Função - PDF para acompanhar as aulas

Prévia do material em texto

pcdamatematica 
 
 
Ex01: Em uma pista circular de testes, um automóvel desloca-se 
com velocidade constante. Com o auxílio de um cronômetro, 
marcam-se diferentes intervalos de tempo e, em cada intervalo de 
tempo, verificou-se a distância percorrida conforme tabela 
abaixo. 
Tempo (h) 1 1,4 1,6 2 
Distância (km) 50 70 80 100 
a) Qual a lei matemática que associa a distância percorrida com o 
tempo? 
b) Qual a distância percorrida quando o tempo é igual a 2,8h? 
c) Qual é o tempo gasto quando a distância percorrida é 300km? 
 
 
 
 
 
 
 
Ex02: Cada figura da sequência é formada por triângulos 
construídos com palitos. 
 
a) Escreva uma fórmula que permita calcular a quantidade de 
palitos em função da quantidade de triângulos. 
b) Quantos palitos são necessários para formar a figura dessa 
sequência composta de 6 triângulos? E a figura formada por 12 
triângulos? 
c) A figura formada com 41 palitos é composta de quantos 
triângulos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex03: Uma empresa de telefonia fixa oferece a seus clientes dois 
planos de serviços: 
• Plano A: mensalidade de R$9,55 mais R$0,26 por minuto 
falado; 
• Plano B: mensalidade de R$26,30 mais R$0,10 por minuto 
falado. 
a) Para cada um dos planos, escreva uma expressão por meio da 
qual seja possível calcular o valor pago em função da quantidade 
x de minutos falados. 
b) Se um cliente utilizar, no mês, o telefone durante 356 minutos 
no plano A, quanto vai pagar? E se ele usar o plano B? 
c) Em relação ao valor da fatura, a partir de quantos minutos de 
ligação o plano B é mais vantajoso que o plano A? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definição: Considere dois conjuntos não vazios 𝐴 e 𝐵. Uma 
função de 𝐴 em 𝐵, denotada por 𝑓: 𝐴 → 𝐵, é uma relação em que 
cada elemento 𝑥 do conjunto 𝐴 está associado a um único 
elemento 𝑦 do conjunto B. 
Ex01: Verifique se as relações abaixo são funções 𝑓: 𝐴 → 𝐵. 
a) 
 
b) 
 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
f) 
 
INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE FUNÇÃO 
Aula 01: Noção Intuitiva 
Aula 02: Definição de função 
 
 pcdamatematica 
 
Domínio, Contradomínio, Imagem e Lei de associação 
 
Ex01: Seja 𝐴 = {−1, 0, 1, 2} e 𝐵 = {−1, 0, 1, 2, 3, 4}, verifique, 
em cada caso, se a lei dada definine uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵. 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 
 
 
 
 
 
b) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 
 
 
 
 
 
 
c) 𝑓(𝑥) = |𝑥| − 1 
 
 
 
 
 
 
 
Ex02: Seja 𝑓:ℝ → ℝ definida por 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)2. 
a) calcule 𝑓(0), 𝑓(1), 𝑓 (
3
4
) 𝑒 𝑓(√2). 
 
 
 
 
 
 
b) Determine os valores de x cuja imagem é 4. 
 
 
 
 
Ex03: Considere a função f, definida por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, com a 
e b reais. Determine 𝑓(10) sabendo que 𝑓(2) = 3 e 𝑓(5) = 9. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex04: Determine a imagem da função 𝑓: 𝐴 → ℝ dada por 𝑓(𝑥) =
𝑥 +
1
𝑥
 e 𝐴 = {
1
3
,
1
2
, 2, 3}. 
 
 
 
 
 
 
 
Ex05: Uma função definida por 𝑓(𝑥) =
𝑥−1
2𝑥+1
 tem imagem 𝐼𝑚 =
{−3,−2, 1, 3}. Qual o domínio de 𝑓? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex06: Estima-se que a população de certo município daqui a x 
anos, a contar de hoje, seja dada por 𝑝(𝑥) = 10 −
2
𝑥+1
 milhares 
de pessoas. 
a) Qual é a população atual desse município? 
b) Qual será a população daqui a 3 anos? 
c) De quanto aumentará a população entre o 3º e 4º ano, a contar 
de hoje? 
d) Daqui a quantos anos a população será de 9.900 habitantes? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐷(𝑓) = 𝐴 = {−1, 0, 1, 2} 
𝐶𝐷(𝑓) = 𝐵 = {−1, 1, 5, 7, 8} 
𝐼𝑚(𝑓) = {−1, 1, 7} 
𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 1 
 
INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE FUNÇÃO 
 
 pcdamatematica 
 
Ex07: (EsPCEx-01) Se o domínio da função 𝑓(𝑥) = (𝑥2 − 9) ∙
(𝑥2 − 4) ∙ 𝑥2 e 𝐷(𝑓) = {−3,−2, 0, 2, 3} pode-se dizer que seu 
conjunto imagem possui 
a) exatamente 5 elementos 
b) exatamente 4 elementos 
c) um único elemento 
d) exatamente 2 elementos 
e) exatamente 3 elementos 
 
 
 
Ex08: (EsPCEx-02) Seja f uma função real, de variável real, 
definida por 𝑓(𝑥) = {
1, se 𝑥 for racional
0, se 𝑥 for irracional
 . Assim, pode-se 
afirmar que 
a) 𝑓(√2) = 𝑓(2) 
b) 𝑓(√3) − 𝑓(√2) = 𝑓(1) 
c) 𝑓(3,14) = 0 
d) 𝑓(𝜋) é irracional 
e) √𝑓(𝑥) é racional para todo x real 
 
 
 
 
Ex09: (EsPCEx-97) Se a função f, dada por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, 
satisfaz a condição 𝑓(5𝑥 + 2) = 5𝑓(𝑥) + 2, pode-se afirmar 
que: 
a) 𝑎 = 2𝑏 
b) 𝑎 = 𝑏 + 2 
c) 𝑎 = 2(𝑏 + 2) 
d) 𝑎 = 2(𝑏 + 1) 
e) 𝑎 = 2𝑏 + 1 
 
 
 
 
 
 
 
Ex10: (EsPCEx-00) Se um retângulo tem base x e perímetro 
100, então a área A do retângulo é dada em função de sua base 
por 
a) 𝐴(𝑥) = 𝑥2 − 50𝑥; 0 < 𝑥 < 50 
b) 𝐴(𝑥) = −𝑥2 + 50𝑥; 0 < 𝑥 < 50 
c) 𝐴(𝑥) = −𝑥2 + 100𝑥; 0 < 𝑥 < 100 
d) 𝐴(𝑥) = 2𝑥(𝑥 − 50); 0 < 𝑥 < 50 
e) 𝐴(𝑥) = 𝑥(𝑥 − 100); 0 < 𝑥 < 100 
 
 
 
 
 
Ex01: Obtenha o domínio das funções: 
a) 𝑓(𝑥) = 9𝑥 + 3 b) 𝑓(𝑥) =
𝑥3+8𝑥
𝑥−3
 
 
 
 
 
 
 
c) 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 8 d) 𝑓(𝑥) =
3
√2𝑥+1
4 
 
 
 
 
 
 
 
e) 𝑓(𝑥) = √2𝑥 + 3
3
 f) 𝑓(𝑥) =
𝑥
√𝑥−2
5 
 
 
 
 
 
 
 
g) 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
+
1
𝑥2−4
+ √𝑥 − 1 
 
 
 
 
 
 
 
Ex02: (EsPCEx-97) O domínio da função real 𝑦 =
1
√𝑥+3
−
1
√5−𝑥
 
é: 
a) ]−3, 5[ 
b) ]−3,+∞[ 
c) ]−5, 3[ 
d) ]−∞,−3[ ∪ ]5, +∞[ 
e) ]−∞, 5[ 
 
 
Aula 03: Determinação do domínio de uma função 
INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE FUNÇÃO 
 
 pcdamatematica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex01: Represente no plano cartesiano os pontos 𝐴(2, 1), 
𝐵(−3, 2), 𝐶(1, −4), 𝐷(−2,−3), 𝐸(4, 0), 𝐹(0, −3), 𝐺(2, 2) e 
𝐻(−1, 1) 
 
 
Ex02: Determine as coordenadas dos pontos 𝐴,𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹, 𝐺 e 
𝐻. 
 
 
Ex03: Determine os valores de x e y para que os pares ordenados 
abaixo sejam iguais. 
a) (𝑥, 𝑦) e (−2, √3) b) (𝑥 + 𝑦, 1) e (3, 𝑥 − 𝑦) 
 
 
 
 
Ex04: Em cada caso determine o valor de 𝑚 para que o ponto 𝐴 
satisfaça a condição dada. 
a) 𝐴(3,𝑚) pertence ao eixo das abscissas. 
 
 
 
b) 𝐴(𝑚 − 2, 4) pertence ao eixo das ordenadas. 
 
 
 
c) 𝐴(𝑚 + 1, 7) pertence ao eixo primeiro quadrante 
 
 
 
d) 𝐴(−2,𝑚 + 6) pertence ao segundo quadrante 
. 
 
 
 
 
Aula 04: Sistema Cartesiano Ortogonal 
INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE FUNÇÃO 
Anotações da aula 
________________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
_______________________________________________ 
 
 pcdamatematica 
 
 
 
 
 
Ex01: Construa o gráfico da função 𝑓: 𝐴 → ℝ dada por 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 com 𝐴 = {−2,−1, 0, 1, 2}. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex02: Construao gráfico da função 𝑓: 𝐴 → ℝ dada por 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1 nos seguintes casos: 
a) 𝐴 = {−2,−1, 0, 1, 2} b) 𝐴 = [−2, 2[ c) 𝐴 = ℝ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex03: Os gráficos a seguir representam funções. Determine o domínio e a imagem de cada uma delas. 
a) 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
Aula 05: Gráfico de uma função 
INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE FUNÇÃO 
𝐺𝑟(𝑓) = {(𝑥, 𝑦); 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) e 𝑦 = 𝑓(𝑥)} 
 
 pcdamatematica 
 
Ex04: (EsPCEx-01) Os dados obtidos nas pesquisas de desempenho de um determinado automóvel foram organizados segundo o 
gráfico a seguir, que relaciona o número de quilômetros rodados por litro de combustível, com a velocidade desenvolvida por esse 
automóvel. Com base nas informações pode-se concluir que 
 
a) maior consumo de combustível por quilômetro rodado se dá aos 60km/h. 
b) para velocidades entre 40km/h e 60km/h, o aumento da velocidade implica aumento do consumo de combustível. 
c) para velocidades entre 60km/h e 100km/h, o aumento do consuno de combustível é diretamente proporcional ao aumento da 
velocidade. 
d) na velocidade de 100km/h o automóvel consome menos combustível que a 40km/h 
e) para velocidades acima de 60km/h o consumo de combustível aumenta sempre que a velocidade aumenta. 
 
 
Ex05: Estude o sinal da função representada pelo gráfico abaixo: 
 
 
 
Ex06: (FUVEST-modificada) A figura a seguir representa o gráfico de uma função da forma ( ) ,
x a
f x
x b
+
=
+
 para 1 3.x−   
 
a) Determine os valores de a e b. 
b) Calcule (3) ( 1).f f+ − 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE FUNÇÃO 
 
 pcdamatematica 
 
 
 
Considere uma função 𝑓: 𝐴 ⟶ ℝ. 
➢ Se para quaisquer valores 𝑥1 < 𝑥2 de um conjunto 𝑆 ⊂ 𝐴 temos 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2), então f é crescente em S. 
➢ Se para quaisquer valores 𝑥1 < 𝑥2 de um conjunto 𝑆 ⊂ 𝐴 temos 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2), então f é decrescente em S. 
➢ Se para quaisquer valores 𝑥1 e 𝑥2 de um conjunto 𝑆 ⊂ 𝐴 temos 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2), então f é constante em S. 
Ex01: Seja 𝑓: 𝐴 ⊂ ℝ → ℝ uma função real. Uma das afirmações 
abaixo caracteriza que 𝑓 é crescente. Qual é ela? 
a) 𝑥 > 𝑦 ⇒ 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑦), para todos 𝑥, 𝑦 em 𝐴 
b) 𝑥 ≠ 𝑦 ⇒ 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(𝑦), para todos 𝑥, 𝑦 em 𝐴 
c) Dados 𝑦 ∈ ℝ, existe 𝑥 em 𝐴 tal que 𝑓(𝑥) = 𝑦 
d) Para todos 𝑥, 𝑦 em 𝐴, 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑦) 
e) 𝑥 > 𝑦 ⇒ 𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑦), para todos 𝑥, 𝑦 em 𝐴 
 
Ex02: A função 𝑓:ℝ ⟶ ℝ é estritamente decrescente. Qual é o 
conjunto de números reais que satisfazem à condição 𝑓(3𝑥 +
2) > 𝑓(2𝑥 + 5). 
a) 𝑥 > 3 
b) 𝑥 < 3 
c) 𝑥 > 0 
d) 𝑥 < 0 
e) 𝑥 = 2 
 
Ex03: (EsPCEx-13) Na figura abaixo está representado o 
gráfico da função polinomial real [𝑎, 𝑏]. 
 
 
Com base nas informações fornecidas pela figura, podemos 
afirmar que: 
a) 𝑓 é crescente no intervalo [𝑎, 0]. 
b) 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑒) para todo x no intervalo [𝑑, 𝑏]. 
c) 𝑓(𝑥) ≤ 0 para todo x no intervalo [𝑐, 0]. 
d) a funçõa 𝑓 é decrescente no intervalo [𝑐, 𝑒]. 
e) se 𝑥1 ∈ [𝑎, 𝑐] e 𝑥2 ∈ [𝑑, 𝑒] então 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2) 
Ex04: O gráfico abaixo é de uma função f definida no intervalo [-2, 4]. 
 
Considere as proposições: 
I. A função é crescente somente no intervalo [-2, -1]. 
II. A função ( ) ( ) 2,g x f x= + com 2 4,x−   é tal que ( 2) 0.g − = 
III. No intervalo [-1, 1] a função é constante. 
IV. A função possui exatamente três raízes no intervalo [-2, 4]. 
Com relação às proposições I, II, III e IV, é correto afirmar que: 
a) todas são verdadeiras 
b) todas são falsas 
c) apenas a afirmação IV é falsa 
d) apenas a afirmação I é falsa 
e) as afirmações I e II são falsas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considere uma função 𝑓: 𝐴 ⟶ ℝ. 
➢ Se 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) para todo 𝑥 ∈ 𝐴, então f é par. 
➢ Se 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) para todo 𝑥 ∈ 𝐴, então f é ímpar. 
➢ Se f não satisfaz nenhuma das condições, então f é nem par nem ímpar. 
Ex01: Classifique as funções abaixo em par, ímpar ou nem par nem ímpar: 
a) 𝑓(𝑥) = 3𝑥4 − 2𝑥2 
 
 
b) 𝑓(𝑥) =
𝑒𝑥−𝑒−𝑥
2
 
 
 
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 
 
Aula 06: Função crescente, decrescente e constante 
INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE FUNÇÃO 
Aula 07: Paridade 
 
 pcdamatematica 
 
Ex02: (CESCEM) Dizemos que uma função real é par se 
𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥), ∀𝑥 e que é ímpar se 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥), ∀𝑥. Das 
afimações que seguem, indique qual é falsa. 
a) O prooduto de duas funções ímpares é uma função ímpar. 
b) O produto de duas funções pares é uma função par. 
c) A soma de duas funções ímpares é uma função ímpar. 
d) A soma de duas funções pares é uma função par. 
e) Alguma das afirmações anteriores é falsa. 
 
Ex03: Seja 𝑓:ℝ → ℝ uma função tal que 𝑓(𝑎 + 𝑏) = 𝑓(𝑎) +
𝑓(𝑏), ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ. Assinale a alternativa correta. 
a) 𝑓(0) = 1 
b) 𝑓 é par 
c) 𝑓 é ímpar 
d) 𝑓 é nem par nem ímpar 
 
 
 
 
 
Considere 𝐴, 𝐵 e 𝐶 conjuntos não vazios e as funções 𝑔: 𝐴 → 𝐵 𝑒 𝑓: 𝐵 → 𝐶. A função ℎ: 𝐴 → 𝐶 tal que ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) é 
chamada de função composta de f com g, e indicada por 𝑓𝑜𝑔 (lê-se f composta com g). 
Ex01: Sejam f e g funções de ℝ em ℝ definidas por 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 1 e 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 2. Determine o valor de: 
a) 𝑓(𝑔(3)) 
b) 𝑔(𝑓(3)) 
c) 𝑓(𝑓(2)) 
d) 𝑔(𝑔(0)) 
 
Ex02: Sejam f e g funções de ℝ em ℝ definidas por 𝑓(𝑥) = 1 − 2𝑥 e 𝑔(𝑥) = 3𝑥2 − 𝑥 + 4. Determine a lei que define as funções: 
a) 𝑓(𝑔(𝑥)) 
b) 𝑔(𝑓(𝑥)) 
c) 𝑓(𝑓(𝑥)) 
 
Ex03: Sejam f e g funções de ℝ em ℝ tais que, ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑓(𝑥) =
−10𝑥 + 2 e (𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = −30𝑥 − 48. Qual a lei que define g? 
 
 
 
 
 
Ex04: Sejam f e g funções de ℝ em ℝ tais que, ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑔(𝑥) =
3𝑥 − 2 e (𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = 9𝑥2 − 3𝑥 + 1. Qual a lei que define f? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex05: (EsPCEx-02) Sejam as funções reais 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 e 
𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥 + 4. A função composta ℎ(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) é 
a) 4𝑥2 − 6𝑥 − 1 
b) 2𝑥2 + 2𝑥 − 1 
c) 4𝑥2 − 1 
d) 4𝑥2 − 8𝑥 − 1 
e) 2𝑥2 − 12𝑥 − 1 
 
 
Ex06: (ITA) Sejam 𝑓, 𝑔: ℝ → ℝ tais que f é par e g é ímpar. Das 
seguintes afirmações: 
 I. 𝑓 ∙ 𝑔 é ímpar 
 II. 𝑓𝑜𝑔 é par 
 III. 𝑔𝑜𝑓 é ímpar 
É(são) verdadeiras(s): 
a) apenas I 
b) apenas II 
c) apenas III 
d) apenas I e II 
e) todas 
 
 
INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE FUNÇÃO 
Aula 08: Funçao composta 
 
 pcdamatematica 
 
Ex07: (EsPCEx-09) Considere a função real 𝑔(𝑥) definida por: 
𝑔(𝑥) =
{
 
 
 
 
5𝑥, se 𝑥 ≤ 1
−3𝑥2
4
+
3𝑥
2
+
17
4
, se 1 < 𝑥 ≤ 3
𝑥
2
+
1
2
, se 𝑥 > 3
 
O valor de 𝑔 (𝑔(𝑔(1))) é 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
 
 
1. Função injetora: Uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 é injetora quando 𝑥1 ≠ 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1) ≠ 𝑓(𝑥2), ∀𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴. 
2. Função sobrejetora: Uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 é sobrejetora quando ∀𝑦 ∈ 𝐵, existir 𝑥 ∈ 𝐴 tal que 𝑦 = 𝑓(𝑥). 
3. Função bijetora: Uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 é bijetora quando é injetora e sobrejetora. 
 
Ex01: Classifique cada uma das funções como injetora, 
sobrejetora ou bijetora. 
a) 𝑓:ℝ − {3} → ℝ tal que 𝑓(𝑥) =
2𝑥
𝑥−3
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 𝑓:ℝ − {−3} → ℝ − {1} tal que 𝑓(𝑥) =
𝑥+2
𝑥+3
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex02: Analise o gráfico da função 𝑓: [−1, 5] → [−2, 4] e 
classifique-a comoinjetora, sobrejetora ou bijetora 
 
 
 
Ex03: Determine o número real a tal que a função 𝑓: [3, +∞[→
[𝑎, +∞[, com 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥 + 8, seja bijetora 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex04: (EsPCEx-04) Analise os itens abaixo para a função 
𝑓:ℝ → ℝ: 
 I. Se 𝑓(𝑥) + 𝑓(−𝑥) = 0, então f é uma função par 
II. Se 𝑓(𝑥) é uma função constante, então f é função par 
III. Se |𝑓(𝑥)| = 𝑓(𝑥), então 𝐼𝑚(𝑓) ⊂ ℝ+ 
IV. Se |𝑓(𝑥)| = 𝑓(𝑥), então 𝑓(𝑥) é função bijetora 
São corretas as afirmações 
a) I e II 
b) II e IV 
c) II e III 
d) I eIII 
e) III e IV 
 
 
INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE FUNÇÃO 
Aula 09: Função injetora, sobrejetora e bijetora 
 
 pcdamatematica 
 
 
Seja 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵 uma função bijetora. A função 𝑓−1: 𝐵 ⟶ 𝐴 tal que 𝑓(𝑎) = 𝑏 ⇔ 𝑓−1(𝑏) = 𝑎, com 𝑎 ∈ 𝐴 e 𝑏 ∈ 𝐵, é chamada 
inversa de f. 
Ex01: Determine a inversa de cada uma das funções: 
a) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 5 
 
 
 
b) 𝑓(𝑥) =
𝑥+3
𝑥−2
 
 
 
 
 
Ex02: (MACK) A função f definida em ℝ − {2} por 𝑓(𝑥) =
2+𝑥
2−𝑥
 
é invertível. O seu contradomínio é ℝ − {𝑎}. O valor de a é: 
a) 2 
b) -2 
c) 1 
d) -1 
e) 3 
 
 
 
 
Ex03: Dada a função 𝑓:ℝ − {−2} → ℝ − {1} tal que 𝑓(𝑥) =
𝑥+1
𝑥+2
, determine: 
a) 𝑓−1(𝑥) 
 
 
 
 
 
b) (𝑓𝑜𝑓−1)(𝑥) 
 
 
 
 
 
c) (𝑓−1𝑜𝑓)(𝑥) 
 
 
 
 
 
 
Ex04: Determine a inversa da função 𝑓: [4, +∞[ → ℝ+ tal que 
𝑓(𝑥) = √𝑥2 − 6𝑥 + 8. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex05: O gráfico de uma função f é o segmento de reta cujos 
extremos são os pontos (−3, 4) e (3, 0). Se 𝑓−1 é a função 
inversa de f, então 𝑓−1(2) é: 
a) 2 
b) 0 
c) 3/2 
d) -3/2 
e) 5 
 
 
 
 
 
Ex06: Construa o gráfico da inversa da função 𝑓: [0, +∞[→
[−4,+∞[, dada por 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex07: (EsPCEx-14) Considere a função bijetora 𝑓: [1, +∞) →
(−∞, 3], definida por 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 2𝑥 + 2 e seja (𝑎, 𝑏) o 
ponto de interseção de f com sua inversa. O valor numérico da 
expressão 𝑎 + 𝑏 é 
a) 2 
b) 4 
c) 6 
d) 8 
e) 10 
 
 
 
 
Ex08: (EsPCEx-04) Sejam as funções 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥). Se 𝑓(𝑥) =
𝑥 + 2 e 𝑓(𝑔(𝑥)) =
𝑥
2
, pode-se afirmar que a função inversa de 
𝑔(𝑥) é: 
a) 𝑔−1(𝑥) =
𝑓(𝑥)
2
 
b) 𝑔−1(𝑥) =
𝑥+4
2
 
c) 𝑔−1(𝑥) = 𝑓(𝑥) 
d) 𝑔−1(𝑥) = 2𝑓(𝑥) 
e) 𝑔−1(𝑥) =
𝑥−4
2
 
 
 
Aula 10: Função inversa 
INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE FUNÇÃO 
 
 pcdamatematica 
 
*EXERCÍCIOS* 
01. Para que valores de k o ponto 𝐴 = (5𝑘 + 15, 4𝑘2 − 36) 
pertence ao eixo das abscissas? 
a) 𝑘 = ±3 
b) 𝑘 = 2 
c) 𝑘 = −𝟐 𝒐𝒖 𝑘 = 𝟒 
d) 𝑘 = 0 ou 𝑘 = 1 
e) 𝑘 = −2 ou 𝑘 = 5 
 
 
02. Para que valores de m o ponto 𝐶(5𝑚 − 8,𝑚 + 2) pertence 
ao 2º quadrante? 
a) −2 < 𝑚 <
8
5
 
b) 𝑚 <
8
5
 
c) 𝑚 >
8
5
 
d) −1 < 𝑚 < 8 
a) 𝑚 < −2 
 
 
03. Dados os conjuntos 𝐴 = {−1, 0, 1, 2} e 𝐵 =
{−1, 0, 1, 2, 3, 5, 8}, qual das relações apresentadas a seguir é 
função de 𝐴 em 𝐵? 
a) 𝑦 =
1
𝑥
, em que 𝑥 ∈ 𝐴 e 𝑦 ∈ 𝐵. 
b) 𝑦 = 𝑥2 + 1, em que 𝑥 ∈ 𝐴 e 𝑦 ∈ 𝐵. 
c) 𝑦2 = 𝑥2, em que 𝑥 ∈ 𝐴 e 𝑦 ∈ 𝐵. 
d) 𝑦 = 𝑥4, em que 𝑥 ∈ 𝐴 e 𝑦 ∈ 𝐵. 
 
 
 
04. (UFSM) Um laboratório testou a ação de uma droga em uma 
amostra de 720 frangos. Constatou-se que a lei de sobrevivência 
do lote de frangos era dada pela relação 𝑣(𝑡) = 𝑎𝑡2 + 𝑏, em que 
𝑣(𝑡) é o número de elementos vivos no tempo t (meses). 
Sabendo-se que o último frango morreu quando 𝑡 = 12 meses 
após o início da experiência, a quantidade de frangos que ainda 
estavam vivos no 10º mês era: 
a) 80 
b) 100 
c) 120 
d) 220 
e) 300 
 
 
 
05. Uma função 𝑓:ℝ → ℝ+
∗ é tal que 𝑓(𝑎 + 𝑏) = 𝑓(𝑎) ∙ 𝑓(𝑏) e 
𝑓(1) = 9. Calcule 𝑓(2). 
a) 0 
b) 9 
c) 81 
d) 100 
 
 
 
06. Seja 𝑔 a função de domínio 𝐴 = {−2,−1, 0, 1, 2, 3} e 
contradomínio ℝ tal que 𝑔(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥 + 1 Qual o conjunto 
imagem de 𝑔? 
a) {−5, 1, 7, 25} 
b) {−3, 1, 6, 20} 
c) {−5, 2, 7, 25} 
d) {−5, 1, 25} 
 
 
07. (UFRN) Seja 𝑓: 𝐷 → ℝ, com 𝐷 ⊂ ℝ, a função definida por 
𝑓(𝑥) = √5 − 𝑥 +
1
√𝑥+1
. O domínio 𝐷 é: 
a) [−1, 5] 
b) [5, +∞[ 
c) ]5, +∞[ 
d) ] − 1, 5] 
e) ]5, +∞[ − {−1} 
 
 
08. (UFPE) A função 𝑓:ℝ → ℝ definida por 𝑓(𝑥) = √𝑥2 + 9 
tem como conjunto imagem: 
a) {𝑦 ∈ ℝ; 𝑦 ≥ 3} 
b) {𝑦 ∈ ℝ; 𝑦 < 3} 
c) {𝑦 ∈ ℝ; 𝑦 ≥ 4} 
d) ℝ+ 
e) ℝ+
∗ 
 
 
 
 
09. (FCC) Para que valores reais de k a função real de variável 
real 𝑓(𝑥) =
1
𝑥2−2𝑥+𝑘
 tem como domínio o conjunto dos números 
reais? 
a) 𝑘 > 1 
b) 𝑘 ≥ 1 
c) 𝑘 < 1 
d) 𝑘 ≤ 1 
e) 𝑘 ≠ 1 
 
 
 
10. (IME) Seja 𝑓:ℝ → ℝ onde ℝ é o conjunto do snúmeros 
reais, tal que 
{
𝑓(4) = 5
𝑓(𝑥 + 4) = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑓(4)
 
O valor de 𝑓(−4) é: 
a) -4/5 
b) -1/4 
c) -1/5 
d) 1/5 
e) 4/5 
 
 
 
INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE FUNÇÃO 
 
 pcdamatematica 
 
11. (CESGRANRIO) A função 𝑓 satisfaz a relação 𝑓(𝑥 + 1) =
𝑥 ∙ 𝑓(𝑥), 𝑥 > 0. Se 𝑓 (
1
2
) = √𝜋, o valor de 𝑓 (
3
2
) é: 
a) 
√𝜋
2
 
b) 2√2 
c) 
3𝜋
2
 
d) 𝜋2 
e) √𝜋 
 
 
12. (UNB) Seja 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥5 + 𝑏𝑥3 + 𝑐𝑥 + 10 com 𝑎, 𝑏 e 𝑐 
reais. Calcule 𝑓(−2), sabendo que 𝑓(2) = 2. 
a) 18 
b) 19 
c) 20 
d) 21 
e) 22 
 
 
 
13. (EsPCEx-02) Sejam f e g funções de A em ℝ, definidas por 
𝑓(𝑥) = √
𝑥−1
𝑥+1
 e 𝑔(𝑥) =
√𝑥−1
√𝑥+1
. Nessas condições, pode-se 
afirmar que 𝑓 = 𝑔 se 
a) 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 < −1 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 1} 
b) 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≠ 1} 
c) 𝐴 = ℝ 
d) 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≥ 1} 
e) 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 < −1} 
 
 
 
14. (CESCEM) Considere a função 𝑓:ℝ − {−
1
2
} → ℝ − {
1
2
} tal 
que 𝑓(𝑥) =
𝑥
2𝑥+1
. Pode-se afirmar que: 
a) f é injetora e não sobrejetora 
b) f é sobrejetora e não injetora 
c) f é bijetora 
d) existe x tal que 𝑓(𝑥) =
1
2
 
e) nenhuma das respostas anteriores é verdadeira 
 
 
 
15. (EsPCEx-06) Um comerciante aumenta o preço inicial (PI) 
de um produto em x% e, em seguida, resolve fazer uma 
promoção, dando um desconto, também de x%, sobre o novo 
preço. Nessas condições, a única alternativa correta, dentre as 
apresentadas abaixo, em relação ao preço final (PF) do produto, 
é: 
a) o PF é impossível de ser relacionado com o preço inicial 
b) o PF é igual ao preço inicial 
c) 𝑃𝐹 = 𝑃𝐼 ∙
10−2
2
∙ 𝑥2 
d) 𝑃𝐹 = 𝑃𝐼 ∙ 10−4 ∙ 𝑥2 
e) 𝑃𝐹 = 𝑃𝐼 ∙ (1 − 10−4 ∙ 𝑥2) 
 
 
 
 
16. (EsPCEx-06) Temos as funções: 
 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 
 𝑔(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
 ℎ(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) 
Considerando que as raízes de ℎ(𝑥) são {-1, 0, 1}, determine 
ℎ(−2). 
a) 0 
b) -3 
c) 4 
d) 5 
e) -6 
 
 
 
17. (EsPCEx-15) Considere as funções 𝑓 e 𝑔, tais que 𝑓(𝑥) =
√𝑥 + 4 e 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑥2 − 5, onde 𝑔(𝑥) é não negativa para todo 
x real. Assinale a alternativa cujo conjunto contém todos os 
possíveis valores de x, que satisfazem os dados do enunciado 
a) ℝ− ]−3, 3[ 
b) ℝ − ]−√5,√5[ 
c) ]−√5,√5[ 
d) ]−3, 3[ 
e) ℝ− ]−∞, 3[ 
 
 
18. (EsPCEx-11) Considere as funções reais 𝑓(𝑥) = 3𝑥, de 
domínio [4, 8] e 𝑔(𝑦) = 4𝑦, de domínio [6, 9]. Os valores 
máximo e mínimo que o quociente 
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑦)
 pode assumir são, 
respectivamente 
a) 
2
3
 e 
1
2
 
b) 
1
3
 e 1 
c) 
4
3
 e 
3
4
 
d) 
3
4
 e 
1
3
 
e) 1 e 
1
3
 
 
 
19. (EsPCEx-11) O domínio da função real 𝑓(𝑥) =
√2−𝑥
𝑥2−8𝑥+12
 é 
a) ]2, ∞[ 
b) ]2, 6[ 
c) ] − ∞, 6] 
d) ] − 2, 2] 
e) ] − ∞, 2[ 
 
 
20. (MACK) A aplicação 𝑓: ℕ → ℕ definida por 
𝑓(𝑛) = {
𝑛
2
, 𝑠e 𝑛 é par
𝑛 + 1
2
, se 𝑛 é ímpar
 
é: 
a) somente injetora 
b) somente sobrejetorac) bijetora 
d) nem injetora nem sobrejetora 
e) nenhuma das anteriores 
INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE FUNÇÃO 
 
 pcdamatematica 
 
21. (EsPCEx-11) Na Física, as leis de Kepler descrevem o 
movimento dos planetas ao redor do Sol. Define-se como 
período de um planeta o intervalo de tempo necessário para que 
este realize uma volta completa ao redor do Sol. Segundo a 
terceira lei de Kepler, “Os quadrados dos períodos de revolução 
(T) são proporcionais aos cubos das distâncias médias (R) do Sol 
aos planetas”, ou seja, 𝑇2 = 𝑘 ∙ 𝑅3, em que k é a constante de 
proporcionalidade. 
Sabe-se que a distância do Sol a Júpiter é 5 vezes a distância 
Terra-Sol; assim, se denominarmos T ao tempo necessário para 
que a Terra realize uma volta em torno do Sol, ou seja, ao ano 
terrestre, a duração do “ano” de Júpiter será 
a) 3√5 𝑇 
b) 5√3 𝑇 
c) 3√15 𝑇 
d) 5√5 𝑇 
e) 3√3 𝑇 
 
 
22. (EsPCEx-15) Considerando a função real definida por 
{
2 − |𝑥 − 3|, se 𝑥 > 2
−𝑥2 + 2𝑥 + 1, se 𝑥 ≤ 2
, o valor de 𝑓(0) + 𝑓(4) é 
a) -8 
b) 0 
c) 1 
d) 2 
e) 4 
 
 
 
23. (EsPCEx-18) Seja 𝐴 o maior subconjunto de ℝ no qual está 
definida a função real 𝑓(𝑥) = √
𝑥3−5𝑥2−25𝑥+125
𝑥+5
. Considere, 
ainda, 𝐵 o conjunto das imagens de f. Nessas condições, 
a) 𝐴 = ℝ − {−5} e 𝐵 = ℝ+ − {10} 
b) 𝐴 = ℝ − {−5} e 𝐵 = ℝ+ 
c) 𝐴 = ℝ − {−5} e 𝐵 = ℝ 
d) 𝐴 = ℝ − {−5, 5} e 𝐵 = ℝ+ 
e) 𝐴 = ℝ − {−5, 5} e 𝐵 = ℝ+ − {10} 
 
 
24. (EsPCEx-96) Na função 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 2, sabemos que 
𝑓(𝑎) = 𝑏 − 2 e 𝑓(𝑏) = 2𝑏 + 𝑎. O valor de 𝑓(𝑓(𝑎)) é: 
a) 2 
b) 1 
c) 0 
d) -1 
e) -2 
 
 
25. (EsPCEx-96) Seja 𝑓:ℝ → ℝ uma função tal que −2 ≤
𝑓(𝑥) < 5 e 𝑔:ℝ → ℝ dada por 𝑔(𝑥) = 1 − 𝑓(𝑥). Então o 
conjunto imagem da função 𝑔(𝑥) é 
a) ]-4, 3] 
b) [-4, 3] 
c) ]-4, 3[ 
d) [-3, 4[ 
e) ]-3, 4] 
 
 
26. (EsPCEx-97) Seja a função 𝑓(𝑥) = {
1, se 𝑥 é irracional
−1, se 𝑥 é racional
. 
O valor da expressão 
𝑓(𝜋)−𝑓(0)−𝑓(1,33… )
3𝑓(√2)
 é: 
a) 
1
3
 
b) −
1
3
 
c) -1 
d) 1 
e) 
2
3
 
 
 
27. (EsPCEx-97) Num sistema cartesiano de eixos, duas curvas 
A e B, se interceptam nos pontos (0, 5) e (0, -5). Dentre as 
afirmações abaixo, a alternativa correta é: 
a) A e B são representações gráficas de funções do tipo 𝑦 =
𝑓(𝑥), com reízes (0, 5) e (0, -5) 
b) somente A ou B poderá ser a representação gráfica de uma 
função do tipo 𝑦 = 𝑓(𝑥) 
c) A ou B é a representação gráfica da função dada por 𝑦 = 25 −
𝑥2 
d) A ou B é a representação gráfica da função dada por 𝑥 = 0 
e) nem A nem B poderá ser a representação gráfica de uma 
função do tipo 𝑦 = 𝑓(𝑥) 
 
 
28. (EsPCEx-98) Considere a função real 𝑓(𝑥) = √1 − 𝑥. 
Dentre as proposições abaixo: 
I. o maior valor de 𝑓(𝑥) é 1 
II. se 𝑓(𝑝) existe, então o maior valor de p é 1 
III. se 𝑓(𝑥) é igual a 
1
3
, então x é igual a 
8
9
 
IV. o gráfico de 𝑓(𝑥) intercepta o eixo das ordenadas no ponto 
(0, 1) 
Pode-se afirmar que são verdadeiras apenas as proposições: 
a) I e II 
b) II e III 
c) I e III 
d) III e IV 
e) II, III e IV 
 
 
29. (EsPCEx-14) Sabendo que 𝑐 e 𝑑 são números reais, o maior 
valor de 𝑑 tal que a função 𝑓:ℝ → ℝ definida por 𝑓(𝑥) =
{
−𝑥 + 𝑐, para 𝑥 ≥ 𝑑
𝑥2 − 4𝑥 + 3, para 𝑥 < 𝑑
 seja injetora é 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
 
30. Seja 𝑓: 𝑍+ → 𝑍+ tal que 𝑓(𝑚𝑛) = 𝑚𝑓(𝑛) + 𝑛𝑓(𝑚), 
𝑓(10) = 19, 𝑓(12) = 52 e 𝑓(15) = 26. Então, 𝑓(8) é igual a: 
a) 12 
b) 24 
c) 36 
d) 48 
e) 60 
 
INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE FUNÇÃO 
 
 pcdamatematica 
 
31. A função f definida para todos os pares ordenados (𝑥, 𝑦) de 
inteiros positivos e tem as seguintes propriedades: 𝑓(𝑥, 𝑥) = 𝑥, 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑦, 𝑥) e (𝑥 + 𝑦)𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦𝑓(𝑥, 𝑥 + 𝑦). Qual o valor 
de 𝑓(22, 55)? 
a) 11 
b) 22 
c) 55 
d) 110 
 
 
32. Se 3𝑓(𝑥) − 2𝑓 (
1
𝑥
) = 1, qual o valor de 𝑓(2)? 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
 
33. Se 𝑓(𝑥). 𝑓(𝑦) − 𝑓(𝑥𝑦) = 𝑥 + 𝑦, ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, dettermine 
𝑓(𝑥). 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 
b) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 
d) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 
e) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 
 
34. (UFMG) Uma função 𝑓:ℝ → ℝ é tal que 𝑓(5𝑥) = 5𝑓(𝑥) 
para todo número real x. Se 𝑓(25) = 75, então o valor de 𝑓(1) 
é: 
a) 3 
b) 5 
c) 15 
d) 25 
e) 45 
 
 
35. (FUVEST) Sejam 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 9 e 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 5𝑥 + 3. A 
soma dos valores absolutos das reaízes da equação 𝑓(𝑔(𝑥)) =
𝑔(𝑥) é igual a: 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
e) 8 
 
 
36. (ITA) Considere os conjuntos 𝑆 = {0, 2, 4, 6}, 𝑇 = {1, 3, 5} e 
𝑈 = {0, 1} e as afirmações: 
I. {0} ∈ 𝑆 e 𝑆 ∩ 𝑈 = ∅ 
II. {2} ⊂ (𝑆 − 𝑈) e 𝑆 ∩ 𝑇 ∩ 𝑈 = {0, 1} 
III. Existe uma função 𝑓: 𝑆 → 𝑇 injetiva 
IV. Nenhuma função 𝑔: 𝑇 → 𝑆 é sobrejetiva 
Então, é(são) verdadeiras(s) 
a) apenas I 
b) apenas IV 
c) apenas I e IV 
d) apenas II e III 
e) apenas III e IV 
 
37. (ITA) Seja 𝑓:ℝ → ℝ definida por 
𝑓(𝑥) = {
3𝑥 + 3 se 𝑥 ≤ 0
𝑥2 + 4𝑥 + 3 se 𝑥 > 0
 
Então: 
a) 𝑓 é bijetora e (𝑓𝑜𝑓) (−
2
3
) = 𝑓−1(21). 
b) 𝑓 é bijetora e (𝑓𝑜𝑓) (−
2
3
) = 𝑓−1(99). 
c) 𝑓 é sobrejetora mas não é injetora 
d) 𝑓 é injetora mas não é sobrejetora 
e) 𝑓 é bijetora e (𝑓𝑜𝑓) (−
2
3
) = 𝑓−1(3). 
 
 
38. Seja A um conjunto com 3 elementos e B um conjunto com 5 
elementos. Quantas funções injetoras de A em B existem? 
a) 50 
b) 55 
c) 60 
d) 65 
e) 70 
 
 
 
 
39. (ITA) Seja 𝑓:ℝ → ℝ a função definida por 𝑓(𝑥) = 3𝑎𝑥, 
onde 𝑎 é um número real, 0 < 𝑎 < 1. 
Sobre as afirmações: 
I. 𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑓(𝑦), para todo 𝑥, 𝑦, ∈ ℝ. 
II. 𝑓 é bijetora. 
III. 𝑓 é crescente e 𝑓(]0, +∞[) = ]−3, 0[. 
Podemos afirmar que: 
a) Todas as afirmações são falsas. 
b) Todas as afirmações são verdadeiras. 
c) Apenas as afirmações I e III são verdadeiras 
d) Apenas a afirmação II é verdadeira 
e) Apenas a afirmação III é verdadeira. 
 
 
 
 
40. (PUC) Seja 𝑓 a função de ℝ → ℝ, dada pelo gráfico a seguir 
 
 
 
É correto afirmar que 
a) 𝑓 é sobrejetora e não injetora 
b) 𝑓 é bijetora 
c) 𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥) para todo 𝑥 real. 
d) 𝑓(𝑥) > 0 para todo 𝑥 real. 
e) o conjunto imagem de 𝑓 é ]−∞, 2] 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE FUNÇÃO 
 
 pcdamatematica 
 
41. (ITA) Seja 𝐷 = ℝ− {1} e 𝑓: 𝐷 → 𝐷 uma função dada por 
𝑓(𝑥) =
𝑥 + 1
𝑥 − 1
 
Considere as afirmações: 
I. 𝑓 é injetiva e sobrejetiva 
II. 𝑓 é injetiva, mas não sobrejetiva 
III. 𝑓(𝑥) + 𝑓 (
1
𝑥
) = 0, para todo 𝑥 ∈ 𝐷, 𝑥 ≠ 0 
IV. 𝑓(𝑥) ∙ 𝑓(−𝑥) = 1, para todo 𝑥 ∈ 𝐷 
Então, são verdadeiras 
a) apenas I e III 
b) apenas I e IV 
c) apenas II e III 
d) apenas I, III e IV 
e) apenas II, III e IV 
 
 
42. (FEI) Se 𝑓(2𝑥 + 3) = 4𝑥2 + 6𝑥 + 1; ∀𝑥 ∈ ℝ, então 𝑓(1 −
𝑥) vale: 
a) 2 − 𝑥2 
b) 2 + 𝑥2 
c) 𝑥2 + 2𝑥 − 4 
d) 3𝑥2 − 2𝑥 + 4 
e) 𝑥2 + 𝑥 − 1 
 
 
 
43. (ITA) Sejam 𝑓, 𝑔: ℝ → ℝ funções tais que 𝑔(𝑥) = 1 − 𝑥 e 
𝑓(𝑥) + 2𝑓(2 − 𝑥) = (𝑥 − 1)3, para todo 𝑥 ∈ ℝ. Então 𝑓[𝑔(𝑥)] 
é igual a: 
a) (𝑥 − 1)3 
b) (1 − 𝑥)3 
c) 𝑥3 
d) 𝑥 
e) 2 − 𝑥 
 
 
44. (UFMG) Para um número real fixo 𝛼, a função 𝑓(𝑥) = 𝛼𝑥 −
2 é tal que 𝑓(𝑓(1)) = −3. O valor de 𝛼 é: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
e) 4 
 
 
45. (PUC) Com base no gráfico da função 𝑦 = 𝑓(𝑥), o valor de 
𝑓 (𝑓(𝑓(1))) é: 
 
a) -8/3 
b) -5/3 
c) 8/3 
d) 5/3 
e) 5 
46. (ITA) Sejam as funções 𝑓:ℝ → ℝ e 𝑔: 𝐴 ⊂ ℝ → ℝ, tais que 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 9 e (𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = 𝑥 − 6, em seus respectivos 
domínios. Então, o domínio 𝐴 dafunção 𝑔 é: 
a) [−3,+∞[ 
b) ℝ 
c) [−5,+∞[ 
d) ]−∞,−1[ ∪ [3, +∞[ 
e) ]−∞,√6[ 
 
 
 
47. (MACK) As funções reais 𝑓 e 𝑔 são tais que 𝑓(𝑔(𝑥)) =
𝑥2 − 6𝑥 + 8 e 𝑓(𝑥 − 3) = 𝑥 + 5. Se 𝑔(𝑘) é o menor possível, 
então 𝑘 vale: 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
 
 
48. (PUC) Sejam 𝑓 e 𝑔 funções de ℝ em ℝ definidas por 𝑓(𝑥) =
𝑥 + 1 e 𝑔(𝑥) = 1 − 𝑥2. Relativamente ao gráfico da função dada 
por 𝑔(𝑓(𝑥)), é correto afirmar que 
a) tangencia o eixo das abscissas 
b) não intercepta o eixo das abscissas 
c) contém o ponto (−2, 0) 
d) tem concavidade voltada para cima 
e) intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0, -1) 
 
 
 
49. (ITA) Sejam 𝑓, 𝑔: ℝ → ℝ definidas por 𝑓(𝑥) = 𝑥3 e 𝑔(𝑥) =
10𝑎 sendo 𝑎 = 3𝑐𝑜𝑠5𝑥. Podemos afirmar que: 
a) 𝑓 é injetora e par e 𝑔 é ímpar 
b) 𝑔 é sobrejetora e (𝑔𝑜𝑓) é par 
c) 𝑓 é bijetora e (𝑔𝑜𝑓) é ímpar 
d) 𝑔 é par e (𝑔𝑜𝑓) é ímpar 
e) 𝑓 é ímpar e (𝑔𝑜𝑓) é par 
 
 
50. (PUC) Considere a função 𝑓:ℝ → ℝ definida por 
𝑓(𝑥) = {
2 + 𝑥, se 𝑥 < 0
2 − 𝑥2, se 𝑥 ≥ 0
 
O valor da expressão 𝑓(𝑓(−1)) − 𝑓(𝑓(3)) é: 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
 
 
51. (MACK) Se 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑛 e 𝑓(𝑓(𝑥)) = 4𝑥 + 9, a soma 
dos possíveis valores de n é: 
a) 6 
b) -6 
c) 12 
d) -12 
e) -18 
 
 
INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE FUNÇÃO 
 
 pcdamatematica 
 
52. (ITA) Considere as funções 𝑓 e 𝑔 definidas por 𝑓(𝑥) = 𝑥 −
2
𝑥
, para todo 𝑥 ≠ 0 e 𝑔(𝑥) =
𝑥
𝑥+1
, para 𝑥 ≠ −1. O conjunto de 
todos as soluções da inequação 
(𝑔𝑜𝑓)(𝑥) < 𝑔(𝑥) 
é: 
a) [1, +∞[ 
b) ]−∞,−2[ 
c) [−2,−1[ 
d) ]−1, 1[ 
e) ]−2,−1[ ∪ ]1, +∞[ 
 
 
 
53. (UFSM) Sejam 𝑓:ℝ → ℝ uma função definida por 𝑓(𝑥) =
𝑚𝑥 + 𝑝. Se 𝑓 passa pelos pontos 𝐴(0, 4) e 𝐵(3, 0), então 𝑓−1 
passa pelo ponto 
a) (8, −2) 
b) (8, 3) 
c) (8, −3) 
d) (8, 2) 
e) (8, 1) 
 
 
 
54. (UNIRIO) A função inversa da função bijetora 𝑓:ℝ −
{−4} → ℝ − {2} definida por 𝑓(𝑥) =
2𝑥−3
𝑥+4
 é: 
a) 𝑓−1(𝑥) =
𝑥+4
2𝑥+3
 
b) 𝑓−1(𝑥) =
𝑥−4
2𝑥−3
 
c) 𝑓−1(𝑥) =
4𝑥+3
2−𝑥
 
d) 𝑓−1(𝑥) =
4𝑥+3
𝑥−2
 
e) 𝑓−1(𝑥) =
4𝑥+3
𝑥+2
 
 
 
55. (MACK) A figura mostra o gráfico da função real definida 
por 𝑓(𝑥) =
𝑎𝑥+𝑏
𝑥+𝑐
, com 𝑎, 𝑏 e 𝑐 números reais. Então 𝑓(𝑎 + 𝑏 +
𝑐) vale: 
 
a) 1 
b) 2 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
 
 
 
 
 
56. (UNIRIO) Consideremos a função inversível 𝑓 cujo gráfico 
é visto abaixo. 
 
 
A lei que define 𝑓−1 é: 
a) 𝑦 = 3𝑥 +
3
2
 
b) 𝑦 = 2𝑥 −
3
2
 
c) 𝑦 =
3
2
𝑥 − 3 
d) 𝑦 =
2
3
𝑥 + 2 
e) 𝑦 = −2𝑥 −
3
2
 
 
 
57. (FUVEST) Uma função 𝑓 de variável real satisfaz a 
condição 𝑓(𝑥 + 1) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(1), qualquer que seja o valor da 
variável 𝑥. Sabendo-se que 𝑓(2) = 1, podemos concluir que 
𝑓(5) é igual a: 
a) 1/2 
b) 1 
c) 5/2 
d) 5 
e) 10 
 
 
 
58. (MACK) Sejam as funções reais definidas por 𝑓(𝑥) = 2𝑥 +
5 e 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑥. Então 𝑔(7) vale: 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
 
 
 
*GABARITO* 
01. A 16. E 31. D 46. A 
02. A 17. E 32. A 47. D 
03. B 18. E 33. C 48. C 
04. D 19. E 34. A 49. E 
05. C 20. B 35. D 50. B 
06. A 21. D 36. B 51. B 
07. D 22. D 37. B 52. E 
08. A 23. B 38. C 53. C 
09. A 24. B 39. E 54. C 
10. D 25. A 40. A 55. E 
11. A 26. D 41. A 56. C 
12. A 27. E 42. E 57. C 
13. D 28. E 43. C 58. B 
14. C 29. C 44. A 
15. E 30. C 45. D 
INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE FUNÇÃO