Cálculo Diferencial Multivariável

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2009−10 Ficha Prática 5 - Diferenciabilidade AM2D
1. Calcule a derivada direccional no ponto P das seguintes funções, na direcção definida
pelo vector u (comece por normalizá-lo).
a. f(x, y) = 3x2 + 5y2, u = (1, 1), P = (−2, 1);
b. f(x, y) = 3x+ 2y3, u = (1,
√
3), P = (−2, 1);
c. f(x, y, z) =
1√
x2 + y2 + z2
, u = (1, 2, 2), P = (−2, 2, 1).
2. Seja f : R2 → R a função definida por
f(x, y) =

x3 − 1
2
y3
x2 + y2
, (x, y) 6= (0, 0)
0 , (x, y) = (0, 0)
.
Determine, caso existam, as derivadas parciais de f de primeira ordem na origem.
f é diferenciável no ponto (0, 0) ?
3. Utilize aproximações à primeira ordem para avaliar sem calculadora:
a. f(1.03, 1.04), f(x, y) = 3x2 + 2xy +
x2
y2
;
b. f(1.002, 1.004), f(x, y) = log(x)y2 +
x2
1 + y2
;
c. f(0.02, 1.05, 0.01), f(x, y, z) = xy2 + xyz + y sin(z).
Confira posteriormente com uma calculadora a precisão das aproximações obtidas.
4. Seja f : R2 → R a função definida por
f(x, y) =
{ xy
x2 + y2
, (x, y) 6= (0, 0)
0 , (x, y) = (0, 0)
.
Mostre que
∂f
∂x
(0, 0) e
∂f
∂y
(0, 0) existem, mas que f não é diferenciável em (0, 0).
5. Considere a função f definida por:
f(x, y) =
 1 +
2(y − 1)3 + x2(y − 1 + x4)
x2 + 2(y − 1)2
, (x, y) 6= (0, 1)
1 , (x, y) = (0, 1)
.
a. Estude a continuidade de f no ponto (0, 1).
b. Estude a diferenciabilidade de f no ponto (0, 1).
c. Calcule f ′
( 1√
2
, 1√
2
)
(0, 1).
d. Calcule uma aproximação de f(0.001, 1.005) à primeira ordem.
6. Sejam a, b ∈ R. Seja f : R2 → R a função definida por
f(x, y) =

(x− a)(y − b)2
(x− a)2 + (y − b)4
, (x, y) 6= (a, b)
0 , (x, y) = (a, b)
.
Mostre que f ′u(a, b) existe qualquer que seja o vector unitário u, mas que f não é difer-
enciável em (a, b). Será f cont́ınua em (a, b)? Justifique.
7. Considere a função
f(x, y) =

xy(x2 − y2)
x2 + y2
, (x, y) 6= (0, 0)
0 , (x, y) = (0, 0)
.
a. Escreva o gradiente de f em todos os pontos do plano. Será f diferenciável em R2?
b. Calcule
∂2f
∂x∂y
(0, 0) e
∂2f
∂y∂x
(0, 0).
8. Duas resistências eléctricas r1 e r2 montadas em paralelo geram uma resistência equiv-
alente de
R(r1, r2) =
r1r2
r1 + r2
.
Sabendo que r1 = 100Ω e r2 = 400Ω, e que estes valores foram calculados respectiva-
mente com um erro máximo de 2% e 3%, use um desenvolvimento à primeira ordem de
R(r1, r2) para obter uma boa estimativa do erro máximo que se comete ao afirmar que
R(100, 400) = 80Ω.
9. O peŕıodo de um pêndulo em regime de pequenas oscilações é dado por
T (L, g) = 2π
√
L
g
,
onde L é o comprimento do pêndulo e g é a aceleração da gravidade.
Sabendo que os valores de g = 9, 81ms−2 e L = 10m foram obtidos com uma pre-
cisão, respectivamente, de 1% e 3%, estime usando um desenvolvimento à primeira ordem
a incerteza sobre T .
10. Seja n um inteiro positivo. Seja f(x, y) : Ω ⊂ R2 → R uma função de classe C1(Ω), ho-
mogénea de grau n, isto é, para todo (x, y) ∈ R e para todo λ ∈ R, f(λx, λy) = λnf(x, y).
a. Mostre que f verifica
x
∂f
∂x
+ y
∂f
∂y
= nf.
b. Considere f(x, y) = x4y2 arctan
(y
x
)
. Indique o maior aberto onde as derivadas parci-
ais de primeira ordem de f estão definidas e verifique que nesse aberto temos
x
∂f
∂x
+ y
∂f
∂y
= 6f.
11. Sejam z = f(x, y), x = φ(t) e y = ψ(t), com f, φ, ψ funções diferenciáveis. Mostre
que
dz
dt
=
∂z
∂x
dx
dt
+
∂z
∂y
dy
dt
.
12. Sejam f, φ : R2 → R duas funções de classe C2(R). Seja F : R2 → R a função
definida por
F (x, y) = f(x+ φ(y)).
Verifique que
∂2F
∂x2
∂F
∂y
− ∂
2F
∂x∂y
∂F
∂x
= 0.
13. Mostre que a função z = f(x2y), com f diferenciável, verifica a igualdade
x
∂z
∂x
= 2y
∂z
∂y
.
14. Sejam F (x, y) e G(x, y) duas funções diferenciáveis em todo o seu domı́nio. Exprima
em função de F e G e das suas derivadas parciais, as derivadas parciais das seguintes
funções:
a. f(x, y) = F
(
y cos(x),
∫ xy
0
e−t
2
dt
)
;
b. g(x, y) = F
(
G(x, y), arctan
(
x
y2
))
.
15. Seja f(x, y) uma função diferenciável em todo o seu domı́nio.
Seja x = u cos(α)− v sin(α) e y = u sin(α) + v cos(α), com α constante real. Mostre que(
∂f
∂x
)2
+
(
∂f
∂y
)2
=
(
∂f
∂u
)2
+
(
∂f
∂v
)2
.
16. Seja g a função definida em R3 por
g(x, y, z) =
(
x2 + ez, arctan
(
x+ y + x
3
))
.
a. Escreva a matriz jacobiana de f na origem. Calcule uma aproximação à primeira
ordem de g(0.01, 0.2, 0.03).
b. Seja f : R2 → R2 uma função diferenciável cuja matriz jacobiana é dada em todo o
ponto por
Jac(x,y)(f) =
[
y + 2 x2
cos(y) ex
]
.
Calcule a matriz jacobiana de f ◦ g no ponto (1, 1, 1).
17. Mostre que as aplicações
f :
R3 × R3 → R
(~x, ~y) → ~x.~y e g :
R3 × R3 → R3
(~x, ~y) → ~x× ~y
são diferenciáveis e explicite as suas matrizes jacobianas.