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Circuitos Elétricos III – Profª Leny
Diagramas de Bode: 
1- Introdução:
Uma forma alternativa de representar graficamente a variação da função de transferência H(jω) com
a frequência consiste nos chamados diagramas de Bode, assim denominados em homenagem a
Hendrick Wade Bode, cientista e professor que desenvolveu a técnica de elaborá-los, quando
trabalhava nos Laboratórios Bell. Tratam-se de dois gráficos: um de módulo e outro de fase de
H(jω), sendo que ambos utilizam escala semilogarítmica, ou seja, o eixo das ordenadas está em
escala linear e o eixo das abscissas, em escala logarítmica. O uso da escala logarítmica tem várias
vantagens que serão melhor compreendidas mais tarde, mas podemos, desde já destacá-las: 
- Maior faixa de frequência pode ser representada de forma mais compacta, melhorando a
visualização.
- Em vez de marcar pontos individualmente nos gráficos, são feitas aproximações por trechos de
retas (assíntotas), no gráfico de módulo, facilitando seu traçado.
- Multiplicações e divisões são tranformadas em somas e subtrações, quando são usados logarítmos,
o que facilita a elaboração de gráficos de funções de tranferência de circuitos em cascata, bem como
a compreensão da contribuição individual de cada fator da função de transferência, para o conjunto
total.
1.1- O Decibel e a Escala Logarítmica:
A origem da escala denominada decibel, usada nos diagramas de Bode de módulo de H(jω), está no
início do desenvolvimento da telefonia. Na verdade, anteriormente à invenção do telefone, estudos
já haviam sido desenvolvidos para conhecer mais sobre a audição humana. Sabe-se que o som é
toda variação na pressão do ar (ou outro meio elástico) capaz de impressionar o ouvido. Essas
variações são causadas pelo movimento ou vibrações de um objeto e propagam-se por meio de
ondas esféricas, centradas em torno da fonte que as criou. A impressionabilidade do ouvido é
devida à sua capacidade de perceber a velocidade de variação destas ondas ( ou frequência, dada
em Hz ), bem como sua capacidade de perceber a amplitude dessas variações de pressão ( dadas em
Newton/ m2 ou Pascal). Também é possível de forma alternativa à pressão, usar a intensidade
sonora ( que corresponde à potência por unidade de área da onda sonora, medida em watt/m2) ou a
potência sonora ( expressa em watts e que corresponde à energia emitida por segundo pela fonte
sonora ). O campo de variação destas grandezas é muito grande e, por isso, torna-se útil a escala
logarítmica para expressá-la. Por exemplo, a menor intensidade sonora que o ouvido humano é
capaz de perceber é 10-12 W/m2 (chamado de limiar de audibilidade), enquanto a maior que ele é
capaz de perceber, sem desconforto, chamada de limiar da dor, é de 1W/m2 . Observemos que,
entre estes limites, há uma faixa de um trilhão. Além disso, a percepção do ouvido humano de
variações de intensidade sonora não é linear e, sim, logarítmica; Por exemplo, a audição humana
percebe que o volume (intensidade sonora) dobra, quando a potência sonora aumenta 10 vezes, e
não 2 vezes. Para dobrar o volume novamente, a potência será agora 100 vezes o valor da incial (10
x 10), enquanto que o volume nos parece apenas quatro vezes mais alto. Assim, inicialmente foi
definido o Bell: uma grandeza qualquer, em número de Bells (N B) será calculada como: 
N B = log 10 A . Exemplo, a intensidade sonora: 0,000988564W/m² seria expressa como: 
log (0,000988564) = -3Bell.
1
 Na prática, em aplicações de telefonia, foi aplicada a ganhos de potência:
NB = log 10 P2/P1. Também nas aplicações práticas, foi constatado que a unidade Bell era muito
grande, dando números pequenos como resultado, e, assim, seria melhor trabalhar com um
submúltiplo do Bell, o decibel, para que o número obtido fosse maior, asim, passou-se a utilizar: N
dB = número de decibéis = 10 log 10 P2/P1. A definição acima foi adaptada para expressar ganhos de
tensão ou de corrente, em escala logarítmica: Se as potências forem absorvidas por resistores iguais,
uma vez que a potência é proporcional ao quadrado do módulo do fasor tensão ou do fasor corrente,
teremos:
 
O termo dB ficou tão amplamente usado que se generalizou, não se restringindo mais à necessidade
de que ambas as tensões ou correntes comparadas estejam referidas à mesma impedância, ou seja, é
uma definição usada, mesmo quando o ganho de potência não igualar o ganho de tensão ou o ganho
de corrente. 
1.2- Desenho de uma Escala Logarítmica:
Existem, no mercado, papéis monolog, ou semilog, vendidos em papelarias. Neles, a escala
horizontal logarítmica jé está desenhada, bem como a vertical linear. Entretanto, se quisermos
desenhar uma escala log, devemos seguir o procedimento ilustrado na figura a seguir: 
Figura 1 – Escala log 
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Observe que, numa escala log o zero não poderá ser representado, pois log0 não existe. Entretanto,
podemos representar frequências tão próximas de zero, quanto desejarmos, o que, na prática, é o
suficiente.
2.0 – Construção dos Diagramas de Bode:
Seja a função de transferência: de um circuito: 
Fatorando-se ambos, numerador e denominador, temos:
Observando os tipos de fatores que aparecem na função, vemos que podem ocorrer: 
 Fator constante K 
 Fatores de primeiro grau no numerador ou no denominador , ou do tipo (s-a);
 Fatores quadráticos (ou seja, fatores cujas raízes são complexas conjugadas),
podendo estar no numerador ou no denominador. 
Estudaremos individualmente como desenhar os diagramas para cada um dos tipos de fatores para ,
posteriormente, construir diagramas para funções nas quais os vários tipos de fatores aparecem em
conjunto.
Observação Sobre Logaritmos: lembrando:
log a.b = log a+log b log(a/b) = log a-logb ; log a
n 
= nlog a ; log 1=0 (pois:100=1); 
log 1/a = log a-1= -log a
(log a>0) , se a>1. Ex: log 10=1 e 
(log a<0) , se a<1. Ex: log 0,1=-1
1- Fator Constante: K 
, se K>1 e
, se K<1
3
2- Fator 1/s
Se H(s) = 1/s, substituindo-se s=jω,
teremos: 
 , ou seja:
 
Esta é a equação de uma reta, com
inclinação
de -20 dB/dec ou de -6dB/oit.
 Observe-se que: 
 
4
Observação: O conceito de oitava 
vem das escalas musicais. Cada nota, 
numa escala tem sua frequência 
própria. A mesma nota, uma oitava 
acima terá uma som mais agudo e 
uma frequência igual ao dobro 
daquela correspondente na oitava 
abaixo. Como exemplo, observe a 
tabela a seguir:
3- Fator s
Suponha, agora, que H(s)=s.
Substituindo s=jω, teremos: 
H(jω) = jω. Assim: Logo:
Trata-se de uma reta, com inclinação de +20dB/dec. ou de +6dB/oit. desenhada na figura 3.
Figura 3
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4) Fatores s2 , s3 … sn
Nestes casos, temos: H(jω) = (jω)n. Assim: Logo: 
que é a equação de uma reta com inclinação de n vezes
20dB/dec. Ou de n vezes 6dB/oit.
Por sua vez, a fase será, também, n vezes 90°. Observe que, se o fator estiver em
denominador, a inclinação da reta correspondente será negativa e a fase, também será
negativa. A figura 4 mostra um exemplo para H(s)=s2 e a figura 5 mostra o exemplo
para H(s)= 1/ s3
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5) Fator do Tipo ou 1/(s+a)
 Este é o caso da função de transferência do circuito RC da figura 6. Nesta figura, o circuito está
representado no domínio do tempo e no domínio da frequência complexa. A entrada é a tensão v(t) e
a saída é a tensão v0(t).
A função de transferência é: 
Simplificando, podemos escrever: 
 
Esta função tem um fator da forma (s+a), onde, neste caso, a=1/RC. Ela possui um pólo em s=
-1/RC.
Substituindo s=jω, vem: Nesta forma de escrever, dizemos que a função tem um fator do tipo
(1+jωT), onde T=1/a; onde, neste circuito, T=1/RC. Assim, utilizemos a forma: 
 
Neste caso, para traçarmos a curva de módulo de H(jω) versus ω, trabalhamos com aproximações
dográfico por trechos de retas, chamadas de assíntotas. Tais retas são tangentes à curva exata. São
analisados dois intervalos: ωT<<<1 e ωT>>>1. Assim:
1º Intervalo: Para ωT<<<1, ω<<<1/T rad/s e a expressão de H(jω) ≈ 1/1 
 e 
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2ºIntervalo: Para ωT>>>1, ω>>>1/T rad/s e, neste caso, a expressão de H(jω) torna-se,
aproximadamente:
Logo: Este gráfico é uma reta, com inclinação de -20dB/dec ou de -6dB/oit. Verifique:
 Observamos que, quando ω>>>1/T, a função tendeu a 1/jωT, ou seja, a um número imaginário
puro, em denominador. Logo, a fase tendeu a -90º. 
Valores Exatos de Módulo e de fase de H(jw), (nas frequências de corte e uma oitava acima e
abaixo desta frequência):
As assíntotas são aproximações. O ponto onde o maior erro foi cometido, certamente é a própria
frequência de corte, uma vez que, nem a hipótese da primeira aproximação , nem a da segunda, são
válidas para este valor. Esta frequência não é, nem muito maior que ela mesma, nem muito menor.
É, portanto de se esperar que o maior afastamento entre a curva exata e a aproximada ocorra na
frequência de corte.
 Para completar o desenho da curva exata, calcularemos, também, os valores exatos de módulo e de
fase de H(jω), em duas frequências próximas da frequência de corte, as quais são: uma oitava acima
(dobro da frequência de corte) e uma oitava abaixo dela (metade desta frequência).
Valor exato de H(jω) na frequência ω=1/T (Neste caso: ω=1/RC)
 
Valor exato de H(jω) na frequência ω=2/T 
(Neste caso: ω =2/RC)
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Observe que, neste ponto, o valor aproximado (na assíntota) é de -6dB, enquanto o valor exato é
-7dB. Logo, uma oitava acima da frequência de corte, o afastamento entre a curva exata e a
aproximada é de 1dB.
Valor exato de H(jω) na frequência ω=1/2T (Neste caso: ω=2/RC)
Neste ponto, observa-se que o valor exato é de -1dB, enquanto o valor aproximado (na assíntota)
é 0 dB. Logo, uma oitava abaixo da frequência de corte, o afastamento entre a curva exata e a
aproximada é de 1db, também.
Estas conclusões obtidas para os afastamentos entra as curvas exata e aproximada podem ser, então,
generalizadas para todo fator da forma (s+a), estando em denominador.
Exemplo: Usando o mesmo raciocínio do exemplo anterior, desenhe as curvas de módulo e de fase
de H(jω), para o circuito RC da figura 8. Compare o funcionamento deste circuito, com o circuito
anteriormente estudado. 
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Agora, analisemos o comportamento do circuito da figura 8, a seguir. Trata-se de um circuito RC
com tensão se saída em R. 
Função de Transferência do Circuito: 
Substituindo s=jω vemos que o denominador é da forma (s+a) ou (1+jωT).
Assim como fizemos no circuito anterior, para traçarmos a curva de módulo de H(jω) versus ω,
trabalharemos com aproximações do gráfico por trechos de retas, chamadas de assíntotas. Tais retas
são tangentes à curva exata. São analisados dois intervalos: ωT<<<1 e ωT>>>1, onde, neste caso,
semelhantemente ao circuito anteior, a T=RC. Assim:
1º Intervalo: Para ωT<<<1, ou seja: ω<<<1/T rad/s e a expressão de H(jω) ≈ jωRC/1 = 
 É equação de uma reta, com
inclinação de +20dB/dec.
 Verificando:
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2ºIntervalo: Para ωT>>>1, ω>>>1/T rad/s (onde, neste caso, T=RC) a expressão de
H(jω) torna-se, aproximadamente: , com fase 0º 
 e 
Valor exato de H(jω) na frequência ω=1/T (Neste caso: ω=1/RC)
Calcule, como exercício, os valores exatos de módulo e de fase da função H(jω) nas frequências de
uma oitava acima e abaixo da frequência de corte e verifique que, também no caso deste circuito, os
afastamentos entre as curvas exata e aproximada de módulo são de 1dB. Assim, os diagramas de
Bode para a função de transferência deste circuito são:
Verifique, observando os gráficos de resposta de frequência mostrados na figura 9, que o circuito da
figura 8 atua como filtro passa alta, enquanto o circuito anteriormente estudado atua como filtro
passa baixa. Observa-se que, a partir da frequência ω =1/RC rad/s, denominada de frequência de
corte, quando a frequência diminui, ou seja, quando a frequência de operação mais se afasta da
frequência de corte para a esquerda, o módulo da função de transferência diminui, caindo de 20dB
a cada diminuição de 10 vezes, na frequência de operação do circuito. Em outras palavras, para uma
frequência 10 vezes menor que a frequência de corte, a tensão de saída terá amplitude 10 vezes
menor que a amplitude da tensão de entrada (-20dB). 
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A defasagem da saída, em relação à entrada (que é a fase da função de transferência) também torna-
se maior, com a diminuição da frequência, sendo que não ultrapassa 90°, por menor que seja a
frequência da tensão aplicada ao circuito. 
6) Fator do tipo (s+a) em numerador:
 Caso o fator (s+a) esteja no numerador de H(s), as curvas correspondentes aparecerão rebatidas
para cima e os afastamentos serão para cima, também. 
2.1- Diagramas de Bode Para Funções Com Múltiplos Polos e/ou Zeros Reais:
Agora, estudaremos diagramas de Bode para funções que possuam fatores dos tipos já estudados,
em conjunto. 
Exemplo 1: 
- Em primeiro lugar, ilustraremos uma forma de fazer o gráfico de uma função, interpretando-a
como multiplicação de funções. Uma vez que logaritmo de um produto é igual à soma dos
logaritmos de cada parcela, o gráfico de um produto de funções poderá ser obtido como soma de
gráficos individuais. O gráfico de fase, também, pois a fase de um produto de números complexos é
a soma das fases das parcelas.
- Posteriormente, trabalharemos com uma técnica designada de análise por intervalos, na qual
obtém-se o gráfico de módulo eu de fase, por análise direta da função, gradativamente, fazendo
aproximações em cada intervalo de valores de frequência.
Substituindo s=jω, vem: Podemos entender esta função como sendo a
multiplicação de duas outras: 
 e 
ou seja: Traçaremos os gráficos individuais para módulo e fase de H1( jω) e de H2( jω) e, depois, por
soma, obteremos os de H( jω). 
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Diagramas de Fase:
 
 
 
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É possível, entretanto, traçarmos os diagramas anteriormente desenhados diretamente a partir da
função, por meio da chamada análise por intervalos, conforme ilustraremos a seguir: 
1º- Liste os pólos e zeros finitos. Cada fator do tipo (s+a), corresponderá, nos diagramas a uma
frequências de corte (ou frequência crítica) ωc =a. 
2°- Prepare a função, substituindo s=jω. Coloque todos os fatores na forma (1+jωT). Observe que,
nesta forma, uma vez que as constantes a são colocadas em evidência, as frequências de corte serão:
ωc=1/T .
3º-Realize a análise por intervalos. Para isso, comece considerando ω<< que a primeira frequência
de corte e verifique a aproximação, em módulo e fase, resultante desta consideração. Continue o
mesmo raciocínio, para cada novo intervalo entre duas frequências de corte consecutivas, conforme
o exemplo a seguir: 
Exemplo:
Análise Por Intervalos Para a Função : 
Preparando a função: 
= 
As frequências de corte são: ω1= 1rad/s e ω2= 20rad/s
Análise por Intervalos: 
1º- Para ω<<1rad/s: 
Em cada um dos fatores, a parte imaginária torna-se desprezível, em presença da parte real, neste
caso, tem-se:
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2º- Para 1<< ω<<20 rad
Neste caso, no fator (1+jω), a parte imaginária será muito maior que a parte real; no fator 
(1+ jω/20), ocorre o contrário. Logo, tem-se: 
No gráfico de módulo, neste intervalo, a assíntota é uma reta com inclinação de -20dB/decada ou de
-6dB/oitava. O gráfico de fase, neste intervalo tende a -90º.
3º- Para ω>>20 rad
Neste caso, em ambos os fatores, a parte imaginária torna-se bem maior que a real, portanto, tem-se
que: Os desenhos de ambos os diagramas já foram apresentados anteriormente. Se desejarmos,
podemos calcular a fase para mais alguns pontos (para melhorar o traçado do diagrama de fase).
Uma sugestão é calcular, de forma aproximada a fase, nos pontos de quebra, conforma a seguir:16
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b) Observe que: H2(s)=10 H1(s), onde H1(s) foi a função cujos diagramas de Bode foram
desenhados no exercício anterior (item a). Assim, vemos que: 
Verificamos, assim, que multiplicar uma função por uma constante, faz com que o gráfico de
módulo em dB sofra um deslocamento vertical; este deslocamento é para cima, porque a constante é
maior que um e, assim, seu logaritmo é positivo. Se a constante fosse menor que 1, seu logaritmo
seria negativo e, ao somarmos um número negativo a todas as ordenadas do gráfico de módulo de
H1(jw), em dB, ele sofreria um deslocamento para baixo. 
Quanto à fase: 
vemos que, uma vez que a fase do número real positivo 10 é zero, o diagrama de fase da função
H2(jω) é igual ao de fase de H1(jω), já desenhado anteriormente.
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