Exercícios Resolvidos de Geometria Projectiva (Hamiro Miambo)

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Exercícios Resolvidos de Geometria Projectiva 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Autor: Hamiro Berta Miambo 
Área de formação: Licenciado em Ensino de Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E-mail: hamirolanga@gmail.com ou hamirolanga2@gmail.com 
Contactos: 00258847293605 ou 00258874778088
mailto:hamirolanga@gmail.com
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Autor: Hamiro Berta Miambo 
1. Demonstre o teorema de desargues (desenhe a lápis) 
Resolução 
Teorema de Desargues: Se dois triângulos são perspetivos por um ponto, então eles são 
perspetivos por uma reta. 
Demonstração: Em outras palavras, queremos mostrar que, se PP′, QQ′, RR′ passam pelo 
ponto O como na Figura, então os pontos A = QR · Q′R′; B = RP · R′P′; C = P Q · P′Q′ são 
colineares. 
Primeiro, repare que o teorema é trivial quando os dois triângulos estão em planos distintos. 
Neste caso, os pontos A,B e C estão ambos nos planos α = PQR e β = P ′Q′R′ portanto estão 
sobre a reta α · β. 
Caso os triângulos estejam em um mesmo plano, tomamos dois pontos S e S′ numa reta 
qualquer incidente a O e fora do plano P QR. Portanto, as retas PP′, QQ′, RR′ e SS′ passam 
todas por O. Assim, como P , P ′, S e S′ estão sobre o plano OP S, segue que P S e P ′S′ se 
intersectam em um ponto P1; similarmente, determinamos os pontos: 
Q1 = QS · Q′S′, P1 = P S · P′S′ e R1 = RS · R′S′. 
Aplicando a parte óbvia do teorema para os triângulos QRS, Q′R′S′, que estão em planos 
distintos temos que os pontos R1 = RS · R′S′, Q1 = SQ · S′Q′, A = QR · Q′R′ 
 
 
 
 
 
 
 
Autor: Hamiro Berta Miambo 
Figura de demonstração 
Desenho a lápis de acordo com as recomendações 
 
 
Autor: Hamiro Berta Miambo 
 
2. No plano euclidiano está dado um triângulo cujos vértices são A(-3;1), B(2;-1), C(1;2); C´(-
7;0) um ponto do lado (AC); A´(7;-3), um ponto do lado (AB); representar graficamente e; 
a) Marcar no plano o ponto C´´ que é conjugado harmónico de C´ relativamente a A e C; 
b) Marcar no plano o ponto A´´ que é conjugado harmónico de A´ relativamente a A e B; 
c) Com base nas condições anteriores, mostrar que as figuras CC´AC`` e BA´AA´´ são 
perspectivos. 
Resolução 
a) 
Passos: 
Representar os pontos dados A, B, C, A’, C’ conforme o enunciado; representar o ponto D de 
modo que não coincida com os demais; representar as rectas i e g unindo os pontos D com C e 
D com A; representar o ponto E sobre a recta g entre os pontos D e C; representar as rectas j e 
k unindo os pontos C’ com E e A com E; representar a recta l que passa pelos pontos F, G e C, 
𝐹 = 𝑙 ∩ 𝑖, 𝐺 = 𝑘 ∩ 𝑙; 𝑟epresentar a recta 𝑚 = 𝐷𝐺, portanto, 𝐶" = 𝑚 ∩ ℎ, ℎ = 𝐴𝐶, assim 
H(AC, C’C’’). 
 
 
 
 
 
b) 
 
Autor: Hamiro Berta Miambo 
Representar os pontos dados A, B, C, A’, C’ conforme o enunciado; representar o ponto H de 
modo que não coincida com os demais; representar as rectas p e n unindo os pontos H com B e 
H com A; representar o ponto I sobre a recta n entre os pontos H e A; representar as rectas q e 
r unindo os pontos C’ com I e I com B; representar a recta s que passa pelos pontos A e J, J=
𝑞 ∩ 𝑝;Representar a recta t= 𝐻𝐾, portanto, 𝐴" = 𝑡 ∩ 𝑓, 𝑓 = 𝐴𝐵, assim H(AB, C’C’’). 
 
 
c) 
Representando a) e b) no mesmo SCO obtemos: 
 
Observa que verifica-se a seguinte relação CC’AC”⋀̿𝐴BA’AA’’, logo: CC’AC”⋀̅BA’AA’’ 
 
Autor: Hamiro Berta Miambo 
 
3. Dada uma recta m e sobre ela existe um segmento AB com o ponto médio C. construir, 
servindo-se apenas da régua, a paralela conduzida por um ponto qualquer T à recta m. 
Resolução 
Representar aos pontos dados pelo enunciado, representar o ponto T, de tal modo que não 
coincida com os demais, representar a recta g passando pelo ponto C, não pelo T e diferente de 
AB, representar as rectas i e h de tal modo que i=TB e h=AD, onde D=(TB)*(g), F=(AT)*g, 
representar a recta k=BF, G=(AD)*k, representar m=TG, m//AB. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Autor: Hamiro Berta Miambo 
4. Desenhe um triângulo equilátero XYZ inscrito numa circunferência de 3cm de diâmetro. 
Designe por A o ponto da circunferência diametralmente oposto ao vértice Z. Determine os 
vértices B, C e D do quadrângulo com o 4º vértice em A e que tenha, para triangulo diagonal, 
o triangulo XYZ. 
 
Resolução 
Representar a circunferência com 3 cm de diâmetro, representar o triangulo equilátero XYZ 
inscrito na circunferência do centro O, representar o ponto A de acordo com o enunciado; 
Representar as rectas AY, AX, representar o Ponto D e as rectas XD, YD, onde B=(YA)(XD), 
C=(YD)(XA), unir os pontos BYC. Observa que o triangulo XYZ é diagonal do quadrângulo 
ABCD. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Autor: Hamiro Berta Miambo 
5. Dado um ângulo e sua bissectriz, construa, projectivamente, a recta conjugada harmónica da 
bissectriz em relação aos lados desse ângulo. 
Resolução 
Representar o angulo formado pelas rectas f & h, representar a bissetriz g; representar os pontos 
A na recta f e B na recta h, unir os pontos A e B, sendo i=AB, em que i*g=F, representar o 
ponto E entre A e O, representar a recta EB, em que C=(EB)(OC), representar a recta AC, em 
que D=(AC)(OB), representar a recta DE, em que G=(ED)(AB), otemos assim o conjunto 
harmónico na recta i: H(AB, GF). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Autor: Hamiro Berta Miambo 
6. Baseando-se no teorema fundamental da projectividade, mostre que as rectas t1 e t2, dadas no 
plano euclidiano, pode-se determinar uma projectividade sendo t1 : y = x+2 e t2 : y =-2x+1. 
Resolução 
Representar as rectas no Sistema Cartesiano Ortogonal, representar feixe de três rectas g, f e h 
que corta t1, e t2 de contro A, representar os pontos F, B e F saovre a recta t1 e os ponto D, B’ 
e C, sobre a recta t2. Em que: D=(h)(t2), F=(h)(t1), B’=(f)(t2), B=(f)(t1), E=(g)(t1) e C=(g)(t2) 
Observa que:𝐹𝐵𝐸 ∧̿𝐴 𝐷𝐵′𝐶 ou seja, 𝐹𝐵𝐸 ∧̅ 𝐷𝐵′𝐶 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Autor: Hamiro Berta Miambo 
7. Se um quadrângulo (quadrilátero) está inscrito em uma cónica então seu triângulo diagonal 
é auto-polar. 
Resolução 
Representar a circunferência com o centro A, representar o quadrângulo BCDE inscritos na 
circunferência, prorrogar os lados correspondentes, obtendo G e H, representar as diagonais 
DB, EC, sendo G=(AB)(CE), representar o triangulo diagonal FGH, observa que os lados os 
lado EH, HG e GF são polares em relação aos pontos G, F e H respetivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Autor: Hamiro Berta Miambo 
8. Considere a projectividade definida na recta r : y =-1 pelos pontos A(0,-1), A’(0,-1), B(6,-1), 
B’(6,-1), C(-2,-1) e C’(2,-1). Classifique esta projectividade e determine D’ do ponto D(-4,-1). 
Resolução 
Representar os pontos dados no enunciado, de acordo com as recomendações, representar um 
feixe de 3 rectas que passa pelos pontos D’ C’ e A’, para verificar-se a relação 𝐷𝐶𝐴𝐵 ∧̅ 𝐷′𝐶′𝐴′𝐵 
o ponto D deve ser coincidente ao poto D’; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
=D =C’ =A’ =B’ 
 
Autor: Hamiro Berta Miambo 
9. Sejam a, b, c três rectas que passam por um mesmo ponto O; A, B, C, A’, B’, e C’ os pontos 
de intersecção das rectas a, b, c respectivamente com duas rectas s e t, que não passam por O. 
Sejam O’a, O’b, O’c os conjugados harmónicos do ponto O relativamente aos pares A e A’, B 
e B’, C e C’, respectivamente. Demonstre, por construção, que os pontos O’a, O’b, O’c estão 
sobre uma mesma recta m, a qual passa pelo ponto de intersecção das rectas s e t. Descreva a 
demonstração feita. 
Resolução 
Representar os pontos O, A, B, C, A’, B’ e C’ e as rectas a, b, c, t e r, representar: H(AA’, 
OO’a), H(BB’, OO’b) e H(CC’, OO’c), realmente os pontos O’a, O’b e O’c são colineares 
como mostra a recta m. e a recta m intercepta-se com as rectas t e s no ponto W. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Autor: Hamiro Berta Miambo 
10. No plano euclidiano esta dado um triângulocujos vértices são A(-3;1), B(2;-1), C(1;2); 
C´(-7;0) um ponto do lado (AC); A´(7;-3), um ponto do lado (AB); representar graficamente e; 
a) Marcar no plano o ponto C´´ que é conjugado harmónico de C´ relativamente a A e C; 
b) Marcar no plano o ponto A´´ que é conjugado harmónico de A´ relativamente a A e B; 
c) Com base nas condições anteriores, mostrar que as figuras CC´AC`` e BA´AA´´ são 
perspectivos. 
Resolução 
a) 
Passos: 
Representar os pontos dados A, B, C, A’, C’ conforme o enunciado; representar o ponto D de 
modo que não coincida com os demais; representar as rectas i e g unindo os pontos D com C e 
D com A; representar o ponto E sobre a recta g entre os pontos D e C; representar as rectas j e 
k unindo os pontos C’ com E e A com E; representar a recta l que passa pelos pontos F, G e C, 
𝐹 = 𝑙 ∩ 𝑖, 𝐺 = 𝑘 ∩ 𝑙; 𝑟epresentar a recta 𝑚 = 𝐷𝐺, portanto, 𝐶" = 𝑚 ∩ ℎ, ℎ = 𝐴𝐶, assim 
H(AC, C’C’’). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Autor: Hamiro Berta Miambo 
b) 
Representar os pontos dados A, B, C, A’, C’ conforme o enunciado; representar o ponto H de 
modo que não coincida com os demais; representar as rectas p e n unindo os pontos H com B e 
H com A; representar o ponto I sobre a recta n entre os pontos H e A; representar as rectas q e 
r unindo os pontos C’ com I e I com B; representar a recta s que passa pelos pontos A e J, J=
𝑞 ∩ 𝑝;Representar a recta t= 𝐻𝐾, portanto, 𝐴" = 𝑡 ∩ 𝑓, 𝑓 = 𝐴𝐵, assim H(AB, C’C’’). 
 
 
c) 
Representando a) e b) no mesmo SCO obtemos: 
 
 
Autor: Hamiro Berta Miambo 
Observa que verifica-se a seguinte relação CC’AC”⋀̿𝐴BA’AA’’, logo: CC’AC”⋀̅BA’AA’’ 
 
11. Dadas a, b, c rectas concorrentes em O e a’, b’, c’ concorrentes em O’, todas distintas. 
Estabeleça duas perspectividades de forma a ter 
Resolução 
 
𝑎𝑏𝑐 ∧̿ 𝑎′𝑏′𝑐′ em relação a O e 𝑎𝑏𝑐 ∧̅ 𝐴′𝐵′𝐶 ∧̅ 𝑎’𝑏’𝑐’ logo: 𝑎𝑏𝑐 ∧̅ 𝑎’𝑏’𝑐’