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ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
Cap. 5. Perdas de protensão ao longo do tempo 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
 
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CAPÍTULO 5- PERDAS DE PROTENSÃO AO LONGO DO TEMPO 
5.1 INTRODUÇÃO 
 
 Da mesma forma como durante a operação de protensão a tensão ao longo de um 
cabo se altera, em geral, diminuindo devido às perdas imediatas, também devido aos 
fenômenos reológicos que estão sujeitos tanto concreto como o aço a tensão na armadura de 
protensão diminui, ao longo do tempo, mesmo quando se considera uma seção em 
particular. A tensão em um ponto do cabo depende da seção que está sendo considerada e 
também da idade do concreto nesta seção. As características mecânicas e elásticas do 
concreto assim como a do aço variam ao longo do tempo quando solicitados seja por esforço 
ou por deformação. A partir de agora todos os raciocínios aqui desenvolvidos se aplicam a 
protensão com aderência, supondo-se assim que a deformação do aço de protensão e do 
concreto em sua superfície de contato é a mesma. Desta forma a primeira expressão a ser 
considerada é a que indica esta igualde de deformação específica: 
 
 pici εε = (5.1) 
Com ciε - deformação específica do concreto junto a armadura no ponto i 
 cpε - deformação específica da armadura de protensão no ponto i 
 
 Os principais fenômenos reológicos do concreto endurecido são: a retração e 
fluência que se somam a relaxação da armadura. A armadura de protensão adquire a maior 
parte de seu esforço a partir de seu estiramento que é mantido através da sua ancoragem à 
estrutura de concreto ou através a aderência à mesma (armadura estrutura de concreto). 
Assim se a estrutura de concreto se deforma (se encurta no caso) ao longo do tempo, parte 
do estiramento da armadura desaparece, ou seja, há uma perda de protensão da armadura. 
Estas perdas se dão, portanto devido à retração e à fluência do concreto. Já quando a 
armadura é estirada e mantida desta forma há uma tendência da tensão da mesma diminuir 
com o tempo o que causaria a perda por relaxação do aço. 
 Conceituando de forma simplista a retração é a variação volumétrica (com 
diminuição de volume) que o concreto sofre depois de endurecido. Na verdade a retração 
começa ocorrer logo após o lançamento do concreto, porém para determinar a perda de 
protensão causada só interessa a parte do fenômeno que ocorre depois da atuação da mesma 
(protensão). De uma maneira geral a retração é devida principalmente devido à saída da 
água que não reage com o cimento (água em excesso). Desta forma pode-se perceber que 
além do tempo as variáveis que interferem no processo são a temperatura e umidade do 
ambiente além da espessura da peça e a quantidade de água (em geral avaliada pela 
plasticidade do concreto). Lembrar que todo concreto é poroso porém há também outras 
propriedades tais como a comunicação entre os poros que afetariam a questão da 
permeabilidade e portanto da saída da água. Da maneira como é definida a retração ela não 
depende da introdução de ações. O fenômeno ocorre mesmo que o concreto esteja com 
estado de tensão, devido às ações externas, nulo, porém a armadura existente na peça de 
concreto armado ou protendido impede a retração livre da peça embora na maioria das vezes 
este efeito seja desprezado. Desta forma quando se considera a retração ocorrendo sem que 
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haja impedimento às deformações provocadas diz-se tratar de retração livre e são estes 
valores que, em geral, as experiências apresentam chamando-se a atenção que, na prática, é 
praticamente impossível isto ocorrer. 
 Para entender a fluência pode-se, entre outros modelos, associar-se um elemento 
linear de concreto como sendo um conjunto, colocado em série, de uma mola associada a um 
pistão com líquido viscoso dentro e com pequenos furos na outra extremidade. Introduzindo 
um carregamento (força axial P ver figura 5.1) ocorrerá uma deformação imediata (a0), 
devida a deformação da mola, e uma deformação que vai ocorrendo com o escape do fluído 
pressionado dentro do pistão através dos pequenos orifícios. Devido a viscosidade do fluído 
e a pequena dimensão dos furos está deformação cresce lentamente com o tempo chegando 
até a∞. 
∞ 
 
 Figura 5.1 Modelo teórico de analogia do concreto para explicar a fluência do 
concreto armado e a variação do deslocamento ao longo do tempo. 
 
 Assim como no caso da retração livre a fluência pura é aquela devida a uma ação 
introduzida no tempo t0 e mantida constante ao longo do tempo. Lembrar porem a protensão 
devido à própria perda por fluência e à retração varia e diminui ao longo do tempo, assim a 
fluência (decorrente da protensão) na prática não é a pura embora os valores desta possam 
ser considerados a favor da segurança, pois são maiores que a relativa à fluência não pura. 
Outro detalhe importante é que as ações que provocam a fluência têm caráter permanente, 
ou seja, as ações acidentais têm curta duração e não provocaram a deformação ao longo do 
tempo, porem para edificações residenciais e comercias pode-se considerar a combinação 
quase permanente da NBR6118:2003 como a causadora da fluência e portanto os efeitos de 
p (protensão) g1 (ação de pesos próprio), g2 (sobrecarga permanente) e cerca 40% (ver 
capítulo 7) de q (carga acidental). 
 Quando a armadura é estirada surge a tensão de protensão que com o tempo irá 
diminuindo pela propriedade da relaxação do material. Se o alongamento for mantido 
constante tem-se a relaxação pura que como no caso da fluência é maior da que ocorre com 
a variável. A perda por relaxação depende fundamentalmente da tensão em que está estirada 
a armadura porem assim como no caso da fluência decresce devido às outras perdas e 
inclusive a própria. Considerando a relaxação pura ocorre uma perda maior que a devida a 
relaxação não pura que ocorre na prática. 
 Por último como todas as perdas dependem de deformação do concreto e do aço a 
aderência entre eles tem muita importância e, por exemplo, no caso de cordoalhas 
engraxadas as perdas seriam calculadas para a seção da ancoragem e a favor da segurança 
considerada a mesma para as demais seções. 
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 No quadro 1 dado a seguir resume-se alguns dos conceitos simplificados aqui 
introduzidos. 
 
QUADRO 1 – Considerações sobre efeitos reológicos concreto e aço 
Fenômeno Atuação -origem Causa efeito no 
concreto 
Efeito no aço 
Retração Concreto Variação de 
volume 
encurtamento perda de tensão 
Fluência Concreto Tensão 
permanente 
encurtamento perda de tensão 
Realação Aço deformação 
permanente 
------------ perda de tensão 
 
 Antes de prosseguir o estudo das perdas é preciso frisar que a fluência do concreto 
ocorre tanto para a parte comprimida quanto na parte tracionada do mesmo em uma seção 
como pode ser visto com detalhes na bibliografia apresentada no final deste capítulo 
principalmente em GALI e FAVRE (1986). Ainda em relação a fluência e relaxação eles são 
fenômenos afins que guardam uma relação entre eles e portanto pode-se através da 
determinação da relaxação, por exemplo, obter os valores de fluência como é mostrado em 
CASTRO (1982). 
 Nos itens seguintes são descriminadas as expressões que permitem calcular as 
perdas devidas à retração fluência do concreto e a relaxação da armadura. 
 
5.2-Deformações 
 
 O cálculo das deformações específicas, tanto do aço como a do concreto, e depois 
a sua compatibilazação é o ponto fundamental do equacionamento das perdas ao longo do 
tempo. Nos próximos itens são mostrados os valores das deformações específicas que 
podem ocorrer nestes materiais.5.2a Deformações do Concreto 
 Há dois casos a considerar: um que a tensão se mantém constante no intervalo e 
outro em que há variação de tensão no intervalo. 
 5.2a1- Tensão constante 
 Quando não há impedimento à livre deformação do concreto, e a ele é aplicada, 
no tempo to, uma tensão constante no intervalo t - to sua deformação total, no tempo t, vale: 
 
 ec (t)= ec (to) + ecc (t) +ecs (t) (5.2) 
 
onde: 
 ec (to) = σc (to) / Ec (to) = deformação específica imediata do concreto, por ocasião 
do carregamento considerado, com Ec (to) (neste caso módulo 
de elasticidade do concreto tangente) calculado pela equação 
5.3, dada a seguir para j = to. 
 
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 1/2cjct f5.600E ⋅= (unidades em MPa) (5.3) 
 
 ecc (t) = [σc (to) / Ec28] ϕ (t, to)= deformação por fluência, no intervalo de tempo 
(t, to), com Ec28 calculado pela mesma equação (5.3) para j = 
28 dias. 
 ϕ (t, to) = coeficiente de fluência no período t0 até t 
 ecs (t) = deformação por retração, no intervalo de tempo (t, to) 
Vale agora lembrar pelo que se escreveu que: 
 
 ϕ (t, to) =ecc (t)/ ecc (t0) (5.4) 
 
 5.2a2- Tensão Variável no intervalo 
 Quando há variação de tensão ao longo do intervalo, induzidas por ações externas 
ou agentes de diferentes propriedades reológicas (incluindo-se armadura, concretos de 
diferentes idades, etc), a deformação total no concreto pode ser calculada por: 
 
 ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) τ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ τϕ+τ∂
σ∂∫+ε+ϕσ+σ=ε
τ=τ
d 
E
t, 
E
1 t,t t,t 
E
t 
tE
t
c28
o
c
c
t
t
ocso
28c
oc
oc
oc
tc
o
 (5.5) 
 
em que os três primeiros termos representam a deformação não impedida e a integral, os 
efeitos da variação de tensões ocorridas no intervalo. 
 
Permite-se substituir a expressão (5.5) por 
 
 ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ αϕ+σΔ+ε+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ϕ+σ=ε
28c
o
oc
ococs
28c
o
oc
octc E
t,t 
tE
1 t t,t 
E
t,t 
tE
1t (5.6) 
 
em que: 
 
 Δσc (t, to) = variação total de tensão no concreto, no intervalo (t, to), e 
 α= coeficiente característico que tem valor variável conforme o caso e resulta da 
integração do último termo da expressão (5.5). 
 No cálculo de perdas de protensão de casos usuais onde a peça pode ser 
considerada como concretada de uma só vez e a protensão como aplicada de uma só vez, 
pode-se adotar α=0,5 e admitir Ec(to) = Ec28, como é feito em 5.7. Observar que aquele item 
considera que o coeficiente de fluência do concreto ϕ = ϕa + ϕf + ϕd é um coeficiente de 
deformação lenta irreversível com as propriedades definidas para ϕf . 
 Nos outros casos usuais pode-se considerar α = 0,8, mantendo Ec(to) ≠ Ec28 
sempre que significativo. Essa aproximação tem a vantagem de tratar ϕ como uma única 
função, sem separar ϕa, ϕf, e ϕd. 
 É possível separar ϕa, ϕf, e ϕd , mas para isso é necessário aplicar a equação 
integral 5.5 ao problema em estudo. A equação 5.6 não se aplica nesse caso. 
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 Especial atenção deve ser dada aos casos em que as fundações são deformáveis ou 
parte da estrutura não apresenta deformação lenta, como o caso de tirantes metálicos. 
 
5.2 b Deformações na armadura 
 Assim como no caso do concreto neste caso há duas situações a considerar: 
quando há uma deformação mantida constante e outra em que há variação da deformação. 
 
5.2 b1 Deformação constante - Quando a armadura é solicitada em situação análoga à 
descrita em A.2.1.1, sua deformação vale: 
 
 ( ) ( ) ( ) ( )o
s
os
s
os
s t,t E
t
E
t
t χσ+σ=ε (5.7) 
onde: 
 σs (to) / Es = deformação imediata, por ocasião do carregamento 
 
 [σs (to) / Es] χ (t, to) = deformação por fluência, ocorrida no intervalo de tempo (t, 
to) e considerada sempre que σs (to) > 0,5 ftpk 
 
5.2 b2 Deformação variável - Quando a livre deformação por fluência é impedida, em 
situação análoga à descrita em 52b1 para o concreto, a deformação total pode ser calculada 
por: 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ])t(t, 1 
E
t,t
t,t 
E
t
E
t
t o
s
os
o
s
os
s
os
s χ+σΔ+χσ+σ=ε (5.8) 
onde: 
 Δσs (t, to) =variação total de tensão na armadura, no intervalo (t, to). 
 
 
5.3 Perdas de protensão: Considerações e simplificações a serem feitas. 
 
 Em muitas situações em que as variações de tensões no concreto e na armadura é 
pequena pode-se fazer uma série de simplificações. A primeira delas é considerar que as 
perdas podem ser consideradas de forma isolada, ou seja, que cada uma é independente da 
outra. Assim vale a seguinte expressão: 
 
 Δσp,c+s+r(t,to)= Δσpc(t,to) + Δσps(t,to)+Δσpr(t,to) (5.9) 
 
Com Δσp,c+s+r(t,to) – perda total de protensão devido fluência, retração e relaxação 
 Δσpc(t,to) - perda de protensão devido fluência (considerando-a isolada) 
 Δσps(t,to) - perda de protensão devido retração 
 Δσpr(t,to) - perda de protensão devido a relaxação (considerando-a isolada) 
 Ainda após esta simplificação com será visto posteriormente há duas possibilidades 
aconsiderar: uma em que se usa os valores característicos superiores da deformação 
específica de retração e fluência do concreto e deoutra maneira um cálculo mais detalhado 
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das deformações específicas calculadas usando o anexo A de NBR6118:2003 mostrados nos 
itens posteriores. 
 Finalmente no item 5.10 será mostrada como pode ser feita a interação dos diversos 
fenômenos reológicos no cálculo das perdas. 
 
 
5.4 Valores característicos superiores da deformação específica de retração e de 
fluência 
 Em casos onde não é necessária grande precisão, os valores finais do coeficiente de 
fluência ϕ(t∞,to) e da deformação específica de retração ∈cs(t∞,to) do concreto, submetido a 
tensões menores que 0,5fc quando do primeiro carregamento, podem ser obtidos, por 
interpolação linear, a partir da Tabela 5.1. Esta tabela fornece o valor do coeficiente de 
fluência ϕ(t∞,to) e da deformação específica de retração εcs(t∞,to) em função da umidade 
ambiente e da espessura equivalente 2Ac/u, onde Ac é a área da seção transversal e u é o 
perímetro desta seção em contato com a atmosfera. Os valores desta tabela são relativos a 
temperaturas do concreto entre 10 e 20°C, podendo-se, entretanto, admitir temperaturas 
entre 0 e 40°C. Esses valores são válidos para concretos plásticos e de cimento Portland 
comum. 
 
Tabela 5.1 - Valores característicos superiores da deformação específica de retração ∈
cs(t∞,to)e do coeficiente de fluência ϕ(t∞,to). 
Umidade Ambiente (%) 40 55 75 90 
Espessura Equivalente 
2Ac/u (cm) 
20 60 
 
20 60 20 60 
 
20 60 
 to(dias) 5 4,4 3,9 3,8 3,3 3,0 2,6 2,3 2,1 
ϕ(t∞,to) 30 3,0 2,9 2,6 2,5 2,0 2,0 1,6 1,6 
 60 3,0 2,6 2,2 2,2 1,7 1,8 1,4 1,4 
∈cs(t∞,to) to(dias) 5 -0,44 -0,39 -0,37 -0,33 -0,23 -0,21 -0,10 -0,09 
(por mil) 30 -0,37 -0,38 -0,31 -0,31 -0,20 -0,20 -0,09 -0,09 
 60 -0,32 -0,36 -0,27 -0,30 -0,17 -0,19 -0,08 -0,09 
 
 
 Deformações específicas devidas à fluência e à retração mais precisas deverão ser 
calculadas segundo indicação dos itens posteriores e presentes no Anexo III da 
NBR6118:2003. 
 
 
5.5 Cálculo da deformação específica de retração do concreto 
 
 O valor da retração do concretodepende da: umidade relativa do ambiente, 
consistência do concreto no lançamento e espessura fictícia da peça. 
 
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Entre os instantes to e t a retração é dada pelos valores superiores indicados na tabela 
5.1 do item anterior ou de maneira mais detalhada por: 
 
 εcs (t, to) = εcsoo [ βs (t) - βs (to) ] (5.10) 
 
Onde: 
 εcsoo = ε1s . ε2s = valor final da retração 
 ε1s = coeficiente dependente da umidade relativa do ambiente e da 
consistência do concreto (Tabela 5.2) 
 ε2s = coeficiente dependente da espessura fictícia da peça 
 
 
fic
fic
s2 h38,20
2h 33
 +
+=ε (5.11) 
em que hfic é a espessura fictícia definida adiante e empregada nesta fórmula 
em centímetros 
 βs (t) ou βs (to) = coeficiente relativo á retração, no instante t ou to (Figura 
5.2) 
 t = idade fictícia do concreto no instante considerado, em dias (a idade fictícia 
será definida também) 
 to = idade fictícia do concreto no instante em que o efeito da retração na peça 
começa a ser considerado, em dias 
A espessura fictícia do elemento dada pela seguinte expressão: 
 
ar
c
fic u
2A
 h γ= (5.12) 
Onde: 
γ = coeficiente dependente da umidade relativa do ambiente U% (Tabela 5.2) 
sendo γ = 1 + exp (-7,8 + 0,1U) 
 Ac = área da seção transversal da peça 
Uar = parte do perímetro externo da seção transversal da peça em contato 
com o ar 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela 5.2 - Valores numéricos usuais para a determinação da fluência e da retração 
 FLUÊNCIA 
φ1C (1) 
RETRAÇÃO 
104 . εls (2)
 
AMBIENTE UMIDADE 
U 
Abatimento de acordo com a NBR-7223 
 (em cm) (3) 
γ 
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 0 - 4 5 – 9 10 - 15 0 - 4 5 - 9 10 - 15 (4) 
Na água - 0,6 0,8 1,0 +1,0 +1,0 +1,0 30 
Em ambiente muito 
úmido imediatamente 
acima da água 
 
 
90% 
 
 
1,0 
 
 
1,3 
 
 
1,6 
 
 
- 1,0 
 
 
- 1,3 
 
 
- 1,6 
 
 
 
5,0 
Ao ar livre, em geral 70% 1,5 2,0 2,5 - 2,5 - 3,2 - 4,0 
1,5 
Em ambiente seco 40% 2,3 3,0 3,8 - 4,0 - 5,2 - 6,5 
1,0 
(1) φ1c = 4,45 - 0,035U para abatimentos 5-9 e U ≤ 90; 
(2) 
1590
U 
484
U - 6,16 - . 10
2
ls
4 +=ε para abatimentos de 5-9 e U < 90 
(3) Os valores para U ≤ 90 e abatimentos 0-4 são 25% menores e para abatimento 10-15 são 
25% maiores 
(4) γ = 1 + exp (-7,8 + 0,1U) para U ≤ 90. 
Nota: Para efeito de cálculo, as mesmas expressões e os mesmos valores numéricos podem 
ser empregados no caso de tração. 
 
 
100
.
100100
100100100 (t) 23
23
s
EtDtCt
tBtAt
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⋅+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⋅+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⋅+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
=β 
A=40; 
B=116h3-282h2+220h-4,8; 
C=2,5h3-8,8h+40,7; 
D=-75h3+585h2+496h-6,8; 
E=-196h4-88h3+584h2-39h+0,8; 
h é a espessura fictícia em metros; para valores h fora do intervalo de 0,05 e 1,6m usam-se 
os valores extremos. t é o tempo em dias 
 
 Figura 5.2 - Variação βs(t) 
 
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Para cálculo dos diversos valores envolvidos é preciso considerar a idade fictícia α. 
tef em dias, quando o endurecimento se faz à temperatura ambiente de 200C e, nos demais 
casos, quando não houver cura a vapor, a idade a considerar é a idade fictícia dada por: 
i t . 
30
10 T t ef,i
i
Δ+∑α= (5.13) 
Onde: t = idade fictícia, em dias 
 α = coeficiente dependente da velocidade de endurecimento do cimento; na falta de 
dados experimentais permite-se o emprego dos valores constantes da Tabela 5.3. 
 Ti= temperatura média diária do ambiente (0C) 
 Δtef,i = período em dias, durante o qual a temperatura média diária do ambiente, Ti, 
pode ser admitida constante . 
 
Tabela 5.3- Valores da fluência e da retração em função da velocidade de 
endurecimento do cimento 
 α 
Cimento Fluência Retração 
De endurecimento lento AF 250, AF 320, POZ 250, POZ 320, 
MRS, ARS 
1 
De endurecimento normal CP 250, CP 320, CP 400 2 1 
De endurecimento rápido ARI 3 
AF- alto forno; ARI- alta resistência inicial; ARS- alta resistência a sulfatos; C- cimento 
portland; RS- moderada resistência a sulfatos; POZ- pozolânico 
 
5.6 Cálculo da deformação específica de fluência do concreto 
A deformação por fluência do concreto (εcc) compõe-se de duas partes, uma rápida e 
outra lenta. A fluência rápida (εcca) é irreversível e ocorre durante as primeiras 24 horas após 
a aplicação da carga que a originou. A fluência lenta é por sua vez composta por duas outras 
parcelas: a deformação lenta irreversível (εccf) e a deformação lenta reversível (εccd). 
 
εcc = ε cca + εccf + εccd (5.14) 
 
 εc′ total = εc + εcc = εc (1 + ϕ) 
 ϕ = ϕa + ϕf + ϕd 
 
Onde: 
 ϕa = coeficiente de fluência rápida (irreversível) 
 ϕf = coeficiente de deformação lenta irreversível 
 ϕd = coeficiente de deformação lenta reversível 
 
Para o cálculo dos efeitos da fluência, quando as tensões no concreto são as de serviço, 
admitem-se as seguintes hipóteses: 
 
a) a deformação por fluência εcc varia linearmente com a tensão aplicada; 
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b) para acréscimos de tensão aplicados em instantes distintos, os respectivos efeitos de 
fluência se superpõem; 
c) a fluência rápida produz deformações constantes ao longo do tempo; os valores do 
coeficiente φa são função da relação entre a resistência do concreto no momento da 
aplicação da carga e a sua resistência final; 
d) o coeficiente de deformação lenta reversível ϕd depende apenas da duração do 
carregamento; o seu valor final e o seu desenvolvimento ao longo do tempo são 
independentes da idade do concreto no momento da aplicação da carga; 
e) o coeficiente de deformação lenta irreversível ϕf depende de: 
- umidade relativa do ambiente (U) 
- consistência do concreto no lançamento 
- espessura fictícia da peça hfic (ver 5.19) 
- idade fictícia do concreto (ver 5.20) no instante (to) da aplicação da carga 
- idade fictícia do concreto no instante considerado (t) 
f) para o mesmo concreto, as curvas de deformação lenta irreversível em função do tempo, 
correspondentes a diferentes idades do concreto no momento do carregamento, são 
obtidas, umas em relação às outras, por deslocamento paralelo ao eixo das deformações 
conforme a Figura 5.3. 
 
Figura 5.3- Variação εccf (t) 
 
Assim valor da deformação específica do concreto total é dada por 
 
)t(t, . 
E
 )t,t( o
c28
c
 ccdccaocc ϕσ=ε+ε=ε (5.15) 
 
No instante t a deformação devida á fluência é dada por: 
 
com Ec28 calculado conforme equação 5.3 para j=28 dias. O coeficiente de fluência 
ϕ (t,to), válido também para a tração, é dado por: 
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ϕ (t,to) = ϕa + ϕfoo [βf (t) - [βf (to)] + ϕdoo βd (5.16) 
 
Onde: 
t = idade fictícia do concreto no instante considerado, em dias 
to = idade fictícia do concreto ao ser feito o carregamento, em dias 
ϕa = coeficiente de fluência rápida, determinado pela expressão 
 
 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
∞ )(
)(18,0 0
tf
tf
c
c
aϕ (5.17) 
 
 
)t(f
)t(f
ooc
oc = função de crescimento da resistênciado concreto com a idade, 
 que pode ser obtida usando a expressão de 1β do capítulo 3 que 
correlaciona a resistência do concreto em um tempo t com o valor de fck que 
é a resistência a 28 dias 
 
ck
cj
1
f
f
=β (5.18) 
com 
 ( )[ ]{ }2/11 t/281exp −×= sβ (3.4) 
onde: 
t é a idade efetiva do concreto, em dias. 
Assim basta aplicar (3.4) para t=to e para t=10.000 (considerado infinito) para obter-se 
relação 
)t(f
)t(f
ooc
oc . 
Tabela 5.4- Valores da relação 
)(
)(
28tf
tf
c
ooc considerando 000.10=oot dias 
para concreto de cimento Valor de s 
)(
)(
28tf
tf
c
ooc 
CPIII e IV; 0,38 1,433 
CPI e II; 0,25 1,267 
CPV-ARI; 0,20 1,208 
 
O valor de ϕfoo = ϕ1c.ϕ2c = valor final do coeficiente de deformação lenta 
irreversível 
 ϕ1c = coeficiente dependente da umidade relativa do ambiente U% e da 
consistência do concreto dado pela tabela 5.2. 
 
 ϕ2c = coeficiente dependente da espessura fictícia hfic da peça, definida 
por 
 
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Cap. 5. Perdas de protensão ao longo do tempo 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
 
121
 
fic
fic
c2 h 20
h 42 +
+=ϕ (5.19) 
 
com hfic em centímetros 
 
 βf(t) ou βf(to) = coeficiente relativo à deformação lenta irreversível, função da 
idade do concreto (Figura 5.3) 
 ϕdoo = valor final do coeficiente de deformação lenta reversível que é 
considerado igual a 0,4 
 βd = coeficiente relativo à deformação lenta reversível função do tempo (t - 
to) decorrido após o carregamento 
 
 
70 t - t
20 t - t
 
o
o
d +
+=β (5.20) 
 
 
 (t) 2
2
f DtCt
BtAt
+⋅+
+⋅+=β 
A=42h3-350h2+588h+113; 
B=768h3-3060h2+3234h-23; 
C=-200h3+13h2+1090h+183; 
D=7579h3-31916h2+35343h+1931; 
h é a espessura fictícia em metros; para valores h fora do intervalo de 0,05 e 1,6m usam-se 
os valores extremos. t é o tempo em dias 
 
Figura 5.4 – Gráfico da variação βf(t). 
 
5.7 Perda por retração do concreto (consideração do efeito isolado) 
 Imaginando inicialmente que se tem a retração livre e desta forma o encurtamento 
que o concreto de uma seção estudada será igual a εc,c(t0,∞) (neste caso o s subscrito 
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Cap. 5. Perdas de protensão ao longo do tempo 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
 
122
corresponde a abreviação da palavra shrinkage significando retração em inglês) e que 
havendo a aderência entre o concreto e a armadura (εp=εcs (t, to)) corresponderá a um 
encurtamento na armadura e assim uma perda de tensão dada por 
 
 Δσp,s(t, t0)= εcs (t, to). Ep (5.21) 
 
 
 
EXEMPLO 5.1 Calcular a perda por retração que um cabo sofrerá atuando em uma viga 
que tem bw=0,86 m h=2 m, foi protendida com o concreto com 5 dias de idade e em um 
ambiente de Ur=75%. Considerar Ep = 2,0 .105 MPa. 
 
Considerando a expressão (5.21) 
Δσp,s(t, t0)= εcs (∞, to). Ep e ainda o valor aproximado de εcs (∞, to) dado em 5.1 
com 2Ac/u= =+⋅
⋅⋅
)286,0(2
286,02 0,60 m obtêm-se εcs (∞, to)= 2,1.10-4 
Δσp,s(t, t0)= 2,1.10-4 . 2,0 .105 = 42 MPa. 
 
EXEMPLO 5.2 Calcular a perda por retração do cabo do problema anterior decorrido 12 
meses. Considerar como dados adicionais concreto com abatimento entre 5 e 9 cm, e 
temperatura média de 200C. 
 
Considerando a expressão (5.21) 
Δσp,s(t, t0)= εcs (t, to). Ep e agora o valor de εcs (t, to) dado por 
 
εcs (t, to) = εcsoo [ βs (t) - βs (to) ] (5.10) 
ar
c
fic u
2A
 h γ= = 1,5 x 0,60 = 0,90 m =90 cm (o valor de g=1,5 obtido na tabela 
5.2) 
fic
fic
s2 h38,20
2h 33
 +
+=ε = =+
+
9038,20
2x90 33
x
0,73 
tem-se εcsoo = ε1s . ε2s = 3,2 x 0,73=2,33 
 ε1s =3,2 coeficiente dependente da umidade relativa do ambiente e da 
consistência do concreto (Tabela 5.2) 
 βs (t) ou βs (to) = coeficiente relativo á retração, no instante t ou to (Figura 
5.1) 
Em se tratando de temperatura de 200C as idades, para a retração, são as mesmas e assim 
resulta βs (∞) = 0,98 e βs (5)=0 
εcs (∞, to) = 2,33 [ 0,92 - 0 ]= 2,15 
Δσp,s(∞, t0)= 2,15.10-4 . 2,0 .105 = 43 MPa. 
 
Para 12 meses apenas mudará o valor de βs (360) = 0,11 
εcs (360, to) = 2,33 [ 0,11 - 0 ]=0,25 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
Cap. 5. Perdas de protensão ao longo do tempo 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
 
123
Δσp,s(360, 5)= 0,25.10-4 . 2,0.105 = 5,0 MPa. 
 
 Observar que por se tratar de peça bastante espessa em um ano praticamente só 10 
% da retração ocorreu. Verificar a diferença encontrada no exemplo anterior e neste para o 
valor no tempo infinito que se deve basicamente ao caráter de simplificação da primeira 
tabela (tabela 5.1). Notar também que qualquer variação em umidade e consistência do 
concreto pela tabela 5.1 o valor obtido de perda é o mesmo. 
 
5.8 Cálculo da perda de protensão por fluência do concreto (consideração do efeito 
isolado). 
Supõe-se inicialmente, como foi feito no estudo da retração, que a fluência que 
ocorre seja a pura assim, a ação causadora da deformação se mantem constante. 
Considerando que as ações de caracter permanente provoquem compressão (e desta forma o 
encurtamento) em uma fibra do concreto, no nível do centro de gravidade da armadura, 
devido ao efeito da fluência tem-se, no tempo infinito, a deformação específica de εc,c(t0,∞) 
(neste caso o segundo c subscrito corresponde a abreviação da palavra creep significando 
fluência em inglês). Assim, considerando a aderência entre o concreto e a armadura (εp=εc,c 
(t, to)) há um encurtamento correspondente na armadura de protensão e portanto uma perda 
de tensão dada por 
 
Δσp,c(∞, t0)= εc,c (t, to). Ep (5.22) 
 
que vale também para um tempo t qualquer 
 
Δσp,c(t, t0)= εc,c (t, to). Ep (5.22a) 
 
ou ainda 
 
Δσp,c(t, t0)= εc,0 φ(t, to). Ep 
 
e Δσp,c(t, t0)= 
c
cgp
E
σ
 φ(t, to). Ep 
com finalmente 
 
Δσp,c(t, t0)= cgpσ . φ(t, to). αp (5.23) 
 
A tensão cgpσ é a tensão que ocorre no concreto no nível do centro de gravidade da 
armadura de protensão e devido à ação das cargas permanentes inclusive a protensão sendo 
dada pela expressão: 
 
 e
I
M
I
eN
A
N i
gi
p
c
p
cgp
∑
−+=
2.σ (5.24) 
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Cap. 5. Perdas de protensão ao longo do tempo 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
 
124
 
Com os valores de 
 Np a força de protensão total, 
 I- inércia da seção transversal 
 e excentricidade dos cabos de protensão. 
 ∑
i
giM = Mg1+ Mg2+.......+Mgn 
 Mg1 – momento fletor devido a carga permanente estrutura 
 Mg2 – momento fletor devido a sobrecarga permanente estrutural, ou outra carga de 
caráter permanente. 
 
 Chama-se a atenção que parcela da carga acidental q (correspondente a ψ2) também 
tem caráter permanente e assim deve ser considerada na expressão 5.24. Deve-se ter o 
cuidado quando se considera diversas ações de caráter permanente que o tempo inicial a ser 
considerado por cada uma destas ações pode ser bem diferente, ou seja, o peso próprio 
estrutural entra em ação, pelo menos em parte, junto com a ação de protensão no tempo t=t0 
e a parcela da carga acidental pode entrar cerca de um mês ou mais depois. Como a 
protensão, em geral, é a única ação que provoca ação de compressão no concreto próximo ao 
cg dos cabos as demais ações estão provocando tração, ou seja, diminuindo a perda de 
protensão. Ao se considerar portanto todas as ações permanentes atuando no mesmo tempo 
t=t0 esta se calculando uma perda inferior a que pode ocorrer. Também ao se considerar na 
expressão 5.24 apenas Mg1 pode-se avaliar a perda de protensão com excesso. 
 
 
EXEMPLO 5.3 Calcular a perda por fluênciado concreto que um cabo sofrerá atuando em 
uma viga que tem bw=0,86 m h=2 m, foi protendida com o concreto com 5 dias de idade e 
em um ambiente de Ur=75%. Considerar Ep = 2,0 .105 MPa, fck=30 MPa, e σcg,p=4 MPa. 
 
Considerando a expressão (5.22) 
 Δσp,s(t, t0)= 
c
cgp
E
σ
 φ(t, to). Ep 
o valor aproximado de ϕ(∞, to) é dado em 5.1 
com 2Ac/u= =+⋅
⋅⋅
)286,0(2
286,02 0,60 m obtêm-se ϕ(∞, 5)= 2,6 
Ec=5600. 30 =30.672 MPa 
Δσp,s(t, t0)= 30672
4
 2,6. 2,00x105=67,8 MPa 
 
EXEMPLO 5.4 Calcular a perda por fluência do concreto do cabo do problema anterior 
decorrido 12 meses. Considerar como dados adicionais concreto com abatimento entre 6 e 9 
cm, temperatura média de 200C e cimento Portland. 
 
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Cap. 5. Perdas de protensão ao longo do tempo 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
 
125
A perda é calculada da mesma forma mudando-se apenas o valor do coeficiente de fluência 
dado agora por: 
ϕ (t,to) = ϕa + ϕfoo [βf (t) - [βf (to)] + ϕdoo βd (5.16) 
 
Necessário inicialmente considerar a idade fictícia em dias dada por 
i t . 
30
10 T t ef,i
i
Δ+∑α= (5.13) 
com α-2 (cimento normal e tabela 5.3) , Ti= 200C. Assim para 5 dias tem-se 10 dias, para 
360 tem-se 720 dias de idade fictícia. 
de (5.18) tem-se ckc ftf .)( 10 β= 
e de (3.4) ( )[ ]{ }2/11 t/281exp −×= sβ = ( )[ ]{ }2/15/28125,0exp −× =0,71 
 assim ckc ftf .71,0)( 0 = 
Como da tabela 5.4 ckc ftf .26,1)( =∞ 
 
)t(f
)t(f
ooc
oc =
26,1
71,0 =0,564 
[ ] =−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
∞
5647,018,0
)(
)(18,0 0
tf
tf
c
c
aϕ 0,351 
Para cálculo de γ usa-se γ = 1 + exp (-7,8 + 0,1U) 
 γ = 1 + exp (-7,8 + 0,1.0,75)=1,74 
 
 Com (5.12) 
ar
c
fic u
2A
 h γ= = 104
86)(2002
86)2(200 74,1 =+⋅
⋅⋅ cm 
 
 φ1c = 4,45 - 0,035U= 4,45 - 0,035.75=1,825 
=+
+=+
+=
104 20
104 42 
h 20
h 42 
fic
fic
2cϕ 1,177 
ϕfoo = ϕ1c.ϕ2c = 1,825 x 1,177 =2,14 
βf(∞)=0,92 βf(10) = 0,2 βf(720)=0,6 coeficiente relativo à deformação lenta irreversível, 
função da idade do concreto (Figura 5.3) 
ϕdoo = 0,4 
βd = 
70 10-720
20 10 - 720
70 t-t 
20 t-t 
o
o
+
+=+
+ =0,935 
ϕ (360,5) = ϕa + ϕfoo [βf (t) - [βf (to)] + ϕdoo βd=0,351+2,14x(0,6-0,2)+0,4x0,935= 1,581 
ϕ (∞,5) = ϕa + ϕfoo [βf (t) - [βf (to)] + ϕdoo βd=0,351+2,14x(0,92-0,2)+0,4x1= 2,291 
Δσp,s(360,5)= ⋅30672
4
 1,581. 2,00x105=41,2 MPa 
Δσp,s(∞,5)= ⋅30672
4
 2,291. 2,00x105=59.8 MPa 
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126
Verificar a diferença encontrada no exemplo anterior e neste para o valor no tempo infinito 
que se deve basicamente ao caráter simplificado do uso da tabela 5.1. 
 
EXEMPLO 5.5 Calcular a tensão que teria uma armadura de protensão usando o aço 
comum CA25 considerando as perdas por fluência e retração do concreto com as condições 
dos problemas 5.1 e 5.3. Considerar ainda uma tensão inicial de protensão de 0,5 fyd. 
 Se as condições forem mantidas a perda devidas aos dois efeitos será igual a soma de 
cada um deles: 
Δσp,c+s(∞,5)= Δσp,s (∞,5)=+ Δσp,c(∞,5) = 42+67,8≅ 110 
σp(∞)= Δσp,i-Δσp,c+s(∞,5)= 0,5 x 250 –110= 125 –110 = 15 Mpa. 
 A tensão atuante que sobraria no aço é muito pequena e nem compensaria efetuar a 
protensão com um aço deste tipo. Foi avaliando corretamente as perdas que Eugene 
Freyssinet na década de 30 conseguiu perceber que seria preciso usar aços com valores de 
tensão de escoamento e de ruptura altos. 
 
5.9 Perda por relaxação da armadura (consideração do efeito isolado) 
 
 A intensidade da relaxação pura do aço (deformação constante) é determinada pelo 
coeficiente ψ(t, to) definido por: 
 
 ψ(t, to) = 
pi
opr )t(t, 
σ
σΔ
 (5.25) 
onde: 
 
Δσpr(t, to)= perda de tensão por relaxação pura (com comprimento constante) desde o 
instante to do estiramento da armadura até o instante t considerado 
σpi= tensão da armadura de protensão no instante de seu estiramento 
 A relaxação de fios e cordoalhas, após 1000h a 20°C (Ψ1000) e para tensões 
variando de 0,5 a 0,8 fptk, obtida em ensaios descritos na NBR 7484, não deve ultrapassar 
os valores dados na NBR 7482 e na NBR 7483,respectivamente. 
 Para efeito de projeto, os valores de Ψ1000 da Tabela 5.4 podem ser adotados. 
Tabela 5.4 - Valores de Ψ1000, em % 
 Cordoalhas Fios Barras 
Tensão inicial RN RB RN RB 
0,5 fptk 0 0 0 0 0 
0,6 fptk 3,5 1,3 2,5 1,0 1,5 
0,7 fptk 7 2,5 5 2 4 
0,8 fptk 12 3,5 8,5 3 7 
 
Os valores correspondentes a tempos diferentes de 1.000 horas, sempre a 200C, 
podem ser determinados a partir da seguinte expressão: 
 
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127
ψ(t, to) = ψ1000 . t t o−⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟41 67
0 15
,
,
 para (t, to) em dias (5.26) 
• para tensões inferiores a 0,5 fptk admite-se que não haja perda de protensão por 
relaxação; 
• Para valores intermediários dados na tabela 5.4 pode ser feita uma interpolação linear; 
• Para tempo infinito pode-se considerara ψ (∞, t0) = 2,5 . ψ1000 
 
EXEMPLO 5.6 Calcular a perda por relaxação de um cabo que na seção em que esta sendo 
analisado tem uma tensão no tempo zero (após as perdas iniciais) 1247 MPa. Considerar aço 
CP190RB. 
 
 Calculando inicialmente o nível de tensão que ocorre no cabo tem-se: 
 
 R=
1900
1247 =0,656 
Consultando a tabela 5.4 tem-se a situação indicada e o valor desejado é k 
0,6 fptk 1,3 
0,656 fptk k 
0,7 fptk 2,5 
 
 
60,070,0
6,0656,0
3,15,2
3,1
−
−=−
−k Ψ1000= k =1,972 
Ψ∞= 2,5 xΨ1000=4,93 
 
Como ψ(t, to) = 
pi
opr )t(t, 
σ
σΔ
 então 
 prσΔ =0,0493 x 1247= 61,4 MPa 
 
5.10 Perdas ao longo do tempo considerando a interação entre elas ou Perdas 
progressivas 
 
 Os valores parciais e totais das perdas progressivas de protensão, decorrentes da 
retração e fluência do concreto e da relaxação do aço de protensão, devem ser determinados 
levando-se em conta a interação dessas causas, podendo ser utilizados os processos 
indicados em a, b e c. Nesses processos admite-se que exista aderência entre a armadura e o 
concreto e que a peça permaneça no estádio 1. 
 
a) Método simplificado para o caso de fases únicas de operação (Cálculo das perdas 
progressivas quando se consideram fases únicas de concretagem, de carregamento 
permanente e de protensão). 
 
Este caso é aplicável quando são satisfeitas as condições seguintes: 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
Cap. 5. Perdas de protensão ao longo do tempo 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
 
128
 
A - A concretagem da peça, bem como a protensão são executada, cada uma delas, em fases 
suficientemente próximas para que se desprezem os efeitos recíprocos de uma fase sobre a 
outra; 
 
B - Os cabos possuem entre si afastamentos suficientemente pequenos em relação à altura da 
seção da peça, de modo que seus efeitos possam ser supostos equivalentes ao de um único 
cabo, com seção transversal de área igual à soma das áreas das seções dos cabos 
componentes, situado na posição da resultante dos esforços neles atuantes (cabo resultante). 
Nesse caso, admite-se que no tempo t as deformações progressivas do concreto e do aço de 
protensão, na posição do cabo resultante, sejam dadas por: 
 
 Δεct= )t,t( + E
)t,t(
 + )t(t, 
E o cs28c
oc
co
28c
pog,c εσΔχϕσ (5.27) 
 
 
 Δεpt= p
p
op
o
p
po 
E
)t,t(
 + )t(t, 
E
χσΔχσ (5.28)onde: 
 
 σc,pog = tensão no concreto devida à protensão e à carga permanente 
 
ϕ (t,to)= coeficiente de fluência do concreto no instante t para protensão e carga 
permanente aplicadas no instante to 
 
σpo= tensão na armadura ativa devida à protensão e à carga permanente mobilizada 
no instante to 
 
 χ(t,to)= coeficiente de fluência do aço = - ln [ 1 - ψ (t, to)] 
 
 εcs(t,to)= retração no instante t, descontada a retração ocorrida até o instante to 
 
ψ(t,to)= coeficiente de relaxação do aço no instante t para protensão e carga 
permanente mobilizada no instante to 
 
 χc= 1 + 0,5 ϕ (t, to) 
 
 χp= 1 + χ (t, to ) 
 
 Δσc(ct,to)= variação da tensão do concreto adjacente ao cabo resultante entre to e t 
 
 Δσp(t,to)= variação da tensão no aço de protensão entre to e t 
 
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Cap. 5. Perdas de protensão ao longo do tempo 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
 
129
 A expressão da perda de tensão é obtida igualando-se as variações de deformações 
do concreto e do aço, ou seja, considerando Δεct= Δεpt (as equações (5.27) e (5.28)) . 
 
 Antes de fazer a igualdade é preciso dizer que a variação de tensão no concreto 
cσΔ se dá com a variação da protensão. Assim 
 
 
 e
I
eAtt
A
Att
tt pp
c
pp
c ⋅
⋅⋅Δ+⋅Δ=Δ ),(),(),( 000
σσσ 
De outra forma 
 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅+⋅Δ=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅
⋅⋅+⋅Δ=Δ
I
eA
tte
AI
eAA
A
A
tttt cppp
c
pc
c
p
pc
2
000 ),(),(),(
ρρσσσ 
 
 ηρσρσσ ⋅⋅Δ=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ⋅+⋅⋅Δ=Δ ppcppc ttI
eAtttt ),(1),(),( 0
2
00 
 
 
Com 
 ρp= taxa geométrica da armadura de protensão = Ap /Ac 
 
 η= 1 + ep2 . Ac / Ic 
 
e= excentricidade do cabo resultante em relação ao baricentro da seção do concreto 
 
 Ap= área da seção da armadura de protensão 
 
 Ac= área da seção transversal do concreto 
 
 I= momento central de inércia na seção do concreto 
 
Igualando as deformações (5.27) e (5.28) 
 )t,t( + 
E
)t,t(
 + )t(t, 
E o cs28c
oc
co
28c
pog,c εσΔχϕσ = p
p
op
o
p
po 
E
)t,t(
 + )t(t, 
E
χσΔχσ 
 
 
 
 
),( + 
),(
 + )t(t, cs
28
o
28
,
o
c
pop
c
c
pogc tt
E
tt
E
εηρσχϕσ ⋅⋅Δ = po ),( + )t(t, χσχσ
p
op
p
po
E
tt
E
Δ
 
 
Isolando o termo ),( op ttσΔ 
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Cap. 5. Perdas de protensão ao longo do tempo 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
 
130
+ )t(t, ),( o
28
,
 cs ϕσε
c
pogc
o E
tt + )t(t, oχσ
p
po
E
= +Δ p ),( χσ
p
op
E
tt
 
),(
28c
pop
c E
tt ηρσχ ⋅⋅Δ 
 
e multiplicando ambos os membros da equação por Ep e considerando αp= 
E p
Ec28
 ajustando-
se os sinais chega-se a: 
 
Δσp(t,to)= 
ppcp
opoopogc,ppo cs
ρηαχ + χ
)t(t, χ σ + )t(t, φ σ α E )t(t,ε
⋅⋅⋅
⋅⋅+⋅
 (5.29) 
 
 
b) Método geral de cálculo (cálculo para perdas progressivas quando não são satisfeitas as 
condições estabelecidas em a) 
 Quando as ações permanentes (carga permanente ou protensão) são aplicadas 
parceladamente em idades diferentes, é preciso considerar a fluência de cada uma das 
camadas de concreto e a relaxação de cada cabo, separadamente. Permite-se as substituições 
das seções transversais compostas de diferentes camadas, por prismas equivalentes que se 
comportam como camadas discretas. Permite-se a consideração isolada da relaxação de cada 
cabo independentemente da aplicação posterior de outros esforços permanentes. 
 
Exemplo numérico 5.7 
 Calcular a perda de tensão no tempo “infinito” do cabo representante que atua na 
seção dada na figura 5.5 considerando os seguintes dados: 
• Geométricos: 
 Seção de concreto: Ac=4,845 m2, I=1,15 m4, h=1,30m, yi=0,76, Ws=2,13m3, 
 Seção de aço: Ap= 11,15 cm2, er=0,53m (excentricidade do cabo representante) 
• Esforços: 
momentos atuantes Mg1=8090 kN.m; Mg2=210 kN.m; Mq=4.000 kN.m; ψ2=0,4 
Força normal, na seção de concreto, provocada por cada cabo após perdas imediatas 
na seção Np=1240 kN, número de cabos atuantes na seção 16. 
• Dados sobre a história da protensão: 
efetuada aos 30 dias após a concretagem 
• Condições climatológicas: 
Umidade relativa média no ano Ur =70%, Nos primeiros 20 dias após a concretagem 
a temperatura média foi de 250 C nos outros 10 dias a temperatura média caiu para 
100C. 
• Materiais: 
Concreto - fck = 30 MPa , cimento Portland comum, abatimento 8 cm, 
Aço: CP176-RN, Ep=2x105 MPa 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
Cap. 5. Perdas de protensão ao longo do tempo 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
 
131
 
Figura 5.5 Seção transversal a ser considerada no exemplo numérico 
 
Resolução : 
 
1) Cálculo da retração: 
 Com os valores dados de u=70% e abatimento de 8 cm entrando na tabela 5.2 tem-se 
ε1s= -3,2 x 10-4. 
 O valor de ε2s é função da espessura fictícia que é calculada considerando todo o 
perímetro da seção (interno e externo) em contato com o ar. Esta hipótese é bastante 
discutível pois, passado algum tempo, a superfície superior da ponte receberá pavimentação 
e a parte interior da estrutura (região que não está achureada) provavelmente estará em 
contato com um ambiente em que o ar não circula e portanto as condições de evaporação e 
saturação serão diferentes. Apesar disto considera-se toda a superfície interna e externa da 
estrutura para fazer o cálculo do perímetro. Despreza-se a inclinação das paredes ou 
quaisquer elementos, pois não se justifica tamanha precisão. 
Desta forma e uar=2x1150+2x130+2(650-70+130-25-15)=3900 
Onde: 
γ = coeficiente dependente da umidade relativa do ambiente U% (Tabela 5.2) 
sendo γ = 1 + exp (-7,8 + 0,1U)= 1 + exp (-7,8 + 0,1x70)=1,5 
 
ar
c
fic u
2A
 h γ= = 4 845 2
39
, ⋅ .1,5=0,372 m 
 ε2s = 2,378,20
2,3733
+
+ =1,21 
 Os valores de βs deverão ser tomados respectivamente para o tempo infinito (que 
pode ser considerado 10.000 dias) e para a época em que o concreto é protendido, 
considerando porém que a idade do concreto deve ser a fictícia: 
 
 t0 = 1. 
25 10
30
20 10 10
30
10+ ⋅ + + ⋅⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟ = 30 dias 
 Coincidentemente, neste caso a idade fictícia correspondeu a real do concreto, mas 
foi apenas coincidência. 
 Consultando o gráfico da norma chega-se a: 
 βs (t=∞) = 0,98 
βs (t=t0=30 dias) = 0,02 
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Cap. 5. Perdas de protensão ao longo do tempo 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
 
132
Desta forma a deformação do concreto devido à retração dos trinta dias de idade ao 
tempo infinita é dada por 
 
εc,s(∞,t0) = - 3,2 x 10-4 x 1,21 x ( 0,98 - 0,02) = - 3,171 x 10-4 
 
Assim, se a retração ocorresse livremente a perda de tensão sofrida nos cabos que 
passam na seção são. 
 
sp,σΔ = EP . εc,s(∞,t0) = 2,0 x 10 5 x (-3,171 x 10-4)= 74,3 MPa 
 
2) Cálculo da fluência: 
 
Ações a considerar: 
Protensão: Np =16x1.240=19.840 kN 
 Mp= Npxe= 19.840x0,53=10.515 kN.m 
Ações permanentes 
 Mg1=8.090 kN.m 
 Mg2=210 kN.m 
 ψ2xMq=0,4x4.000 kN.m; =1.600 kN.m 
Tensão no concreto junto ao cg dos cabos 
Δσp(t,to)= 7,161102,1
28,178
206,31004,174,66,2 +0439,1
58,4970,8795,40
3 ==⋅⋅⋅⋅
++
− 
 
=⋅+=⋅⋅+= 53,0
15,1
 1600-210-8090-10.515
4,845
19.480 M-M-M-M
A
 N
σ q2g2g1pppogc, eIc
ψ
 
=pogc,σ 4020+283=4303 kN/m2=4,3 MPa 
 
Cálculo do coeficiente de fluência daddo por (5.16): 
ϕ (t,to) = ϕa + ϕfoo [βf (t) - [βf (to)] + ϕdoo βd 
 
t0=30 dias 
de (5.18) tem-se ckc ftf .)( 10 β= 
e de (3.4) ( )[ ]{ }2/11 t/281exp −×= sβ = ( )[ ]{ }2/103/28125,0exp −× ≅ 1 
 assim ckc ftf =)( 0 
Como da tabela 5.4 ckc ftf .26,1)( =∞ 
 
)t(f
)t(f
oococ =
26,1
1 =0,7936 
[ ] =−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
∞
793,018,0
)(
)(18,0 0
tf
tf
c
c
aϕ 0,165 
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ROBERTO CHUST CARVALHO 
 
133
 
ar
c
fic u
2A
 h γ= = 4 845 2
39
, ⋅ .1,5=0,372 m 
 φ1c = 4,45 - 0,035U= 4,45 - 0,035x70=2,0 
=+
+=+
+=
37,2 20
37,2 42 
h 20
h 42 
fic
fic
2cϕ 1,3846 
ϕfoo = ϕ1c.ϕ2c = 2,0 x 1,3846 =2,769 
βf(∞)=0,96 βf(t0=60) = 0,45 função da idade do concreto (Figura 5.3) 
ϕdoo = 0,4 
βd = 70 60-10.000
20 60 - 10.000
70 t-t 
20 t-t 
o
o
+
+=+
+ =0,995 
ϕ (∞,60) = ϕa + ϕfoo [βf (t) - [βf (to)] + ϕdoo βd=0,165+2,769x(0,96-0,45)+0,4x0,995= 1,97 
 
Δσp,s(∞,5)= ⋅30672
3,4
 1,97. 2,00x105=55,2 MPa 
 
3) Cálculo da retração: 
 
Calculando inicialmente o nível de tensão que ocorre no cabo tem-se: 
 
σpi= =45,11
1240 1112 MPa 
R=
1700
1112 =0,63 
Consultando a tabela 5.4 tem-se a situação indicada e o valor desejado é k 
0,6 fptk 3,5 
0,63 fptk k 
0,7 fptk 7,0 
 
 
60,070,0
6,063,0
5,30,7
5,3
−
−=−
−k Ψ1000= k =4,55 
Ψ∞= 2,5 xΨ1000=11,375 
 
Como ψ(t, to) = 
pi
opr )t(t, 
σ
σΔ
 então 
 prσΔ =0,11375 x 1112= 126,5 MPa 
 
 
 
 Usando (5.9) 
 Δσp,c+s+r(t,to)= Δσpc(t,to) + Δσps(t,to)+Δσpr(t,to) 
Δσp,c+s+r(t,to)= 74,3 + 55,2+126,5 =256 MPa 
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ROBERTO CHUST CARVALHO 
 
134
 
∞=tp,σ = 1112-256= 856 MPa 
 
 
4) Perdas progressivas: 
σc,pog = tensão no concreto devida à protensão e à carga permanente 
 
ϕ (t,to)= 1,97; 
σpo= 4,3 Mpa 
ψ(t,to)= 0,11375 
 χ(t,to)= - ln [ 1 - ψ (t, to)]= - ln [ 1 – 0,11375]=0,1207 
 εcs(t,to)= 3,17x10-04 
 χc= 1 + 0,5 ϕ (t, to)=1+0,5x1,97=1,985; 
 χp= 1 + χ (t, to )=1,1207 
 Ap= 16x11,15 cm2 
 Ac= 48540 cm2 
 ρp = Ap /Ac =16x11,15/48450=3,682x10-03 
 e= 0,53 m 
 I= 1,15 m4 
 η= 1 + 2e . Ac / I=1+0,532x4,8540/1,15=2,183 
 
Aplicando (5.29) 
 
Δσp(t,to)= 
ppcp
opoopogc,ppo cs
ρηαχ + χ
)t(t, χ σ + )t(t, φ σ α E )t(t,ε
⋅⋅⋅
⋅⋅+⋅
 
 
Δσp(t,to)= 206224,1
68,252
10682,3182,252,6985,11207,1
1207,011122,553,74
3 ==⋅⋅⋅⋅+
++
−
x MPa 
 
 
5.11 Comentários finais sobre perdas ao longo do tempo. 
 Como pode ser visto através dos exemplos o cálculo das perdas de protensão na 
verdade faz parte do que se costuma chamar de “verificação”, pois para efetuar seus cálculos 
é preciso ter definida todas as características estruturais inclusive a quantidade de armadura 
longitudinal. Talvez esta seja a razão em que vários calculistas e projetistas prefiram apenas 
estima-las ao efetuar os cálculos de “dimensionamento” da armadura longitudinal. Esta é 
uma boa conduta de projeto porém existe teoria e experimentos suficientes para permitir que 
as verificações sejam feitas ao final do projeto com boa precisão. Para tanto além do já 
relatado aqui se indica a leitura da bibliografia relacionada no final deste capítulo. 
 Quadro Resumo das expressões usados no capítulo 5 
Significado Expressão num. 
Deformação aço 
concreto pici
εε = (5.1) 
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Cap. 5. Perdas de protensão ao longo do tempo 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
 
135
Deformação concreto ec (t)= ec (to) + ecc (t) +ecs (t) (5.2) 
Módulo de 
deformação concreto 
1/2
cjct f5.600E ⋅= (5.3) 
Deformação concreto 
tensão variável ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) τ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ τϕ+τ∂
σ∂∫+ε+ϕσ+σ=ε
τ=τ
d 
E
t, 
E
1 t,t t,t 
E
t 
tE
t
c28
o
c
c
t
t
ocso
28c
oc
oc
oc
tc
o
 (5.4) 
 
Deformação concreto 
tensão variável 
integrada 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ αϕ+σΔ+ε+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ϕ+σ=ε
28c
o
oc
ococs
28c
o
oc
octc E
t,t 
tE
1 t t,t 
E
t,t 
tE
1t 
 
(5.5) 
Coeficiente de 
fluência concreto 
ϕ (t, to) =ecc (t)/ ecc (t0) (5.6) 
Deformação aço 
tensão variável ( ) ( ) ( ) ( )o
s
os
s
os
s t,t E
t
E
t
t χσ+σ=ε (5.7) 
Deformação aço 
tensão variável 
integrada 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ])t(t, 1 
E
t,t
t,t 
E
t
E
t
t o
s
os
o
s
os
s
os
s χ+σΔ+χσ+σ=ε 
 
(5.8) 
Perda de tensão sem 
interação 
Δσp,c+s+r(t,to)= Δσpc(t,to) + Δσps(t,to)+Δσpr(t,to) 
 
(5.9) 
Deformação concreto 
retração 
εcs (t, to) = εcsoo [ βs (t) - βs (to) ] (5.10) 
parcela da deformação 
de retração 
fic
fic
s2 h38,20
2h 33
 +
+=ε (5.11) 
espessura fictícia 
ar
c
fic u
2A
 h γ= (5.12) 
idade fictícia 
i t . 
30
10 T t ef,i
i
Δ+∑α= (5.13) 
Deformação concreto εcc = ε cca + εccf + εccd (5.14) 
Deformação concreto 
)t(t, . 
E
 )t,t( o
c28
c
 ccdccaocc ϕσ=ε+ε=ε (5.15) 
Coeficiente de 
fluência concreto 
ϕ (t,to) = ϕa + ϕfoo [βf (t) - [βf (to)] + ϕdoo βd (5.16) 
 coeficiente de 
fluência rápida 
(irreversível) 
 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
∞ )(
)(18,0 0
tf
tf
c
c
aϕ 
(5.17) 
Relação de 
resistências do 
concreto ck
cj
1
f
f
=β (5.18) 
parcela de ϕf 
coeficiente de 
deformação lenta 
irreversível 
fic
fic
c2 h 20
h 42 +
+=ϕ (5.19) 
Significado Expressão num. 
parcela de ϕd 
coeficiente de 
deformação lenta 
reversível 
70 t-t 
20 t-t 
o
o
+
+=dβ (5.20) 
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136
Perda de protensão 
devido a retração 
isolada 
Δσp,s(t, t0)= εcs (t, to). Ep (5.21) 
Perda de protensão 
devido a fluência 
isolada 
Δσp,c(∞, t0)= εc,c (t, to). Ep (5.22) 
Perda de protensão 
devido a fluência 
isolada 
Δσp,c(t, t0)= cgpσ . φ(t, to). αp (5.23) 
tensão no concreto ao 
nível do cg da 
armadura devido 
ações permanentes 
e
I
M
I
eN
A
N i
gi
p
c
p
cgp
∑
−+=
2.σ 
(5.24) 
coeficiente de relação 
do aço ψ(t, to) = 
pi
opr )t(t, 
σ
σΔ
 (5.25) 
coeficiente de relação 
do aço ψ(t, to) = ψ1000 . t t o−⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟41 67
0 15
,
,
 
 
(5.26) 
Variação de 
deformação no aço Δεct= )t,t( + E
)t,t(
 + )t(t, 
E o cs28c
oc
co
28c
pog,c εσΔχϕσ (5.27) 
Variação de 
deformação no 
concreto 
Δεpt= p
p
op
o
p
po 
E
)t,t(
 + )t(t, 
E
χσΔχσ (5.28) 
Perda progressiva de 
protensão Δσp(t,to)= 
ppcp
opoopogc,ppo cs
ρηαχ + χ
)t(t, χ σ + )t(t, φ σ α E )t(t,ε
⋅⋅⋅
⋅⋅+⋅
 
(5.29) 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS, NBR 6118:2003 Projeto de 
estruturas de concreto – Procedimento – Abril de 2004 – São Paulo. 
CARVALHO, R. C.; Contribuição ao cálculo de pontes em Balanços progressivosarmado. 
Dissertaçãode Mestrado, EESC-USP, São Carlos (1986). 
 
CARVALHO, R. C.; FILHO, J. R. F. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de 
concreto armado. 3ª edição, EdUFSCar, São Carlos (2007). 
 
CASTRO, N. Função de fluência do concreto obtida por ensaio direto por relaxação. Tese 
de doutorado UFRI Editora da Universidade de Goiás 1985. 
 
CEB “Manual on estructural effects of time dependent behavior o concrete” Bolletin n.153. 
Paris, Francem, 1982. 
 
GHALI A.; FAVRE R.. Concrete Structures: Stress and Deformations . Chapman and Hall 
Ltda London, Britain 1986. 
 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
Cap. 5. Perdas de protensão ao longo do tempo 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
 
137
KATAOKA L. T. Estudo Experimental da deformação ao longo do tempo de lajes 
contínuas e simplesmente apoiadascom vigotas pré-moldadas de concreto. Dissertação 
de Mestrado. PPGCiv –UFSCar São Carlos 2005. 
 
MACHADO, C. P. Tensões e deformações em estruturas de concreto armado e protendido. 
Dissertação de Mestrado. EPUSP São Paulo 1989. 
 
MEHTA, P. K., MONTEIRO, P. J. M. Concreto: Estrutura , Propriedade e Materiais. 
PINI. São Paulo 1994. 
 
EXEMPLO 5.3 Considerando que a evolução ao longo do tempo da flecha em uma viga 
pode ser dada pelo coeficente de fluência pede-s para obter a deformação no tempo infinito 
da viga e as deformação após 30, 90, 360 dias. Considerar os seguintes dados: Seção 
retangular com bw=0,86 m h=2 m, protensão com o concreto com 5 dias de idade e em um 
ambiente de Ur=75%. Considerar Ep = 1,95 .105 MPa, fck=30 MPa, e flecha no tempo zero 
dada por ag+p(t0)=1 cm. 
com 2Ac/u= =+⋅
⋅⋅
)286,0(2
286,02 0,60 m obtêm-se ϕ(∞, 5)= 2,6 
Assim a deformação devido a fluência é dada por: 
ag+p,c(∞)=ag+p(t0)xϕ(∞, 5)=1x2,6=2,6 cm. 
a deformação final é dada por: 
ag+p(∞)=ag+p(t0)x(1+ϕ(∞, 5))=1x(1+2,6)=3,6 cm. 
 
 Para calcular a evolução da flecha ao longo do tempo é preciso conhecer oo valor 
do coeficiente de fluência para um tempo t genérico dado por: 
ϕ (t,to) = ϕa + ϕfoo [βf (t) - [βf (to)] + ϕdoo βd (5.16) 
 
Também agora é necessário considerar a idade fictícia em dias dada por 
i t . 
30
10 T t ef,i
i
Δ+∑α= (5.13) 
com α-2 (cimento normal e tabela 5.3) Ti= 200C, 
t tficticia Coeficiente ϕ(∞, 5) 
5 10 +ϕ(∞, 5) 
30 60 
60 120 
90 180 
360 720 
10 000 10000 +ϕ(∞, 5) 
Assim para 5 dias tem-se 10 dias, 
para 30 tem-se 60 dias , 90, 360360 
 
)t(f
)t(f
ooc
oc = 507,0
)6110).(4010.9(
)4210.(10.9 =++
+ 
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138
[ ] =−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
∞
507,018,0
)(
)(18,0 0
tf
tf
c
c
aφ 0,394 
ϕ1c = 2,5 (tabela 5.2) =+
+=+
+=
90 20
90 42 
h 20
h 42 
fic
fic
2cϕ 1,2 
ϕfoo = ϕ1c.ϕ2c = 2,5 x 1,2 =3 
βf(∞)=0,92 βf(10) = 0,2 βf(720)=0,6 coeficiente relativo à deformação lenta irreversível, 
função da idade do concreto (Figura 5.3) 
ϕdoo = 0,4 
βd = 
70 10-720
20 10 - 720
70 t-t 
20 t-t 
o
o
+
+=+
+ =0,935 
ϕ (360,5) = ϕa + ϕfoo [βf (t) - [βf (to)] + ϕdoo βd=0,394+3x(0,6-0,2)+0,4x0,935= 1,968 
ϕ (∞,5) = ϕa + ϕfoo [βf (t) - [βf (to)] + ϕdoo βd=0,394+3x(0,92-0,2)+0,4x1= 2,954