Geometria Projectiva (Hamiro Miambo)

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Hamiro Berta Maimbo 
 
hamirolanga@gmail.com 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios resolvidos de Geometria Projectiva 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.Qual é a proposição dual das seguintes proposições 
a) Dois planos distintos definem uma única recta. 
Dual: Dois planos duais distintos definem um único ponto. 
 
b) Nem todos os pontos pertencem a um plano 
Dual: Nem todas rectas passam por um plano dual. 
 
c) Duas rectas não paralelas definem um único plano. 
Dual: Dois pontos não coincidentes definem um único plano dual 
 
2. A partir dos princípios de dualidade no espaço, formule as propriedades duais das seguintes: 
a) A uma recta pertencem infinitos pontos 
Dual: A um ponto passam infinitas rectas 
 
b) Dois pontos distintos determinam uma recta a qual pertencem 
Dual: Duas rectas distintas determinam um ponto o qual passam. 
 
c) Tres pontos que não pertencem a uma recta, determinam um plano, a qual pertencem 
Dual: Três rectas que passam por um ponto, determinam um plano dual, a qual passam. 
 
3. Configurações: 
Resposta: b) e c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4. Mostre que se os três triângulos são perspetivos dois a dois com um mesmo centro de 
perspetividade, então os eixos de perspetividade são concorrentes. 
Demonstração 
Passos: 
1. Representa as rectas h, g e i, concorrentes no ponto O; 
2. Represe os triangulo GHI, DEF e JKL perspetivos em relação ao ponto O; 
3. Prorrogando os lados dos três triângulos, obtemos segmentos perspetivos em relação aos 
dois triângulos: 
a) Os triângulos GHI e DEF São perspetivos em relação ao segmento (i1) que surge da 
união dos pontos V, Q e P 
b) Os triângulos GHI e JLK São perspetivos em relação ao segmento (c) que surge da 
união dos pontos N, U e M 
c) Os triângulos JLK e DEF São perspetivos em relação ao segmento (j1) que surge da 
união dos pontos R, S e W 
4. Observa que os segmentos i1, j1 e c são concorrentes no ponto T. (c.q.d) 
 
 
 
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5. Dados dois pontos M e N. tirar por uma recta exterior t, um ponto que seja colinear com outros 
dados sem uni-los. 
Resolução 
Passos: 
1. Representa os pontos M e N como ilustra a figura; 
2. Representa as rectas m e q não coincidentes e colineares no ponto M; 
3. Representa as rectas i e p não coincidentes e colineares no ponto N. Sendo que as rectas q 
e p concorrem para o ponto F, m e i no ponto I. 
4. Representa feixe de três rectas com centro A, passando pelos demais rectas surgindo 
consequentemente os pontos E, G, H e J como ilustra a figura; 
5. Observa que os triângulos EGF e IJH são perspetivos em relação ao ponto A; 
6. Prorrogando os lados correspondentes EG e HJ surge da intercessão o ponto P, de acordo 
com Desargues o ponto P é colinear aos pontos M e N. (c.q.d) 
 
 
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6. Se três triângulos são perspetivos dois a dois com um mesmo centro de perfectividade, então os 
eixos de perspetividade são concorrentes. 
Dual: Se três triláteros são perspetivos dois a dois com um mesmo eixo de perspetividade de 
perspetividades, então os pontos de perspetividade são colineares. 
 
7. Considere um plano afim onde um trapézio está inscrito num quadrilátero de tal modo que as 
bases deste trapézio sejam paralelas a uma das diagonais do quadrilátero. Provar que os lados não 
paraleos do trapézio interceptam-se na outra diagonal do quadrilátero. 
Passos 
1. Representa o quadrilátero f, i, h e g; 
2. Representa o trapézio de acordo com as recomendações, com bases paralelas PN//OM; 
3. As diagonais do quadrilátero completo são: k, j e l conforme a figura ilustra; 
4. Observa que prorrogando os lados não paralelos do trapézio, interceptam-se na diagonal j 
formando o ponto Q, conforme a figura ilustra (c.q.d) 
 
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8. Sejam dados no plano afim um triangulo e três paralelogramos tais que, para cada um deles, o 
lado do triangulo é diagonal do paralelogramo e os outros dois lados são lados adjacentes do 
paralelogramo. Demonstrar que as segundas diagonais são concorrentes. 
Resolução 
Passos: 
a) Representa um triangulo qualquer ABC 
b) Representa um ponto D no interior do triangulo ABC; 
c) Representa os seguimentos DA, DB e DC; 
d) Representa os segmentos AG, GC, CE, EB, BE, e FA de modo que AG//DC, GC//DA, 
CE//DB, EB//DC, BE//DA, e FA//DB, 
e) Obtemos consequentemente os paralelogramos DAGC, DCBE e DABF em que AC, CB, 
AB são diagonais dos mesmos respectivamente, como ilustra a figura; 
f) Unindo os demais pontos opostos de cada paralelogramo obtemos os diagonais DG, DE e 
DF, que se interceptam no ponto D, ou seja, as demais diagonais são concorrentes (c.q.d) 
 
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9. A, B, C, D é um gradrângulo. P é um ponto sobre BD; Q e R são pontos sobre AB e AD; S, T 
são pontos sobre CB e CD. Provar que se P, Q e R são colineares, e também os pontos P, S, T são 
colineares; então as rectas QS, RT e AC são concorrentes. 
Resolução 
Passos 
1. Representa quadrângulo completo ABCD, e os pontos Q, R, S e T de acordo com as 
recomendações como ilustra a figura; 
a) Representa os pontos P, R e Q de modo que sejam colineares sobre a recta m; 
b) Representa os pontos T e S de modo que sejam colineares com o ponto P, sobre a recta l; 
2. Une os pontos QS, TR e AC formando respectivamente as resctas n, p e g; 
3. Observa que as rectas anteriores n, p, g são colineares no ponto E. (c.q.d) 
 
 
 
 
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10. Apresente a Dual do teorema de Pappus e desenhe o rerspectivo diagrama 
Resolução 
Teorema de Pappus: Se A, B, C, A’, B’ e C’ são 6 pontos tais que A, B, C estão sobre a recta u 
e os pontos A’, B’, C’ estão sobre a recta v, A’B•AB’=P, AC’•CA’=Q, CB’•BC’=S, então os 
pontos P,Q e S são colineares. 
Dual de Teorema de Pappus: Se a, b, c, a’, b’ e c’ são 6 rectas tais que a, b, c concorrem ao 
ponto U e as rectas a’, b’ e c’ concorrem ao ponto V, (a’b) • (ab’)=p, (ac’) • (ca’)=q e (ab’)• 
(bc’)=s, então as rectas p, q e s são concorrentes a um ponto. 
Passos de representação 
1. Representa as rectas a, b e c concorrentes ao ponto U; 
2. Representa as rectas a’ b’ e c’ concorrentes ao ponto V; 
3. Representa as rectas p, q e s de tal modo que , (a’b) • (ab’)=p, (ac’) • (ca’)=q e 
(ab’)• (bc’)=s; 
4. Observa que p, q e s concorrem a um e único ponto M.