fck=25 MPa. Resolução: Com =∞=ptσ 990 MPa pode-se calcular diretamente == ∞= p pt p E σ ε = 200.000 990 0,495% E também 235,0 4,1 000.251,104,0 2032 fdb MKMD 2cd 2 w d = ×⋅ =⋅⋅= →= 235,0KMD KZ=0,8343 e 49496,0=sε % portanto εt = εp+εs = 0,9+1= 0,495+0,49496=0,9896% que através da tabela 6.1 conduz a σ pd=148,6 kN/cm2. Como a altura útil para a duas armaduras é a mesma pode-se dizer que a força de tração absorvida pelas duas armaduras é dada por (6.6) zFM pd ⋅= Æ z MF dp = Æ z MfAσA dydspdp =⋅+⋅ substituindo: 1,100,8343 2032 15,1 50A6,48180,11 s ⋅=⋅+⋅ As = 10,59 cm2 Se fosse usada apenas armadura de protensão teria-se 9,14 148,61,100,8343 2032Ap =⋅⋅= cm 2 Assim o grau de protensão neste caso é: gp = 11,80/14,9=0,79 gp≅ 80% 6.11 Consideração do momento hiperestático de protensão no cálculo no ELU. Embora seja assunto do volume os esforços hiperestáticos de protensão precisam muitas vezes ser considerados de forma singular. Um deste caso ocorre com o momento hiperestático de protensão quando se calcula a armadura longitudinal no estado limite último. Assim, neste item faz-se uma introdução do conceito de hiperestático de protensão e em seguido explica-se como considera-lo no dimensionamento da armadura. 6.9.2. Conceito de Momento Hiperestático de protensão em uma viga contínua. Para efeito de raciocínio toma-se uma viga contínua com dois tramos, sujeita a carga uniformemente distribuída cujo esquema estrutural e de carregamento está ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DETALHAMENTO Cap.6-Dimensionamento da armadura longitudinal no estado limite último de colapso ROBERTO CHUST CARVALHO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 161 indicada na figura 6.25 O diagrama de momento atuante na mesma está representado também na figura 6.25 (b). [Uma solução interessante de trajetória de cabo de protensão para a viga em questão pode ser dada exatamente a dada pela forma do diagrama de momento da viga, ou seja, um cabo representante que tem a forma parabólica como a indicada na figura 6.22c. Figura 6.22 Viga contínua sob carga uniforme ae a ação de um cabo parabólico Este provocará um carregamento uniforme para cima como está respresentado na figura 6.22.c que provocará um diagrama de momento com o formato do indicado na figura 6.22.d Figura 6.23Viga da figura 6.22 sem o apoio central sob o efeito sob da protensão. maginando agora que o apoio central B da viga é retirado tem-se a situação mostrada na figura 6.23 em que se percebe nitidamente o deslocamento vertical ΔB. ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DETALHAMENTO Cap.6-Dimensionamento da armadura longitudinal no estado limite último de colapso ROBERTO CHUST CARVALHO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 162 Como na realidade no ponto B existe um apoio surgira, portanto um esforço RHB, ou seja uma força concentrada no apoio B devido somente o efeito da protensão. O cálculo desta força pode ser feito por meio do processo dos esforços e o princípio dos trabalhos virtuais. Figura 6.24 Viga da figura 6.23 esquema para o cálculo do hiperestático de protensão no apoio B. Na figura 6.24 mostra-se esquematicamente como o cálculo da reação no apoio B pode ser calculada. Considera-se neste apoio uma carga unitária na direção da reação do apoio em B. O deslocamento causado por esta carga é dado por : dxMMB l __2 0 __∫ ⋅=δ Já o deslocamento causado pela protensão é dado por ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DETALHAMENTO Cap.6-Dimensionamento da armadura longitudinal no estado limite último de colapso ROBERTO CHUST CARVALHO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 163 dxMMB l p __2 0 ∫ ⋅=Δ onde pM é o momento devido à protensão (isostático) Sendo Xb a reação hiperestática a se determinar e que causará uma deformação igual a ΔB. Ou seja pode-se escrever: BΔ = Xb Bδ⋅ que acaba resultando em: dxMMXdxMM l b l p __2 0 __2 0 __ ∫∫ ⋅=⋅⋅ e portanto ∫ ∫ ⋅⋅ ⋅⋅ = l l p b dxMM dxMM X 2 0 ____ 2 0 __ Notar que a integral do numerado pode ser nula. Quando este caso ocorre diz-se que o cabo é concordante e portanto não causa efeito hiperestático. Uma vez determinado o valor de XB resulta neste caso os valores das reações nos outros apoios, neste caso, de XA=Xc=XB/2 resultando no diagrama apresentado na figura 11.4 Figura 6.25 Esforços e diagrama hiperestático de protensão da viga da figura 6.23 Pelo que foi conceituado pode-se agora apresentar um relação muito importante em que em estruturas elásticas lineares (vigas, pórticos etc) em uma seção o momento fletor final de protensão é a soma dos momentos fletores hiperestático e isostático ou seja: Mf =Mi+Mh Com Mf – Momento final de protensão Mi – Momento isostático de Protensão Mh -Momento Hiperestático de Protensão ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DETALHAMENTO Cap.6-Dimensionamento da armadura longitudinal no estado limite último de colapso ROBERTO CHUST CARVALHO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 164 Finalmente é preciso ainda dizer nesta introdução ao cálculo dos esforços hiperestáticos de protensão que o cabo da viga analisada precisaria ter uma parte curva próximo ao apoio central e que foi considerada desprezível as perdas ao longo do mesmo e que na seção do apoio central o momento hiperestático de protensão acabou tendo sinal contrário ao das cargas atuantes e que não ocorreu para a seção no meio do vão. Nos demais itens todos estes aspectos serão comentados mais detalhadamente. 6.9.2. Consideração do Momento Hiperestático de protensão no ELU Como se viu no item no item anterior o efeito da protensão em peças hiperestáticas pode provocar esforços hiperestáticos de protensão e particularmente o momento hiperestático. Neste caso é importante notar que quando se calcula a armadura longitudinal de protensão, conforme mostrado em 6.4 e 6.4 considera já o efeito do momento isostático de protensão, faltando portanto considerar o efeito do hiperestático de protensão. Assim, desta forma o valor do momentoMd deverá levar em contas além dos valores usuais (cargas peramente, acidentais etc) o efeito do hiperestático cujo coeficiente de ponderção segundo a NBR6118 deverá ser, em casos usuais, 1,2 ou 0,9. Outro fato importante é que se é necessário considerar o hiperestático de protensão no valor de Md que estará sendo usado para determinar Ap, é preciso estimar o seu valor (do momento hiperestático) pois ainda não se conhece o valor da força de protensão. Exemplo Numérico 6.10 (exemplo de MELLO (2005)) Calcular o espaçamento de cordoalhas de 12,5 mm na seção do apoio (em cima do piloar) de uma laje lisa protendida de uma edificação comercial considerando dados: Momentos por metro: mg1+g2+q = -193 kN.m/m (momento devido a ação permanente, sobrecarga permanente e carga acidental) mhi = +14 kNm/m (momento hiperestático de protensão estimado 6,67 cordoalhas por metro) (foram considerados no pré-dimensionamento cordoalhas a cada 13,6 cm) Características geométricas: d=24,7 cm; aço cordoalha de 12,5 mm área de uma cordoalha 1 cm2 Características do aço CP190RB ∞=ptσ =971,4 MPa; Ep=2x105 MPa Concreto fck=30 MPa Resolução Como se trata de edificação comercial pode-se uisar coeficientes de majoração de 1,4 para as ações, apenas o hiperestátitico de protensão que por ser de sinal oosto as demais ações será considerado com o coeficiente 0,9. Assim obtem-se o momento de cálculo da seguinte forma: =⋅−⋅= 149,01924,1dM 256,2 kN.m/m ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DETALHAMENTO Cap.6-Dimensionamento da armadura longitudinal no estado limite último de colapso ROBERTO CHUST CARVALHO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 165 KMD = cd 2 d fdb M ⋅⋅ = 4,1 000.30247,00,1 2,256 2 ⋅⋅ = 0,195 Com o valor de KMD na tabela 6.2 Æ KZ= 0,8678 e εs = 0,709 %. Assim, desprezando a deformação para se obter o estado de descompressão usa-se εt = εp + εs e com a tabela 6.2 e o valor de σp∞ = 971,4 MPa (basta usar a lei de Hooke neste caso) obtêm-se εp = 0,4857% . Finalmente com εt = εp + εs = 0,709+0,487= 1,1947 % e portanto (de novo com a tabela 6.2) σ pd = 1437,7 MPa chega-se a: Ap = pd d σdKZ M ⋅⋅ = 7,143247,08678,0 2,256 ⋅⋅ = 8,32 cm 2 /m O que corresponde a um espaçamento de t=1/8,32=0,12m praticamente o que estava previsto no pré-dimensionamento. Para usar o mesmo valor que o considerado no pré-dimensionamento pode-se completar a armadura ativa com passiva usando o aço CA50. Imaginado a mesma altura útil para a duas armaduras pode-se dizer que a força de tração absorvida pelas duas armaduras é dada por (6.6) zFM pd ⋅= Æ z MF dp = Æ z MfAσA dydspdp =⋅+⋅ substituindo: 0,2470,8678 256,2 15,1 50A77,431 136,0 1 s ⋅=⋅+⋅ As =3,17 cm/m ou seja φ =6,3 cada 10 cm 6.10. Resumo das expressões empregadas no capítulo 6. Para facilitar a consulta deste material faz-se agora um quadro resumo que contem todas as expressões usadas para o cálculo da armadura longitudinal em seções submetidas à flexão simples. ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DETALHAMENTO Cap.6-Dimensionamento da armadura longitudinal no estado limite último de colapso ROBERTO CHUST CARVALHO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 166 QUADRO 6.1 RESUMO DAS PRINCIPAIS EXPRESSÕES USADAS PARA O CÁLCULO DA ARMADURA LONGITUDINAL EM SEÇÕES SUBMETIDAS À FLEXÃO SIMPLES. Significado Fórmula Número Aumento da tensão em armadura não aderente. Altura/vão útil menor que 35 Δσp= 70 + fck/(100ρp) não podendo ultrapassar 420 MPa (6.1) Aumento da tensão em armadura não aderente. Altura/vão útil maior que 35 Δσp = 70 + fck/(300ρp) não podendo ultrapassar 420 MPa (6.2) Deformação da armadura aderente na descompressão da seção. ε7 = εcp,p+g1 = cc pg1 c 2 pp c p E 1. I e.M I e.N A N ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+ (6.3) Resultante na armadura ativa e concreto cp FF = (6.4) Momento em função da resultante no concreo zFM cd ⋅= (6.5) Momento em função da resultante na armadura zFM pd ⋅= (6.6) Expressão do momento de cálculo na seção transversal ( ) cdw2d fbx272,0dx68,0M ⋅⋅⋅−⋅⋅= (6.7) Expressão da armadura de tração pd d p z MA σ⋅= (6.8) Relação da linha neutra/altura em função das deformações especificas do concreto e aço x d x dc c s c c sε ε ε ε ε ε= + → = + (6.9) Relação da linha neutra/altura em função das deformações especificas do concreto e aço domínio 2,3 e 4 x d s = + 0 0035 0 0035 , , ε (6.10) Expressão do momento de cálculo adimensional na seção transversal cd 2 d fdb MKMD ⋅⋅= (6.11) Expressão da linha neutra adimensional na seção transversal d xKX = (6.12) Expressão do momento de cálculo adimensional na seção transversal em função da linha neutra. 2)KX(272,0)KX(68,0KMD ⋅−⋅= (6.13) Expressão do braço de alavanca adimensional. KX4,01KZ ⋅−= (6.14) Expressão da armadura de tração em função de termos adimensionais seção retangular pd d p σd(KZ) MA ⋅⋅= (6.15) ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DETALHAMENTO Cap.6-Dimensionamento da armadura longitudinal no estado limite último de colapso ROBERTO CHUST CARVALHO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 167 QUADRO 6.1 RESUMO DAS PRINCIPAIS EXPRESSÕES USADAS PARA O CÁLCULO DA ARMADURA LONGITUDINAL EM SEÇÕES SUBMETIDAS À FLEXÃO SIMPLES. Expressão da linha neutra adimensional na seção transversal em função deformações especificas do concreto e aço KX c c s = + ε ε ε (6.16) Momento resistente pelas abas de uma seção em tê ( ) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −⋅−⋅⋅⋅=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −⋅= 2 85,0 211 f wffcd f c h dbbhf h dFM (6.17) Momento resistente pela alma de uma seção em tê M2= Md –M1 (6.18) Expressão da armadura de tração em função de termos adimensionais seção em tê pd 2 pd f 1 p d(KZ) M 2 hd MA σσ ⋅⋅ + ⋅⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − = (6.19) Largura colaborante bf = ba + b1 + b3 (6.20) Menor altura necessária KX=1 dnec = 1,567 · cd d fb M ⋅ (6.21) Altura mínima em função de KX ( )2272,068,0 KXKXfb Md cdw d ⋅−⋅⋅⋅= (6.22) Altura mínima em função de KX para seção em cima de apoio com fck≤35 MPa dnec = 1,91 · cd d fb M ⋅ (6.22) Altura mínima em função de KX para seção em cima de apoio com fck>35 MPa dnec = 2,09· cd d fb M ⋅ (6.23) 6.11. Coeficientes de ponderação Ponte préfabricados . Bibliografia CARVALHO FRANÇA LIN MeLLO
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