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NOTAS DE AULA Cálculo Diferencial e Integral II Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR - Professores: Lauro César Galvão Luiz Fernando Nunes Cálculo II – (Lauro / Nunes) Lauro / Nunes ii Índice 1 Integrais Impróprias ................................................................................ 1-1 2 Sistema de Coordenadas Polares e Integrais ........................................ 2-14 3 Integrais Eulerianas .............................................................................. 3-29 4 Tópicos de Topologia dos Espaços Reais n-Dimensionais .................. 4-37 5 Funções em Espaços n-Dimensionais................................................... 5-42 6 Derivadas .............................................................................................. 6-48 7 Integrais Duplas e Triplas ..................................................................... 7-70 Cálculo II Integrais Impróprias Lauro / Nunes 1-1 1 Integrais Impróprias 1. Calcular . Resolução: b cb x dx 21 lim b b x 0 arctanlim 0arctanarctanlim b b 0 2 2 Resposta: 2 2. Calcular 21 x dx . Resolução: 21 x dx 0 21 x dx 0 21 x dx 1I 2I 1I 0 21 x dx 0 21 lim x dx 0 arctanlim x arctan0arctanlim 2 0 1I 2 2I 0 21 x dx 2 , do exemplo 1 0 21 x dx 0 21 x dx Cálculo II Integrais Impróprias Lauro / Nunes 1-2 21 x dx 1I 2I 2 2 Resposta: 3. Calcule a integral e o limite dos itens seguintes: a) dxx e b) r rr dxxlim a) Resolução: Primeiramente vamos calcular a integral dxx . Conforme foi definido, dxx = 0 dxx 0 dxx = 0 lim dxx + 0 lim dxx = 0 2 2 lim x + 0 2 2 lim x = 22 0 lim 22 + 2 0 2 lim 22 = 2 lim 2 + 2 lim 2 Como nenhum destes limites existe, então a referida integral dxx diverge. Resposta: diverge b) Resolução: r rr dxxlim = r r r x 2 lim 2 = 22 lim 22 rr r = 0lim r =0 (converge). Resposta: 0 Desta forma, este exemplo ilustra o porquê de não podemos utilizar o limite em (b) para definir a integral imprópria em (a). 4. Discutir os valores de para os quais a integral 1 x dx converge ou diverge. Resolução: Para 1: b x dx 1 b x 1 1 1 1 1 1 1 1 b . Tem-se, então: 1 x dx 1 1 1 lim 1 b b Assim: Se 1 1 x dx 1 1 1 lim 1 b b 1 1 (CONVERGE). Se 1 1 x dx 1 1 1 lim 1 b b (DIVERGE). Se 1 1 x dx b b x dx 1 lim b b x 1 lnlim 1lnlnlim b b 0 (DIVERGE). Resposta: Cálculo II Integrais Impróprias Lauro / Nunes 1-3 5. Verifique os resultados das seguintes integrais do exemplo citado no começo deste capítulo, onde se propõe que um muro de área infinita seja pintado com o conteúdo de uma lata de tinta de volume finito, isto é: 1 x dx = e que 1 2x dx . Resolução: ? 1 x dx Esta integral é um caso particular do exemplo anterior, onde 1 , logo a integral imprópria diverge, assim, 1 x dx =. ? 1 2x dx Novamente temos um caso particular do exemplo anterior, onde 2 , assim, 1 2x dx 1 2x dx 12 1 = 1 . Resposta: e , respectivamente. 6. Estudar a convergência da integral 1 2 1 )( xex dx . Resolução: Para x 1 )( xex 1 1 2 2 1 x . A integral 1 2x dx b b x 1 1 lim 0 (1) 1 converge. Tem-se então que 1 2 1 )( xex dx também CONVERGE. Resposta: CONVERGE Teorema Se, x a , 0 )(x )(xf e se a dxx)( diverge, então a dxxf )( também diverge. Exemplo 7. Estudar a convergência da integral 1 3 1 dx x x )( . Resolução: Verifica-se que 3 1 x x 3x x x 1 A integral 1 x dx b b x 1 2lim 22lim b b diverge. Tem-se então que 1 3 1 dx x x )( também DIVERGE. Resposta: DIVERGE Cálculo II Integrais Impróprias Lauro / Nunes 1-4 8. Estudar a convergência da integral 1 3 sin dx x x . Resolução: A função a ser integrada é de sinal variável. Então 3 sin x x 3 1 x , pois 1sin x . Para 1x 3 1 x 3 1 x . A integral 1 3x dx b b x 1 22 1 lim 0 2 1 2 1 converge. Temos que 1 3 sin dx x x também converge. Logo, 1 3 sin dx x x CONVERGE. Resposta: CONVERGE 9. Calcular 2 0 3x dx . Resolução: 2 0 3x dx 2 3 0 lim aa x dx 2 2 0 1 lim 2 1 a a x aa 1 4 1 lim 2 1 0 4 1 2 1 8 1 A integral DIVERGE. Resposta: DIVERGE Cálculo II Integrais Impróprias Lauro / Nunes 1-5 10. 1 0 21 x xdx . Resolução: Seja 1 0 21 x xdx I u 1 2x x 0 u 1; x 1 u 0 du xdx2 xdx 2 du A função é descontínua para x 1 ou u 0 I b b x xdx 0 21 1 lim b b du u 10 2 lim 2 1 b b u 1 2 10 2 1 2 1 lim 0 ( 1 ) 1 Resposta: 1 11. Calcular 2 0 21)(x dx . Cálculo II Integrais Impróprias Lauro / Nunes 1-6 Resolução: Seja 2 0 21)(x dx I I 1 0 20 )1( lim x dx 2 1 20 )1( lim x dx Lembrando que 21)(x dx dxx 21)( c x 1 1 1)( c x 1 1 I 1 0 0 1 1 lim x 2 1 0 1 1 lim x I 1 11 lim 0 1 1 1 lim 0 I 1 1 (DIVERGE). Resposta: DIVERGE Calcular as seguintes integrais impróprias: 12. 0 dxe x . Resolução: Seja 0 dxe x I I b x b dxe 0 lim b x b e 0 lim b xb e 0 1 lim 1 1 1 1 Resposta: 1 13. 0 22 xa dx . Resolução: Seja 0 22 xa dx I x ua tan a x u tan utan u 2 dx udua 2sec utan 0 u 0 I 2 0 222 2 tan sec uaa udua 2 2 0 sec 2 2 2 )tan1( sec du u u a a u 2 0 1 du a 2 0 1 u a 0 1 2 1 aa a2 Resposta: a2 Cálculo II Integrais Impróprias Lauro / Nunes 1-7 14. 0 sin xdxx . Resolução: Seja 0 sin xdxx I Integração por partes: vduuvudv u x du dx dv xdxsin v xcos I 0 udv b b udv 0 lim bb b vduuv 00 lim bb b dxxxx 00 )cos()cos(lim bb b xxx 00 sincoslim bb b coslim 0 0cos0lim b b b sinlim 0 0sinlim b I 1,1 cos 1,1 sin . A integral DIVERGE. Resposta: DIVERGE 15. 1 x dx . Resolução: 1 x dx b b x dx 1 lim b b x 1 2lim 2 21 . A integral DIVERGE. Resposta: DIVERGE 16. 222 xx dx . Resolução:Seja 222 xx dx I 112 2 1 2 x xx 11 2 x I 1)1( 2x dx 1arctan x x 1 0 x 1 I 1 2 1)1( lim x dx b b b x dx 1 2 1)1( lim I 11arctanlim x b b b x 1 1arctanlim I 0 0arctan 2 )arctan( 2 )arctan( 0 0arctan 2 2 Resposta: 17. 1 0 3 x dx . Resolução: 1 0 3 x dx 1 0 3 1 lim aa x dx 1 0 3 1 lim aa dxx 1 2 3 0 3 2 lim aa x 3 23 2 01 2 3 2 3 Resposta: 2 3 Cálculo II Integrais Impróprias Lauro / Nunes 1-8 18. 1 1 4x dx . Resolução: Seja 1 1 4x dx I I 1 1 1 40 lim a a x dx 1 4 0 22 lim aa x dx I 1 1 1 3 0 1 lim 3 1 a a x 1 3 0 2 2 1 lim a a x 33 1 0 )1( 11 lim 3 1 1 aa 3 2 3 0 1 1 1 lim 2 aa I 3 1 ( 1 1 ) A integral DIVERGE. Resposta: DIVERGE 19. 0 sin dxbxe ax . Resolução: Seja 0 sin dxbxe ax I Integração por partes: vduuvudv I 1 0 sinlim I c ax c dxbxe 1I c ax dxbxe 0 sin u axe du dxae ax dv dxbxsin v bx b cos 1 1I c udv 0 c vdu 0 c ax bx b e 0 cos 1 c ax dxaebx b0 cos 1 1I c ax b bxe 0 cos 2 0 cos I c ax dxbxe b a 2I c ax dxbxe 0 cos 2u axe 2du dxae ax 2dv dxbxcos 2v bx b sin 1 2I c dvu 0 22 c vu 022 c duv 0 22 c ax bx b e 0 sin 1 c ax dxaebx b0 sin 1 2I c ax b bxe 0 sin c ax dxbxe b a 0 sin Voltando ao 1I ... 1I c ax b bxe 0 cos 2I b a c uv 0 Cálculo II Integrais Impróprias Lauro / Nunes 1-9 1I c ax b bxe 0 cos b a c ax c ax dxbxe b a b bxe 0 0 sin sin Mas, 1I c ax dxbxe 0 sin Logo... c ax dxbxe 0 sin c ax b bxe 0 cos c ax b bxae 0 2 sin c ax dxbxe b a 02 2 sin 2 2 1 b a c ax dxbxe 0 sin c ax b bxe 0 cos c ax b bxae 0 2 sin c ax dxbxe 0 sin 22 2 ba b c ax b bxe 0 cos cax b bxae 0 2 sin Voltando novamente ao 1I ... 1I c ax dxbxe 0 sin 22 2 ba b c ax b bxe 0 cos cax b bxae 0 2 sin 1I c ax ba bxbe 0 22 cos c ax ba bxae 0 22 sin 1I 22 cos ba bcbe ac 22 11 0 0cos ba beb a 22 sin ba bcae ac 0 22 0 0 0sin ba bae a 1I 22 cos ba bcbe ac 22 ba b 22 sin ba bcae ac Voltando ao I ... I 1lim I c 22 cos lim ba bcbe ac c 22 ba b 22 sin ba bcae ac I 0 22 0 cos ba bbe a 22 ba b 0 22 0 sin ba bae a 22 ba b Portanto, 0 sin dxbxe ax 22 ba b . Resposta: 22 ba b Cálculo II Integrais Impróprias Lauro / Nunes 1-10 Resolva os seguintes exercícios sobre integrais impróprias: 20. Calcular 0 dxe x Resolução: 0 dxe x b x b dxe 0 lim b x b e 0 )(lim 0lim ee b b 0 1 1. Resposta: 1 21. Calcular 0 dxxe x Resolução: Seja 0 dxxe x I . Integração por partes: vduuvudv . u x du dx . dv xe dx v xe . I 0 udv b b udv 0 lim bb b vduuv 00 lim b x b x b dxeex 00 )()(lim . I b x b x b eex 00 lim bx b ex 0)1(lim 0)10()1(lim eeb b b I 1)1(lim 0 b b eb (1) 1. Resposta: 1 22. Calcular 1 2x dx Resolução: Seja 1 2x dx I . I 1 2lim dxx 11lim x 0 11)1(lim [10] (1) 1. Resposta: 1 23. Calcular 2 4 1 x dx Resolução: 2 4 1 x dx 0 2 4 1 x dx 0 2 4 1 x dx 1I 2I Obs: 2 4 1 x dx 22 2 1 x dx 2 1 1 2 1 arctan x c 2 )2arctan( x c 1I 0 2 4 1 x dx 0 2 4 1 lim x dx 2 0 )2arctan(lim x Cálculo II Integrais Impróprias Lauro / Nunes 1-11 1I )2arctan(0arctanlim2 2 2 0 . 2I 0 2 4 1 x dx b b x dx 0 2 4 1 lim 2 b b x 0 )2arctan(lim 2I 2 0arctan)2arctan(lim b b 2 0 2 . Logo: 2 4 1 x dx 1I 2I 2. Resposta: 2 24. Calcular 2 0 sin cos dx x x Resolução: u xsin du xcos dx x x sin cos dx u du duu 2 1 2 2 1 u c x x sin cos dx 2 xsin c 2 0 sin cos dx x x 0 lim 2 sin cos dx x x 2 0 lim 2 sin x 2 0 lim 0 1 2 sinsin 2 Resposta: 2 25. Calcular 2 0 24 x dx Resolução: 24 x dx 222 x dx 2 arcsin x c 2 0 24 x dx 2 lim b b x dx 0 24 2 lim b b x 0 2 arcsin 2 lim b 0 0arcsin 2 arcsin b )1arcsin( 2 Resposta: 2 26. Calcular 2 0 2x dx Resolução: 2x dx 2ln x c 2 0 2x dx 2 lim b b x dx 0 2 2 lim b bx 0 2ln 2 lim b 20ln2ln b Resposta: DIVERGE Cálculo II Integrais Impróprias Lauro / Nunes 1-12 27. Calcular 1 1 4x dx Resolução: Seja 1 1 4x dx I 4x dx dxx 4 3 3x c I 0 lim 1 4x dx 0 lim b 1 4b x dx 3 1 0 lim 1 3 1 x 0 lim b 1 3 1 bx I 3 1 0 lim 33 )1( 11 0 lim b 33 1 1 1 b 0 lim 3 1 I 3 1 0 lim 3 1 11 0 lim b 3 1 b 0 lim b 3 1 b I 3 1 [ 11 ] . Resposta: DIVERGE 28. Calcular 942 xx dx Resolução: Seja 942 xx dx I x2 4x 9 2 2 2 44 x xx 5 22x 2)5( . 22 )5()2(x dx 5 1 arctan 5 2x c I 5 1 lim 2 2 94 xx dx b lim b xx dx 2 2 94 I 5 1 lim arctan 2 5 2 x b lim arctan b x 2 5 2 I 5 1 [ arctan 0 arctan () arctan () arctan 0] 5 1 [0 2 2 0] 5 Resposta: 5 29. Determine k para que se tenha dxe xk 2 1 . y x Gráfico da função 1 para <0k dxe xk Obs: dxe xk 2 1 k 0 Resolução:I dxe xk Cálculo II Integrais Impróprias Lauro / Nunes 1-13 I 0 dxe xk 0 dxe xk I 0 dxe kx 0 dxekx dxe kx k 1 kxe c dxe kx k 1 kxe c I lim 0 dxe kx b lim b kxdxe 0 I lim k 1 kxe 0 b lim k 1 kxe b 0 I k 1 lim ( 0e ke ) k 1 b lim ( kbe 0e ) I k 1 lim (1 ke ) k 1 b lim ( kbe 1) I k 1 (1 lim ke ) k 1 ( b lim kbe 1) lim ke 0 b lim kbe 0 I k 1 (10) k 1 (01) I k 1 k 1 k 2 Mas temos que I 2 1 . Logo, k 2 2 1 k 4. Resposta: 4k 30. Utilize o teste da comparação para concluir se as integrais seguintes convergem ou divergem: a) dx x x 1 2 2sin Resolução: Como 22 2 1sin 0 xx x em [,[ 1 e dx x 1 2 1 converge, então dx x x 1 2 2sin também converge. Resposta: CONVERGE b) dx x 1 2 10 1 , Resolução: Como xx 1 10 1 2 , em [,[ 1 e dx x 1 1 diverge, então dx x 1 2 10 1 , também diverge. Resposta: DIVERGE Cálculo II Sistema de Coordenadas Polares e Integrais Lauro / Nunes 2-14 2 Sistema de Coordenadas Polares e Integrais 31. Represente no plano os pontos ),( onde: ),( 01A , ),( 01B , 4 2,C , 4 ,1D , 3 2,E , 6 5 ,3F e 3 8 ,3G . Resolução: Resposta: 32. Represente no plano os pontos ),( onde: ) 2 ,1( A , )3,3( B , 4 7 ,2C , 4 3 , 2 3 D , 6 ,2E , 6 31 ,3F e 4 5 ,2G . Resolução: 2 3 4 6 3 2 4 3 6 5 6 7 4 5 3 4 3 5 4 7 6 11 2 3 0 2 C E B DA FG Resposta: 33. Construir o gráfico da função: 2 3 4 6 3 2 4 3 6 5 6 7 4 5 3 4 3 5 4 7 6 11 2 3 0 2 C E B D A F G Cálculo II Sistema de Coordenadas Polares e Integrais Lauro / Nunes 2-15 , para 0 2. 0 4 2 3 2 4 5 2 3 4 7 2 0 4 2 3 2 4 5 2 3 4 7 2 0 0,8 1,6 2,1 3,1 3,9 4,7 5,5 6,3 Resolução: Resposta: 34. Construir o gráfico da função: 2 2 cos (cardióide). Resolução: 0 6 4 3 2 3 2 4 3 6 5 4 2 3 2 2 3 2 1 2 2 2 3 0 4 3,7 3,4 3 2 1 0,6 0,3 0 ~ 2 3 4 6 3 2 4 3 6 5 6 7 4 5 3 4 3 5 4 7 6 11 2 3 0 2 ~ 2 3 4 6 3 2 4 3 6 5 6 7 4 5 3 4 3 5 4 7 6 11 2 3 0 2 Cálculo II Sistema de Coordenadas Polares e Integrais Lauro / Nunes 2-16 Resposta: 35. Construir o gráfico da função: 2 4 cos (caracol). Resolução: 0 6 4 3 2 3 2 4 3 6 5 6 22 3 22 2 4 2 0 22 2 22 3 2 6 5,4 4,8 4 2 0 0,8 1,4 2 Resposta: ~ 2 3 4 6 3 2 4 3 6 5 6 7 4 5 3 4 3 5 4 7 6 11 2 3 0 2 Cálculo II Sistema de Coordenadas Polares e Integrais Lauro / Nunes 2-17 36. Construir os gráficos das rosáceas nos itens a) e b). Rosáceas de quatro pétalas (folhas): a) 3 2sin Resolução: 0 6 4 3 2 3 2 4 3 6 5 0 2,6 3 2,6 0 2,6 3 2,6 0 Resposta: b) 3 2cos Resolução: 0 6 4 3 2 3 2 4 3 6 5 3 1,5 0 1,5 3 1,5 0 1,5 3 Resposta: ~ 2 3 4 6 3 2 4 3 6 5 6 7 4 5 3 4 3 5 4 7 6 11 2 3 0 2 ~ 2 3 4 6 3 2 4 3 6 5 6 7 4 5 3 4 3 5 4 7 6 11 2 3 0 2 Cálculo II Sistema de Coordenadas Polares e Integrais Lauro / Nunes 2-18 37. Se considerarmos o quadrado do primeiro termo na rosácea seguinte, temos: 2 4 2cos (Lemniscata de Bernoulli). Dicas para fazer o gráfico: 2 2cos 0 2cos 1 Tome D como o domínio de tal que: D {R; 2 2n 2 2 2n, com nZ} D {R; 4 n 4 n, com nZ} Resolução: 0 6 4 3 2 3 2 4 3 6 5 2 1,4 0 0 1,4 2 Resposta: ~ 2 3 4 6 3 2 4 3 6 5 6 7 4 5 3 4 3 5 4 7 6 11 2 3 0 2 Cálculo II Sistema de Coordenadas Polares e Integrais Lauro / Nunes 2-19 38. Calcule a área da região delimitada pela lemniscata de Bernoulli, de equação 24 2cos . Resolução: Para Xcos , X 1o e 4o quadrantes, onde Xcos 0. Como a curva é simétrica, calcula-se a área da região no 1 o quadrante e multiplica-se por quatro. Obs: XR; 2 2n X 2 2n, com nZ. 2 4 2cos 2cos4 , onde D {R; 4 n 4 n, com nZ} 0 X 2 0 2 2 0 4 . Para: 0 2; 4 0. Portanto: A 4 1A 1A 4/ 0 2 2 1 )( df 4/ 0 2 2 1 d 4/ 0 2cos4 2 1 d 4/ 0 2cos2 d u 2 du 2 d d du 2 1 . 0 u 0; 4 u 2 . 1A 2/ 0 2 1cos2 duu 2/ 0 cosudu 2/ 0 sin u 2 sin 0sin 1 0 1. A 4 1A 41 4 u.a. Resposta: A = 4 u.a. 2 3 4 6 3 2 4 3 6 5 6 7 4 5 3 4 3 5 4 7 6 11 2 3 0 2 A1 Cálculo II Sistema de Coordenadas Polares e Integrais Lauro / Nunes 2-20 39. Calcular a área da região interna à rosácea 2sina . Resolução: 0 2 0 2 . A 4 1A 1A 2/ 0 2 2 1 d 2/ 0 22 2sin 2 1 da Observação: 2sin 2cos 1 2cos 2cos 2sin I- 2cos 1 2sin 2sin II- 2cos 2cos (1 2cos ) 2 2sin 1 2cos 2 2cos 1 2cos 2sin 2 1 2 1 2cos 2cos 2 1 2 1 2cos Usando I: 1A 2/ 0 2 4cos 2 1 2 1 2 1 da 2/ 0 2 4cos1 4 d a 32 2/ 0 2/ 0 2 4cos 4 AA dd a 2A 2/ 0 2 0 2 u 4 du 4 d d 4 1 du 0 u 0; 2 u 2. 3A 2 0 4 cos du u 2 0 sin 4 1 u 3A 4 1 00 sin2sin 0. 1A 32 2 4 AA a 0 24 2a 8 2a Então: A 4 1A 2 2a u.a. Resposta: A 2 2a u.a. 2 3 4 6 3 2 4 3 6 5 6 7 4 5 3 4 3 5 4 7 6 11 2 3 0 2 A1 a a a a Cálculo II Sistema de Coordenadas Polares e Integrais Lauro / Nunes 2-21 40. Calcular a área da interseção das regiões limitadas pelas curvas 3 cos e 1+ cos . Resolução: Tipo de curva 0 6 4 3 2 3 2 4 3 6 5 Circunferência 3 cos 3 2,6 2,1 1,5 0 1,5 2,1 2,6 3 Cardióide 1+ cos 2 1,9 1,7 1,5 1 0,5 0,3 0,1 0 3 cos 1+ cos cos 2 1 3 . 0 2 ; 0 3 1+ cos ; 3 2 3 cos . A 2( 1A 2A ) 1A 3/ 0 2)cos1( 2 1 d e 2A 2/ 3/ 2)cos3( 2 1 d . 1A 3/ 0 2)cos1( 2 1 d 3/ 0 1( 2 1 2 cos 2cos ) d 1A 1 3/ 0 2 3/ 0 cossin2 32 1 I d 1A 2 1 13 3 I . 1I 3/ 0 2cos d 3/ 0 2 1 2 1 2cos d 3/ 02 2sin 32 1 1I 6 4 1 0sin 3 2 sin 6 4 1 2 3 1I 6 8 3 1A 2 1 13 3 I 2 1 8 3 6 3 3 1A 4 16 39 ~ ~ 2 3 4 6 3 2 4 3 6 5 6 7 4 5 3 4 3 5 4 7 6 11 2 3 0 2 1A2A Cálculo II Sistema de Coordenadas Polares e Integrais Lauro / Nunes 2-22 2A 2/ 3/ 2)cos3( 2 1 d 2/ 3/ 2cos9 2 1 d 2/ 3/ 2cos 2 9 d 2/ 3/ 2 1 2 1 2cos 2 9 d 2A 4 9 2/ 3/ d 2/ 3/ 2cos d 4 9 2/ 3/2 2sin 32 2A 24 9 4 9 2 1 3 2 sinsin 8 3 8 9 2 3 0 2A 8 3 16 39 . A 2( 1A 2A ) 2 16 39 8 3 16 39 4 2 4 3 A 4 5 ..au 1+ cos 1A 3/ 0 2)cos1( 2 1 d 3 cos 2A 2/ 3/ 2)cos3( 2 1 d Resposta: A 4 5 u.a. 41. Calcule a área da região limitada pela curva dada em coordenadas polares por tg , com 0 2 , pela reta x 1 (coordenadas cartesianas) e pelo eixo polar. Dica para a resolução: Considere 1A () como sendo a área da região composta pelo triângulo OMP, dado na figura abaixo. 2 3 2 3 A1 2 3 2 3 A2 tg O 2 3 4 3 2 4 3 6 5 6 7 4 5 3 4 3 5 4 7 6 11 2 3 0 21 x x1Reta: 6 x tg 3 O 1M3 P3 cos sen 4 x tg O 1M2 P2 sen cos 6 x tg O 1M1 P1 cos sen Cálculo II Sistema de Coordenadas Polares e Integrais Lauro / Nunes 2-23 Resolução: A área que procuramos é (área do triângulo OMP) (área entre a curva e a reta ), quando M tende para 1 (M 1), ou tende para 2 ( 2 ). 1A (área do triângulo OMP) 2A (área entre a curva e a reta ) A 1A 2A 1A 2 1 (base)(altura) 2A 0 2 2 1 tg d 1A 2 1 ( cos )( sin ) É integral imprópria: 2 1A 2 1 ( tg cos )( tg sin ) 2A 0 2 2 1 )1(sec d 1A 2 1 ( sin )( tg sin ) 2A 02 1 tg 1A 2 1 2sin tg 2A 2 1 tg 2 1 Então: A 1A 2A 2 1 2sin tg ( 2 1 tg 2 1 ) A 2 1 tg (1 2sin ) 2 1 2 1 tg 2cos 2 1 2 1 cos sin 2cos 2 1 A 2 1 sin cos 2 1 Área 2 1 cossin 2 1 lim 2 4 Resposta: 4 u.a. 42. Calcular o volume do sólido formado pela rotação em torno do eixo polar, da cardióide de equação 2(1 cos ). Resolução: Considerando a parte superior da cardióide, intervalo [0,]. V 0 22 sin (’ cos sin ) d V 0 2)cos1(4 2sin [2 sin cos 2(1 cos ) sin ] d V 8 0 2)cos1( 2sin ( sin cos sin cos sin ) d V 8 0 2)cos1( (1 2cos )(2 cos 1)( sin d ) Cálculo II Sistema de Coordenadas Polares e Integrais Lauro / Nunes 2-24 V 8 0 1( 4 cos 4 2cos 2 3cos 5 4cos 2 5cos )( sin d ) U nV dU dVnV n 1 u ncos du 1cosnn ( sin d ) 0 1cosn ( sin d ) 0 cos n n . V 8 2 cos4 cos 2 3 cos4 3 4 cos2 4 5 cos5 5 0 6 6 cos2 V 8 3 4 21 2 1 1 3 1 12 3 4 2 1 1 3 1 8 3 8 3 64 Tomando o valor absoluto: Resposta: V 3 64 u.v. 43. Refazer o exemplo anterior, 2(1 cos ). Resolução: V 0 3)cos1(8 3 2 dsin V 0 1( 3 16 3 cos 3 2cos 3cos ) dsin V 3 16 2 cos3 cos 2 3cos 0 4 4 cos V 3 16 2 3 1 1 4 1 1 2 3 1 4 1 V 3 64 ..vu Resposta: V 3 64 u.v. Cálculo II Sistema de Coordenadas Polares e Integrais Lauro / Nunes 2-25 44. Achar o comprimento total da cardióide de equação 1 cos. Resolução: L 2 0 ds ds d22 )'( d22 sincos1 d22 sincoscos21 ds d1cos21 ds 2 dcos1 2sin 2 1 2 1 2cos 2 2sin 1 2cos 2 2 2 2 2sin 1 cos . ds 2 d 2 2sin2 ds 2 2 sin d L 2 0 ds 2 0 2 sin2 d 4 0 2 sin d 42 02 cos 8[0 1] 8 Resposta: L 8 u.c. 45. Considerando a mesma equação 1 cos, calcular a área da superfície formada pela rotação em torno do eixo polar. Resolução: S 2 0 yds 2 0 sin 2 dcos1 S 2 2 0 )cos1( 2 1 )cos1( ( sin d ) 2 2 0 2 3 )cos1( ( sin d ) u 1 cos du sin d duu 2 3 2 5 2 5 u c 5 2 2 5 u c S 2 2 0 5 )cos1(2 2 5 5 24 2 5 2)( S 5 24 6 5 24 3 5 32 Resposta: S 5 32 u.a. 2 3 4 6 3 2 4 3 6 5 6 7 4 5 3 4 3 5 4 7 6 11 2 3 0 2 Cálculo II Sistema de Coordenadas Polares e Integrais Lauro / Nunes 2-26 46. Encontre a área da região no plano limitada pela cardióide r 2(1 cos). Resolução: A 2 0 2 2 1 )]cos1(2[ d A 0 2)]cos1(2[ d A 0 2 )coscos21(4 d A 4 0 2 )coscos21( d A 4 1 0 2 0 cossin2 I d A 4 10 I . 1I 0 2cos d 1I 0 2 1 2 1 2cos d 1I 02 2sin 2 1 1I 2 4 1 0sin2sin 1I 2 4 1 (0 0) 2 Logo, A 4 1I A 4 2 A 4 2 3 A 6 Resposta: 6A u.a. 2 3 4 6 3 2 4 3 6 5 6 7 4 5 3 4 3 5 4 7 6 11 2 3 0 2 Cálculo II Sistema de Coordenadas Polares e Integrais Lauro / Nunes 2-27 47. Encontre a área dentro do laço menor do caracol r 2cos 1. Resolução: 0 6 4 3 2 3 2 4 3 6 5 r 3 2,73 2,41 2 1 0 0,41 0,73 1 A 2 3/2 2 2 1 )1cos2( d A 3/2 2 )1cos4cos4( d A 4 1 3/2 2cos I d 4 3/2 sin 3 2 A 4 10 I . A 4I1 4 230 3 A 4 1I 2 3 3 1I 3/2 2cos d 3/2 2 1 2 1 2cos d 3/22 2sin 32 1 1I 6 4 1 3 4sin2sin 6 4 1 2 3 0 6 8 3 Logo, A 4 8 3 6 2 3 3 A 3 2 2 3 2 3 3 A 3 2 2 343 A 2 33 Resposta: 2 33A u.a. 2 3 4 6 3 2 4 3 6 5 6 7 4 5 3 4 3 5 4 7 6 11 2 3 0 2 2 3 4 6 3 2 4 3 6 5 6 7 4 5 3 4 3 5 4 7 6 11 2 3 0 2 Cálculo II Sistema de Coordenadas Polares e Integrais Lauro / Nunes 2-28 48. Encontre a área da região que está dentro do círculo r 1 e fora da cardióide r 1 cos. Resolução: Interseção do círculo e da cardióide: 0cos cos11 2 2/ 0 2 2 1 2/ 0 2 2 1 )cos1(212 ddA 2/ 0 2 2/ 0 )coscos21( ddA 2/ 0 2 )coscos211( dA 2/ 0 2 )coscos2( dA 1cossin 22 22 cos1sin 22 sincos2cos )cos1(cos2cos 22 1cos22cos 2 2cos 2 1 2 1 cos2 2/ 0 2cos 2 1 2 1 cos2 dA 2/ 0 2cos 2 1 2 1 cos2 dA 2/ 0 2sin 4 1 2 sin2 A A 0 0 0 2 0sin 4 1 2 0 0sin2sin 4 1 4 )2/sin(2 A 4 2 Resposta: .. 4 2 auA 2 3 4 6 3 2 4 3 6 5 6 7 4 5 3 4 3 5 4 7 6 11 2 3 0 2 Cálculo II Integrais Eulerianas Lauro / Nunes 3-29 3 Integrais Eulerianas 49. Com base no que já foi dado, determine os valores de: ( ), ( ), ( ). Resolução: 2 5 1 2 5 2 3 2 3 2 1 22 3 4 3 2 7 1 2 7 2 5 2 5 2 3 2 1 32 35 8 15 2 13 1 2 13 2 11 2 11 2 9 2 7 2 5 2 3 2 1 62 357911 64 10395 Resposta: 4 3 , 8 15 e 64 10395 50. Determine os valores de: 2 3 , 2 5 e 2 13 . Resolução: 2 3 2 3 2 3 1 2 3 2 1 ))(( 2 1 2 3 3 4 2 5 2 5 2 5 1 2 5 2 3 ))(( 2 3 2 5 2 1 ))()(( 2 1 2 3 2 5 2 1 ))()(( 2 1 2 3 2 5 15 8 2 13 ))()()()()()(( 2 1 2 3 2 5 2 7 2 9 2 11 2 13 2 1 ))()()()()()(( 2 1 2 3 2 5 2 7 2 9 2 11 2 13 135135 128 Resposta: 3 4 , 15 8 e 135135 128 51. Determine os valores da função Beta para m e n dados a seguir: a) m 1 e n 1; b) m 2 e n 1; c) m 1 e n 2. Resolução: a) (1,1) 1 0 1111 )1( dxxx 1 0 dx 1 0 x 1 b) (2,1) 1 0 1112 )1( dxxx 1 0 xdx 1 0 2 2 x 2 1 c) (1,2) 1 0 1211 )1( dxxx 1 0 )1( dxx 1 0 2 2 x x 1 2 1 2 1 Resposta: Cálculo II Integrais Eulerianas Lauro / Nunes 3-30 Resolva as seguintes funções Beta: 52. (3,5) Resolução: (3,5) 15 0 )3( )!15( i i 4 0 )3( !4 i i 76543 1234 753 1 (3,5) 105 1 Resposta: 105 1 53. (3,5) Resolução: (3,5) )( )()( 53 53 !7 !4!2 !4567 !42 105 1 Resposta: 105 1 54. (6,3) Resolução: (6,3) 2 0 6 2 i i)( ! 876 12 168 1 Resposta: 168 1 55. (6,3) Resolução: (6,3) )( )()( 36 36 !8 !2!5 !5678 12!5 168 1 Resposta: 168 1 Utilizando função Gama e função Beta, resolva as seguintes integrais: 56. 0 2 dxe x Resolução: 0 1 dxex xn (n) u 2x du 2xdx dx 1 2 1 x du x 2 1 u dx 2 1 2 1 u du 0 2 dxe x 0 2 1 2 1 duue u 0 1 2 1 2 1 dueu u 2 1 ( 2 1 ) 2 1 Resposta: 2 1 Cálculo II Integrais Eulerianas Lauro / Nunes 3-31 57. 0 26 dxex x Resolução: 0 1 dxex xn (n) u 2x du 2dx dx 2 du x 2 u 0 26 dxex x 0 6 22 du e u u 72 1 0 17 dueu u 72 1 (7) 72 1 6! 8 45 Resposta: 8 45 58. 1 0 2 ln xdxx Resolução: 0 1 dxex xn (n) xln u x ue dx due u x 0 u ; x 1 u 0 1 0 2 ln xdxx 0 2ue (u)( due u ) 0 3 duue u v 3u dv 3du du 3 1 dv u 3 1 v 0 3 duue u 0 3 1 3 1 dvve v 09 1 dvve v 0 12 9 1 dvev v 9 1 (2) 9 1 Resposta: 9 1 59. 1 0 ln xdxx Resolução: 0 1 dxex xn ( n ) xln u x ue dx due u x 0 u ; x 1 u 0 1 0 ln xdxx 0 ue (u )( due u ) 0 2 duue u v 2u dv 2du du 2 1 dv u 2 1 v 0 2 duue u 0 2 1 2 1 dvve v 04 1 dvve v 0 12 4 1 dvev v 4 1 (2) 4 1 Resposta: 4 1 Cálculo II Integrais Eulerianas Lauro / Nunes 3-32 60. 1 0 34 )1( dxxx Resolução: 1 0 11 )1( dxxx nm (m, n) )( )()( nm nm 1 0 1415 )1( dxxx (5,4) )45( )4()5( !8 !3!4 !45678 23!4 280 1 Resposta: 280 1 61. Prove que 2 0 1212 )(cos)(sin dxxx nm 2 1 (m, n) Resolução: 12)(sin mx 2 1 )(sin2 m x 2 112 )(sin m x 12 )(sin mx xsin Da mesma forma: 12)(cos nx 12 )(cos nx xcos 2 0 1212 )(cos)(sin dxxx nm 2 0 1212 cossin)(cos)(sin xdxxxx nm u x2sin du 2 xsin xcos dx x2sin x2cos 1 x2cos 1 u x 0 u 0; x 2 u 1 1 0 11 2 )1( du uu nm 2 1 (m, n) Logo: 2 0 1212 )(cos)(sin dxxx nm 2 1 (m, n) Resposta: 62. 2 0 35 cossin xdxx Resolução: 2 0 1212 )(cos)(sin dxxx nm 2 1 (m, n) 2m 1 5 m 3; 2n 1 3 n 2. 2 0 35 cossin xdxx 2 1 (3,2) 2 1 )23( )2()3( 2 1 !4 !1!2 24 1 Resposta: 24 1 Cálculo II Integrais Eulerianas Lauro / Nunes 3-33 63. 2 0 6sin xdx Resolução: 2 0 1212 )(cos)(sin dxxx nm 2 1 ( m , n ) 2 0 6sin xdx 2 0 06 cossin xdxx 2m 1 6 m 2 7 2n 1 0 n 2 1 2 1 ( 2 7 , 2 1 ) 2 1 )4( )()( 2 1 2 7 2 1 !3 2 1 2 3 2 5 12 1 8 15 32 5 Resposta: 32 5 64. Prove que 0 1 dx x x np m p 1 p m 1 , n p m 1 Resolução: px u u 1 x p p u u 1 1 )1( dx du u uuuu p pppp pp 2 1111 )1( )1()1()1( 1111 dx pppp uuuu p 1111 11 )1()1( 1 du dx 11 )1( 1 pu p 11 1 111 1 1 )1( p p pp p u uu uuu du dx p 1 11 pu 11 )1( pu du px u u 1 px u px u px u u px px u(1 px ) u p p x x 1 x 0 u 0 x u 1 px u u 1 (1) 1 px 1 u u 1 1 px u uu 1 1 1 px u1 1 npx1 nu )1( x p p u u 1 1 )1( mx m p p u u 1 1 )1( mx p m p m u u )1( mx p m u p m u 1 Fazendo todas as substituições na integral original: 0 1 dx x x np m 1 0 1 1 n u uu p m p m p 1 11 pu 11 )1( pu du p 1 1 0 11 pp m u n pp m u 11 )1( du Logo, 0 1 dx x x np m p 1 1 0 11 p m u 11 )1( p mn u du p 1 p m 1 , n p m 1 Resposta: Cálculo II Integrais Eulerianas Lauro / Nunes 3-34 65. Prove que a nm dxxax 0 )( 1nma (m 1, n 1) Resolução: x au dx adu u a x x 0 u 0; x a u 1 x au a x a au (a x) n a n (1 u) n Obs: mu 1)1( mu . a nm dxxax 0 )( 1 0 )1( aduuaua nnmm 1 0 1 )1( duuua nmnm 1nma (m 1, n 1) Resposta: 66. Prove que b a nm dxxbax )()( 1 nmab )( ( m 1, n 1) Resolução: x a u x u a dx du x a u 0; x b u b a x u a b x b u a (b x) n (b u a) n b a nm dxxbax )()( ab nm duaubu 0 )( )( 0 ])[( ab nm duuabu Pelo exercício anterior 1)( nmab (m 1, n 1) Resposta: 67. Prove que 1 0 1 dxxx npm p 1 1, 1 n p m Resolução:px u x pu 1 dx duu p p 1 1 1 x 0 u 0; x 1 u 1 1 0 1 dxxx npm 1 0 11 1 1 duuuu pp m p n p 1 1 0 1)1(1 1 1 duuu np m p 1 1, 1 n p m Resposta: 68. Prove que 1 0 )(ln dxxx nm 1)1( )1( n n m (n 1) Resolução: xln u x ue dx due u x 0 u ; x 1 u 0 1 0 )(ln dxxx nm 0 )()( dueue unmu (1) n 0 )1( )( dueu umn (1) n 0 )1( dueu umn (m 1)u v u 1m v du = 1m dv u 0 v 0; u v 0 )1()1( dueu umnn 0 11 )1( m dv e m v v n n 1)1( )1( n n m )1( 0 n vn dvev 1)1( )1( n n m (n1) Resposta: Cálculo II Integrais Eulerianas Lauro / Nunes 3-35 69. Prove que 0 )( dxex naxm 1 1 mna n m 1 Resolução: nax)( u ax nu 1 x a u n 1 dx du na u n 11 x 0 u 0; x u 0 )( dxex naxm 0 11 du na u e a u nn m u m 1 1 mna 0 11 dueu un m 1 1 mna n m 1 Resposta: 70. 0 3 dx e x x Resolução: Usando o exercício anterior: m 2 1 , n 1 e a 2 3 0 3 dx e x x 0 2 3 2 1 dxex x 1 2 1 )2/3(1 1 2 1 2 1 1 2 3 2/3 1 2 3 9 62 ∙ 2 1 9 6 Resposta: 9 6 71. 0 4 dxex x Resolução: Usando o mesmo exercício: m 4 1 , n 2 1 e a 1. Obs: ( 2 5 ) 2 3 2 1 0 4 dxex x 0 2 1 4 1 dxex x 1 4 1 1)2/1( 1 2 1 4 1 1 2( 2 5 ) 2 3 Resposta: 2 3 72. 0 4 4 3 1 dx x x Resolução: Usando o resultado já provado: 0 1 dx x x np m p 1 p m 1 , n p m 1 m 2 3 , n 4 e p 2 1 0 4 4 3 1 dx x x 0 4 2 1 4 3 1 dx x x 2 1 1 2 1 4 3 1 ,4 2 1 4 3 1 2 2 7 , 2 1 2 )( )()( 2 1 2 7 2 1 2 7 )4( 2 2 1 2 3 2 5 !3 4 15 8 5 Resposta: 8 5 Cálculo II Integrais Eulerianas Lauro / Nunes 3-36 73. 2 0 44 cossin xdxx Resolução: Usando o resultado já provado: 2 0 1212 )(cos)(sin dxxx nm 2 1 (m, n) 2m 1 4 e 2n 1 4 m 2 5 e n 2 5 2 0 44 cossin xdxx 2 1 ( 2 5 , 2 5 ) 2 1 )5( )()( 2 5 2 5 2 1 1234 2 1 2 3 2 1 2 3 256 3 Resposta: 256 3 74. 3 1 )3)(1( xx dx Resolução: Usando o resultado já provado: b a nm dxxbax )()( 1)( nmab (m 1, n 1) 3 1 )3)(1( xx dx 3 1 2 1 2 1 )3()1( dxxx 1 2 1 2 1 )13( ( 2 1 1, 2 1 1) 02 ( 2 1 , 2 1 ) )1( )()( 2 1 2 1 Resposta: Cálculo II Tópicos de Topologia dos Espaços Reais n-Dimensionais Lauro / Nunes 4-37 4 Tópicos de Topologia dos Espaços Reais n- Dimensionais 75. 0 {0}, espaço de dimensão zero, formado pelo único ponto 0. 76. 1 (reta). 77. 2 (plano). 78. 3 (espaço tridimensional). 79. Em 3 , x ( 1x , 2x , 3x ) e | x | 2 3 2 2 2 1 xxx . Tome n 2 e considere d: 2 2. Dado x, y 2 , sendo x (9,4) e y (3,12), calcule: 1 2 3 40-1-2-3-4 x P= ( )x 1 2 3 40-1-2-3-4 -1 -2 1 2 x P = ( , )x yy 1 2 3 0 2 x P = ( , , )x y z z 1 1 2 y = ( )x ,x ,x x1 x2 x3 1 2 3 x x Cálculo II Tópicos de Topologia dos Espaços Reais n-Dimensionais Lauro / Nunes 4-38 80. d(x, y) Resolução: d(x, y) 222 2 11 )()( yxyx 22 )124()39( d(x, y) 6436 10 Resposta: 10 81. d M (x, y) Resolução: d M (x, y) Máx{| 1x 1y |, | 2x 2y |} Máx{|93|, |412|} Máx{|6|, |8|} 8 Resposta: 8 82. d S (x, y) Resolução: d S (x, y) | 1x 1y | | 2x 2y | |93| |412| |6| |8| 6 8 14 Resposta: 14 83. Verifique as desigualdades entre as 3 distâncias. Resolução: |x y| M |x y | |x y | S n |x y | M 8 10 14 16 d M (x, y) d(x, y) d S (x, y) n d M (x, y) Resposta: 84. Para n 2, as bolas no plano para as três distâncias podem ser representadas por: Resolução: Resposta: a1 2a a r B a1 2a a r B a1 2a a r M BS Cálculo II Tópicos de Topologia dos Espaços Reais n-Dimensionais Lauro / Nunes 4-39 85. Dado X {(x, y, z) 3 ; 2x 2y 2z 9}, determine os conjuntos intX, extX e fronX. Resolução: X é uma bola aberta com centro 0 e raio 3, B(0,3) com 0 (0,0,0). intX {(x, y, z) 3 ; 2x 2y 2z 9} extX {(x, y, z) 3 ; 2x 2y 2z 9} fronX {(x, y, z) 3 ; 2x 2y 2z 9} Resposta: 86. O mesmo para X {(x, y, z) 3 ; 2x 2y 2z 9}. Resolução: intX extX {(x, y, z) 3 ; 2x 2y 2z 9 ou 2x 2y 2z 9} fronX X Resposta: Tome um conjunto X n . 87. Se X é convexo, X é conexo? Justifique. Resolução: Sim. Tome [x, y] como segmento de reta cujos extremos pertençam a X, [x, y] pode ser também uma linha poligonal unindo x e y, totalmente contida em X. Resposta: 88. Se X é conexo, X é convexo? Justifique. Resolução: Não. Na figura a seguir, X é conexo e não é convexo. Resposta: 2 X yx linha poligonal segmento [ , ]x y X R Cálculo II Tópicos de Topologia dos Espaços Reais n-Dimensionais Lauro / Nunes 4-40 89. Dê um exemplo de X desconexo. Resolução: X {(x, y) 2 ; 2x 2y 1 ou 2x 2y 9} Observando a figura abaixo, que representa X, tome u(0, 0) e v(3, 1). linha poligonal unindo u e v contida em X. Resposta: Dado X 2 nos exercícios seguintes, analise X quanto aos itens a) e b) abaixo: a) Região aberta ou fechada; b) Conjunto aberto ou fechado. 90. X {(x, y) 2 ; x y 1} Resolução: a) Região aberta; b) Conjunto fechado (X X’). Resposta: u v(3, 1) 1 3 1 1 Cálculo II Tópicos de Topologia dos Espaços Reais n-Dimensionais Lauro / Nunes 4-41 91. X {(x, y) 2 ; x y 1} Resolução: a) Região aberta; b) Conjunto aberto (X intX). Resposta: 92. X {(x, y) 2 ; 2x 2y 1} Resolução: a) Região fechada; b) Conjunto aberto (X intX). Resposta: 93. X {(x, y) 2 ; 2x 2y 1} Resolução: a) Região fechada; b) Conjunto fechado (X X’). Resposta: 1 1 1 1 1 1 Cálculo II Funções em Espaços n-Dimensionais Lauro / Nunes 5-42 5 Funções em Espaços n-Dimensionais 94. O volume “V” de um cilindro circular é calculado pela expressão: hrV 2 , sendo que r é o raio da base e h a altura. 95. A equação de estado de um gás ideal é dada pela seguinte equação: V TRn P Onde: P= pressão; V= volume; n = massa gasosa em moles; R= constante molar do gás; e T = temperatura. 96. O circuito elétrico da figura que segue tem cinco resistores. A corrente deste circuito depende das resistências 5,,1, iRi , onde E é a tensão da fonte. 97. Determine o domínio e a imagem da função z f ( x ) 22 2 19 xx definida de 2 em . Resolução: Df { x 2 ; w f ( x )}, 9 21x 2 2x 0 2 1x 2 2x 9. Logo: Df { x 2 ; 21x 2 2x 9}; fIm { z ; z f ( x )} { z ; 0 z 3}. Resposta: r h Cálculo II Funções em Espaços n-Dimensionais Lauro / Nunes 5-43 98. Represente graficamente o domínio da função yxyxf ln, . Resolução: Condição: xyyx 0 Assim, Df { yx, 2 ; xy } Resposta: 99. Representegraficamente o domínio da função 22 , yx xy yxf . Resolução: Condição: 0022 yxyxyx 0 yx e 0 yx xy e xy ou 0 yx e 0 yx xy e xy Assim, Df { yx, 2 ; xy e xy ou xy e xy } Resposta: Cálculo II Funções em Espaços n-Dimensionais Lauro / Nunes 5-44 100. No exemplo que segue, podemos observar algumas curvas de nível da função 22100, yxyxfz . 101. No exemplo que segue, podemos observar uma curva de nível e uma curva de contorno da função 22100, yxyxfz . Cálculo II Funções em Espaços n-Dimensionais Lauro / Nunes 5-45 102. Represente graficamente ( ) √ e trace as curvas de níveis ( ) , ( ) √ e ( ) √ no domínio de no plano. Resolução: Curva de Nível (Cn) f ( x , y )0 229 yx 0 9 2x 2y 0 2x 2y 9 Cn0 {( x , y ) 2 ; 2x 2y 9}; Cn 5 {( x , y ) 2 ; 2x 2y 4}; Cn 8 {( x , y ) 2 ; 2x 2y 1}. w 229 yx 2w 9 2x 2y 2x 2y 2w 9 é uma esfera de centro na origem e raio 3. Como w 0, o gráfico é a superfície superior da esfera. Resposta: Calcule os limites: 103. )4,3(),( lim yx 22 yx Resolução: )4,3(),( lim yx 22 yx 22 43 )( 25 5. Resposta: 5 104. )1,0(),( lim yx 32 5 3 yxyyx xyx Resolução: )1,0(),( lim yx 32 5 3 yxyyx xyx 32 110510 3100 3. Resposta: 3 = x y w =w w Cc Cc Cn Cn Cn0 8 5 8 5 5 8 Cálculo II Funções em Espaços n-Dimensionais Lauro / Nunes 5-46 105. )0,0(),( lim yx yx xyx 2 Resolução: INDETERMINAÇÃO 0/0. )0,0(),( lim yx yx xyx 2 yx yx )0,0(),( lim yx yx yxyxx )( )0,0(),( lim yx yxx 0. Resposta: 0 106. )1,1(),( lim yx yx yx 22 Resolução: )1,1(),( lim yx yx yx 22 = )1,1(),( lim yx yx yxyx )()( )1,1(),( lim yx )( yx 11 2. Resposta: 2 107. Aplicando limites por caminhos, mostre que f ( x , y ) 24 22 yx yx não tem limite quando ( x , y ) se aproxima de (0,0). Resolução: Ao longo da curva y k 2x , x 0: 0 2 x kxy )0,0(),( lim yx 24 22 yx yx 0 lim x 224 222 )( )( kxx kxx 0 lim x 424 42 xkx kx 0 lim x 21 2 k k 21 2 k k . Este limite varia com o caminho de aproximação: k 0 limite é 0; k 1 limite é 1. Resposta: Logo, )0,0(),( lim yx f ( x , y ). 108. f ( x , y ) 24 24 yx yx (Caminhos y k 2x ) Resolução: 0 2 x kxy )0,0(),( lim yx 24 24 yx yx 0 lim x 224 224 )( )( kxx kxx 0 lim x 424 424 xkx xkx 0 lim x 2 2 1 1 k k 2 2 1 1 k k . Este limite varia com o caminho de aproximação: k 0 limite é 1; k 1 limite é 0. Resposta: Logo, )0,0(),( lim yx f ( x , y ). Cálculo II Funções em Espaços n-Dimensionais Lauro / Nunes 5-47 109. f ( x , y ) yx yx (Caminhos y k x , k 1) Resolução: 0x kxy )0,0(),( lim yx yx yx 0 lim x kxx kxx 0 lim x k k 1 1 k k 1 1 . Este limite varia com o caminho de aproximação: k 0 limite é 1; k 1 limite é 0. Resposta: Logo, )0,0(),( lim yx f ( x , y ). 110. f ( x , y ) y yx 22 (Caminhos y k 2x , k 0); Resolução: 0 2 x kxy )0,0(),( lim yx y yx 22 0 lim x 2 222 kx kxx )( 0 lim x 2 222 1 kx xkx )( 0 lim x k xk 221 k 1 . Este limite varia com o caminho de aproximação: k 1 limite é 1; k 2 limite é 2 1 . Resposta: Logo, )0,0(),( lim yx f ( x , y ). Discutir a continuidade das seguintes funções: 111. 252, 22 xyyxyxf Resolução: Como f é uma função polinomial de duas variáveis, f é continua em todos os pontos do 2 . Resposta: 112. 2233 1 , 22 yxxyxyx yx yxg Resolução: A função g pode ser reescrita como: 12131 1 2233 1 , 222 yyxyx yx yxxyxyx yx yxg = 211 1 231 1 2 xxy yx xxy yx Logo g é contínua 2, yx , desde que 2,1 xx e 1y Resposta: 113. 4ln, 22 yxyxh Resolução: Como 0422 yx , 2, yx , então a função h é contínua em todos os pontos do 2 . Resposta: Cálculo II Derivadas Lauro / Nunes 6-48 6 Derivadas 114. Se ( ) , então: yxfyxxfzx ,, = yxyxx = xyyxyxyx yxfyyxfzy ,, = yxyyx = yxyxxxyx yxfyyxxfz ,, = yxyyxx = yxyxxyyxyx = yxxyyx 115. Usando a definição, encontre a derivada parcial de 2216, yxyxfz em relação à x no ponto 2,1 . Resolução: x yxf , = 0 lim x x yxfyxxf ),(),( = 0 lim x x yxyxx ]16[]16[ 222 2 = 0 lim x x xxx 2 = 0 lim x xx 2 = x 2 Logo, x f 2,1 = 212 Resposta: 2 116. Usando a definição, encontre as derivadas parciais ( ) e ( ), sendo ( ) . Resolução: x f ( x , y ) 0 lim h h yxfyhxf ),(),( 0 lim h h yxyxyyhxhx )()()( 2222 2323 0 lim h h yxyxyyhxyhxhx 22222 2322363 0 lim h h yhhxh 236 2 0 lim h h hyhx )( 236 = 0 lim h (6 x 3 h 2 y ) 6 x 2 y . y f ( x , y ) 0 lim h h yxfhyxf ),(),( 0 lim h h yxyxhyhyxx )()()( 2222 2323 0 lim h h yxyxhyhyxhxyx 22222 232223 0 lim h h hyhxh 222 0 lim h h hhyx )( 22 = 0 lim h (2 x 2 y h ) 2 x 2 y . Resposta: x f ( x , y ) 6 x 2 y e y f ( x , y ) 2 x 2 y Cálculo II Derivadas Lauro / Nunes 6-49 Considerando a função f ( x , y ) 3x 2y 2 2x y 3 x calcule o que se pede: 117. xf ( x , y ) Resolução: xf ( x , y ) 3 2x 2y 4 x y 3 ( y constante). Resposta: 3 2x 2y 4 x y 3 118. yf ( x , y ) Resolução: yf ( x , y )2 3x y 2 2x ( x constante). Resposta: 2 3x y 2 2x 119. xf (2,1). Resolução: xf (2,1) 3(2) 2 (1) 2 4(2)(1) 3 23. Resposta: 23 120. yf (2,1) Resolução: yf (2,1) 2(2) 3 (1) 2(2) 2 24. Resposta: 24 121. Encontre y f se f ( x , y ) y )sin(xy . Resolução: Considera-se x como constante: y f y ( y )sin(xy ) y (u v ) u y v )sin(xy yu 1 yv x )cos(xy y (u v ) yu v u yv )sin(xy y x )cos(xy . Resposta: y (u v ) )sin(xy y x )cos(xy . Cálculo II Derivadas Lauro / Nunes 6-50 122. Encontre xf e yf se f ( x , y ) xy y cos 2 . Resolução: f ( x , y ) v u u 2 y f ’( x , y ) 2 '' v uvvu v y xcos xu 0 xv xsin yu 2 yv 1 xf 2)cos( )sin(2 xy xy0 2)cos( sin2 xy xy ; yf 2)cos( 12)cos(2 xy yxy 2)cos( 2cos22 xy yxy 2)cos( cos2 xy x . Resposta: 2)cos( sin2 xy xy f x e 2)cos( cos2 xy x f y 123. Encontre xf e yf se f ( x , y ) y xtan w . Resolução: xf w y x /1 tan u xtan xu x 2sec w yu /1 uw y 1 11 yu / xu y u yy /)( 1 xu y y x uy u 1 xf y yxy x 1 2 )(tan sec ; yf w y x /1 tan ; u y 1 sendo que a xtan ; yu 2 1 y w ua uw ua aln yu y x /1 tan )ln(tan x 2 1 y yf 2 )ln(tantan y xx y . Resposta: xf y yxy x 1 2 )(tan sec e yf 2 )ln(tantan y xx y Cálculo II Derivadas Lauro / Nunes 6-51 124. Usandoas regras de derivação, encontre as derivadas parciais das seguintes funções: (a) f ( x , y ) 221 yx Resolução: Tome u 1 2x 2y , ou seja, f ( x , y ) u ; x f ( x , y ) 2 1 1 2 1 u x u u2 1 (2 x ) 221 yx x ; y f ( x , y ) 2 1 1 2 1 u y u u2 1 (2 y ) 221 yx y . Resposta: x f ( x , y ) 221 yx x e y f ( x , y ) 221 yx y (b) f ( x , y ) 22 yx yx Resolução: Tome u x y e v 2x 2y , ou seja, f ( x , y ) v u ; x f ( x , y ) 2v x v uv x u 222 22 21 )( )()( yx xyxyx 222 22 2 )( yx xxyy ; y f ( x , y ) 2v y v uv y u 222 22 21 )( )()( yx yyxyx 222 22 2 )( yx yxyx . Resposta: x f ( x , y ) 222 22 2 )( yx xxyy e y f ( x , y ) 222 22 2 )( yx yxyx (c) f ( x , y ) yxe / Resolução: Tome u y x , ou seja, f ( x , y ) ue ; x f ( x , y ) ue x u yxe / y 1 y e yx / ; y f ( x , y ) ue y u yxe / 2y x 2y xe yx / . Resposta: x f ( x , y ) y e yx / e y f ( x , y ) 2y xe yx / (d) f ( x , y ) tan ( 2x 2y ) Resolução: Tome u 2x 2y , ou seja, f ( x , y ) tan u ; x f ( x , y ) 2sec u x u [ 2sec ( 2x 2y )](2 x ); y f ( x , y ) 2sec u y u [ 2sec ( 2x 2y )](2 y ). Resposta: x f ( x , y ) [ 2sec ( 2x 2y )](2 x ) e y f ( x , y ) [ 2sec ( 2x 2y )](2 y ). Cálculo II Derivadas Lauro / Nunes 6-52 (e) f ( x , y , z ) 2x 2sin ( y z ) Resolução: x f ( x , y , z ) 2 x 2sin ( y z ); y f ( x , y , z ) 2x y [ 2sin ( y z )] 2x 2sin ( y z )cos ( y z ) z 2x z sin (2 y z ); z f ( x , y , z ) 2x z [ 2sin ( y z )] 2x 2sin ( y z )cos ( y z ) y 2x y sin (2 y z ). Resposta: x f ( x , y , z )2 x 2sin ( y z ), y f ( x , y , z ) 2x z sin (2 y z ) e z f ( x , y , z ) 2x y sin (2 y z ). 125. Seja f ( x , y ) 3x 2y 2 2x y 3 x . Prove que xyf yxf . Resolução: xf 3 2x 2y 4 x y 3; xyf 6 2x y 4 x ; yf 2 3x y 2 2x ; yxf 6 2x y 4 x Resposta: xyf xy f 2 yx f 2 yxf 126. Prove que xyxf yxxf xxyf para f ( x , y ) 3x 2y 2 2x y 3 x . Resolução: xf 3 2x 2y 4 x y 3 xxf 6 x 2y 4 y xxyf 12 x y 4 xyf 6 2x y 4 x xyxf 12 x y 4 yf 2 3x y 2 2x yxf 6 2x y 4 x yxxf 12 x y 4 Resposta: xxyf = xyxf = yxxf 12 x y 4 127. Dada a função f ( x , y ) yxe 32 , calcule: (a) 3 3 x f ( x , y ) Resolução: 3 3 x f ( x , y ) x x x f x x yxe 322 x (4 yxe 32 ) 8 yxe 32 Resposta: 3 3 x f ( x , y ) 8 yxe 32 (b) 3 3 y f ( x , y ) Resolução: 3 3 y f ( x , y ) y y y f y y yxe 323 y (9 yxe 32 ) 27 yxe 32 Resposta: 3 3 y f ( x , y ) 27 yxe 32 Cálculo II Derivadas Lauro / Nunes 6-53 (c) Verifique a igualdade seguinte: xy f 2 3 2 3 yx f . Resolução: xy f 2 3 ( x , y ) y y x f y y yxe 322 y (6 yxe 32 ) 18 yxe 32 2 3 yx f ( x , y ) x y y f x y yxe 323 x (9 yxe 32 ) 18 yxe 32 Resposta: xy f 2 3 2 3 yx f =18 yxe 32 128. Encontre a declividade da reta tangente à curva de intersecção da superfície √ com o plano , no ponto ( √ ). Resolução: A declividade será o valor de x w no ponto (2,2, 32 ). x w ( x , y ) 22 2242 2 yx x e x w (2,2) 22 22224 2 3 1 . Resposta: x w (2,2) 3 1 Determine as equações das retas tangentes ao gráfico de ( ) com . 129. No ponto (2,3,4). Resolução: xf (2,3) 2; yf (2,3) 4. No plano y 3 24 3 2 w y x No plano x 2 44 2 3 w x y Resposta: 130. No ponto (1,1,9). Resolução: xf (1,1) 0; yf (1,1) 0. No plano y 1 9 1 1 w y x No plano x 1 9 1 1 w x y Resposta: Cálculo II Derivadas Lauro / Nunes 6-54 Exercícios de derivadas como taxas de variação: 131. Se a temperatura T depende do tempo t e da altitude h, de acordo com a regra: 10 1003 10 36 5 , 2 htt htT , então calcule: (a) Como varia a temperatura em relação ao tempo, no instante 120 t horas, num ponto de altitude 0h 100 metros? Resolução: t htT 00 , 0 lim tt 0 000 ,, tt htThtT t T 100,12 12 lim t 12 100,12100, t TtT = 12 lim t 12 2910 100 100 3 10 36 5 2 t tt = = 12 lim t 12 12 36 5 2 t t = 0 Resposta: 0 (b) Como varia a temperatura em relação à altitude, no instante 120 t horas, num ponto de altitude 0h 100 metros? Resolução: h htT 00 , 0 lim hh 0 000 ,, hh htThtT t T 100,12 100 lim h 100 100,12,12 h ThT = 100 lim h 100 2910 1003 1210 36 125 2 h h = 100 lim h 100 29 100 30 h h = 100 lim h 100 100 100 1 h h = 100 lim h 100 1 100 1 Resposta: 100 1 132. De acordo com a lei do gás ideal para um gás confinado, se P Newton por unidade quadrada é a pressão, V unidades cúbicas é o volume, e T graus a temperatura, temos a fórmula: P V k T [equação (1)] onde k é uma constante de proporcionalidade. Suponha que o volume de gás em um certo recipiente seja 100 3cm e a temperatura seja 90 0 e k 8. (a) Encontre a taxa de variação instantânea de P por unidade de variação em T , se V permanecer fixo em 100. Resolução: Substituindo V 100, T 90 e k 8, obtemos da equação (1), P 7,2. Tem-se ainda que: P V T8 T P V 8 . Resposta: Logo, quando T 90 e V 100, T P 0,08 é a resposta desejada. Cálculo II Derivadas Lauro / Nunes 6-55 (b) Use o resultado de (a) para aproximar a variação de pressão se a temperatura aumentar para 92 0 C. Resolução: Quando T aumenta 2 e V permanece constante, um aumento aproximado em P é 2(0,08)0,16. Concluímos então que, se a temperatura aumenta de 90 0 para 92 0 , o acréscimo na pressão é de aproximadamente 0,16 N / 2m . Resposta: 0,16 N / 2m (c) Encontre a taxa de variação instantânea de V por unidade de variação em P se T permanecer fixo em 90 0 . Resolução: V P T8 P V 2 8 P T ; Quando T 90 e P 7,2, tem-se P V 227 908 ),( 9 125 , que é a taxa de variação instantânea de V por unidade de variação em P quando T 90 e P 7,2, se T permanecer fixo em 90. Resposta: P V = 9 125 (d) Suponha que a temperatura permaneça constante. Use o resultado de (c) para encontrar a variação aproximada no volume para produzir a mesma variação na pressão, obtida em (b). Resolução: Se P é acrescido de 0,16 e T permanece fixo, então a variação em V será aproximadamente (0,16) 9 125 9 20 . Logo, o volume sofrerá um decréscimo de aproximadamente9 20 3m se a pressão aumentar de 7,2 N / 2m para 7,36 N / 2m . Resposta: 9 20 133. O volume V de um cone circular é dado por V 24 2y 224 ys , onde s é o comprimento da geratriz e y o diâmetro da base. (a) Encontre a taxa de variação instantânea do volume em relação à geratriz se o valor , enquanto a geratriz s varia. Calcule essa taxa de variação no instante em que . Resolução: s V s 24 2y 224 ys 24 2y s 224 ys 24 2y 22 22 42 4 ys ys s 24 2y 2242 8 ys s 22 2 46 ys sy ; Quando s 10 e y 16, tem-se: s V 22 2 161046 1016 )()( )( 9 320 3cm / cm . Resposta: s V 9 320 3cm / cm Cálculo II Derivadas Lauro / Nunes 6-56 (b) Suponha que o comprimento da geratriz permaneça constante com o valor de . Considerando que o valor do diâmetro varia, encontre a taxa de variação do volume em relação ao diâmetro quando . Resolução: y V y 24 2y 224 ys 24 ( y 2y ) 224 ys 24 2y ( y 224 ys ) 24 2 y 224 ys 24 2y 22 22 42 4 ys ys y 12 y 224 ys 24 2y 2242 2 ys y 12 4 22 ysy 22 3 424 ys y . Quando s 10 e y 16: y V 12 1610416 22 )()( 22 3 1610424 16 )()( )( 9 16 3cm / cm . Resposta: y V 9 16 3cm / cm 134. Pela definição acima, provar que a função f ( x , y ) 2x 2y é diferenciável em 2 . Resolução: Derivadas parciais: x f ( 0x , 0y ) 2 0x ; y f ( 0x , 0y ) 2 0y . Equação (8): L 0 0 lim yy xx ),(),( ),(),( 00 yxyx yxhyxf 0 0 lim yy xx 2 0 2 0 0000 2 0 2 0 22 22 )()( )]()([ yyxx yyyxxxyxyx L 0 0 lim yy xx 2 0 2 0 2 00 22 00 2 22 )()( yyxx yyyyxxxx 0 0 lim yy xx 2 0 2 0 2 0 2 0 )()( )()( yyxx yyxx , racionalizando: L 0 0 lim yy xx 2 0 2 0 )()( yyxx 0. Logo, f é diferenciável em 2 . Resposta: Logo, f é diferenciável em 2 . Nos exercícios a seguir, verifique se as funções dadas são diferenciáveis na origem, isto é, ( 0x , 0y ) (0,0). Cálculo II Derivadas Lauro / Nunes 6-57 135. f ( x , y ) 22 yx . Resolução: Derivadas parciais em (0,0): xf ( 0x , 0y ), pois 0 lim h h yxfyhxf ),(),( 0000 0 lim h h fhf ),(),( 000 0 lim h h h2 0 lim h h h || 0 lim h h h || 0 lim h h h 1; 0 lim h h h || 0 lim h h h 1. Portanto x f (0,0) . Logo, f não é diferenciável na origem. Resposta: Logo, f não é diferenciável na origem. 136. f ( x , y ) ),(),(, ),(),(, 00se 0 00se 2 22 3 yx yx yx y . Resolução: Derivadas parciais em (0,0): x f (0,0) 0 lim h h fhf ),(),( 000 0 lim h h 00 0 lim h 0 0. y f (0,0) 0 lim h h fhf ),(),( 000 0 lim h h h h 2 32 0 lim h 3 32 h h 0 lim h 2 2. Equação (8), desenvolvimento: ),(),( ),(),( 00 yxyx yxhyxf 22 00000000 yx yfxffyxf yx )])(,())(,(),([),( 22 22 3 2 2 yx y yx y 212222 323 222 / ))(( yxyx yyxy 2322 22 / )( yx yx M. Verificação da existência do limite: )0,0(),( lim yx M )0,0(),( lim yx 2322 22 / )( yx yx ? Tome y k x , x 0. 0 lim x 23222 22 / )( xkx kxx 0 lim x 2323 3 1 2 / )( kx kx 0 lim x 2321 2 / )( k k 2321 2 / )( k k )0,0(),( lim yx M. Logo, f não é diferenciável na origem. Resposta: Logo, f não é diferenciável na origem. Cálculo II Derivadas Lauro / Nunes 6-58 Determine, se existir, o plano tangente ao gráfico das funções dadas nos pontos indicados. 137. w 2x + 2y nos pontos: a) P1(0,0,0); b) P2(1,1,2). Resolução: w é diferenciável em 2 ; xf 2 x , xf (0,0) 0, xf (1,1) 2 e f (0,0) 0. yf 2 y , yf (0,0) 0, yf (1,1) 2 e f (1,1) 2; a) w 0 0( x 0) 0( y 0) w 0; b) w 2 2( x 1) 2( y 1) 2 x 2 y w 2. Resposta: 138. w 222 yx nos pontos: a) P1(0,0,0); b) P2(1,1, 3 ). Resolução: w é diferenciável em 2 {(0,0)}; a) plano tangente em P1(0,0,0); b) xf 222 2 yx x , xf (1,1) 3 2 , yf 222 yx y , yf (1,1) 3 1 ; w 3 3 2 ( x 1) 3 1 ( y 1) 2 x y 3 w 0. Resposta: 139. Seja w f ( x , y ) 2x 2y . Graficamente, o grad f ( 0x , 0y ) é dado por: Resolução: 00 , yxf x yxf 00 , , y yxf 00 , = 00 2,2 yx Resposta: x y w x y0 0 P0 grad f ( )x ,y 0 0 x y P0 ck y0 ( )x , yf: = k x0 Cálculo II Derivadas Lauro / Nunes 6-59 140. Seja w f ( x , y ) 2x y . Graficamente, o grad f (2,4) é dado por: Resolução: f (2,4) 2 2 4 0 0c : f ( x , y ) 0 2x y 0 y 2x . Resposta: 141. Calcule a diferencial de f ( x , y ) x xy no ponto (1,1). Resolução: T( x 1, y 1) x f (1,1)( x 1) + y f (1,1)( y 1) x f 1 xy y 2 xf (1,1) 2 3 ; y f xy x 2 yf (1,1) 2 1 . Logo: T( x 1, y 1) 2 3 ( x 1) + 2 1 ( y 1). Pela notação clássica: df (1,1) 2 3 dx + 2 1 dy . Resposta: df (1,1) 2 3 dx + 2 1 dy . 142. Dada a função w 2x + 2y xy . a) Determine uma aproximação para o acréscimo da variável dependente quando ( x , y ) passa de (1,1) para (1,001;1,02). Resolução: w dw w x f (1,1)(1,0011) + y f (1,1)(1,021); x f (1,1) 1, y f (1,1) 1; w 10,001 + 10,02 w 0,021. Resposta: w 0,021. b) Calcular w quando as variáveis independentes sofrem a variação em a). Resolução: w f (1,001;1,02) f (1,1) 0,021381. Resposta: w0,021381 c) Calcular o erro obtido da aproximação de dw como w . Resolução: Erro w dw 0,000381. Resposta: 0,000381 grad f (2 4) , x y P0 c0 4 ( )x , yf: = 0 2 Cálculo II Derivadas Lauro / Nunes 6-60 143. Calcule a diferencial total da função: w 2x 2y xyze . Resolução: dw (2 x yz xyze ) dx(2 y xz xyze ) dy xy xyze dz . Resposta: dw (2 x yz xyze ) dx(2 y xz xyze ) dy xy xyze dz 144. Calcule a diferencial total da função: w 1x 2x 2x 3x 3x 4x . Resolução: dw 2x 1dx ( 1x 3x ) 2dx ( 4x 2x ) 3dx 3x 4dx . Resposta: dw 2x 1dx ( 1x 3x ) 2dx ( 4x 2x ) 3dx 3x 4dx . 145. Nos itens a) e b), calcule o valor aproximado para a variação da área na figura quando os lados são modificados de: a) 4cm e 2cm para 4,01cm e 2,001cm, num retângulo; Resolução: x 4cm e x 4,01 4 0,01cm A x y y 2cm e y 2,001 2 0,001cm dA x A dx y A dy y dx x dy dA 20,0140,001 0,024cm2. Para esta variação nos lados, a área do retângulo sofre um acréscimo de aproximadamente 0,024cm 2 . Resposta: 0,024cm2. b) 2cm e 1cm para 2,01cm e 0,5cm, num triângulo retângulo. Resolução: A 2 xy dA x A dx y A dy 2 y dx 2 x dy dA 0,005 0,5 0,495cm2. O sinal negativo indica que a área sofre um decréscimo de 0,495cm 2 aproximadamente. Resposta: 0,495cm2. 146. Calcular o valor aproximado de (1,001)3,02. Resolução: Tome: w f ( x , y ) yx , encontrar f ( x x , y y )( x x ) yy , tal que x 1, y 3, x 0,001 e y 0,02. Sendo df f com f f ( x x , y y ) f ( x , y ) df ( x x ) yy yx ( x x ) yy yx df (1) Mas df y 1yx dx yx xln dy 3120,001 1ln 0,02 0,003 0 0,003; Substituindo em (1): (1,001) 3,02 1 0,003 (1,001) 3,02 1,003. Resposta: (1,001)3,02 1,003. 2 4 1 2 Cálculo II Derivadas Lauro / Nunes 6-61 147. O diâmetro e a altura de um cilindro circular reto medem, com um erro provável de 0,2 pol em cada medida, respectivamente, 12 pol e 8 pol . Qual é, aproximadamente, o máximo erro possível no cálculo do volume? Resolução: V 2 2 D H 4 HD2 Aproximação de V por dV : dV D V dD H V dH ; Fazendo-se a substituição de D V 2 DH e H V 4 2D em dV , tem-se: dV 2 DH dD 4 2D dH 2 (12)(8)(0,2) 4 (12) 2 (0,2) 16,8 3pol . Resposta: dV 16,8 3pol 148. Dada a superfície z yx yx , se no ponto x 4, y 2, x e y são acrescidos de 10 1 , qual é a variação aproximada de z ? Resolução: dz x z dx y z dy x z 2 11 )( )()( yx yxyx 2 2 )( yx y ; y z 2 11 )( )()( yx yxyx 2 2 )( yx x ; dz 2 2 )( yx y dx 2 2 )( yx x dy 2 2 )( yx ( y dx x dy ) dz 224 2 )( (2 10 1 4 10 1 ) dz 90 1 0,01111. Obs: z f ( x + x , y + y ) f ( x , y ) z f (4+ 10 1 ,2+ 10 1 ) f (4,2) f ( 10 41 , 10 21 ) f (4,2) 31 10 3 1 93 1 0,01075. Resposta: z 0,01075 H D Cálculo II Derivadas Lauro / Nunes 6-62 149. As dimensões de uma caixa são 10 cm , 12 cm e 15 cm . Essas medidas têm um possível erro de 0,02 cm . Encontre, aproximadamente, o máximo erro no cálculo do volume. Resolução: V x y z O valor exato do erro é V , entretanto, usaremos dV como uma aproximação de V . dV x V dx y V dy z V dz , sendo assim: dV y z dx x z dy x y dz dV 12150,0210150,0210120,02 9 3cm . Logo: V 9 3cm . Resposta: Logo: V 9 3cm 150. Use a regra da Cadeia para encontrar a derivada de w yx em relação a t ao longo do caminho x tcos , y tsin . Qual é o valor da derivada em t 2 ? Resolução: dt dw x w dt dx y w dt dy w x y x w y e y w x ; x tcos dt dx tsin ; y tsin dt dy tcos ; dt dw y ( tsin ) x ( tcos ) t2sin t2cos )2cos( t ; 2 tdt dw 2 2cos cos 1. Neste caso, pode-se verificar o resultado: w x y tcos tsin 2 1 )2sin( t . dt dw 2 1 2 )2cos( t dt dw )2cos( t . Resposta: 1 x y z Cálculo II Derivadas Lauro / Nunes 6-63 151. Encontre dt dw sendo que w x y z , x tcos , y tsin e z t . Determine o valor da derivada em t 0. Resolução: dt dw x w dt dx y w dt dy z w dt dz w x y z x w y , y w x e z w 1; x tcos dt dx tsin ; y tsin dt dy tcos ; z t dt dz 1; dt dw y ( tsin ) x ( tcos ) 11 t2sin t2cos 1 1 )2cos( t ; 0 tdt dw 1 )0cos( 11 2. Resposta: 2 152. Expresse r w e s w em termos de r e s se: w x 2 y 2z , x s r , y 2r sln , . Resolução: r w x w r x y w r y z w r z r w (1) s 1 (2)(2 r )(2 z )(2) r w s 1 12 r ; s w x w s x y w s y z w s z s w (1) 2s r (2) s 1 (2 z )(0) s w s 2 2s r . Resposta: r w s 1 12 r e s w s 2 2s r 153. Dada a função w 2x 2y 2z e sabendo que x = r cos sin , y r sin sin e , calcular as derivadas da função w em relação a r , e . Resolução: r w w w x w y w z w zz r z yy r y xx r x Cálculo II Derivadas Lauro / Nunes 6-64 [2 x 2 y 2 z ] sin0cos cossinsincossinsin coscossinsinsincos r rr rr r w 2 x cos sin 2 y sin sin 2 z cos 2 r 2cos 2sin 2 r 2sin 2sin 2 r 2cos 2 r [( 1 22 sincos ) 2sin 2cos ] 2 r [ 1 22 cossin ] r w 2 r ; w 2 x r sin sin 2 y r cos sin 2 2r cos sin 2sin 2 2r sin cos 2sin w 0; w 2 x r cos cos 2 y r sin cos 2 z r sin 2 2r 2cos cos sin 2 2r 2sin cos sin 2 2r cos sin 2 2r [( 2cos 2sin 1) cos sin ] 2 2r [(11) cos sin ] 2 2r [(0) cos sin ] w 0. Resposta: r w 2 r , w 0 e w 0 154. A altura de um cone circular é de h 100 pol e decresce a razão de 10 pol / seg . O raio da base é de r 50 pol e cresce a razão de 5 pol / seg . Com que velocidade está variando o volume, quando h 100 pol e r 50 pol ? Resolução: V f ( h , r ) 3 1 2r h dt dh 10 pol / seg e dt dr 5 pol / seg ; dt dV h V dt dh r V dt dr dt dV 3 1 2r dt dh 3 2 r h dt dr h r Cálculo II Derivadas Lauro / Nunes 6-65 dt dV 3 1 (50) 2 (10) 3 2 (50)(100)(5) 3 1 (25000) 3 2 (25000) 3 25000 . dt dV 3 25000 26180 3pol / seg . Resposta: Portanto, o volume cresce à taxa de 26180 3pol / seg no dado instante 155. Use a lei do gás ideal com k 10 para encontrar a taxa de variação da temperatura no instante em que o volume do gás é 120 3cm e o gás está sob uma pressão de 8 din / 2cm , se o volume cresce à taxa de 2 3cm / seg e a pressão decresce à taxa de 0,1 din / 2cm ( din , unidade de força) por segundo. Resolução: T 10 PV dt dT P T dt dP V T dt dV P 8, V 120, dt dP 0,1 e dt dV 2; dt dT 10 V dt dP 10 P dt dV dt dT 10 120 (0,1) 10 8 (2) dt dT 0,4 graus / seg . Resposta: A temperatura cresce à taxa de 0,4 graus por segundo no dado instante. 156. Encontre x y para 2y 2x xysin 0. Resolução: Tome F ( x , y ) 2y 2x xysin . Então x y y x F F xyxy xyyx cos2 cos2 xyxy xyyx cos2 cos2 . Resposta: x y xyxy xyyx cos2 cos2 157. Dada a equação 2x 2y 1, encontre x y usando derivação por duas formas: a) Derivando implicitamente; b) Derivando através de função de uma variável. a) F ( x , y ) 2x 2y 1 Resolução: x y y x F F y x 2 2 x y ; Resposta: x y b) 21 x Resolução: x y 2 1 (1 2x ) 1/2 (2 x ) 21 x x . Resposta: x y y x y x y y x y x Cálculo II Derivadas Lauro / Nunes 6-66 158. Sabendo que z f ( x , y ) é definida por 4x y 3y 3z z 5, determine x z e y z . Resolução: F ( x , y , z ) 4x y 3y 3z z 5 x F 4 3x y ; y F 4x 3 2y ; z F 3 2z + 1. x z 13 4 2 3 z yx e y z 13 3 2 24 z yx )( . Resposta: x z 13 4 2 3 z yx e y z 13 3 2 24 z yx )( 159. Classificar os pontos críticos da função f ( x , y ) 3 x 2y 3x 3 x . Pontos críticos: Resolução: x f 0 3 2y 3 2x 3 0 (1) y f 0 6 x y 0 (2) De (2) concluímos que x 0 ou y 0; Fazendo x 0 em (1) (0,1) e (0,1); Fazendo y 0 em (1) (1,0) e (1,0). Logo, os pontos críticos de f são: A (0,1), B (0,1), C (1,0) e D (1,0). Hessiano H ( x , y ) yyyx