T1CálculoII-21I

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(
Nomes:
 
 
1º.Trabalho de Cálculo II –Turma:
 
Processos
 
Químicos –
 
)
Questões :
1) Ache a área sob a curva 𝑓(𝑥) = √1 + 𝑥2 usando as regras abaixo com 5 casas decimais e n = 6 subintervalos e construa seu gráfico no intervalo de x = 0 até x = 6. Obs.: Construa o gráfico usando o Winplot, mostrando a área preenchida e o cálculo da integral (quadro do tutorial abaixo).
a) Regra do ponto médio;
b) Regra do trapézio;
c) Valor exato: 𝐴 = ∫6 √1 + 𝑥2𝑑𝑥 = 1 [𝑥√1 + 𝑥2 + ln(𝑥 + √1 + 𝑥2)]6.
 
Figura 1 – área relacionada ao exercício 1.
	Métodos numéricos
	
	
	
	
	
	
	
	f(x) = RAIZ (1+x²)
	
	
	
	i
	xi
	ximed
	f(ximed)
	f(xi)
	0
	0
	---
	---
	1
	1
	1
	0,5
	1,118033989
	1,414213562
	2
	2
	1,5
	1,802775638
	2,236067977
	3
	3
	2,5
	2,692582404
	3,16227766
	4
	4
	3,5
	3,640054945
	4,123105626
	5
	5
	4,5
	4,609772229
	5,099019514
	6
	6
	5,5
	5,590169944
	6,08276253
	Soma:
	 
	 
	19,45338915
	16,03468434
	 
	 
	 
	 
	 
	Regra do ponto médio:A =
	 
	 
	19,45338915
	 
	Regra do trapézio:A = Δx(f(x0)+2Σf(xi)+f(xn))/2=
	19,5760656
		Valor exato: A = 
	19,49417
	
Tabela 1 – área integral relacionada ao exercício 1.
2) Obtenha as integrais indefinidas abaixo:
a) ∫ 𝑦√1 + 𝑦2𝑑𝑦	b) ∫ cos 𝑥
√2+sen 𝑥
𝑑𝑥
Respota questão a) 
Respota questão b)
3) Calcule as áreas sob as curvas nos intervalos dados usando a integral definida e o Winplot:
a) 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 3𝑥; entre x = 1 e x = 3.
 Figura 2 – área relacionada ao exercício 3 a.
b) 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 2; entre x = 0 e x = 4.
 
Figura 3 – área relacionada ao exercício 3 b.
2𝑥 	
c)	𝑦 =	; 𝑥 = 0, 𝑥 = 2.
√2𝑥2+1
 
Figura 4 – área relacionada ao exercício 3 c.
4) Resolva cada uma das seguintes equações diferenciais, observando as condições iniciais:
a)	𝑑𝑦 = 𝑥√𝑥2 − 4 ;	𝑥 = 2, 𝑦 = 3.
𝑑𝑥
 (
3
)𝑑𝑦
b)	= 4𝑥 𝑦 ;	𝑥 = 0, 𝑦 = 1.
𝑑𝑥
5) Encontre a área limitada pela reta y = x + 1 e pela parábola y = x2 – 2x – 3 (Construa o gráfico com o Winplot, mostrando a área e o cálculo).
6) Encontre o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados. Construa os gráficos usando o winplot, mostrando a superfície gerada e o cálculo (ver tutorial abaixo).
a) 𝑦 = √𝑥2 − 1, 𝑥 = 1, 𝑥 = 3, 𝑦 = 0; ao redor do eixo x;
 
 = 20,94
b) 𝑦 = 𝑥3, 𝑦 = −1, 𝑦 = 1, 𝑥 = 0; ao redor do eixo y (use a simetria).
 
 
 = 0,89 
Fórmulas:
 (
𝑏
𝑛
∫
 
𝑓
(
𝑥
)
𝑑
𝑥
 
=
 
𝐹
(
𝑥
)
 
+
 
𝑐
,
 
 
𝐴
 
=
 
∫
 
𝑓
(
𝑥
)
𝑑
𝑥
 
≈
 
∑
 
𝑓
(
𝑥
̅
)
∆
𝑥
 
,
∆
𝑥
 
=
𝑖
𝑏
 
−
 
𝑎
𝑛
,
𝑥
̅
 
 
=
𝑥
𝑖
𝑖−1
𝑖
,
+ 𝑥
𝑎
2
𝑖=1
∫
 
𝑓(𝑔
(
𝑥
)
)𝑔
′
(
𝑥
)
𝑑𝑥
 
=
 
∫
 
𝑓
(
𝑢
)
𝑑𝑢
 
,
 
𝑢
 
=
 
𝑔(𝑥).
2
𝑎
∆𝑥
𝐴
 
=
 
∫
 
𝑓
(
𝑥
)
𝑑𝑥
 
≈
[
𝑓
(
𝑥
0
)
 
+
 
2𝑓
(
𝑥
1
)
 
+
 
⋯
 
+
 
2𝑓
(
𝑥
𝑛−1
)
 
+
 
𝑓
(
𝑥
𝑛
)]
,
𝑥
0
 
=
 
𝑎, 
 
𝑥
𝑛
 
=
 
𝑏.
𝑏
)
Tutorial para gráficos de área de integração no Winplot
Área entre a função e o eixo x:
1º) Abra o Winplot e a janela de gráficos de duas dimensões (2-dim);
2º) vá em Equação → 1.Explícita: digite a função (exemplo: f(x) = –xx + 4, xx é x ao quadrado, vá em Equação → Biblioteca para ver como se escrevem as funções elementares);
3º) agora vá para Um→ Medidas →Integrar f(x)dx, onde a integral é calculada entre o eixo x e a função f(x);
4º) digite os valores de x dos dois limites de integração, o primeiro no lim. inferior e o segundo no lim. Superior da integral (com pelo menos 5 casas decimais, se reais);
5º) marque as caixas abaixo (ponto médio, trapezoidal e parabólico, que são alguns dos procedimentos de cálculo numérico de áreas), clique em visualizar e escolha a cor que você deseja para a área de integração entre as duas curvas;
6º) clique em definida para calcular a área (integral definida). Mostre que essa área é igual a área que você obteve integrando as funções.
Área entre duas funções:
1º) Abra o Winplot e a janela de gráficos de duas dimensões (2-dim);
2º) vá em Equação → 1.Explícita: digite a função (exemplo: f(x) = –xx + 4, xx é x ao quadrado, vá em Equação → Biblioteca para ver como se escrevem as funções elementares);
3º) repita o 2º. passo e digite a segunda função. No exemplo abaixo, a segunda função foi a função linear f(x) = x/2;
4º) se os limites de integração forem os pontos de interseção entre as duas curvas, vá em Dois → Interseções: escolha a primeira função (a superior, y = -xx+4) e a segunda função (a inferior, y = x/2) e marque os pontos de interseção entre as duas curvas. Esses pontos ficarão armazenados no Inventário, que é a janela onde estão as funções; se os limites de integração forem especificados (dados) ou de fácil obtenção, pule para o próximo passo;
5º) agora vá em Dois → Integrar (f(x) – g(x))dx: digite os valores de x dos dois limites de integração, o primeiro no lim. inferior
e o segundo no lim. Superior da integral (com pelo menos 5 casas decimais, se reais);
6º) marque as caixas abaixo (ponto médio, trapezoidal e parabólico, que são alguns dos procedimentos de cálculo numérico de áreas; se quiser, marque todas), clique em visualizar e escolha a cor que você deseja para a área de integração entre as duas curvas;
7º) clique em definida para calcular a área (integral definida) entre as duas curvas. Mostre que essa área é igual a área que você obteve integrando as funções (veja exemplo abaixo).
 (
1,76556
𝐴
 
=
 
∫
−2,26556
[
(
−𝑥
2
 
+
 
4
)
 
− 
 
]
 
𝑑𝑥
 
=
 
[−
+ 4𝑥
 
−
]
𝑥
𝑥
3
𝑥
2 
 
1,76556
2
3
4
−2,26556
𝐴
 
=
 
4,44840 − 
(
−6,46924
)
 
=
 
10,9176.
)	
Note que essa área é igual a área dada pelas regras do ponto médio, trapezoidal e parabólico. Os limites de integração foram obtidos resolvendo a equação de 2º. grau no integrando acima;
8º) por fim, copie a figura (Ctrl C) e cole-a no Word (Ctrl V), como abaixo;
 (
y
y =
 
x/2
y
 
=
 
-xx+4





x
















)
Figura 1 – Área entre as curvas y = - x2 + 4 e y = x/2
9º) escreva abaixo da figura o seu título, como acima: Figura 1 – Área entre as curvas y = - x2 + 4 e y = x/2 ou Figura 2 – área relacionada ao exercício 1 etc.
 (
y


x






)
Figura 2 – Área relacionada ao exercício 3d.
Tutorial para gerar superfícies de revolução no Winplot
1º) Abra o Winplot e a janela de gráficos de duas dimensões (2-dim);
2º) vá em Equação → 1.Explícita: digite a função (exemplo: f(x) = ln(x));
3º) agora vá em Um → Superfície de revolução: escolha o eixo em torno do qual a função vai girar, eixo x ou eixo y. Digite os valores de x iniciais e finais do segmento de curva (arco) da função (neste exemplo, o arco inicial é 0.5 e o final é 2). Clique em mostrar arco para vê-lo e, em seguida, ver superfície;
4º) no gráfico 3D, insira os eixos: vá em Ver → Eixos → Eixos. Posicione os eixos, usando as setas do teclado, de modo que o eixo y fique apontando para direita e o eixo x aponte, aproximadamente, para o canto inferior esquerdo da tela;
5º) clique em Ver → Caixa → Caixa, para envolver a figura com uma caixa, como a seguir, onde a figura foi copiada (Ctrl C) e colada nesta página (Ctrl V).
z
 (
x
)y
Figura 3 – f(x) = ln(x) girada ao redor do eixo x no intervalo [0,5;2].
6º) para calcular o volume de revolução vá em Um(na janela 2-dim) → Medidas → Volume de revolução, escolha o eixo e digite o início do arco e o fim do arco, clique em volume (V = 0,80093, no exemplo) e compare com o resultado da integração.









x
y









x
y
x
y
z
x
y
z









x
y